Bayesowskie modele w diagnostyce (seminarium)

Transkrypt

1 Wrocław, 7. marca 6 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych oltechna Wrocławsa Wydzał Informaty Zarządzana IV ro studów Bayesowse modele w dagnostyce (semnarum) Autor doumentu: STAWARZ aweł rowadzący: prof. Ireneusz Jóźwa Indes: 599 Grupa: środa 5.5 Termn semnarum: 5. marca 6

2 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Sps treśc DIAGNOSTYKA... DIAGNOSTYKA OGÓLNA... Wstęp teoretyczny... Zastosowane... DIAGNOSTYKA LOGIZNA...8 Wstęp teoretyczny...8 Zastosowane...9 LITERATURA... aweł Stawarz 599 /

3 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Dagnostya Termn dagnostya w potocznym znaczenu tego słowa est dobrze rozumany ao dzedzna życa zamuąca sę rozpoznawanem nazywanem pewnych zachodzących zaws w onteśce oreślone wedzy. Mów sę na przyład o dagnostyce medyczne, tóra est nauą o rozpoznawanu chorób na podstawe wywadów, badań learsch, analzy obawów wynów laboratorynych, bądź też o dagnostyce technczne, tóra est nauą o rozpoznawanu stanu techncznego danego urządzena loalzac ewentualnych ustere bez rozberana ego podzespołów. Sam termn dagnostya pochodz z ęzya grecego, gdze dagnoss oznacza rozpoznane, rozróżnane, osądzane, natomast dagnoste techne oznacza sztuę rozróżnana, stawana dagnozy. W dalsze częśc pracy omówone zostaną dagnostya ogólna oraz dagnostya logczna (główne w technce), w tórych wyorzystywana est znana wszystm reguła Bayesa. Umożlwa ona mędzy nnym przewdywane stanów awarynych urządzeń, a ednocześne pozwala ogranczyć sut zastnałych awar. Dagnostya ogólna Ja powszechne wadomo w trace esploatac systemów techncznych powstaą często tzw. łańcuchy przyczynowo-sutowe. Bardzo często pewne zachodzące w urządzenach zawsa (czyl sut) wywoływane są bezpośredno lub pośredno przez oreślone przyczyny. Można węc śmało założyć, że nc ta naprawdę ne dzee sę bez przyczyny wyorzystać to w dalszych rozważanach. Dagnostya ogólna charateryzue sę wyorzystanem nabyte, z esploatac systemu, wedzy. Wedzą tą są przede wszystm dane statystyczne zachodzących zaws, a węc np. częstośc występowana oreślonych uszodzeń wraz z towarzyszącym m merzalnym symptomam. Zanm edna dagnostya zostane przedstawona w pratyce warto przypomneć sobe elementarną wedzę z teor prawdopodobeństwa. Wstęp teoretyczny Jeżel A oznaczać będze zdarzene perwotne (przyczynę), natomast B oznaczać będze zdarzene wtórne (sute) załadaąc, że zdarzena te maą dodatne prawdopodobeństwa, to orzystaąc z defnc prawdopodobeństwa warunowego można zapsać, że ( A B) = ( A) ( B A) ( B) ( A B) () =. Dla przypomnena, prawdopodobeństwem warunowym zaśca zdarzena A pod warunem zaśca zdarzena B, gdze ( B) >, nazywamy lczbę ( A B) ( A B) ( B) = (). Idąc dale, eżel A, dla =,,..., n, oznaczać będze wyluczaące sę param zdarzena perwotne, tórych suma est zdarzenem pewnym U n A = = Ω oraz B oznaczać będze zdarzene wtórne, dla tórego ( B) > prawdopodobeństwe całowtym otrzymamy n ( B) = ( A ) ( B ) = A () ()., to wówczas orzystaąc z twerdzena o owyższa postać wzoru () wyna bezpośredno z następuącego wywodu wyorzystuącego () n n n ( B) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) (5) U B A B A A B A. = = = aweł Stawarz 599 /

4 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Ostateczne ze wzorów () oraz () wyna wzór Bayesa: ( A B) ( A ) ( B A ) (6). = n = ( A ) ( B A ) Informacę zawartą po prawe strone wzoru (6) nazywa sę nformacą aproryczną, co oznacza, że obserwowano wystąpene zdarzena A analzowano wystąpene sutów w postac zdarzena B, dzę czemu możlwe est wyznaczene prawdopodobeństw ( A ) oraz ( B A ) dośwadczeń. rawdopodobeństwo ( A B) na podstawe dotychczasowych nazywane est prawdopodobeństwem a posteror (po dośwadczenu) oczywśce oznacza prawdopodobeństwo wystąpena zdarzena wystąpło zdarzene B. A pod warunem, że Zdarzena A, B oraz A występuące w dotychczasowych równanach mogą być różne nterpretowane w zależnośc od wybranego obszaru dagnosty. W olenym podrozdzale zostane zaprezentowanych la przyładów dagnosty wyorzystuących wyprowadzony wyże aparat matematyczny. erwszy przyład w sposób elementarny przedstawa wyorzystane wzoru Bayesa, natomast oleny przedstawa go w neco bardze zaawansowane forme. Zastosowane rzyład. roste zastosowane wzoru Bayesa. Obserwac podlega obetów użytowanych w trzech różnych warunach. Wadomo, że w perwszych warunach pracue obetów, w drugch, a w trzecch 5. odczas esploatac tych obetów zareestrowano, że w perwszych warunach 5 obetów uległo uszodzenu, w drugch, a w trzecch - 5. Borąc pod uwagę powyższy stan obetów należy wyznaczyć prawdopodobeństwo: zdarzena polegaącego na tym, że losowo wybrany obet zdatny (ne uszodzony) pracue w -tych warunach, zdarzena polegaącego na tym, że dwurotne losowo wybrane ze zwracanem obety zdatne pracuą w -tych warunach, zdarzena polegaącego na tym, że -rotne losowo wybrane ze zwracanem obety zdatne pracuą w -tych warunach. Dane reprezentuące stan obetów można zestawć w tabel: warun I warun II warun III lczba obetów pracuących 5 lczba obetów, tóre uległy uszodzenu 5 5 lczba obetów, tóre ne uległy uszodzenu 5 5 W celu lepszego zobrazowana nteresuących nas zdarzeń wyobraźmy sobe następuącą sytuacę: erown pewne frmy, w tóre użytowane są omawane wyże obety wydae pracownow polecene dostarczena do nego zdatnego obetu. o otrzymanu obetu, erown na podstawe dotychczasowych danych esploatac zastanawa sę, w tórych warunach mógł on być użytowany. Następne wydae pracownow olene polecene odnesena dostarczonego obetu przynesena olenego dowolnego zdatnego obetu. o otrzymanu nowego obetu, erown zastanawa sę, czy był on użytowany w tych samych warunach co poprzedno dostarczony obet. Załóżmy, że erown po raz -ty wydae analogczne polecene swoemu pracownow po raz -ty zastanawa sę czy dostarczony obet użytowany był w tych samych warunach co (-) poprzedno dostarczonych obetów. rzymmy następuące oznaczena: A - zdarzene polegaące na tym, że obet pracue w -tych warunach ( =,, ), B - zdarzene polegaące na tym, że obet est zdatny, ( B ) R = - prawdopodobeństwo tego, że obet pracuący w -tych warunach est zdatny, A ( A B) - szuane prawdopodobeństwo tego, że wybrany obet zdatny pracue w -tych warunach, aweł Stawarz 599 /

5 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce, - szuane prawdopodobeństwo tego, że dwurotne losowo wybrane ze zwracanem obety zdatne pracuą w -tych warunach,, - szuane prawdopodobeństwo tego, że -rotne losowo wybrane ze zwracanem obety zdatne pracuą w -tych warunach. należy sorzystać ze wzoru Bayesa (6), do tórego zostaną podstawone wartośc zareestrowane w wynu esploatac obserwowanych obetów: W celu wyznaczena prawdopodobeństwa ( A B) ( A B) = ( A ) ( B A ) ( A ) ( B A ) = ( A ) R = =. ( A ) R W celu wyznaczena prawdopodobeństw, oraz, należy zauważyć, że -rotne wyonywane est to samo dośwadczene, w tórym załadamy, że wybrany został obet zdatny, a węc:, = = ( A ) R oraz ( A ) R, = Wyn można zestawć w tabel: = ( A ) ( A ) R. R warun I warun II warun III lczba obetów pracuących 5 lczba obetów, tóre ne uległy uszodzenu 5 5 ( A ). 5 =. =. 5 ( B A ) =. 67 =. 7 5 ( A B).5..5 =. =. 9 = ,.5..5 =. =. 7 = , =. =. 6 = Ja wdać nabardze prawdopodobną sytuacą est przypade, w tórym losowo wybrany obet zdatny pracue w warunach III. Jest to poneąd ntucyne wytłumaczalne, poneważ nawęce obetów zdatnych użytowanych est właśne w warunach III. Aczolwe welorotne powtórzene tego samego dośwadczena wyazue zwęszane prawdopodobeństwa zaśca sytuac, w tóre wszyste losowo wyberane obety zdatne pracuą w warunach I. To zawso est równeż ntucyne zrozumałe ze względu na stosunowo węszą lczbę obetów zdatnych przypadaących na całowtą lczbę obetów pracuących w oreślonych warunach. rzyład. Zastosowane wzoru Bayesa w dagnostyce ogólne systemu techncznego. Obserwac podlega system, w tórym mogą wystąpć cztery rodzae uszodzeń: D, D, D, D, tórym z ole mogą towarzyszyć cztery rodzae symptomów: S, S, S, S. Gdyby np. rozpatrywano system technczny złożony z uładu eletrycznego, do tórego szeregowo zostały podłączone dwe żarów, to przyładowym uszodzenem systemu mogłoby być uszodzene edne żarów, tóre towarzyszy symptom e ne śwecena. Oczywśce w uładze szeregowym żarówe przy uszodzenu edne z nch wystąpą dwa symptomy ne śwecena perwsze żarów oraz ne śwecena druge żarów. Ne oznacza to edna, że przy obserwac tych dwóch symptomów uszodzenu uległy dwe żarów. Wracaąc do obserwowanego systemu, załóżmy, że w wynu ego esploatac zareestrowano następuącą częstość występowana uszodzeń oraz towarzyszących m symptomów: aweł Stawarz /

6 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Dagnoza zęstość występowana dagnozy rawdopodobeństwo wystąpena symptomów ( S D ) S S S S D..8.. D D D Dzę obserwac zachowań systemu reestrac zachodzących zaws możlwe stae sę wyorzystane wzoru Bayesa w celu postawena nabardze warygodne dagnozy przy zaobserwowanu zboru zachodzących w systeme symptomów. rawdopodobeństwo zaśca uszodzena D przy występowanu zboru symptomów S dane est wzorem: ( D S) ( D) ( S D) ( S) =, gdze ( D ) - prawdopodobeństwo wystąpena uszodzena D w systeme, ( S ) - prawdopodobeństwo poawena sę w systeme zboru symptomów S towarzyszących D uszodzenu D, ( S ) - prawdopodobeństwo wystąpena zboru symptomów S w systeme. Zbór symptomów S oznacza tuta pewną nformacę dotyczącą analzowanych symptomów, tzn. eżel w systeme obserwowalne są wszyste cztery symptomy, to wówczas S = S S S S, natomast eśl zachodzą perwsze trzy symptomy a czwarty ne, to S = S S S S. Załadamy ednocześne, że zaśce ażdego z symptomów est param nezależne. Załóżmy początowo, że w systeme zaobserwowano wszyste symptomy S = S S S S, a węc z nezależnośc ch zaśca wyna, że: ( S D ) = ( S D ). = Wyorzystuąc powyższe założene podstawaąc e do postac twerdzena o prawdopodobeństwe całowtym () otrzymamy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = D S D = D S D, = = = a węc prawdopodobeństwo zaśca uszodzena D przy wystąpenu zboru symptomów S dane będze wzorem: ( D ) ( S D ) ( ) ( D) ( S D) = D S = =. ( S) ( ) ( ) D S D = = Korzystaąc z powyższego wzoru oraz nabytych dośwadczeń łatwo możemy odpowedzeć na pytane, tóre uszodzene est nabardze możlwe w zastnałe sytuac, w tóre zaobserwowane zostały wszyste cztery symptomy: ( S) = = ( D S ) = =.,.6, aweł Stawarz /

7 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce ( D S) = = =., ( D S) = = =., ( D S) = = = Ja wdać w zastnałe sytuac nabardze prawdopodobne est wystąpene uszodzena D, neco mne prawdopodobne wystąpene uszodzena D oraz prawe ne możlwe wystąpene uszodzeń D oraz D. owyższa dagnoza pozwala uerunować dzałana zapobegawcze w stronę nabardze prawdopodobnego uszodzena D. Jao ceawostę warto zauważyć, że prawdopodobeństwo wystąpena uszodzena D wynos., co est ntucyne uzasadnone, poneważ dotychczas an razu ne odnotowano symptomu S mu towarzyszącemu. W analogczny sposób można przeprowadzć dagnostyę w sytuac, gdy zachodzą trzy symptomy oraz eden na pewno ne. Jedyną różncą w zastosowanu powyższych wzorów będze podstawene ( S D ) = ( S D ) za ( S D ) w przypadu symptomu S, tóry ne występue w systeme. Zatem eżel np. ne występue symptom S, to wzór na prawdopodobeństwo zaśca uszodzena D przy wystąpenu zboru symptomów S będze wyglądał następuąco: ( D S) = ( D) ( S D) ( S) = = ( D ) ( S D ) ( S D ) ( S D ) ( S D ) ( D ) ( S D ) ( S D ) ( S D ) ( S D ) Wyonuąc analogczne oblczena dla zboru symptomów S, w tórych symptom zebrać uzysane wyn (prawdopodobeństwa dagnozy) w tabel:. S ne występue można Zachodzą Bra symptomu Dagnoza wszyste S S S S symptomy D..... D D D Z powyższych oblczeń wyna, że w przypadu, gdy spośród wszystch symptomów tylo S ne zachodz, to prawdopodobeństwo wystąpena uszodzena D stae sę nemalże pewne. Jao ceawostę warto zauważyć, że w przypadu, gdy ne zachodz eden z symptomów S albo S, to nabardze prawdopodobnym uszodzenem stae sę D, a w przypadu, gdy ne występue symptom S poawa sę możlwość wystąpena uszodzena D (ngdy do te pory symptom S ne towarzyszył powstawanu uszodzena D ). Analogczne oblczena można przeprowadzać dale dla olenych zborów symptomów S : Bra symptomów Dagnoza S, S S,S S, S S,S,S S,S D S D D D aweł Stawarz /

8 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Dagnoza Bra symptomów, S S S, S, S S, S, S S, S, S, S S, S, S, S D D D D Z powyższych oblczeń można wywnosować, że narzadze poawaące sę uszodzene D ma nawęsze szanse wystąpena, gdy zachodz tylo wyłączne symptom S albo gdy zachodz symptom S wraz z symptomem S. Z ole uszodzene D naprawdopodobne poaw sę w sytuac, gdy zachodz tylo wyłączne symptom S albo gdy zachodz symptom S wraz z symptomem S.Oczywśce powyższe analzy można przeprowadzać dla ażde ombnac zestawu symptomów, edna wystarczy zautomatyzować proces wyznaczana prawdopodobeństw dla stale odśweżanych danych wynaących z esploatac systemu, aby w odpowednm momence (poawena sę symptomów) sorzystać z gotowych wylczeń. Warto eszcze na onec zauważyć, że w sytuac, gdy ne obserwowalne est wystąpene żadnego z symptomów, to nabardze prawdopodobne est powstane uszodzena D. Fat ten nformue nas o tym, że pommo ne występowana złowrogch symptomów w systeme, należy oresowo badać system pod ątem uszodzena D. Dagnostya logczna Dotychczasowe rozważana na temat dagnosty ogólne sprowadzały sę do stawana dagnozy edyne na podstawe zareestrowanych częstośc występowana merzalnych zaws. Oazue sę edna, że w celu zwęszena efetywnośc, warygodnośc szybośc stawana dagnozy warto w procese dagnosty uwzględnć wedzę technczną dotyczącą obserwowanego obetu/systemu. Dagnostya logczna opera sę przede wszystm na logczne analze poawaących sę symptomów towarzyszących różnym uszodzenom. ozwala ona wyorzystać pewne relace zachodzące pomędzy ombnacą obserwowalnych symptomów a poawaącym sę uszodzenam. Wedza technczna a równeż beżący stan systemu, na tóry słada sę zestaw zachodzących symptomów towarzyszący zestawow uszodzeń, opsywane są przy pomocy prostych zdań logcznych. Wyorzystuąc wedzę technczną można mędzy nnym wyelmnować część nemożlwych do zastnena ombnac symptomów uszodzeń. rostym przyładem est wspomnany wcześne uład eletryczny, w tórym znaduą sę dwe połączone ze sobą szeregowo żarów. W powyższym uładze nemożlwe est np. uzysane stanu systemu, w tórym perwsza żarówa śwec, a druga ne śwec, tzn. możlwe są tylo tae sytuace, w tórych obe żarów śwecą albo obe ne śwecą. Wstęp teoretyczny rzed przystąpenem do analzy przyładów zastosowań dagnosty logczne należy neco uporządować podstawowe elementy w ne wyorzystywane: x, y,... - oznaczena cech (symptomów/uszodzeń), X,Y,... - wyrażene wypowedz o cechach x, y,..., np. w systeme występue cecha y Y, Y - w systeme ne występue cecha y, XY = X Y - w systeme występuą cechy x oraz y, X + Y = X Y - w systeme występue co namne edna z cech x oraz y, X Y - eżel w systeme występue cecha x, to występue cecha y, S ( ) - w systeme występue -ty symptom, D ( ) - w systeme występue -te uszodzene. Na podstawe powyższych oznaczeń po oreślenu zborów n symptomów oraz m uszodzeń dla obserwowanego systemu, w dagnostyce logczne onstruue sę bullowse funce: wedzy technczne E [ S( ), S( ),..., S( n), D( ), D( ),..., D( m) ], aweł Stawarz /

9 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce symptomów G [ S( ), S( ),..., S( n) ], nesprawnośc f [ D( ), D( ),..., D( m) ] Zastosowane. Dalsze rozważana teoretyczne wyprowadzone zostaną podczas analzy mocno uproszczonego przyładu. Załóżmy, że użytuemy pewen system omputerowy, w tórym szczególną wagę zwracamy na poprawne dzałane stac robocze oraz montora. odczas esploatac tego systemu esteśmy w stane rozróżnć dwa symptomy ego nepoprawnego dzałana: S ( ) - ne można włączyć stac robocze, S ( ) - ne można włączyć montora. owyższe symptomy mogą towarzyszyć następuącym doleglwoścom: D ( ) - staca robocza est uszodzona, D ( ) - montor est uszodzony, D ( ) - bra zaslana. Wedza technczna dotycząca użytowanego systemu omputerowego est następuąca: eżel w systeme omputerowym uszodzenu uległa staca robocza, to ne można e włączyć, eżel w systeme omputerowym uszodzenu uległ montor, to ne można go włączyć, eżel uszodzenu uległo zaslane systemu omputerowego, to ne można włączyć stac robocze an montora, eżel wystąpł co namne eden z symptomów, to doszło do co namne ednego uszodzena. Na podstawe powyższe wedzy technczne wyrażone ęzyem naturalnym można sonstruować bullowsą funcę wedzy technczne będące loczynem poszczególnych zdań logcznych reprezentuących podane stwerdzena: [ S( ), S( ), D( ), D( ), D( ) ] E = [ D( ) S( ) ][ D( ) S( ) ][ D( ) S( ) S( ) ][ S( ) + S( ) D( ) + D( ) D( ) ] E + Bullowsą funcę symptomów uzysue sę z ole na podstawe zaobserwowanych wystąpeń symptomów w systeme: eżel w systeme ne można włączyć stac robocze, ale można włączyć montor, to: [ S( ), S( ) ] G S( ) S ( ) G =, eżel w systeme można stwerdzć wystąpene ednego z symptomów, ale o drugm nc ne wadomo, a węc np. w sytuac gdy w systeme można włączyć stacę roboczą, ale z achś względów ne wadomo czy można włączyć montor, to: [ ] ( ) ( ) S( ) + S ( ) S ( ) = S ( ) S( ) + S ( ) G = S = S. W podobny sposób uzysue sę bullowsą funcę nesprawnośc: eżel w systeme omputerowym uszodzona est tylo staca robocza, to: [ D( ), D( ), D( ) ] f D( ) D ( ) D ( ) f =. W rzeczywstośc, z puntu wdzena dagnosty logczne, bullowsą funcę nesprawnośc f uzysue sę na podstawe wedzy technczne opsywane przez E oraz stanu systemu wyznaczonego przez G = S S. Aby zaobserwowane symptomy G. Załóżmy, że w systeme omputerowym zachodz ( ) ( ) wyznaczyć funcę nesprawnośc f należy rozwązać uład dwóch równań bullowsch: G = E = S( ) S( ) = [ D() S() ] [ D( ) S( ) ][ D() S() S( ) ][ S() + S( ) D() + D( ) + D() ] = aweł Stawarz /

10 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce z perwszego równana wyznaczamy S ( ) = oraz ( ) = S( ) = równana: [ D ( ) ] [ D( ) ] [ D( ) ] [ D( ) + D( ) + D( ) ] = D D( ) = D() = D() = () + D( ) + D() D = ( ) = D( ) D( ) = D() = D() = Zatem funca nesprawnośc f = D( ) D( ) D ( ) = D D D S podstawamy do drugego, w tórym wyznaczamy, że, co oznacza, że edyne na podstawe wedzy technczne a zaobserwowanych symptomów można od razu stwerdzć w am stane uszodzena znadue sę system. owyższy wywód wyazał tym samym, że w przypadu gdy w systeme omputerowym ne można włączyć stac robocze, ale można włączyć montor, uszodzenu uległa staca robocza. Do powyższych wnosów można o wele łatwe szybce dość przy wyorzystanu tzw. bazy logczne (a właścwe zreduowane bazy logczne). Baza logczna stanow wszyste możlwe ombnace symptomów oraz nesprawnośc wyznaczaących ednoznaczne stany, w tórych może znadować sę system. Borąc pod uwagę powyższy przyład, w tórym analzowane są dwa symptomy oraz trzy uszodzena, system może znadować sę w ednym + 5 z = = stanów. Bazę logczną można równeż rozpatrywać oddzelne dla nesprawnośc oraz oddzelne dla symptomów, ale edyne w celu uednolcena zapsu dale wyorzystywanego, tzn. ażda ombnaca nesprawnośc a równeż ażda ombnaca symptomów będze opsana odpowednm symbolem: baza logczna dla nesprawnośc: () ( ) () = = D ( ) D ( ) D ( ) baza logczna dla symptomów: S ( ) S ( ) Dzę wprowadzonemu zapsow, np. symbol oznaczać będze od razu zestaw nesprawnośc ( ) D( ) D( ) = - zestaw symptomów ( ) ( ) D występuący w systeme, a z ole symbol S S. W celu wyprowadzena powyższych baz logcznych pomocnym może sę oazać następuący sposób: w -tym werszu bazy znadue sę -ta cecha systemu, baza słada sę z olumn, gdze oznacza lczbę cech wpsanych do bazy, ażdy -ty wersz bazy należy wypełnć poprzez wypsane na przeman (wypełnaąc wszyste olumny). zer oraz edyne rzedstawony sposób wypełnana bazy pozwol w prosty sposób utożsamć zaps bądź z zestawem odpowednch cech, gdze w zapse dwóowym wyznaczać będze wartość ażde cechy. Dlatego też borąc pod uwagę np. stan 6 można od razu stwerdzć, że 6 =, co oznacza, że =, D =, D = D D. D ( ) ( ) ( ), a węc ( ) ( ) ( ) 6 D Wyorzystuąc powyższe bazy logczne dla nesprawnośc oraz symptomów można utworzyć uż bazę logczną reprezentuącą wszyste możlwe ombnace wartośc cech systemu: aweł Stawarz 599 /

11 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce S ( ) S ( ) D ( ) D ( ) D ( ) S ( ) S ( ) D ( ) D ( ) D ( ) Warto w te sytuac zauważyć, że ażdy stan zachodzących symptomów oraz występuących nesprawnośc opsywany est symbolem, tóry est złożenem ombnac oraz. Na przyład stan oznaczać będze sytuacę, w tóre G = S( ) S ( ) oraz f = D( ) D( ) D( ). Nestety welość ta onstruowane bazy logczne rośne wyładnczo wraz ze wzrostem lczby analzowanych cech, poneważ dla n uszodzeń n+m m nesprawnośc możlwych est ombnac, co może neco omplować e analzę. Jeżel edna ombnace wartośc tych cech zostaną opsane w pewen usystematyzowany sposób, to uż na wstępe zadane analzy zostane neco uproszczone, a eżel do tego zostane eszcze uwzględnona wedza technczna, to praca z taą bazą logczną będze uż samą przyemnoścą. Uwzględnene wedzy technczne w ta sonstruowane baze logczne pozwala wyprowadzć tzw. zreduowaną bazę logczną, w tóre wyelmnowane zostaą ombnace wartośc nemożlwych do uzysana w rzeczywstośc. W celu zreduowana bazy logczne należy posłużyć sę funcą wedzy technczne E. Załadaąc, że funca ta przymue zawsze wartość, należy przeanalzować ażdy e D S można czynn pod ątem dodatne wartośc logczne. Zatem dla perwszego czynna ( ) ( ) stwerdzć, że eżel w systeme występue nesprawność D ( ), to zachodz symptom ( ) S ne możlwe est tym samym aby ten symptom ne zachodzł. owyższy wnose pozwala wyelmnować olumny,,,,,, D ne 5 5 7, 7, poneważ w ażde z tych olumn występue nesprawność ( ) zachodz symptom S ( ). Wyonuąc analogczną analzę dla ażdego czynna func wedzy technczne można wyelmnować wszyste zbędne olumny: Wedza technczna ( ) S( ) ( ) S( ) ( ) S( ) S( ) ( ) S( ) D( ) + D( ) D( ) Elmnaca olumn D,,,,,, 5 5 7, D,,,,,, 6 6 7, D,,,,,,,,,, S + +,, , aweł Stawarz 599 /

12 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Dzę powyższym zabegom uzysuemy ostateczne zreduowaną bazę logczną: S ( ) S ( ) D ( ) D ( ) D ( ) W te sytuac wyznaczene func nesprawnośc f na podstawe func symptomów G stae sę nezwyle proste, poneważ będze ona dotyczyć tylo tych nesprawnośc, tóre wyznaczone będą przez olumny odzwercedlaące postać func symptomów. Na przyład eśl w systeme wystąpł analzowany wcześne zestaw symptomów G = S( ) S ( ) =, to może on sę znadować edyne w stane, a węc f = = D( ) D( ) D( ), co oznacza, że w przypadu gdy w systeme omputerowym ne można włączyć stac robocze, ale można włączyć montor, uszodzenu uległa tylo wyłączne staca robocza. Zatem wyorzystuąc wedzę technczną można było od razu postawć edyną słuszną dagnozę. Nestety ne zawsze będzemy mel do czynena z ta oczywstym rozwązanem. Jeżel w rozważanym przyładze oaże sę, że ne można włączyć stac robocze an montora, a węc ( ) ( ) G = S S =, to funca nesprawnośc wyznaczona na podstawe powyższe zreduowane bazy logczne przyme postać f = , co oznacza, że w zastnałe sytuac ne można ednoznaczne stwerdzć, tóry zestaw nesprawnośc wystąpł w systeme. Oazue sę, że na podstawe same wedzy technczne ne zawsze można postawć właścwą dagnozę. Na szczęśce w te w podobnych sytuacach z pomocą przychodz rachune prawdopodobeństwa wraz z wyprowadzonym wcześne wzorem Bayesa. W naprostszym przypadu wzór Bayesa pozwol odpowedzeć na pytane, tóry zestaw nesprawnośc est nabardze prawdopodobny pod warunem wystąpena oreślone ombnac symptomów, a węc: ( ) ( ) ( ) = m ( ) ( ) =, gdze ( ) - prawdopodobeństwo wystąpena w systeme ombnac nesprawnośc, ( ) - prawdopodobeństwo poawena sę w systeme ombnac symptomów towarzyszących ombnac nesprawnośc (wyznaczone na podstawe obserwac systemu podczas ego esploatac). Oazue sę, że powyższy wzór Bayesa można uogólnć na dowolną funcę nesprawnośc f oraz funcę symptomów G : ( f G) G f G m = ( ) ( ) =. ( ) ( ) Aby wyorzystać powyższe wzory w pratyce pozostae edyne oreślć potrzebne prawdopodobeństwa. Jeżel założymy, że nezawodność pracy stac robocze wynos. 95, nezawodność pracy montora. 99 oraz nezawodność sec zaslaące wynos.9, a węc [ D( )] =. 5, [ D( )] =. oraz [ D( )] =., to: [ ] = [ D( ) ] [ D( ) ] [ ( ) ] = ( ) D( ) D( ) D( ) = D = = =. = =. ( ) 55, ( ) 855,, aweł Stawarz 599 /

13 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce ( ) = , = ( ) = , = ( ) = , 5 = ( ) = , 6 = ( ) = = rawdopodobeństwa warunowe: ( ) Wracaąc do nerozstrzygnęte wcześne sytuac, w tóre funca symptomów w systeme przybrała postać G =, można uż przynamne rozstrzygnąć, tóra ombnaca uszodzeń est nabardze prawdopodobna: ( ) ( ) ( ) = 7 ( ) ( ).55 = =.,.98 = ( ) =. ( ) =. ( ) =. 9 ( 5 ) =. 5 ( 6 ) =. 9 ( ).,,,,,. 7 = Ja wdać z powyższych oblczeń, oazue sę ostateczne, że w przypadu gdy ne można włączyć stac robocze an montora, nabardze prawdopodobną (nemalże pewną) sytuacą est bra zaslana. Z 5% prawdopodobeństwem można równeż stwerdzć, że możlwa est sytuaca, w tóre uszodzenu uległa staca robocza oraz zabrało zaslana. aweł Stawarz 599 /

14 Modele Bezpeczeństwa Nezawodnośc Systemów Informatycznych Wrocław, 7. marca 6 Bayesowse modele w dagnostyce Lteratura Francsze Grabs, Jerzy Jaźwńs, Metody Bayesowse w nezawodnośc dagnostyce, Warszawa Jace Jaubows, Rafał Sztencel, Wstęp do teor prawdopodobeństwa, Warszawa aweł Stawarz 599 /