OBCI ENIE PROGNOZ STRUKTURY UZYSKANYCH PRZY POMOCY A CUCHÓW MARKOWA

Transkrypt

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 253, 211 Jan Acedaski OBCIENIE PROGNOZ STRUTURY UZYSANYCH PRZY POMOCY ACUCHÓW MAROWA Streszczenie: Celem artykuu jest ocena obcienia prognoz struktury uzyskanych na podstawie acuchów Markowa w przypadku, gdy macierz przejcia acucha szacowana jest metod najmniejszych kwadratów i jej odmianami przy uyciu makrodanych. ródem badanego obcienia jest obcienie estymatorów macierzy przejcia. Przy zastosowaniu metod symulacyjnych pokazano, e pomimo duego obcienia ocen macierzy przejcia uzyskane na jej podstawie prognozy cechuj si niewielkim obcieniem. Jednoczenie stwierdzono, e znany w literaturze wzór analityczny daje z reguy dobre oszacowania obcienia macierzy przejcia, jednak nie nadaje si do oceny obcienia prognoz. Rozwaania zostay zilustrowane przykadem prognozowania struktury polskiego eksportu wedug gównych odbiorców. 1. WPROWADZENIE Prognozowanie struktur zjawisk jest jednym z wanych zagadnie poruszanych przez ekonometri przestrzenn. W pracy analizowane jest podejcie, które wykorzystuje acuchy Markowa do modelowania dynamiki struktury procentowej badanego zjawiska. W omawianej metodzie struktura te reprezentowana jest przez bezwarunkowy rozkad stacjonarnego, jednorodnego acucha Markowa. Podstawowym problemem w takim podejciu jest wybór takiej macierzy przejcia, by dynamika rozkadu bezwarunkowego acucha przy ustalonym zaobserwowanym rozkadzie pocztkowym bya jak najbardziej zbliona do obserwowanej dynamiki wektora udziaów opisujcego badane zjawisko. Technicznie, szacowanie elementów macierzy przejcia jest tosame z estymacj parametrów modelu VAR(1) z dodatkowymi ograniczeniami. W tym celu najczciej stosowana jest metoda najmniejszych kwadratów i jej modyfikacje. Wiadomo jednak 1, e uzyskane w ten sposób oceny przy maych próbach s obcione. W efekcie obcienie to przenosi si take na prognozy struktury uzyskane na podstawie modeli acuchów Markowa. W pracy podjto prób oceny obcienia prognoz struktury stawianych przy zastosowaniu acuchów Markowa, których macierz przejcia szacowana jest metod najmniejszych kwadratów. W tym celu szczegóowo przeanalizowano obcienie ocen elementów macierzy przejcia. Stosowano tutaj przede wszystkim metody symulacyjne. Przy okazji jednak poddano równie ocenie dokadno oszacowania obcienia estymatorów macierzy przejcia uzyskanych przyblionym wzorem podanym przez Yamamoto Doktor, atedra Metod Statystyczno-Matematycznych w Ekonomii, Akademia Ekonomiczna im. arola Adamieckiego w atowicach. 1 M. endall, [1951], Note on Bias in the Estimation of Autocorrelation, Biometrika, Vol. 41; D. Tjostheim, J. Paulsen, [1983], Bias of some Commonly-Used Time Series Estimates, Biometrika, Vol. 7(2). [241]

2 242 Jan Acedaski i unitomo (1984). Przedstawione metody zilustrowano w ostatniej czci pracy na przykadzie prognozowania struktury polskiego eksportu wedug gównych odbiorców. Powszechne stosowanie acuchów Markowa w prognozowaniu struktur zjawisk wynika z ich zalet 2. Po pierwsze uzyskiwane t metod prognozy s zgodne, to znaczy suma prognozowanych udziaów jest równa 1. Po drugie, do wyznaczenia prognoz nie jest konieczna znajomo wartoci zmiennych egzogenicznych w okresie prognozowanym. Podejcie to jest take szczególnie przydatne w sytuacji, gdy dostpne s wiarygodne prognozy dotyczce cznego poziomu badanego zjawiska. Wtedy do oceny poziomu zjawiska w poszczególnych grupach wystarczy wyznaczy prognozy udziau danej grupy. Taka sytuacja ma miejsce na przykad przy prognozowaniu regionalnego PB. Dane dotyczce tych zmiennych s publikowane ze znacznym opónieniem, mniej wicej dwóch lat. Tymczasem szacunki globalnego PB s podawane znacznie szybciej. Dodatkowo jeszcze wczeniej znanych jest wiele wiarygodnych prognoz dotyczcych tej wielkoci. 2. METODOLOGIA Struktura zjawiska w analizowanym modelu opisywana jest przez -wymiarowy wektor D t = [D 1t D 2t D t ], którego skadowe speniaj warunki: D it ; D it 1. (1-2) Wektor D t utosamiany jest z rozkadem bezwarunkowym acucha Markowa. Stacjonarny, nieprzywiedlny acuch Markowa reprezentowany jest przez kwadratow - wymiarow macierz przejcia P. Jej elementy p ij s nieujemne i sumuj si w wierszach do 1. Speniaj wic warunki: i1 p ij ; p ij 1. (3-4) Dynamik rozkadu bezwarunkowego opisuje równanie autoregresyjne: D t D t 1P. (5) Równanie to jest podstaw wyznaczania prognoz na kolejne okresy. Przy próbie liczcej T obserwacji prognoz na h okresów do przodu wyznacza si jako: D D i1 P h T h T. (6) 2.1. Estymacja macierzy przejcia P Równanie (5) stosowane jest take przy szacowaniu macierzy przejcia P, gdy dostpne s dane dotyczce empirycznych odpowiedników d t wektorów D t. W takim przypadku przyjmuje ono posta: dt dt 1 P, (7) t gdzie t jest wektorem skadników losowych speniajcych warunki E( t ) =, E( t t ) =, E( s t ) = dla s t. Model wektorowej autoregresji VAR(1) postaci (7) 2 Zob. I. oniewska (red.), [198], Prognozowanie struktury za pomoc acuchów Markowa, SGPiS, Warszawa; J. Acedaski, [26], O pewnej metodzie prognozowania przewozów w gospodarce, [w:] P. Dittmann, J. rupowicz (red.), Prognozowanie w zarzdzaniu firm, Prace Naukowe AE we Wrocawiu nr 1112, Wrocaw.

3 Obcienie prognoz struktury uzyskanych przy pomocy acuchów Markowa 243 jest modelem niestacjonarnym, gdy ze wzgldu na zaoenia (3-4) najwiksza warto wasna macierzy P jest co do wartoci bezwzgldnej równa 1. Biorc pod uwag warunki (2) i (4) dla celów estymacji wystarczy rozpatrywa model skadajcy si z 1 zmiennych: d t = [d 1t d 2t d 1 t ] oraz odpowiedniej ( 1)-wymiarowej macierzy P postaci: p11 p1 p12 p1 p1 1 p1 p21 p2 p22 p2 p p P. p 11 p 1 p 1 2 p 1 p 1 1 p 1 Model zmodyfikowany dany jest równaniem: d P d P, (8) t gdzie P = [p 1 p 2 p 1 ] oraz t = [ 1t 2t 1 t]. W modelu (8) nieznanymi parametrami s wektor P oraz macierz P, przy czym teraz wszystkie wartoci wasne macierzy P le wewntrz koa jednostkowego. Przy oszacowanych wartociach Pˆ oraz ˆP brakujce oceny pˆ, pˆ,..., pˆ mona wyznaczy z warunku (2). W ten sposób 1 2 uzyskuje si ocen wyjciowej macierzy przejcia ˆP. Najczciej stosowanymi metodami estymacji parametrów modelu (8) s metoda najmniejszych kwadratów (MN) oraz warunkowa, uogólniona metoda najmniejszych kwadratów (WUMN). W przypadku MN oceny Pˆ oraz ˆP uzyskiwane s przez rozwizanie nastpujcego problemu decyzyjnego: gdzie: t 1 t min( Y X)'( Y X), (9) Y d d... d d d... d... d d... d ]', [ T T T X I 1 d1 d2 dt P, vec. P 1 W powyszych wzorach I 1 oznacza ( 1)-wymiarow macierz jednostkow, jest iloczynem roneckera, vec jest operatorem, który przeksztaca macierz w wektor kolumnowy, natomiast T oznacza liczb obserwacji. Wyznaczone w ten sposób estymatory s zgodne i asymptotycznie nieobcione, jednak nie speniaj warunku (3) nieujemnoci elementów macierzy P 3. W metodzie WUMN problem decyzyjny przyjmuje posta: ˆ 1 min( Y X)'( IT 1)( Y X), p.w. P, P P 1' 1 1. (1) 3 Zob. T.C. Lee, G. Judge, A. Zellner, [197], Estimating the Parameters of the Markov Probability Model from Aggregate Time Series Data, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-Londyn; M. Podgórska, P. liwka, M. Topolewski, M. Wrzosek, [2], acuchy Markowa w teorii i zastosowaniach, SGH, Warszawa.

4 244 Jan Acedaski Macierz ˆ oznacza ocen macierzy kowariancji wektora reszt t. Oszacowanie to uzyskuje si na podstawie reszt MN postaci (9). Wektor 1' -1 jest ( 1)-wymiarowym wierszowym wektorem jedynek. Ograniczenia wystpujce w problemie (1) s równowane ograniczeniu (3) nieujemnoci elementów macierzy P. Estymatory WUMN s zgodne, asymptotycznie nieobcione i cechuj si wiksz efektywnoci ni estymatory MN 4. Uzyskana na ich podstawie macierz Pˆ spenia wszystkie warunki macierzy przejcia jednorodnego acucha Markowa Obcienie estymatorów macierzy P oraz prognoz W przypadku maych prób oba estymatory rozpatrywane powyej s obcione. Yamamoto i unitomo (1984) podali przybliony wzór na obcienie estymatorów MN parametrów modelu (8). Przy przyjciu nastpujcych oznacze: P A P, u, T1 t 1 ' t 1 t1 d d, oraz pewnych warunków regularnoci obcienie bias(a) macierzy A w przyblieniu wyraa si wzorem 5 : bias( ˆ 1 k k1 2k1 1 A ) T u A tr( A' ) A, (11) k przy czym przez tr(a) oznaczono lad macierzy A. Oceny obcienia uzyskuje si wstawiajc zamiast macierzy u oraz A oszacowania uzyskane na podstawie próby. Nieskoczon sum przyblia si przyjmujc du, ale skoczon liczb skadników. Jeeli tylko wartoci wasne macierzy  le wewntrz koa jednostkowego, szereg kolejnych potg tej macierzy jest zbieny. Powyszy wynik, a take analizy podobnych modeli 6, wskazuj, e przy wysokich wartociach elementów p ij ich oceny MN s rednio zbyt niskie, natomiast oszacowania elementów o wartociach bliskich s zawyone. Podobne wyniki dotycz WUMN. Na podstawie wzoru (11) mona równie atwo wyznaczy obcienie szacunków macierzy przejcia P. Naley zwróci tu uwag, e w przypadku obu omawianych metod zaoenie sumowania si do 1 elementów w wierszach macierzy P bdzie spenione. Tym samym suma obcie elementów w wierszach bdzie równa : j1 bias ( ). (12) Z uwagi na wystpowanie ogranicze w postaci nierównoci obcienie estymatorów WUMN jest praktycznie niemoliwe do oszacowania w sposób analityczny. p ij 4 Tame. 5 T. Yamamoto, N. unitomo, [1984], Asymptotic Bias of the Least Squares Estimator for Multivariate Autoregressive Models, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Vol. 36(1), s Zob. M. endall, [1951];. Abadir,. Hadri, E. Tzavalis, [1999], The Influence of VAR Dimensions on Estimator Biases, Econometrica, Vol. 67(1); S. Lawford., M. Stamatogiannis, [24], The Finite-Sample Effects of VAR Dimensions on OLS Bias, OLS Variance, and Minimum MSE Estimators, Journal of Econometrics, Vol. 148(2); J. iviet, G. Phillips, [25], Moment Approximation for Least-Squares Estimators in Dynamic Regression Models with a Unit Root, Econometrics Journal, Vol. 8; J. Acedaski, [28], Dokadno prognoz struktury uzyskanych za pomoc modeli wektorowej autoregresji, [w:] P. Dittmann, J. Szandua (red.), Prognozowanie w zarzdzaniu firm, AE Wrocaw, Wydawnictwo Indygo Zahir Media, Wrocaw.

5 Obcienie prognoz struktury uzyskanych przy pomocy acuchów Markowa 245 W takim przypadku konieczne jest odwoywanie si do rezultatów analiz symulacyjnych. Ze wzoru (6) wyranie wynika, e ródem obcienia prognoz w omawianym modelu jest obcienie estymatorów macierzy P h : ˆ ) bias( ˆ h bias( D D P ). (13) T h W najprostszym przypadku, gdy h = 1, obcienie tej macierzy mona szacowa korzystajc z metod opisanych powyej. Analityczna ocena obcienia dla h > 1 jest ju problematyczna, gdy wymaga znajomoci wyszych momentów rozkadu estymatorów macierzy P h. Biorc pod uwag trudnoci zwizane z szacowaniem wartoci oczekiwanej macierzy P, analityczne oceny momentów wyszych rzdów nie bd zbyt dokadne. Z tego powodu przy szacowaniu obcienia prognoz dla duszych horyzontów czasowych wskazane jest korzystanie z metod symulacyjnych. Naley równie mie na uwadze, e jeeli elementy w kolumnach macierzy ˆ h bias( P ) bd posiada przeciwne znaki, wtedy ich obcienie bdzie si czciowo znosi przy wyznaczaniu obcienia prognoz. Dokadna wielko tego efektu zaley take od wektora D T. 3. WYNII BADA SYMULACYJNYCH W badaniach symulacyjnych analizowano dwie róne macierze przejcia:,99,1 P 1,1,98,1,,3,2,95 T,6,2,2 P 2,3,5,2.,3,3,4 W pierwszej macierzy wszystkie wartoci wasne s bliskie 1, co wskazuje, e zbieno rozkadu acucha o takiej macierzy przejcia do rozkadu stacjonarnego jest bardzo powolna. W drugiej macierzy natomiast druga z kolei najwiksza warto wasna jest równa,3, a wic zbieno do rozkadu granicznego jest bardzo szybka. Przykadowe trajektorie rozkadów bezwarunkowych omawianych acuchów dla 1 obserwacji prezentuj rysunki 1 i 2. Dla macierzy P 1 badano równie wpyw rónych rozkadów pocztkowych na wyniki estymacji i prognozowania. Analizowano trzy rozkady startowe: d 1, d 1/ 3 1/ 3 1/ 3,,5714,3571,714 s1 s2 d. W pierwszym przypadku liczba realizacji acucha potrzebna do uzyskania zbieno- ci jest najwiksza, gdy rozkad d s1 znaczco róni si od rozkadu granicznego. Trzeci rozkad pocztkowy równy jest natomiast rozkadowi granicznemu, a wic w tym przypadku czas zbienoci jest najkrótszy. Dla macierzy P 2 rozpatrywano tylko jeden rozkad pocztkowy d s2, gdy zbieno uzyskiwana jest zawsze bardzo szybko. W symulacjach przyjto, e zakócenia losowe maj rozkad normalny z osobliw macierz kowariancji. Odnonie pierwszych 1 zmiennych bya ona macierz diagonaln z elementami na gównej przektnej o wartociach równych,1. Zaburzenie ostatniej zmiennej równe byo sumie zaburze dla pierwszych 1 zmiennych, co gwarantowao spenienie warunku (2) sumowania si do jednoci skadowych wektora rozkadu bezwarunkowego. s3

6 246 Jan Acedaski Rys. 1 Przykadowa trajektoria rozkadów bezwarunkowych dla macierzy P 1,7,6,5,4,3 d_1t d_2t d_3t,2,1 1 1 ródo: opracowanie wasne. t Rys. 2 Przykadowa trajektoria rozkadów bezwarunkowych dla macierzy P 2,7,6,5,4,3 d_1t d_2t d_3t,2,1 1 1 ródo: opracowanie wasne. t 3.1. Wyniki badania obcienia macierzy przejcia W tabeli 1 przedstawiono obcienie ocen macierzy przejcia P 1 przy rónych rozkadach pocztkowych oraz rónej liczbie obserwacji. olumna Y zawiera oceny obcienia obliczone wzorem (11) Yamamoto-unitomo. Aby zapewni zbieno szeregów wystpujcych w omawianym wzorze, przed jego obliczeniem badano wartoci wasne uzyskanej macierzy przejcia. Jeeli najwiksza przekraczaa 1, wtedy zmniejszano proporcjonalnie elementy lece na gównej przektnej tak, aby druga co do wielkoci warto wasna bya mniejsza ni,99. Tak skorygowan macierz przejcia stosowano jedynie przy obliczaniu obcienia zgodnie ze wzorem (11). W kolejnych kolumnach zestawiono obcienia ocen MN i WUMN, które uzyskano przy zastosowaniu symulacji. W tym celu symulowano wielokrotnie realizacje acucha o danej macierzy przejcia i korzystajc z tych realizacji szacowano macierze przejcia oraz prognozy. Rezultaty tych oszacowa porównywano nastpnie z rzeczywistymi wartociami macierzy przejcia i realizacjami acucha. Wyniki w tabeli 1 s rednimi wartociami obliczonymi na podstawie 1 symulacji. W tabeli 2 przedstawiono rezultaty takiego samego badania dla acucha z macierz przejcia P 2 i rozkadem pocztkowym d s2.

7 Obcienie prognoz struktury uzyskanych przy pomocy acuchów Markowa 247 Tab. 1 Obcienie ocen macierzy przejcia P 1 Liczba obserwacji Metoda Y MN WUMN Rozkad pocztkowy d s1 T = 25,2,1,1,6,182,122,26,114,88,1,1,1,8,235,155,47,152,15,2,1,1,2,197,195,4,127,131 T = 5,1,1,1,28,82,54,16,52,37,1,1,1,4,113,73,24,72,49,1,1,1,2,93,95,3,59,62 T = 1,1,1,1,13,38,25,8,24,16,1,1,1,19,51,32,11,32,21,1,1,3,4,43,2,25,28 Rozkad pocztkowy d s2 T = 25,165,116,5,68,248,18,64,143,26,75,77,2,144,216,72,75,141,67,44,52,8,22,134,112,6,87,93 T = 5,35,32,3,4,79,39,17,5,34,41,41,1,73,15,32,4,66,26,2,28,8,6,66,6,3,41,44 T = 1,19,16,3,22,35,13,11,21,11,24,21,2,33,47,14,18,28,11,12,15,3,1,31,3,2,18,21 Rozkad pocztkowy d s3 T = 25,731,247,484,164,35,469,193,163,356,229,87,142,25,163,137,15,9,15,28,83,125,16,154,139,17,86,12 T = 5,96,32,64,7,67,59,7,38,45,115,42,74,17,86,69,5,48,53,14,4,64,6,78,72,1,44,53 T = 1,43,15,28,7,32,25,1,18,19,55,2,36,1,42,32,1,24,25,49,18,31,1,37,36,6,21,26 ródo: opracowanie wasne. Tab. 2 Obcienie ocen macierzy przejcia P 2 Liczba obserwacji Metoda Y MN WUMN T = 25,35,28,7,37,46,1,7,19,12,36,28,8,39,48,8,8,19,11,39,27,9,44,5,6,1,2,1 T = 5,19,14,6,16,23,7,1,1,9,21,14,7,18,24,6,1,1,9,22,15,7,2,25,5,2,11,8 T = 1,11,7,4,7,12,5,2,5,7,1,6,4,5,1,6,2,4,7,1,6,4,6,11,5,2,5,7 ródo: opracowanie wasne.

8 248 Jan Acedaski Analizujc wielkoci zestawione w omawianych tabelach mona wysnu kilka wniosków. Po pierwsze potwierdzaj si znane w literaturze wasnoci analizowanych estymatorów: wysokie wartoci elementów na gównej przektnej s niedoszacowane, natomiast wartoci niskie, poza gówn przektn przeszacowane przy czym w ma- ych próbach obcienie moe by bardzo due (w kilku przypadkach ponad,1 przy 5 obserwacjach, take dla elementów lecych poza gówn przektn); obcienie ocen maleje wraz ze wzrostem liczby obserwacji oraz im mniejsze jest tempo zbienoci acucha do rozkadu stacjonarnego, tym wiksze jest obcienie szacunków macierzy przejcia. Ponadto wida wyranie, e nie ma wikszych rónic pomidzy obcieniem ocen MN oraz WUMN. Nie mona te wskaza adnej metody, która zawsze dawaaby oszacowania cechujce si mniejszym obcieniem. Odnonie wzoru Y mona sformuowa dwa stwierdzenia. Po pierwsze, daje on dobre oszacowania obcienia w przypadku duych prób (w analizowanym przypadku byo to T = 5 oraz wicej) lub acuchów cechujcych si szybk zbienoci do rozkadu stacjonarnego, a wic zawsze gdy obcienie szacunków jest niewielkie; w przypadku maych prób (T = 25) i acucha o powolnej zbienoci oceny obcienia uzyskane omawianym wzorem mog si znaczc róni od rzeczywistego obcienia. Po drugie wzór (11) daje szczególnie due bdy w sytuacji, gdy wikszo obserwacji pochodzi z okolic rozkadu stacjonarnego. Bdy oszacowania wynikajce ze stosowania tego wzoru byy bowiem szczególnie due dla rozkadu pocztkowego d s3 równego rozkadowi granicznemu. W przypadku rozkadu pocztkowego d s1 bdy byy znacznie mniejsze Wyniki badania obcienia prognoz W tabeli 3 przedstawiono wyniki badania obcienia prognoz konstruowanych dla acucha o macierzy przejcia P 1, analogicznie jak to byo w tabeli 1 dotyczcej obcienia ocen macierzy przejcia. Rozpatrywano dwa horyzonty prognoz: h = 1 oraz h = 5. W przypadku wzoru Y obcienie obliczano tylko dla horyzontu h = 1. W pozostaych przypadkach w pierwszym wierszu podawano zawsze obcienie dla h = 1, a w drugim dla h = 5. Wartoci równe w omawianej tabeli oznaczaj, e obcienie co do wartoci bezwzgldnej byo mniejsze ni,1. Nie podano rezultatów dla acucha o macierzy przejcia P 2, gdy we wszystkich analizowanych przypadkach obcienie byo mniejsze od wartoci granicznej podanej powyej. Pomimo znacznego obcienia oszacowa macierzy przejcia, obcienie prognoz jest raczej niewielkie. W przypadku prognoz na jeden okres do przodu nigdy nie przekracza ono poziomu,3 dla T = 25 oraz,1 dla T = 5 obserwacji i wicej. Dla h = 5 bdy w niektórych przypadkach s ju wyranie wysze i przekraczaj,1 dla d s2 oraz T = 25. Jeeli obcienie prognoz nie jest znikomo mae, wtedy oszacowania uzyskane ze wzoru Y wyranie róni si od rzeczywistych obcie wyznaczonych na podstawie symulacji. We wszystkich omawianych sytuacjach oszacowania analityczne przekraczaj faktyczne obcienia. Z tego punktu widzenia omawiany wzór moe by stosowany jedynie do oceny górnej granicy obcienia. Prawdopodobnie jednak bdzie ono w rzeczywistoci wyranie nisze, ni to wynika z takich oszacowa.

9 Obcienie prognoz struktury uzyskanych przy pomocy acuchów Markowa 249 Liczba obserwacji Tab. 3 Obcienie prognoz dla acucha z macierz przejcia P 1 Metoda Y MN WUMN Rozkad pocztkowy d s1 T = 25,1,1,2 T = 5,1,1,2,2,1,1 T = 1,1 Rozkad pocztkowy d s2,1,3,3 T = 25,29,1,39,13,2,15,1,1 T = 5,4,1,3,5,4 T = 1,1,1,1,2,2 Rozkad pocztkowy d s3,1,1,2 T = 25,5,5,9,4,3,7 T = 5,2 T = 1 ródo: opracowanie wasne.,2,1,1,4,2,6,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,5,3,12,1,5,2,2,1,1,1 4. PRZYAD EMPIRYCZNY Przedstawione powyej metody prognozowania struktury oraz obliczania obcienia szacunków macierzy przejcia, a take prognoz zastosowano do prognozowania struktury polskiego eksportu wedug gównych odbiorców. Dynamik tej struktury przedstawiono na rysunku 3. Miesiczne dane obejmuj okres i pochodz z bazy danych Eurostatu. Szereg liczy wic 7 obserwacji. W badanym okresie najwiksza zmiana dotyczya eksportu do Niemiec, którego udzia spad z okoo 3% do okoo 25%. Jednoczenie zwikszeniu uleg eksport do Francji, mniej wicej z 6% do 7,5% oraz do Wielkiej Brytanii, z 5,5% do 7%. Wikszym zmianom nie uleg eksport do Woch oraz do pozostaych pastw, które wyniosy odpowiednio okoo 6,5% oraz 53%.

10 25 Jan Acedaski Rys. 3 Struktura polskiego eksportu wedug gównych partnerów w okresie ,7,6,5,4,3,2,1 ródo: opracowanie wasne. maj-4 wrz-4 sty-5 maj-5 wrz-5 sty-6 maj-6 wrz-6 sty-7 maj-7 wrz-7 sty-8 maj-8 wrz-8 sty-9 maj-9 wrz-9 sty-1 Data Macierz przejcia acucha oszacowana na podstawie omawianych danych przyja posta:,756,43,21,498,75,261,166 P ˆWUMN,93,452,455,,123,19,253,515,13,47,33,36,755 przy czym kolejne kolumny odpowiadaj nastpujcym krajom: Niemcy, Francja, Wielka Brytania, Wochy oraz pozostae kraje. Oszacowana macierz kowariancji skadników losowych równa bya: ger fra uk ita pozost 1,372,3,13,24 1,147,3,232,42,3,577 ˆ 4 WUMN 1,13,42,157,58,27.,24,3,58,674,792 1,147,577,27,792 2,796 Std wyznaczono prognozy udziau danego partnera w eksporcie dla h = 1, 2,, 6 miesicy do przodu. Prognozy te ksztatoway si nastpujco: d ˆ mar,256,69,64,67,544, d ˆ, 258, 66, 62, 65,548, kwi d ˆ, 26, 65, 61, 65,549, maj d ˆ cze,262,64,6,64,55, d ˆ,263,64,6,64,55, lip d ˆ,264,64,59,64,549. sie

11 Obcienie prognoz struktury uzyskanych przy pomocy acuchów Markowa 251 W nastpnej kolejnoci badano obcienia szacunków. Stosujc metody symulacyjne stwierdzono, e obcienie macierzy Pˆ WUMN przy zaburzeniach losowych o rozkadzie normalnym z macierz kowariancji ˆ WUMN równe jest:,41,12,11,19,2,83,11,8,12,122 bias( P ˆ WUMN ),83,36,49,58,129.,16,41,1,9,35,3,2,1,5,5 Przy tych samych zaoeniach obcienie prognoz w kadym przypadku byo mniejsze ni,1 i dlatego nie zostao dokadnie podane. Rezultaty zaprezentowane w tej czci potwierdzaj analizy z poprzednich rozdzia- ów. Mimo znacznego obcienia oszacowa macierzy przejcia, obcienie prognoz jest bardzo niewielkie. 5. PODSUMOWANIE Przedstawione w pracy wyniki wskazuj, e pomimo znacznego obcienia oszacowa macierzy przejcia acucha Markowa konstruowane na jej podstawie prognozy cechuje niewielkie obcienie. W zwizku z tym przy ocenie jakoci prognoz wiksze praktyczne znaczenie bdzie mie ich odchylenie standardowe. Jednoczenie pokazano, e stosowanie wzoru analitycznego podanego przez Yamamoto i unitomo daje dobre przyblienia obcienia estymatorów MN i WUMN macierzy przejcia. Jednak oceny obcienia prognoz uzyskane z tego wzoru s zdecydowanie zawyone i do tym celu wzór ten nie mona uzna za przydatny.

12 252 Jan Acedaski LITERATURA Abadir., Hadri., Tzavalis E., [1999], The Influence of VAR Dimensions on Estimator Biases, Econometrica, Vol. 67(1). Acedaski J., [26], O pewnej metodzie prognozowania przewozów w gospodarce, [w:] Dittmann P., rupowicz J. (red.), Prognozowanie w zarzdzaniu firm, Prace Naukowe AE we Wrocawiu nr 1112, Wrocaw. Acedaski J., [28], Dokadno prognoz struktury uzyskanych za pomoc modeli wektorowej autoregresji, [w:] Dittmann P., Szandua J. (red.), Prognozowanie w zarzdzaniu firm, AE Wrocaw, Wydawnictwo Indygo Zahir Media, Wrocaw. endall M., [1951], Note on Bias in the Estimation of Autocorrelation, Biometrika, Vol. 41. iviet J., Phillips G., [25], Moment Approximation for Least-Squares Estimators in Dynamic Regression Models with a Unit Root, Econometrics Journal, Vol. 8. oniewska I. (red.), [198], Prognozowanie struktury za pomoc acuchów Markowa, SGPiS, Warszawa. Lawford S., Stamatogiannis M., [24], The Finite-Sample Effects of VAR Dimensions on OLS Bias, OLS Variance, and Minimum MSE Estimators, Journal of Econometrics, Vol. 148(2). Lee T. C., Judge G., Zellner A., [197], Estimating the Parameters of the Markov Probability Model from Aggregate Time Series Data, North-Holland Publishing Company, Amsterdam- Londyn. Podgórska M., liwka P., Topolewski M., Wrzosek M., [2], acuchy Markowa w teorii i zastosowaniach, SGH, Warszawa. Tjostheim D., Paulsen J., [1983], Bias of some Commonly-Used Time Series Estimates, Biometrika, Vol. 7(2). Yamamoto T., unitomo N., [1984], Asymptotic Bias of the Least Squares Estimator for Multivariate Autoregressive Models, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Vol. 36(1). A BIAS OF STRUCTURE FORECASTS FROM MAROV CHAIN MODELS The paper investigates a bias of forecasts of structure obtained from Markov chain models when the transition matrix of the chain is estimated using least squares methods and macrodata. The bias comes from a bias of the transition matrix estimators. Based on simulation methods it is shown that despite significant bias in the transition matrix estimates, bias of the forecasts is rather small. It is also acknowledged that analytical equation known from literature gives accurate estimates of the transition matrix bias, but it is not useful for assessing bias of the forecasts. The analysis is illustrated with forecasting of structure of Polish export by the main partners.