Zastosowanie rozk adów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego gaussowskiego do opisu dziennych stóp zwrotu indeksów gie d europejskich

Transkrypt

1 Zastosowanie rozkadów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego Ekonomia gaussowskiego... Menederska 008, nr 3, s Marcin Suder *, Jacek Wolak, Tomasz Wójtowicz ** Zastosowanie rozkadów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego gaussowskiego do opisu dziennych stóp zwrotu indeksów gied europejskich 1. Wprowadzenie Celem niniejszej pracy jest rozszerzenie gamy rozpatrywanych rozkadów (patrz [9]) o rozkady: -stabilny, rozkad odwrotny gaussowski i rozkad hiperboliczny. Badania rozkadów dziennych wspóczynników zwrotu, uwzgldniajce powysze rozkady s stosunkowo nowe. W 1994 Peiro (patrz [7]) bada zgodno rozkadów stóp zwrotu indeksów waniejszych gied wiatowych m.in. z rozkadem -stabilnym. Równie w 1994 roku Küchler, a rok póniej Eberlein i Keller (patrz [3]) pokazali, e rozkad odwrotny Gaussa dobrze opisuje dzienne stopy zwrotu na giedzie niemieckiej. W podrczniku [10] autorzy przeprowadzaj analiz, na podstawie której okazuje si, e do wspóczynników zwrotu indeksu DJIA najlepiej pasuje rozkad -stabilny. Podstawowe informacje dotyczce omawianych rozkadów zostay podane w rozdziale. Rozdzia 3 zawiera opis metodologii bada oraz omówienie wyników przeprowadzonych testów. Natomiast w rozdziale 4 przedstawiono wnioski wypywajce z analizy uzyskanych rezultatów. * Wysza Szkoa Ekonomii i Informatyki w Krakowie, Zakad Metod Ilociowych. ** Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie, Wydzia Zarzdzania, Katedra Ekonomii i Ekonometrii. 67

2 Marcin Suder, Jacek Wolak, Tomasz Wójtowicz. Przegld badanych rozkadów Do opisu wspóczynników zwrotu rozwaanych indeksów giedowych wybrane zostay rozkady charakteryzujce si wasnoci grubych ogonów. W szczególnoci wasno t posiadaj rozkady z rodziny uogólnionych rozkadów hiperbolicznych, które zaproponowa w 1977 roku Ole Bandorff-Nielsen ([]). W pracy badane bd: rozkad hiperboliczny oraz odwrotny rozkad gaussowski (NIG). Ponadto zbadana zostanie zgodno zmian indeksów z rozkadem stabilnym zaproponowanym przez Benoit Mandelbrota w 1963 roku ([6]). Funkcja gstoci rozkadu hiperbolicznego dana jest wzorem: f ( x) K 1 exp ( x ) gdzie: > 0 jest parametrem skali, > 0 i < s parametrami ksztatu, a < + odpowiada za pooenie, K 1 ( ) jest funkcj Bessela drugiego rodzaju z indeksem 1. ( x ) W szczególnoci parametr odpowiada za spaszczenie rozkadu a parametr opisuje jego skono gdy > 0, to grubszy jest prawy ogon rozkadu. Funkcja gstoci rozkadu NIG dana jest wzorem: ( x ) exp( x ) K1 f ( x) ( x ) Parametry tego rozkadu maj analogiczn interpretacj, jak parametry rozkadu hiperbolicznego. W przeciwiestwie do omówionych powyej rozkadów z klasy uogólnionych rozkadów hiperbolicznych, rozkad -stabilny nie posiada, poza szczególnymi przypadkami, funkcji gstoci zapisanej w postaci analitycznej. Jest on zdefiniowany za pomoc funkcji charakterystycznej, która jest dana wzorem:., t {1 isgn( t) tg ( t) t {1 i sgn( t)ln przy czym: 0 < jest indeksem stabilnoci rozkadu, 1 < < 1 jest parametrem skonoci, ) it} ) it} dla dla 1, 1 68

3 Zastosowanie rozkadów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego gaussowskiego... > 0 jest parametrem skali i peni rol podobn do odchylenia standardowego w rozkadzie normalnym, a < < odpowiada za przesunicie. Jeli =, to zmienna ma rozkad normalny, gdy <, to rozkad ma ogony grubsze, ni ogony wystpujce w rozkadzie normalnym. Jeli > 0, to rozkad jest skony w prawo, a jeeli < 0, to rozkad jest skony w lewo. Gdy > 1, to parametr jest równy wartoci oczekiwanej. Naley ponadto zaznaczy, e rozkady stabilne z parametrem < charakteryzuj si nieskoczon wariancj. Uogólnione rozkady hiperboliczne nale do klasy rozkadów o redniocikich ogonach (semi-heavy tailed distributions), co oznacza, e do rodziny tej nale zarówno rozkady o ogonach zblionych do gaussowskich, jak i rozkady o ogonach aproksymowanych funkcj potgow. W szczególnoci, gsto rozkadu hiperbolicznego dla duych wartoci x zachowuje si jak funkcja wykadnicza: x xgdy x f ( x) ~ const exp, natomiast w przypadku rozkadu NIG zachodzi: f 3 ( x) ~ const x exp x xgdy x Z powyszych wzorów wynika, e zachowanie si ogonów tych rozkadów zaley od wartoci parametrów i. Rozkad stabilny charakteryzuje si ciszymi ogonami, których zachowanie si dla < oraz duych wartoci x opisuje zaleno:. oraz f ( x) ~ f ( x) ~ c c (1) 1 x gdy x (1) 1 x gdy x, c sin. () gdzie: 3. Metodologia i wyniki bada W artykule zbadano rozkady dziennych stóp zwrotu indeksów szeciu gied europejskich 1 : trzech gied Europy Zachodniej: CAC40 (Pary), DAX (Frankfurt), FT-SE 100 (Londyn) oraz trzech Europy rodkowo-wschodniej: BUX (Buda- 1 Dane pochodz z serwisu internetowego 69

4 Marcin Suder, Jacek Wolak, Tomasz Wójtowicz peszt), RTS (Moskwa) i WIG0 (Warszawa). Dane dotycz okresu od 1 stycznia 001 do 30 czerwca 007 roku. Ze wzgldu na rón liczb dni funkcjonowania poszczególnych gied liczno zbiorów indeksów waha si od 114 (RTS) do 160 (CAC 40). Zostaa przyjta nastpujca definicja dziennych wspóczynników zwrotu: R 100 ln, t Xt Xt1 gdzie: X t s wartociami odpowiednich indeksów w dniu t. W pierwszej kolejnoci wyestymowano podstawowe statystyki opisowe rozwaanych szeregów czasowych wspóczynników zwrotu, tj. warto rednia, odchylenie standardowe, skono i kurtoza. Zostay one zestawione w tabeli 1. Wszystkie rozwaane indeksy charakteryzuj si dodatni redni, co jest zrozumiae w kontekcie panujcej w omawianym okresie hossy. Ponadto, we wszystkich rozwaanych próbkach danych wystpuj ujemne wspóczynniki skonoci, co wiadczy o lewostronnej skonoci, czyli grubszym lewym ogonie rozkadu stóp zwrotu. Równie wyestymowane wartoci kurtozy, wahajce si od 3,97 dla WIG0 do 8,18 dla FT-SE 100, wiadcz o moliwym braku normalnoci rozkadu wspóczynników zwrotu rozwaanych indeksów. Ostatecznym potwierdzeniem tego faktu s wyniki przeprowadzonego testu normalnoci Jarque-Bera. We wszystkich przypadkach statystyki okazay si istotne na poziomie 0,01, powodujc odrzucenie hipotezy o normalnoci wspóczynników zwrotu indeksów omawianych gied. Wyniki wstpnych bada oraz wczeniejsze obserwacje empiryczne znane z literatury uzasadniaj konieczno badania zgodnoci rozkadów wspóczynników zwrotu z rozkadami innymi ni normalny. Tabela 1 Podstawowe statystyki opisowe badanych dziennych wspóczynników zwrotu Dane WIG0 CAC40 BUX DAX FT-SE 100 RTS rednia 0,080 0,035 0,109 0,048 0,08 0,137 odch. stand. 1,358 1,354 1,334 1,564 1,081 1,78 skono 0,10 0,06 0,41 0,059 0,36 0,815 kurtoza 3,974 7,509 4,359 6,697 8,18 7,510 stat. J-B 5,0 1060,1 105,8 709,6 1376,0 1154,7 70

5 Zastosowanie rozkadów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego gaussowskiego... Parametry badanych rozkadów estymowano metod najwikszej wiarygodnoci z wykorzystaniem oprogramowania Matlab. Dla parametrów rozkadu -stabilnego obliczenia zostay przeprowadzone za pomoc przybornika Fraclab- 1.0 z zastosowaniem metody Koutrouvelisa (patrz [5]). W celu weryfikacji hipotezy o zgodnoci rozkadu empirycznego wspóczynników zwrotu poszczególnych indeksów i odpowiedniego rozkadu teoretycznego wykonano nastpujce testy: chi-kwadrat, Komogorowa-Smirnowa oraz Andersona-Darlinga. Statystyka w tecie chi-kwadrat zostaa obliczona w wyniku podziau na 34 klasy o jednakowym prawdopodobiestwie. Tabela Estymatory wspóczynników rozkadów dziennych wspóczynników zwrotu WIG0 CAC40 BUX DAX FT-SE 100 RTS Rozkad hiperboliczny 1,31 0,016 0,939 0,10 1,115 0,047 0,138 0,11 1,487 0,08 1,54 0,54 0,948 0,03 0,001 0,154 1,408 0,078 0,114 0,109 0,88 0,17 0,48 0, ,15 1,47 1,068 1,16 1,405 1,569 0,916 0,980 1,330 1,486 0,755 1,009 Rozkad odwrotny Gaussa 0,964 0,04 1,797 0,134 0,478 0,037 0,879 0,104 1,191 0,084,095 0,58 0,373 0,049 0,944 0,174 0,613 0,054 0,705 0,091 0,541 0,137 1,546 0, ,940-0,988 0,441-0,515 1,107-1,75 0,34-0,4 0,559-0,667 0,404-0,678 Rozkad -stabilny 1,88 0,847 0,066 0,094 1,545 0,64 0,154 0,007 1,879 0,857 0,167 0,115 1,537 0,745 0,39 0,070 1,564 0,516 0,106 0,01 1,697 0,969 0,70 0,046 Wyniki estymacji parametrów omawianych rozkadów, tj.: hiperbolicznego, odwrotnego rozkadu Gaussa oraz rozkadu -stabilnego zawarte zostay w tabeli. Potwierdzaj one obserwacje poczynione na podstawie statystyk opisowych. 71

6 Marcin Suder, Jacek Wolak, Tomasz Wójtowicz Ujemne wartoci parametru poszczególnych rozkadów potwierdzaj lewostronn asymetri rozkadów wspóczynników zwrotu. Najwiksz skono wykazyway wspóczynniki zwrotu RTS (wsp. skonoci równy 0,815) i w ich przypadku parametry przyjmuj najnisze wartoci ( 0,17 w rozkadzie hiperbolicznym, 0,137 w rozkadzie NIG oraz 0,70 w rozkadzie stabilnym). Do opisu zachowania si ogonów rozkadów hiperbolicznego i NIG zgodnie z wczeniejszymi wzorami istotne s wartoci parametrów i ; w szczególnoci zachowanie si lewego ogona zaley od ich sumy a prawego od rónicy. Im mniejsza jest ich warto bezwzgldna, tym wiksze jest prawdopodobiestwo wystpowania wartoci ekstremalnych. Na podstawie wyników zawartych w tabeli mona zauway, e wyestymowany rozkad hiperboliczny ma najgrubszy ogon w przypadku wspóczynników zwrotu indeksu RTS; natomiast najwiksze prawdopodobiestwo wystpienia du- ych dodatnich zmian wystpuje na giedzie we Frankfurcie ( + dla DAX wynosi 0,98). W przypadku rozkadu NIG zarówno +, jak i + s najmniejsze (co do wartoci bezwzgldnej) dla wspóczynników zwrotu indeksu DAX. Zachowanie si ogonów rozkadów wspóczynników zwrotu indeksu DAX zgodne jest ze stosunkowo wysok kurtoz, wiadczc o odchyleniu od rozkadu normalnego. Zaleno ta znajduje potwierdzenie równie w przypadku innych indeksów, w szczególnoci WIG0 oraz BUX. Dopenieniem tego obrazu s wartoci parametru, charakteryzujcego koncentracj rozkadu wokó wartoci redniej im mniejsze wartoci przyjmuje, tym ta koncentracja jest wiksza. Naley jednak zauway, e w przypadku wspóczynników zwrotu indeksu FTSE100 najwysza warto kurtozy nie implikuje, e wyestymowane rozkady maj te najcisze ogony. W przypadku rozkadu stabilnego o odstpstwie od rozkadu normalnego wiadczy warto indeksu stabilnoci. Im bardziej róni si on od, tym bardziej rozkad jest oddalony od normalnego i posiada grube ogony. Dla badanych danych wspóczynnik ten jest mniejszy od i zawiera si midzy 1,537 w przypadku DAX, a 1,879 dla indeksu BUX. Jest to kolejny dowód na wystpowanie grubych ogonów oraz nieadekwatno zaoenia o normalnoci wspóczynników zwrotu. Rezultaty testów zgodnoci z rozkadem hiperbolicznym i odwrotnym rozkadem Gaussa umieszczono w tabelach 3 i 4. Na poziomie istotnoci 0,1 testy zgodnoci s zblione i nie daj podstaw do odrzucenia hipotezy, e wspóczynniki zwrotu badanych indeksów pochodz z tych rozkadów. W tabeli 5 zamieszczono rezultaty testów zgodnoci z rozkadem -stabilnym. Mona zauway, e na poziomie istotnoci 0,1 test chi-kwadrat odrzuca hipotez mówic o tym, e stopy zwrotu trzech z badanych indeksów (DAX, WIG0 i BUX) mog by modelowane przez ten rozkad, przy czym warto dla BUX jest mniejsza ni 0,01. Okazuje si jednak, e w przypadku zestawu danych pochodzcych z giedy londyskiej wanie dopasowanie rozkadem stabilnym jest najlepsze. 7

7 Zastosowanie rozkadów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego gaussowskiego... Tabela 3 Wyniki testów zgodnoci rozkadu wspóczynników zwrotu i rozkadu hiperbolicznego Dane WIG0 CAC40 BUX DAX FT-SE100 RTS Test chi-kwadrat warto stat.,83 0,907 43,35 0,107 37,63 0,66 38,81 0,4 39,99 0,188 34,44 0,399 Test Komogorowa-Smirnowa warto stat. 0,478 0,977 0,730 0,658 0,517 0,95 0,838 0,484 0,759 0,613 0,644 0,80 Test Andersona-Darlinga warto stat. 0,051 0,164 0,070 0,137 0,138 0,115 Tabela 4 Wyniki testów zgodnoci rozkadu wspóczynników zwrotu i odwrotnego rozkadu gaussowskiego Dane WIG0 CAC40 BUX DAX FT-SE100 RTS Test chi-kwadrat warto stat. 4,43 0,740 6,60 0,777 4,04 0,134 8,11 0,709 35,99 0,331 35,96 0,33 Test Komogorowa-Smirnowa warto stat. 0,596 0,870 0,518 0,951 0,50 0,950 0,614 0,845 0,604 0,859 0,694 0,71 Test Andersona-Darlinga warto stat. 0,049 0,057 0,060 0,071 0,050 0,075 Zestawiajc otrzymane wyniki z wynikami prezentowanymi w [9], naley zauway, e rozszerzenie gamy rozwaanych rozkadów, pozwolio znale rozkady lepiej opisujce wspóczynniki zwrotów na tamtejszych giedach. I tak zmian wartoci indeksu WIG0 najlepiej opisuje rozkad hiperboliczny, a FT-SE 100 rozkad -stabilny. 73

8 Marcin Suder, Jacek Wolak, Tomasz Wójtowicz Tabela 5 Wyniki testów zgodnoci rozkadu wspóczynników zwrotu i rozkadu -stabilnego Dane WIG0 CAC40 BUX DAX FT-SE100 RTS Test chi-kwadrat warto stat. 4,77 0,977 33,46 0,445 46,1 0,064 57,8 0,005 9,78 0,68 40, 0,181 Test Komogorowa-Smirnowa warto stat. 0,81 0,55 0,513 0,954 0,609 0,853 1,100 0,178 0,448 0,988 0,957 0,319 Test Andersona-Darlinga warto stat. 0,065 0,084 0,06 0,108 0,070 0, Wnioski W pracy przeprowadzono analiz zgodnoci rozkadów stóp zwrotu indeksów szeciu gied europejskich (Pary, Londyn, Frankfurt, Budapeszt, Moskwa i Warszawa) z nastpujcymi rozkadami teoretycznymi: hiperbolicznym, odwrotnym Gaussa i -stabilnym. Tylko w przypadku indeksów gied w Budapeszcie (BUX), Frankfurcie (DAX) i Warszawie (WIG0) na poziomie istotnoci 0,1 naley odrzuci hipotez zgodnoci z rozkadem -stabilnym. W pozostaych przypadkach nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zgodnoci rozkadu stóp zwrotu poszczególnych indeksów z badanymi rozkadami teoretycznymi. W przypadku testowania zgodnoci z rozkadami hiperbolicznym i odwrotnym Gaussa uzyskano zblione wartoci statystyk. Rozszerzenie gamy badanych rozkadów (patrz [9]), w dwóch przypadkach pozwolio na znalezienie rozkadów lepiej opisujcych stopy zwrotu indeksów badanych gied. Literatura [1] Aparicio F. M., Estrada J.: Empirical Distribution of Stock Returns: European Securities Markets , The European Journal of Finance 001, 7, 1 1. [] Barndorff-Nielsen O.: Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size, Proceedings of the Royal Society of London A353, 1977,

9 Zastosowanie rozkadów stabilnego, hiperbolicznego i odwrotnego gaussowskiego... [3] Eberlein E., Keller U.: Hyperbolic distributions in finance, Bernoulli 1995, 1, [4] Gray J. B., French D.W.: Empirical comparisons of distributional model for stock index prices. Journal of Business Finance and Accounting 1990, 17, [5] Koutrouvelis, I. A.: Regression-Type Estimation of the Parameters of Stable Laws. Journal of the American Statistical Association 1980, 75, [6] Mandelbrot, B.: The variation of certain speculative prices, Journal of Business 1963, 36, [7] Peiro A.: International evidence on the distribution of stock returns. Applied Financial Economics, 1994, 4, [8] Peters E.: Teoria chaosu, a rynki kapitaowe, WIG-Press, Warszawa [9] Suder M., Wolak J. Wojtowicz T.: Wasnoci dziennych stóp zwrotu na przykadzie indeksów gied europejskich, w: Zarzdzanie przedsibiorstwem w warunkach integracji europejskiej. Cz., Ekonomia, informatyka i metody matematyczne red. nauk. Marta Czy i Zdzisaw Ciciwa [materiay konferencyjne], UNWD AGH, Kraków 004, s [10] Weron A., Weron R.: Inynieria finansowa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa