ADEKWATNO WYBRANYCH ROZK ADÓW TEORETYCZNYCH DOCHODÓW W ZALE NO CI OD METODY APROKSYMACJI 1

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LX ZESZYT KATARZYNA OSTASIEWICZ ADEKWATNO WYBRANYCH ROZKADÓW TEORETYCZNYCH DOCHODÓW W ZALENOCI OD METODY APROKSYMACJI 1 1. WPROWADZENIE Ostatecznym wynikiem bada statystycznych jest czsto pewien parametr liczbowy, syntetycznie charakteryzujcy badan zbiorowo ze wzgldu na okrelon cech statystyczn. W przypadku dochodów ludnoci takim parametrem jest na przykad wspóczynnik Giniego. Wspóczynnik ten zwykle obliczany jest bezporednio na podstawie szeregów rozdzielczych. Moliwe jest jednak alternatywne podejcie: mona szereg rozdzielczy aproksymowa jakim rozkadem teoretycznym, a nastpnie rozkad ten wykorzysta do obliczenia (aproksymacji) wspóczynnika Giniego. Wyniki obu postpowa mog by i zwykle s róne, podobnie jak róni si mog wyniki otrzymywane przy uyciu rónych rozkadów teoretycznych. Inspiracj do przeprowadzenia bada przedstawionych w niniejszej pracy byy wyniki uzyskane przez McDonalda i Ransoma (1979) na podstawie danych angielskich. W cytowanej pracy autorzy ci porównywali wartoci dwóch charakterystyk liczbowych rozkadów dochodów (wartoci redniej i wspóczynnika Giniego), uzyskiwanych przy aproksymacji szeregu rozdzielczego dochodów kilkoma rónymi rozkadami teoretycznymi i kilkoma rónymi technikami szacowania badanych wielkoci. Jako miara dobroci dopasowania danego rozkadu teoretycznego przyjta bya wielko sumy odchyle kwadratowych oraz wartoci statystyki 2. Nastpnie autorzy porównywali otrzymane rezultaty (wartoci rednie oraz wartoci wspóczynnika Giniego) pomidzy sob (czyli dla rónych rozkadów teoretycznych i rónych technik obliczeniowych), w przypadku wspóczynnika Giniego odnoszc je dodatkowo do ogranicze dla tej wielkoci wyznaczonych przez Gastwirtha (1972). Niniejsza praca pod wzgldem metodycznym jest niemal dokadnym powtórzeniem pracy McDonalda i Ransoma z t rónic, e dane uwzgldnione w badaniu dotyczyy caej populacji (wspólnie rozliczajcych podatki par maeskich w okrelo- 1 Autorka wyraa wdziczno anonimowym Recenzentom za krytyczne uwagi do pierwszej wersji pracy, które pomogy spojrze na przeprowadzone badanie z zupenie innej perspektywy oraz pozwoliy dostrzec uomno prezentacji uzyskanych wyników.

2 500 Katarzyna Ostasiewicz nym regionie Dolnego lska), zatem wyniki uzyskane za pomoc rónych rozkadów teoretycznych i rónych technik obliczeniowych mogy by porównywane nie tylko pomidzy sob, ale równie z wynikami cisymi, obliczonymi na podstawie szeregu szczegóowego dla caej populacji. Ponadto, poza wspóczynnikiem Giniego, analizie poddano takie charakterystyki, jak odchylenie standardowe, wspóczynnik Theila oraz trzy wskaniki z rodziny wspóczynników Atkinsona. Rozkady dochodów modelowane s za pomoc rónych rozkadów teoretycznych (por. np. Kot, 1999; Kony, 2001; Ulman, 2011). Wród nich szczególn rol odgrywa rozkad logarytmiczno-normalny, prawdopodobnie najczciej przyjmowany jako teoretyczny model dochodów. Sporód innych wymieni mona rozkad Pareto, Weibulla, czy te zdobywajc ostatnio coraz wiksz popularno funkcj logarytmiczno-logistyczn (np. Kot, Adamkiewicz-Drwio, 2013). Singh i Maddala (1976) zaproponowali rozkad bdcy uogólnieniem rozkadów Pareto z jednej i Weibulla z drugiej strony, który, jak si okazao, bardziej pasowa do badanych przez nich dochodów ni rozkady gamma i log-normalny. Rozkad ten by take badany przez polskich autorów (por. Kot, 1995). Do modelowania rozkadów dochodów stosowano równie i znacznie mniej popularne rozkady, takie jak rozkad Champernowne a (por. Champernowne, 1953) czy uogólniony rozkad beta (por. Thurow, 1970). Rozkad beta uwaany jest za najlepszy model teoretyczny rozkadu dochodów, mimo to prawdopodobnie z powodu duych wymaga obliczeniowych wynikajcych z koniecznoci okrelenia wielu parametrów wykorzystywany jest stosunkowo rzadko w pracach dotyczcych zastosowa. Warto zwróci uwag na propozycj przedstawion przez Daguma (1977). Proponuje on wykorzysta uogólniony rozkad log-logistyczny. Dobre dopasowanie tej funkcji do danych empirycznych zostao zbadane, potwierdzone i przedstawione w literaturze (por. Dagum, Lemmi, 1987). Rozkad ten stosowany by równie do modelowania rozkadów dochodów w Polsce (np. Panek, Szulc, 1991). Jako e celem niniejszej pracy jest badanie wpywu przyjcia takiego lub innego modelu na ocen dokadnoci miar nierównoci, zbadano typowe rozkady stosowane w praktyce: rozkad log-normalny, gamma, Singh-Maddala, log-logistyczny oraz rozkad Daguma. Parametry badanych rozkadów wyznaczano za pomoc piciu rónych metod. Trzy z nich stosowane byy w pracy McDonalda i Ransoma (metoda najmniejszych kwadratów, metoda najwikszej wiarygodnoci, kryterium minimum statystyki 2 ), za dwie dodatkowe metody to: zmodykowana metoda minimum 2 oraz mechaniczna metoda dopasowania rozkadu teoretycznego do danych empirycznych. Dalszy ukad pracy jest nastpujcy. W czci nastpnej zdeniowane s teoretyczne funkcje badanych rozkadów oraz denicje badanych charakterystyk liczbowych. W czci trzeciej przedstawiono metody obliczania tych parametrów. Po tej czci wprowadzajcej przedstawione s wyniki przeprowadzonych oblicze. Artyku koczy krótkie podsumowanie caoci bada.

3 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji WIELKOCI CHARAKTERYZUJCE ROZKAD I TEORETYCZNE ROZKADY DOCHODÓW W czci tej przedstawiona jest posta rozkadów teoretycznych, stanowicych przedmiot badania, i ich wybranych charakterystyk. Na pocztek wybrane charakterystyki zdeniowane zostan w sposób ogólny: w przypadku niektórych funkcji rozkadu mog one przybra bardziej zwiz posta, wyraon poprzez parametry rozkadu. Analizie poddano pi charakterystyk liczbowych rozkadu dochodów: warto rednia, na podstawie szeregu szczegóowego liczona nastpujco: (1) gdzie x i oznaczaj poszczególne indywidualne obserwacje, a N liczebno badanej populacji; oraz na podstawie dopasowanej funkcji gstoci: (2) gdzie f(x) oznacza funkcj gstoci prawdopodobiestwa rozkadu teoretycznego. odchylenia standardowe, liczone odpowiednio wedug wzorów: oraz: wspóczynnik Giniego, liczony ze wzorów: (3). (4) oraz: (5) (6) gdzie F(x) oznacza dystrybuant rozkadu teoretycznego. wspóczynnik Theila, liczony ze wzorów: (7)

4 502 Katarzyna Ostasiewicz oraz: wspóczynnik Atkinsona, liczony jako:. (8) (9) oraz:. (10) Wartoci wspóczynnika Atkinsona obliczane s dla trzech rónych wartoci parametru : 0,1, 0,5 i 0,8. Do analizy wybrano pi podanych niej rozkadów: rozkad logarytmiczno-normalny (por. Aitchison, Brown, 1969): (11) gdzie jest parametrem pooenia, a ksztatu. Warto rednia i odchylenie standardowe dla rozkadu log-normalnego wyraaj si poprzez jego parametry w nastpujcy sposób: rozkad gamma (por. Salem, Mount, 1974):. (12) (13) gdzie oznacza funkcj gamma Eulera, jest parametrem pooenia, a ksztatu. Warto rednia i odchylenie standardowe wyraaj si poprzez parametry rozkadu w sposób nastpujcy:. (14) Znana jest równie analityczna posta wspóczynnika Giniego dla tego rozkadu:. (15)

5 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 503 rozkad logarytmiczno-logistyczny (Fisk, 1961): (16) gdzie b jest parametrem pooenia, i a parametrem ksztatu. Dla rozkadu log-logistycznego warto rednia istnieje, gdy a > 1, a odchylenie standardowe gdy a > 2, i wyraaj si wzorami:. (17) W rozkadzie tym wspóczynnik Giniego ma wyjtkowo prost posta:. (18) rozkad Daguma, bdcy uogólnieniem rozkadu log-logistycznego (por. Dagum, 1977):. (19) Jak wida, w porównaniu do funkcji log-logistycznej ma ona dodatkowy parametr ksztatu, c. Z porównania funkcji (16) i (19) wynika, e rozkad log-logistyczny jest szczególnym przypadkiem rozkadu Daguma, dla c = 1. Warto rednia i odchylenie standardowe dla rozkadu Daguma maj nastpujc posta: (20) a warunkiem ich istnienia jest a > 1 (dla wartoci redniej) i a > 2 (dla odchylenia standardowego). Wspóczynnik Giniego wyraa si wzorem:. (21)

6 504 Katarzyna Ostasiewicz rozkad Singh-Maddala (por. Singh, Maddala, 1976):. (22) W tym przypadku równie mona zauway, e rozkad log-logistyczny jest szczególnym przypadkiem rozkadu Singh-Maddala, dla c = 1. Warto rednia istnieje, gdy ac > 1, a odchylenie standardowe gdy ac > 2. Okrelone s one wyraeniami:. (23) Znana jest równie analityczna posta wspóczynnika Giniego dla tego rozkadu:. (24) Kleiber (1996) wykaza, i pomidzy rozkadem Daguma a rozkadem Singh-Maddala istnieje cise powizanie. Gdy zmienna losowa X ma rozkad Daguma z parametrami a, b i c wówczas jej odwrotno, czyli zmienna losowa 1/ X, ma rozkad Singh-Maddala z parametrami a, 1/b i c. Pozostae charakterystyki liczbowe, których postaci analityczne nie zostay tu podane, mog by wyznaczone numerycznie na podstawie ogólnych wzorów, (6), (8) i (10). Analizowane dane o dochodach pochodz z Izby Skarbowej Wrocaw-Fabryczna i dotycz maestw wspólnie rozliczajcych podatki za rok Na podstawie danych dotyczcych dochodów w tej zbiorowoci skonstruowano szereg rozdzielczy, oznaczony Sc. Nastpnie z populacji tej wyodrbniono dwie podpopulacje: maestw bezdzietnych, liczc maestw (skonstruowany szereg rozdzielczy oznaczono przez S0) oraz podpopulacj o liczebnoci 5458 maestw z jednym dzieckiem (skonstruowany szereg rozdzielczy oznaczono przez S1). Kady z szeregów rozdzielczych skada si z 13 przedziaów klasowych o rónych szerokociach (zwikszajcych si dla ostatnich 6 klas, by zapewni minimaln liczebno obserwacji w kadej klasie).

7 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji OCENA BADANYCH PARAMETRÓW Zastosowano pi rónych metod oceny parametrów rozkadów teoretycznych. Pierwsz z nich jest metoda najwikszej wiarygodnoci (MNW), zaadaptowana do danych zagregowanych, czyli przedstawionych w postaci szeregów rozdzielczych. Niech n i, i =,..., g, oznaczaj liczebnoci poszczególnych przedziaów klasowych szeregu rozdzielczego, i, oznaczaj granice przedziaów klasowych. Teoretyczne prawdopodobiestwa, e obserwacja znajdzie si w danym przedziale, wyraaj si nastpujco: (25) gdzie argument {a} podkrela zaleno zarówno funkcji gstoci (f(x, {a}), jak i otrzymanych prawdopodobiestw (p i ({a})), od zestawu parametrów oznaczonych symbolicznie poprzez {a}. Funkcja wiarygodnoci, czyli prawdopodobiestwo otrzymania w poszczególnych przedziaach n i obserwacji przy zaoeniu danej funkcji gstoci f(x, {a}) ma nastpujc posta:. (26) Maksymalizujc funkcj L(n 1,...,n g {a}) ze wzgldu na wektor parametrów {a} uzyskuje si asymptotycznie efektywne (por. np. Cox, Hinckley, 1974) estymatory tych parametrów. Zadanie maksymalizowania funkcji (26) moe zosta sprowadzone do prostszego obliczeniowo szukania maksimum nastpujcej funkcji (po zlogarytmowaniu funkcji wiarygodnoci):. (27) Drug z metod stosowanych w tej pracy jest metoda najmniejszych kwadratów (MNK), polegajca na takim doborze parametrów {a}, dla których suma kwadratów odchyle teoretycznych prawdopodobiestw od zaobserwowanych czstoci jest minimalna:. (28)

8 506 Katarzyna Ostasiewicz Trzecia metoda aproksymacji polega na minimalizacji wartoci 2 (min 2 ), to znaczy, minimalizacji nastpujcej sumy: (29) gdzie p i obliczane s wedug wzoru (25). Otrzymane w ten sposób wielkoci parametrów s asymptotycznie równowane estymatorom otrzymanym metod najwikszej wiarygodnoci (por. np. Cox, Hinckley, 1974). Z drugiej strony, metoda ta moe by postrzegana jako uogólnienie metody najmniejszych kwadratów, polegajce na nadaniu wag poszczególnym kwadratom odchyle. Stosowana jest równie modykacja metody 2, polegajca na tym, e wagi zale nie od teoretycznych prawdopodobiestw ale od czstoci empirycznych (np. Stuart, Ord, 1991) (metoda oznaczana bdzie jako min 2' ). W tej metodzie zadanie sprowadza si do minimalizacji wartoci nastpujcej statystyki (por. Neyman, 1949):. (30) Zalet tej modykacji jest mniejsza zoono obliczeniowa, jako, e parametry {a}, ze wzgldu na które minimalizujemy wyraenie (30), wystpuj tylko w liczniku. Ostatnia, pita metoda ma charakter raczej mechaniczny ni statystyczny, jako, e polega ona na prostym dopasowywaniu krzywej dystrybuanty rozkadu teoretycznego do punktów empirycznych. Dopasowywanie to uzyskuje si metod najmniejszych kwadratów, tzn. minimalizujc sum kwadratów odchyle wartoci dystrybuanty teoretycznej od wartoci skumulowanych czstoci (w odrónieniu od metody MNK, por. wzór (28), w której minimalizowana jest suma kwadratów odchyle prawdopodobiestw teoretycznych od czstoci). Metoda oznaczana jest jako MNK. Minimalizowana funkcja ma nastpujc posta:. (31)

9 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 507 Funkcja (31) czsto stosowana jest jako kryterium dobroci dopasowania rozkadu teoretycznego do zaobserwowanych danych empirycznych. Z denicji, to wanie przy uyciu metody MNK suma ta osiga warto minimaln, a zatem dobro dopasowania mierzona za pomoc tego kryterium jest najwiksza. Jednym z celów pracy jest zatem porównanie metod statystycznych z metod mechaniczn pod wzgldem dokadnoci aproksymacji oraz oszacowa wartoci charakterystyk rozkadów. 4. WYNIKI We wstpnym etapie przeprowadzono, dla kadego z rozkadów opisanych w cz- ci 2, badanie zgodnoci rozkadu empirycznego z rozkadem teoretycznym, przy uyciu testu zgodnoci 2. W zalenoci od liczby parametrów (2 dla rozkadów logarytmiczno-normalnego, gamma i logarytmiczno-logistycznego oraz 3 dla rozkadów Daguma i Singh-Maddala) statystyka testowa ma asymptotyczny rozkad 2 o 9 lub 10 stopniach swobody. Dla poziomu istotnoci 0,01 warto krytyczna wynosi 21,7 lub 23,2 (dla 2 lub 3 parametrów), i jest ona na tyle dua, e w przypadku kadego z rozkadów warto statystyki testowej bya nawet o kilka rzdów wielkoci od niej mniejsza. Zatem hipoteza o zgodnoci rozkadu empirycznego z adnym z rozkadów teoretycznych nie zostaa odrzucona. W tabelach poniej przedstawione zostay wyniki dalszych oblicze. W tabeli 1 zamieszczone zostay oszacowane wartoci parametrów rozkadów teoretycznych, wykorzystywanych do aproksymacji szeregów S0, S1 i Sc. W ostatnich wierszach zamieszczone zostay wartoci redniego odchylenia kwadratowego, czyli wielkoci okrelone wzorem: d 2 = S MNK' /g (dla przypomnienia, g oznacza liczb przedziaów klasowych, czyli jednoczenie liczb empirycznych czstoci skumulowanych, por. te wzór (31)). Kursyw wyrónione zostay te, które przyjmuj warto najmniejsz (nie liczc metody MNK, dla której z denicji rednie odchylenie kwadratowe jest najmniejsze). W kadej kolumnie (odpowiadajcej danej metodzie) czcionk pogrubion wyrónione zostay trzy wartoci (wartoci najmniejsze dla kadego z trzech szeregów z osobna), identykujce rozkady, dajce dla danej metody obliczania najlepsz dokadno dla poszczególnych szeregów. Jak wida, prawie we wszystkich przypadkach, (poza jednym), rozkad Singh-Maddala daje najlepsze dopasowanie do danych empirycznych, jeli dokadno mierzona jest jako rednie odchylenie kwadratowe. Dla rozkadu gamma najlepsze dopasowanie (po metodzie MNK ) daje metoda najmniejszych kwadratów, dla rozkadu log-normalnego (równie po metodzie MNK ) daje stosowanie metody min 2, w przypadku pozostaych rozkadów nie jest to jednoznaczne. Oczywicie, w kadym przypadku rednie odchylenia kwadratowe jest najmniejsze dla metody MNK, gdy wynika to z istoty tej metody.

10 508 Katarzyna Ostasiewicz Tabela 1. Wartoci oszacowanych parametrów rozkadów teoretycznych i redniego odchylenia kwadratowego Gamma log- Normal S-M Daguma MNK min 2 min 2' ' MNW MNK 2, , , , ,35942 S , , , , ,8 d 2 0, , , , , , , , , ,82227 S , , , , ,5 d 2 0, , , , , , , , , ,46676 Sc 23838, , , , ,8 d 2 0, , , , ,36E-05 10, , ,779 10, ,7852 S0 0, , , , , d 2 0, , , , ,97E-05 11,045 11, , , ,0172 S1 0, , , , , d 2 0, , , , , , ,885 10, , ,9082 Sc 0, , , , , d 2 0, , , , ,27E-05 a 2, , , , ,15897 S0 b 68211, , , , ,6 c 1, , ,6509 1,6557 1,6665 d 2 4,45E-06 4,32E-06 4,08E-06 4,16E-06 3,12E-06 a 2, , , , ,35454 S1 b 89828, , , , ,6 c 1, , ,426 1, ,69296 d 2 0, ,85E-05 2,98E-05 2,84E-05 3,12E-06 a 2, , , , ,18199 Sc b 77989, , , , ,8 c 1, , , ,6151 1,73347 d 2 3,61E-06 5,30E-06 5,37E-06 5,17E-06 3,47E-06 a 2, , , , ,9599 S0 b 60318, , 61970, , ,1 c 0, , , , ,63786 d 2 7,59E-06 4,60E-06 4,61E-06 4,62E-06 4,33E-06 a 3, , , , ,2513 S1 b 76434, , , , ,1 c 0, , , , , d 2 2,66E-05 3,06E-05 3,82E-05 3,21E-05 2,07E-05

11 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 509 loglogist a 2, , , , ,04148 Sc b 67647, , , , ,1 c 0, , , , , d 2 1,73E-05 9,52E-06 9,71E-06 9,59E-06 7,64E-06 a 2, , , ,49585, 2,56436 S0 b 49939, , , , ,1 d 2 0, , ,52E-05 0, ,69E-05 a 2,6245 2, , , ,78189 S1 b 62450, , , , d 2 0, , , , , a 2, , , , ,60574 Sc b , , ,3 d 2 0, , , , , ródo: opracowanie wasne. Przejdmy teraz do analizy dokadnoci oszacowania za pomoc teoretycznych funkcji rozkadu zdeniowanych w czci 2. charakterystyk rozkadu i porównania dokadnoci tych oszacowa z dokadnoci dopasowania rozkadu teoretycznego do danych empirycznych, mierzon jako d 2. Konstrukcja kolejnych tabel jest nastpujca. W kolumnach umieszczone zostay wyniki uzyskane dla rónych metod, natomiast w wierszach dla rónych funkcji w podziale na trzy rozpatrywane szeregi. Dodatkowo, w ostatnim wierszu odpowiadajcym poszczególnym rozkadom teoretycznym umieszczone zostay urednione (po trzech rónych szeregach) wartoci wzgldnych odchyle wyznaczonych parametrów od ich wartoci dokadnych, tj.: gdzie w oznacza badan wielko, indeks dolny f oznacza warto obliczon za pomoc funkcji f, a indeksy S0, S1 i Sc odnosz si do trzech rónych szeregów. W ostatniej kolumnie kadej tabeli umieszczone zostay wielkoci dw, czyli wartoci rednie d w urednione po wszystkich stosowanych metodach. Kursyw wyrónione zostay wielkoci najlepsze (najmniejsze odchylenia) w kadym z wierszy odpowiadajcych d w (identykujc w ten sposób metod najlepsz dla danego rozkadu przy obliczaniu konkretnej wielkoci), a czcionk pogrubion warto najmniejsz (czyli wynik najdokadniejszy) w odpowiedniej kolumnie, identykujc zatem rozkad, który przy danej metodzie daje najdokadniejsze wyniki. Wielko pogrubiona w ostatniej kolumnie okrela funkcj, która daje najlepsze (w sensie rednim) wyniki dla wszystkich zastosowanych metod. Na dole tabel podane s, dla porównania, wartoci dokadne (obliczone na podstawie obserwacji niezgrupowanych) badanych

12 510 Katarzyna Ostasiewicz wielkoci, w S0, w S1 i w Sc. W ramce znajduj si wyniki najlepsze (najdokadniejsze) ze wszystkich zawartych w danej tabeli. Warto rednia dla rónych metod i rozkadów Tabela 2. metoda rozkad MNK min 2 min 2' MNW MNK gamma S , , , , ,8 S , , , , 70569,5 Sc 63009, , , ,9 0, , , , , , log-norm S , , , , ,5 S , , , , ,9 Sc 70979, , , , ,4 0, , , , , ,01221 S-M S , , , , ,7 S , , , , ,3 Sc 67079, , , , ,3 0, , , , , , Daguma S , , , , ,5 S , , , , ,8 Sc 68988, , , ,5 0, , , , , ,00725 log-logist S , , , , ,3 S , , , ,4 Sc , , , ,1 0, , , , , , dokadne 60302, , ,83 ródo: opracowanie wasne. Rozkad Singh-Maddala zawsze niedoszacowuje, w ramach przeprowadzonych bada, warto redni, w przeciwiestwie do rozkadu log-logistycznego, który zawsze przeszacowuje t wielko. Rozkad Daguma przeszacowuje warto redni w kadym poza dwoma przypadkami. Przy uyciu funkcji log-logistycznej zawsze popeniany jest wikszy bd ni przy wykorzystaniu funkcji Daguma; rónica ta jest znaczna, przewanie jest to rzd wielkoci jeli uwzgldni si wzgldne odchylenie moduów. Metoda, przy której uzyskuje si najlepsze przyblienia, zaley od

13 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 511 postaci rozkadu. W adnym jednak przypadku nie jest ni ani metoda najmniejszych kwadratów ani metoda najwikszej wiarygodnoci. Wida, e nie zawsze pokrywa si to z metod dajc najlepsze dopasowanie, wg tabeli 1. Przykadowo, najlepsze dopasowanie rozkadu gamma uzyskuje si metod najmniejszych kwadratów, MNK, natomiast najlepsze oszacowanie wartoci redniej metod min 2'. Ogólnie, najlepsz dokadno oszacowania wartoci redniej uzyskuje si przy pomocy rozkadu Singh-Maddala oraz metody min 2'. Jeli nie patrze na stosowan metod wyznaczania parametrów rozkadu, najwiksz dokadno oszacowania redniej uzyskuje si przy wykorzystaniu rozkadu Singh-Maddala. Drugim po nim jest rozkad Daguma. Odchylenie standardowe dla rónych metod i rozkadów Tabela 3. metoda rozkad gamma MNK min 2 min 2' MNW MNK S , , , ,7 S , , , , ,6 Sc 38755, , , , ,2 0, , , , , , log-norm S , , , , ,8 S , , , , ,2 Sc 53354, , , ,8 0, , , , , , S-M S , , , , ,2 S , , , ,1 Sc , , , , , , , , , Daguma S , , 54580, , , S , , , , ,3 Sc , , , ,9 0, , , , , , log-logist S , , , , ,8 S , , , ,1 Sc 91694, , , , ,9 0, , , , , , dokadne S S ,93 S S ,32 S Sc 55642,52 ródo: opracowanie wasne.

14 512 Katarzyna Ostasiewicz Jak wida, rozkady log-logistyczny i Daguma zawsze przeszacowuj, w ramach przeprowadzonych bada, odchylenie standardowe, natomiast pozostae rozkady maj wyran tendencj (z odstpstwami) do niedoszacowywania tej wielkoci. Niedokadno wyników przy uyciu funkcji log-logistycznej znacznie przewysza t uzyskiwan przy uyciu funkcji Daguma, i jest to niedokadno sigajca, a nawet przewyszajca 50%. Najdokadniejsza dla badanych przykadów prawie zawsze jest funkcja Singh-Maddala i metoda min 2. Funkcja Daguma oraz Singh-Maddala daj dokadno najwiksz dla kadej metody, za wyjtkiem metody najmniejszych kwadratów. Podobnie jak poprzednio, metoda, dla której wyniki byy najdokadniejsze, zaleaa od wykorzystywanego rozkadu, (chocia nigdy nie bya ni metoda najwikszej wiarygodnoci). Najwiksza dokadno oszacowania odchylenia standardowego nie zawsze pokrywaa si z najlepszym dopasowaniem rozkadu teoretycznego do danych empirycznych, np. funkcja gamma najlepiej dopasowana jest przy wykorzystaniu metody MNK, natomiast najwiksz dokadno oszacowania odchylenia standardowego otrzymuje si przy uyciu metody min 2. Generalnie, najdokadniejsze oszacowania odchylenia standardowego uzyskuje si przy uyciu funkcji Singh-Maddala, a nastpnie log-normalnej i Daguma. Funkcja gamma i log-logistyczna daj oszacowania o rzd wielkoci gorsze. Skoro rozkady Daguma i log-logistyczny zawsze przeszacowuj zarówno redni jak i odchylenia standardowe, natomiast rozkad Singh-Maddala ma siln tendencje do niedoszacowywania obu tych wielkoci, mona zastanawia si, czy te wielkoci przeszacowania (w przypadku rozkadu Daguma i log-logistycznego) oraz wielkoci niedoszacowania (w przypadku rozkadu Singh-Maddala) nie kompensuj si, dajc w efekcie lepsze oszacowanie wspóczynnika zmiennoci. Tak jednak nie jest, gdy wzgldne odchylenia wartoci redniej s o rzd wielkoci mniejsze ni wielkoci odchylenia standardowego, i wspóczynnik zmiennoci wykazuje nieco tylko sabsz tendencj do przeszacowania (dla rozkadu Daguma i log-logistycznego) czy niedoszacowania (dla rozkadu Singh-Maddala). W kolejnych tabelach zawarte s rezultaty szacowania miar nierównoci dla rozkadów teoretycznych. Oszacowanie wspóczynnika Giniego w przypadku rozkadu log-logistycznego oraz Daguma w kadym przypadku przewysza rzeczywist warto tego wskanika, przy czym bd popeniany przy wykorzystaniu funkcji log-logistycznej jest w kadym przypadku wikszy ni w przypadku funkcji Daguma (rednio rzecz biorc bd ten jest kilkakrotnie wikszy). W przypadku rozkadów gamma i Singh-Maddala wystpuje tendencja do niedoszacowania wspóczynnika Giniego, cho nie dzieje si tak w kadym przypadku. Nie zaobserwowano adnej tendencji w przypadku stosowania rozkadu log-normalnego. Metoda szacowania badanych wielkoci, przy której uzyskuje si najwiksz dokadno, zaley od postaci rozkadu teoretycznego. Nigdy nie jest to jednak metoda najmniejszych kwadratów. Najmniejszy redni bd popeniany jest przy uyciu funkcji log-normalnej i metody min 2 lub rozkadu Singh-Maddala i metody min 2. Jeeli uredni si wyniki otrzymywane za pomoc wszystkich

15 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 513 stosowanych metod, najwiksza zgodno wystpuje dla rozkadu Singh-Maddala. Potwierdza si te fakt, e metoda najlepsza do szacowania konkretnej charakterystyki niekoniecznie pokrywa si z metod dajc najlepsz zgodno dopasowania. metoda rozkad gamma log-norm S-M Daguma Tabela 4. Wspóczynnik Giniego MNK min 2 min 2' MNW MNK S0 0, , , , ,34848 S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0,3694 0, , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , ,37827 S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , log-logist Sc 0, , , , , , , , , , , G S0 0,37178 dokadne G S1 0,34647 G Sc 0,36650 ródo: opracowanie wasne.

16 514 Katarzyna Ostasiewicz Wspóczynnik Theila Tabela 5. metoda rozkad gamma MNK min 2 min 2' MNW MNK S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , log-norm S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S-M Daguma S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , ,21475 Sc 0, , , , , , , , , , , log-logist S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , dokadne T S0 0, T S1 0, T Sc 0,23853 ródo: opracowanie wasne. W przypadku wspóczynnika Theila, podobnie jak poprzednio, rozkady log-logistyczny i Daguma w kadym przypadku przeszacowuj rzeczywist warto. Bd wystpujcy przy wykorzystaniu funkcji log-logistycznej jest wikszy ni przy uyciu funkcji Daguma, przy czym rónica ta jest znaczna: rednio 5,4% w przypadku rozkadu Daguma i a ponad 25% przy uyciu funkcji log-logistycznej. Rozkady gamma i Singh-Maddala niedoszacowuj rzeczywist warto wspóczynnika Theila, przy czym niedoszacowanie to jest rzdu kilku procent wartoci rzeczywistej. Rozkad log-normalny równie ma tendencj do niedoszacowania tej wielkoci, cho nie w kadym przypadku. Podobnie jak poprzednio, metoda dajca najwiksz zgodno z rzeczywist wartoci zaley od uytej funkcji. Warto zauway, e oprócz przy-

17 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 515 padku funkcji log-normalnej (zmiana z metody min 2' na min 2 jako najlepszej) s to te same metody, które okazay si najdokadniejsze w przypadku wspóczynnika Giniego. Najmniejszy bd wystpuje przy wykorzystaniu funkcji Singh-Maddala, zarówno pod wzgldem minimalnej wartoci (z rozrónieniem na metody), jak i po urednieniu po wszystkich zastosowanych sposobach aproksymacji. Warto podkreli, e dla funkcji gamma i log-logistycznej wystpuj due bdy, nawet do 20% i wicej. Przy wykorzystaniu metody najmniejszych kwadratów powstaj najwiksze bdy. Odnosi si to do wszystkich funkcji oprócz log-normalnej, gdzie jeszcze wikszy bd uzyskuje si przy uyciu mechanicznej metody dopasowywania funkcji. Wspóczynnik Atkinsona A 0,1 Tabela 6. metoda rozkad gamma MNK min 2 min 2' MNW MNK S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , ,14665 log-norm S0 0, , , , ,02177 S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S-M S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , Daguma S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , log-logist S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , dokadne A 0,1,S0 0, A 0,1,S1 0,02087 A 0,1,Sc 0, ródo: opracowanie wasne.

18 516 Katarzyna Ostasiewicz Tabela 7. Wspóczynnik Atkinsona A 0,5 metoda rozkad gamma log-norm S-M Daguma log-logist MNK min 2 min 2' MNW MNK S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , ,0216 0, , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , A 0,5,S0 0, dokadne A 0,5,S1 0, A 0,5,Sc 0, ródo: opracowanie wasne.

19 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 517 Wspóczynnik Atkinsona A 0,8 Tabela 8. metoda rozkad gamma log-norm S-M Daguma log-logist MNK min 2 min 2' MNW MNK S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , ,07243 S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , ,04146 S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0,1902 0, , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , S0 0, , , , , S1 0, , , , , Sc 0, , , , , , , , , , , dokadne A 0,8,S0 0, A 0,8,S1 0, A 0,8,Sc 0, ródo: opracowanie wasne. W przypadku wszystkich trzech rozwaanych tutaj wspóczynników Atkinsona mona zauway, e rozkad Daguma oraz log-logistyczny konsekwentnie przeszacowuj te wielkoci, rozkad Singh-Maddala konsekwentnie niedoszacowuje, natomiast log-normalny oraz gamma maj tendencje do niedoszacowywania, aczkolwiek z wyjtkami. Rozkad Daguma daje zawsze duo lepsz dokadno ni rozkad log- -logistyczny. Metoda najmniejszych kwadratów, jak poprzednio, nie jest optymalna dla adnej z funkcji, a pozostae metody zachowuj si rónie w zalenoci od funkcji.

20 518 Katarzyna Ostasiewicz 5. WNIOSKI I PODSUMOWANIE W niniejszej pracy zbadane zostao dopasowanie do danych empirycznych dotyczcych dochodów piciu rónych typów rozkadów za pomoc piciu rónych metod. Miar dobroci dopasowania byo z jednej strony tradycyjnie stosowane rednie odchylenie kwadratowe, z drugiej dokadno oszacowania kilku wielkoci, których cise wartoci s znane. Okazuje si, e najlepsze dopasowanie do danych empirycznych, mierzone wielkoci redniego odchylenia kwadratowego, nie zawsze przekada si na najwiksz dokadno oszacowania takich wielkoci, jak rednia czy miary nierównoci. Niektóre z otrzymanych tutaj rezultatów potwierdzaj spostrzeenia McDonalda i Ransoma (1979) poczynione na podstawie danych angielskich: e dla rozkadów log-normalnego i Singh-Maddala metoda najmniejszych kwadratów daje zazwyczaj najmniejsz warto wspóczynnika Giniego (w przypadku rozkadu Daguma i log-logistycznego taka zaleno nie zachodzi, ale te rozkady nie byy przez McDonalda i Ransoma badane), lub e przy aproksymacji rozkadem Singh-Maddala otrzymuje si przewanie zanion warto wspóczynnika Giniego. Inne spostrzeenia przecz tym, które poczyni McDonald, przykadowo, dla przypadków badanych w niniejszej pracy nie jest prawd, jak u McDonalda i Ransoma, i najwiksz warto redni dla rozkadu gamma uzyskuje si przy uyciu metody najmniejszych kwadratów. Poniewa analizowane w tej pracy dane dotycz tylko jednego okresu w jednej jednostce administracyjnej kraju, trudno byoby otrzymane wyniki generalizowa. Niemniej, mog one posuy co najmniej jako sugestie pewnych efektów. Po pierwsze, stosowane powszechnie miary dobroci dopasowania rozkadów mog nie mie jednoznacznego przeoenia na dokadno otrzymywanych wyników. Metoda, przy której otrzymuje si najmniejsze (po MNK ) rednie odchylenie kwadratowe czasami tylko pokrywa si z metod dajc najlepsze oszacowanie której z wielkoci. Po drugie, metoda najmniejszych kwadratów nigdy (poza jednym przypadkiem) nie jest najlepsz metod szacowania wartoci redniej, odchylenia standardowego i miar nierównoci; równie metoda najwikszej wiarygodnoci rzadko tylko okazuje si najlepsza. Wydaje si, e na wiksz uwag zasuguje stosunkowo rzadko wykorzystywana metoda minimalizacji wartoci 2. Ponadto, mechaniczna metoda dopasowywania krzywej do danych empirycznych, metoda MNK, okazuje si by w kadym przypadku najlepsz dla rozkadu log-logistycznego. Po trzecie, dwa rozkady zwracaj uwag ze wzgldu na dokadno oszacowa, w wikszoci przypadków znacznie przewyszajc pozostae. S to rozkad Singh-Maddala i rozkad Daguma. Jak mona byo oczekiwa, poniewa rozkad Daguma jest uogólnieniem rozkadu log-logistycznego, w kadym rozpatrywanym przypadku powinien on dawa wyniki lepsze ni ten ostatni. Okazuje si, e poprawa dokadnoci w wyniku zastpienia rozkadu log-logistycznego rozkadem Daguma jest bardzo dua. Wydaje si zatem, e warto korzysta z rozkadu Daguma zamiast log-logistycznego, gdy kosztem wprowadzenia jednego dodatkowego parametru

21 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 519 zyskujemy znacznie lepsze dopasowanie do rzeczywistych danych, czy to mierzone rednim odchyleniem kwadratowym, czy te dokadnoci oszacowa rónych miar charakteryzujcych rozkad. Na koniec, wybierajc jeden z tych dwóch najdokadniejszych rozkadów: Daguma lub Singh-Maddala, warto pamita, i obok porównywalnej dokadnoci róni si wyranie charakterem swoich oszacowa. Rozkad Daguma konsekwentnie przeszacowuje wszystkie badane wielkoci, rozkad Singh-Maddala natomiast niedoszacowuje. Ten ostatni wniosek, dotyczcy rozkadu Singh-Maddala, znajduje potwierdzenie równie w wynikach McDonalda i Ransoma (rozkad Daguma nie by przez nich badany). Poniewa efekt ten uzyskano dla wszystkich piciu rozpatrywanych miar nierównoci wydaje si on prawdopodobny w odniesieniu do szeroko ujmowanej nierównoci i moliwych jej miar. Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocawiu LITERATURA [1] Aitchison J., Brown J. A. C., (1969), The Lognormal Distribution, Cambridge University Press, Cambridge. [2] Champernowne D. G., (1953), A Model of Income Distribution, The Economic Journal, 63, [3] Cox D. R., Hinckley D. V., (1974), Theoretical Statistics, Chapman and Hall, London. [4] Dagum C., (1977), A New Model of Personal Income Distribution: Specication and Estimation, Economie Appliquée, 30, [5] Dagum C., Lemmi A., (1987), A Contribution to the Analysis of Income Distribution and Income Inequality, and a case study: Italy, University of Ottawa, Department of Economics. [6] Fisk P. R., (1961), The Graduation of Income Distributions, Econometrica, 29, [7] Gastwirth J. L., (1972), The Estimation of the Lorenz Curve and Gini Index, The Review of Economics and Statistics, 54, [8] Kleiber Ch., (1996), Dagum vs. Singh-Maddala Income Distributions, Economics Letters, 53, [9] Kony M., (2001), Probabilistyczne modele rozkadu dochodów, Wiadomoci Statystyczne, 7, [10] Kot S. M. (red.), (1999), Analiza ekonometryczna ksztatowania si pac w Polsce w okresie transformacji, Wydawnictwo Naukowe PWN. [11] Kot S. M., (1995), Probabilistyczny model dystrybucji dochodu wraz ze wspówariantami, Przegld Statystyczny, 42, [12] Kot S. M., Adamkiewicz-Drwio H., (2013), Rekonstrukcja wiatowego rozkadu dochodów na podstawie minimalnej informacji statystycznej, lski Przegld Statystyczny, 11 (17), [13] McDonald J.B., Ransom M.R., (1979), Functional Forms, Estimation Techniques and the Distribution of Income, Econometrica, 47, [14] Neyman J., (1949), Contribution to the Theory of the 2 Test, Proceedings of the First Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1,

22 520 Katarzyna Ostasiewicz [15] Panek T., Szulc A., (1991), Income Distribution and Poverty. Theory and a Case Study of Poland in the Eighties, Research Centre for Statistical and Economic Analysis of the Central Statistical Ofce and Academy of Science. [16] Salem A. B. Z., Mount T. D., (1974), A Convenient Descriptive Model of Income Distribution: The Gamma Density, Econometrica, 42, [17] Singh S. K., Maddala G. S., (1976), A Function for Size Distribution of Incomes, Econometrica, 44, [18] Stuart A., Ord J. K., (1991), Classical Inference and Relationship, Vol. 2., Kendall s Advanced Theory of Statistics, Edward Arnold, New York. [19] Thurow L. C., (1970), Analyzing the American Income Distribution, American Economic Review, 60, [20] Ulman P., (2011), Rozkady dochodów gospodarstw domowych, w: Sytuacja osób niepenosprawnych i ich gospodarstw domowych w Polsce, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. ADEKWATNO WYBRANYCH ROZKADÓW TEORETYCZNYCH DOCHODÓW W ZALENOCI OD METODY APROKSYMACJI Streszczenie Rozkady dochodów modelowane s za pomoc wielu rozkadów teoretycznych, których parametry wyznaczane s za pomoc rónych metod. Wród rozkadów tych wymieni mona rozkad logarytmiczno-normalny, gamma, czy logarytmiczno-logistyczny. Najczciej stosowanymi metodami s metoda najmniejszych kwadratów oraz metoda najwikszej wiarygodnoci. Miar dobroci dopasowania rozkadu teoretycznego jest zazwyczaj rednie odchylenie kwadratowe lub warto statystyki 2. Tak zdeniowana jako dopasowania nie musi jednake dokadnie przekada si na jako oszacowania takich charakterystyk rozkadu, jak warto rednia czy miary nierównoci. Celem pracy jest aproksymacja dochodów rónymi rozkadami teoretycznymi (log-normalny, gamma, log-logistyczny, Daguma i Singh-Maddala) oraz rónymi technikami i porównanie dobroci dopasowania mierzonej jako rednie odchylenie kwadratowe z dokadnoci oszacowania kilku charakterystyk liczbowych rozkadu (wartoci redniej, odchylenia standardowego, wspóczynnika Giniego, wspóczynnika Theila i trzech wspóczynników Atkinsona), których wartoci porównywane s z wartociami dokadnymi, policzonymi na podstawie danych niezgrupowanych. Sowa kluczowe: teoretyczny rozkad dochodów; aproksymacja rozkadu empirycznego; dokadno dopasowania ADEQUACY OF SOME CHOSEN THEORETICAL DISTRIBUTIONS CONDITIONED ON THE METHOD OF APPROXIMATION Abstract There are various theoretical distributions which are used as models for the distribution of income. Among them the most commonly used is probably log-normal distribution, but also gamma distribution or log-logistic one. There are also a number of approximation methods of these distributions. The good-

23 Adekwatno wybranych rozkadów teoretycznych dochodów w zalenoci od metody aproksymacji 521 ness of t is commonly measured by mean squared deviation or value of 2 statistics. However, such measures of quality of approximation do not necessarily coincide with accuracy of some distribution characteristics, like inequality measures. The aim of this paper is to investigate the goodness of approximation of income distribution, given in the form of frequency distribution, by means of chosen theoretical distributions, namely, log-normal, gamma, log-logistic, Dagum and Singh-Maddala distribution. The goodness is measured both by mean squared error and deviation of some distribution characteristics. Values calculated on ungrouped data are used as a reference for comparisons. Keywords: theoretical income distribution; approximation of distribution; goodness of t

24