METODA ROJU CZĄSTEK W OPTYMALIZACJI MACIERZY WAGOWYCH UKŁADU AKTYWNEJ REDUKCJI DRGAŃ

Transkrypt

1 I I K O N G R E S M E C H A N I K I P O L S K I E J P O Z N AŃ Macej PRZYCHODZKI *, Roman LEWANDOWSKI Instytt Konstrcj Bdowlanych Poltechna Poznańsa METODA ROJU CZĄSTEK W OPTYMALIZACJI MACIERZY WAGOWYCH UKŁADU AKTYWNEJ REDUKCJI DRGAŃ Praca jest pośwęcona nowej metodze optymalnego dobor macerzy wagowych występjących w ncj cel wyorzystywanej do oblczana sł atywnej redcj drgań onstrcj bdowlanych. W lasycznym jęc sły atywnej redcj drgań oblcza sę stosjąc metodę lnowego reglatora wadratowego (LQR). W metodze LQR załada sę lnowy zwąze mędzy wetorem stan wetorem sł redcj drgań. Macerz proporcjonalnośc nazywaną macerzą wzmocneń otrzymje sę rozwązjąc zadane optymalzacj dynamcznej. Fncją cel rozpatrywanego zadana jest ncja typ całowego, tórej wyrażene podcałowe słada sę z orm wadratowych wetorów stan sł redcj drgań. Jądram tych orm są macerze wagowe, tórych optymalne wartośc są wyznaczane metodą roj cząste. Na przestrzeń możlwych rozwązań nałada sę dodatowe ogranczena w postac warnów dodatnej oreślonośc macerzy wagowych oraz stablnośc rch onstrcj. Słowa lczowe : atywna redcja drgań, lnowy reglator wadratowy, metoda roj cząste. WPROWADZENIE Idea atywnej redcj drgań onstrcj bdowlanych oparta jest na teor sterowana szeroo stosowanej w atomatyce [7, ]. Zasadnczo atywne tłm drgań dzel sę na dwe grpy: atywne tłm cęgnowe (lb zastrza- * Ator do orespondencj: Tel.: ; ax: E-mal: macej.przychodz@pt.poznan.pl (M. Przychodz)

2 Macej Przychodz, Roman Lewandows łowe) oraz atywne tłm masowe. W nnejszej pracy rozpatrje sę atywne tłm cęgnowe. Głównym elementem taego system redcj drgań są słown, tóre za pośrednctwem cęgen wpływają na zachowane dynamczne bdowl. Wartośc sł generowanych przez słown zmenają sę w trace całego proces redcj drgań w stałych, rótch odstępach czas. Są one oblczane wedłg ścśle oreślonego algorytm, na podstawe wartośc zmennych stan onstrcj (przemeszczeń, prędośc lb przyspeszeń) merzonych za pomocą czjnów rozloowanych na obece. Do najpoplarnejszych algorytmów oblczana sł redcj drgań należą algorytmy opracowane na podstawe metody lnowego reglatora wadratowego (ang. the lnear adratc reglator, w sróce LQR). Jednym z podstawowych elementów metody LQR jest rozwązane zadana optymalzacj, w tórym przyjmje sę następjącą postać ncj cel: t T T [ ( t) Qz( t) ( t) R( t) ] J = z + dt, (.) gdze z oznaczają odpowedno wetor stan sładający sę z przemeszczeń prędośc ład oraz wetor sł generowanych przez ład redcj drgań. Symbolam Q R oznaczono macerze wagowe, tóre oreślają relacje mędzy stopnem redcj odpowedz dynamcznej onstrcj osztem energ potrzebnej do wygenerowana sł redcj drgań. Odpowedn dobór tych macerzy ma stotny wpływ na eetywność ład redcj drgań. Jedna poza warnem matematycznym, tóry mów, że macerz R ms być dodatno oreślona, a macerz Q półdodatno oreślona, ne ma ścsłych regł ch dobor. Wyna to główne z at, że wyrażene (.) ne posada bezpośrednej nterpretacj zycznej. Zazwyczaj macerze Q R doberane są metodą prób błędów na podstawe ntcj dośwadczena projetanta ład reglacj. Najczęścej przyjmje sę strtrę dagonalną tych macerzy. Przyładowo S. J. Dye B. F. Spencer [6] zaproponowal rozwązane, w tórym na głównej przeątnej macerzy Q znajdje sę tylo jeden nezerowy element zwązany z przyspeszenem najwyższej ondygnacj obet. Z ole w pblacj M. Battanego n. [3] nezerowe były elementy macerzy zwązane z przemeszczenam dwóch najnższych ondygnacj. G. Agranovch n. w pracy [] przedstawl metodę optymalzacj macerzy wagowych, tórej algorytm jest zblżony do algorytm nadzorowanego czena jednoernowej sztcznej sec neronowej. W nnejszej pracy przedstawa sę wyn badań nad sposobem oreślana elementów macerzy wagowych wsaźna jaośc z wyorzystanem optymalzacyjnej metody roj cząste (ang. the partcle swarm optmsaton - PSO).

3 Metoda roj cząste w optymalzacj macerzy wagowych ład LINIOWY REGULATOR KWADRATOWY Zachowane dynamczne zdecydowanej węszośc onstrcj bdowlanych może być opsane lnowym równanem rch: ( t) + C& ( t) + K( t) = D ( t) D ( t) &, (.) M + gdze M C K są odpowedno macerzam mas, tłmena sztywnośc. Symbol ( t) oznacza wetor przemeszczeń, natomast ( t) jest wetorem oddzaływań zewnętrznych (na przyład sł wywołanych parcem watr). W teor sterowana orzysta sę z równań rch ładów dynamcznych zapsanych za pomocą zmennych stan o postac: ( t) = Az( t) + B ( t) B ( t) z & +. (.) Wetor stan z(t) słada sę z wetora przemeszczeń (t) oraz jego perwszej pochodnej względem czas zapsje sę go następjąco: z ( t) = & ( t) ( ) t. (.3) Z warn równoważnośc równań (.) (.) wyna, ż macerze A, B B mają postać: I, (.4) M K M C A = M D, B =. (.5) M D B = Macerz A często nazywana jest macerzą systemową, natomast macerze B B odpowedno macerzą sterowana macerzą obcążena. Metoda lnowego reglatora wadratowego zalcza sę do metod tzw. sterowana optymalnego. Zapewnene optymalnego dzałana ład atywnej redcj drgań onstrcj w perwszej olejnośc sprowadza sę do rozwązana zadana optymalzacj dynamcznej z ncją cel (.). Opsy analtycznego rozwązana ta sormłowanego zadana można znaleźć w lcznych pbla-

4 4 Macej Przychodz, Roman Lewandows cjach, np. [, 8, ]. Najczęścej w tym cel stosje sę metodę mnożnów Lagrange a. W wyn szereg operacj matematycznych otrzymje sę lnową zależność mędzy wetorem sł atywnej redcj drgań wetorem stan: ( t) Gz( t) =, (.) gdze G T ( t) R B P =. (.) Macerz P oblcza sę rozwązjąc algebraczne równane Rccat ego: T T PA + A P PB R B P + Q =. (.3) Zależnośc (.), (.) (.3) poazją, że macerze wagowe Q R mają bezpośredn wpływ na relacje mędzy atalnym stanem dynamcznym onstrcj słam sterowana. 3. OPTYMALIZACJA MACIERZY WAGOWYCH Perwszym roem prezentowanej metody dobor macerzy wagowych Q R jest oreślene zmennych podlegających optymalzacj. Założono, że strtra macerzy Q ma postać: Kε K Q = Mε M, (3.) gdze ε = ( ε ε K ). Natomast macerz R jest macerzą dagonalną:,, M dag M M ε Mn ( ε ε Kε ) R = dag. (3.) R, R, Symbole ε K, ε M, ε M, Kε Mn oraz ε R, ε R, Kε Rm oznaczają współczynn podlegające optymalzacj. Ponadto n jest to lczba stopn swobody ład dynamcznego, a m jest wymarem wetora sterowana ( t). Współczynn występjące w macerzach Q R można zapsać w postac wetora: Rm

5 Metoda roj cząste w optymalzacj macerzy wagowych ład... 5 [ ε ε, ε, L, ε, ε, ε,, ε ] ε = col. (3.3) K, M M Mn R R L Zadane optymalzacj sprowadza sę w tym przypad do wyszana tach elementów wetora ε, dla tórych założona ncja cel przyjme wartość mnmalną. Kolejnym roem prezentowanego sposob oreślana optymalnych macerzy wagowych jest przyjęce odpowednej ncj cel. Z techncznego pnt wdzena celem zastosowana ład atywnej redcj drgań jest w perwszej olejnośc zmnejszene ampltd przemeszczeń przyspeszeń onstrcj. Stąd też w zadan optymalnego dobor macerzy wagowych Q R występjących we wzorze (.) przyjęto ncję cel o postac: Rm J QR σ σ = α max + α max, (3.4) σ σ red && red & && gdze symbolam σ σ oznaczono odchylena standardowe przemeszczeń przyspeszeń onstrcj bez ład redcj drgań, natomast symbolam && σ σ oznaczono odchylena standardowe przemeszczeń przyspeszeń red red onstrcj z ładem redcj drgań. Współczynn α α wyrażają preerencje projetanta ład reglacj dotyczące onecznośc redcj przemeszczeń przyspeszeń. Poszje sę globalnego mnmm ncj (3.4). Odchylena standardowe przemeszczeń onstrcj bez ład redcj drgań można oblczyć orzystając zależnośc: Symbolem ( ) = R σ, (3.5) R oznaczono elementy leżące na głównej przeątnej macerzy o- R t,t oblczone dla przypad, relacj sładowych wetora przemeszczeń ( ) gdy t t. Macerz tą oblcza sę ze wzor: = gdze ( ω ) T Macerze H ( ω) ( ω) T R ( ) = H( ω) S ( ω) H ( ω) dω, (3.6) S jest macerzą ncj gęstośc wdmowych obcążeń zewnętrznych. H oblcza sę odpowedno ze wzorów:

6 6 Macej Przychodz, Roman Lewandows H ( ω ) = ( K ω M + ωc), H( ω ) = ( K ω M ωc). (3.7) Odchylena standardowe przyspeszeń można wyznaczyć w podobny sposób stosjąc zależność: ( & ) = R & σ, (3.8) Macerz orelacj sładowych wetora przyspeszeń dla t t = opsje wzór: R & 4 T ( ) = ω H( ω) S ( ω) H ( ω) dω &. (3.9) Wyprowadzene zależnośc słżących do oblczena odchyleń standardowych przemeszczeń przyspeszeń onstrcj z względnenem wpływ sł && redcj drgań σ red σ red rozpoczyna sę od zapsana zwąz (.) w postac: ( t) [ G G ] ( t) ( t) = G ( t ) G & & = + & ( t ) &. (3.) Po podstawen zależnośc (3.) do równana rch (.) otrzymje sę równane rch onstrcj z ładem atywnej redcj drgań: gdze M ( t) + C ~ ( t ) + K ~ & & ( t) = D ( t). (3.) ~ ~ K = K + D G, C = C + D G &. (3.) && σ red σ red można oblczać orzystając z tych samych wzorów, ja dla onstrcj bez ład sterowana, przyjmjąc do oblczeń zmodyowane macerze sztywnośc tłmena (3.). Dodatowym warnem, ja ms spełnać ład dynamczny poddany dzałan sł atywnej redcj drgań jest warne stablnośc rch. Uład dynamczny oreśla sę manem ład stablnego, jeżel po wytrącen go ze stan równowag do tego stan powróc [8]. Lnowy ład dynamczny opsany

7 Metoda roj cząste w optymalzacj macerzy wagowych ład... 7 równanem (.) jest asymptotyczne stablny wtedy tylo wtedy, gdy wszyste wartośc własne macerzy systemowej A mają jemne częśc rzeczywste. W przypad, gdy na onstrcję oddzaływają sły atywnej redcj drgań, o stablnośc rch onstrcj wnosje sę na podstawe wartośc własnych macerzy: ~ = I A ~ ~. M K M (3.3) C Macerze K ~ C ~ oblcza sę ze wzorów (3.). 4. METODA ROJU CZĄSTEK Celem prezentowanej pracy jest optymalny dobór macerzy Q R. Do rozwązana tego zadana wyorzystano metodę roj cząste (PSO). Zalcza sę ona do bezgradentowych metod optymalzacj. Jej algorytm polega na przeszwan przestrzen możlwych rozwązań przez tzw. cząst [5, 9, ]. Cząst mogą być nterpretowane jao pnty porszające sę w welowymarowej przestrzen. Współrzędnym cząste są atalne wartośc zmennych rozpatrywanego proces optymalzacj. Lczba cząste w danym zadan jest stała, a ch zbór nazywa sę rojem. Perwszym roem algorytm PSO jest oreślene położena początowego cząste, polegające na losowym wyborze pntów z przestrzen rozwązań. Przy czym ażdy z tych pntów odpowada jednej cząstce. W trace olejnych roów procedry optymalzacyjnej cząst przemeszczają sę poszjąc lepszego położena, czyl taego rozwązana, dla tórego wartość ncj cel będze mnejsza (jeżel jest poszwane mnmm ncj cel). Przemeszczane roj w przestrzen rozwązań tratje sę jao proces przebegający w mownym czase. Kolejne ro procedry optymalzacyjnej tratje sę jao chwle wspomnanego, mownego czas. Każda cząsta ma przyporządowanych tzw. sąsadów, tórym są wybrane cząst roj. Przyporządowane to jest zazwyczaj statyczne, co oznacza, że ma ono mejsce raz doonje sę na począt oblczeń. Położene -tej cząst w +-szym ro czasowym oreśla sę ze wzor: x x + t, (4.) + = v +

8 8 Macej Przychodz, Roman Lewandows gdze t jest roem czasowym. Zazwyczaj przyjmje sę, że jest on równy. Symbol v + oznacza zatalzowany wetor prędośc cząst, tóry jest oblczany z zależnośc: v + s p x p x = w v + cl + cl, (4.) t t s gdze p p są to odpowedno najlepsze położene -tej cząst oraz najlepsze położene cząst z jej sąsedztwa w roach czasowych. Symbole L L oznaczają macerze dagonalne, tórych elementy są losowym lczbam o rozładze równomernym z przedzał (,). Lczby te zmenają sę w ażdym ro procedry optymalzacyjnej. Welośc c c są stalonym mnożnam wagowym. Współczynn w należy nterpretować jao marę bezwładnośc rch cząst. Szeroe omówene zasad dobor współczynnów c, c w oraz ch wpływ na eetywność metody roj cząste można znaleźć w lteratrze [5, 9, ]. Zadane, do tórego rozwązana została wyorzystana metoda roj cząste jest zadanem optymalzacj z ogranczenem w postac warn stablnośc rch onstrcj. To ogranczene względnano w ten sposób, że jeżel dane rozwązane ne spełnało przyjętego warn, to do wartośc ncj cel dla nego oblczonej dodawano lczbę znaczne przeraczającą tę wartość (ooło razy). Dzę tem ne mogło ono być potratowane jao optymalne. Zdenowano dwa rytera zatrzymana proces optymalzacj. Perwsze ryterm dotyczy wartośc ncj cel. Założono, że jeżel sma masymalnych odchyleń standardowych przemeszczeń przyspeszeń ład z reglacją drgań osągne wartość mnejszą od 5% wartośc smy masymalnych odchyleń standardowych przemeszczeń przyspeszeń ład bez reglacj, to proces optymalzacj zostaje zatrzymany. Drge ryterm dotyczyło lczby roów procedry optymalzacyjnej. Przyjęto, że lczba roów ne pownna przeroczyć. Podsmowjąc, algorytm metody roj cząste można streścć w następjących roach:. przyjęce położeń początowych x prędośc początowych v cząste,. sprawdzene warn ogranczającego rozwązane, 3. oblczene wartośc ncj cel dla położeń x poszczególnych cząste, 4. atalzacja najlepszego położena ażdej cząst poraz najlepszego po- p po teracjach, łożena cząst w sąsedztwe ażdej z cząste s

9 Metoda roj cząste w optymalzacj macerzy wagowych ład oreślene nowych położeń prędośc cząste wedłg wzorów (4.) (4.), 6. powtórzene roów -5 aż do spełnena przyjętych ryterów zatrzymana oblczeń. 5. PRZYKŁAD LICZBOWY Oblczena nmeryczne lstrjące zastosowane metody roj cząste do oreślena elementów macerzy wagowych Q R przeprowadzono dla ramy dzesęcoondygnacyjnej. Do ops dynamcznego zachowana onstrcj żyto model ramy ścnanej o dzesęc stopnach swobody dynamcznej. Przyjęto stałą wysoość ondygnacj ramy h = 4, m oraz rozpętość rygla b = 6, m. Pozostałe parametry model mały następjące wartośc: masa spona na pozome ażdego strop ramy 4 m = 3 g, sztywność na zgnane 6 pojedynczego słpa EJ = 6 Nm. Analzy nmeryczne przeprowadzono dla przypad gdy słown generjące sły reglacj drgań były rozmeszczone na ażdej ondygnacj. Do oblczana ncj cel opsanej wzorem (3.4) oneczna jest znajomość ncj gęstośc wdmowej obcążena. Przyjęto, że onstrcja jest obcążona parcem watr, dla tórego ncja gęstośc wdmowej jest opsana wzorem Kamala [4]: ( n, z) ( n, z) w* s zn S( n) =, s( n, z) =, w* = W ( ), 5 / 3 t (5.) n W ( ) [ + 5s ] gdze współczynn rodzaj teren występjący w tym wzorze ma wartość lczbową =, 8, a prędość średna watr na wysoośc metrów ( ) m/s t W = 7. Symbol n oznacza częstotlwość, natomast z to wysoość nad pozomem teren. Optymalzację macerzy wagowych Q R przeprowadzono orzystając z przedstawonego wcześnej algorytm metody PSO. Wartośc współczynnów c c występjących we wzorze (4.) oreślano drogą dośwadczalną. Prezentowane wyn zysano dla wartośc współczynnów c c równych. Wartośc początowe elementów wetora ε przyjmowano orzystając z generatora lczb losowych o rozładze równomernym z przedzał (,). Założono, że wpływ przemeszczeń przyspeszeń na wartość ncj cel (3.4) jest równorzędny czyl α =,5 α, 5. =

10 Macej Przychodz, Roman Lewandows Przebeg proces optymalzacj macerzy Q R lstrje wyres ncj cel opsanej wzorem (3.4) w zależnośc od nmer ro procedry optymalzacyjnej przedstawony na Rys.. W przeprowadzonych analzach ompterowych dało sę osągnąć lprocentowy spade wartośc ncj cel w odnesen do jej wartośc początowej, przy czym proces optymalzacj macerzy Q R pratyczne zatrzymywał sę, gdy ncja cel osągała wartość rzęd,7. Stwerdzono, że przyczyną tego stan rzeczy jest wprowadzone ogranczene na stablność rch ład. W trace dodatowych analz nmerycznych zaważono, że jeżel netóre wartośc własne zmodyowanej macerzy systemowej A ~ opsanej zależnoścą (3.3) będą mały dodatne częśc rzeczywste, to symlacje nmeryczne poazją, że rch ład nadal jest stablny, a zdecydowane zwęsza sę steczność ład redcj drgań. Wyresy ncj cel dla zadań optymalzacj macerzy Q R ze zmodyowanym ryterm stablnośc dopszczającym osągnęce przez la (w analzowanych przypadach cztery) wartośc własnych macerzy A ~ dodatnch częśc rzeczywstych przedstawono na Rys.. Można zaważyć, że przy ta przyjętym ogranczen ze względ na stablność rch ład ncja cel (3.4) osąga wartośc ponżej,6. Jedna problem dopszczalnośc stosowana zmodyowanego ryterm stablnośc wymaga bardzej dogłębnych analz. W cel jaoścowej oceny wpływ optymalzacj macerzy Q R na redcję drgań przeprowadzono szereg symlacj drgań onstrcj wymszonych parcem watr. Losowo zmenne w czase wartośc sł wywołane parcem watr oblczono wedłg wzor: ( z, t) ρ C A W ( z) + ρc A W ( z) w( z t ) =, (5.) d d d d, gdze przyjęto, że współczynn aerodynamczny C wynos, 8, a gęstość 3 powetrza ρ =, 3 g/m.symbol A d oznacza tzw. pole espozycj, tóre jest równe loczynow wysoośc ondygnacj rozstaw ładów poprzecznych onstrcj nośnej obet. Fltacje prędośc watr w ( z, t) oblczano orzystając z ncj gęstośc wdmowej Kamala [4] o tach samych parametrach ja w przypad rozwązywana zadana optymalzacj macerzy wagowych Q R. Przyładowy przebeg czasowy sły watr przedstawa Rys. 3. Symlacje drgań ład przeprowadzono stosjąc zarówno standardowe ryterm stablnośc rch ja ryterm zmodyowane. Przyładowy wyres ncj przemeszczena najwyższej ondygnacj w dzedzne czas przedstawa Rys. 4., a na Rys. 5. znajdje sę przyładowy wyres przebeg czasowego przyspeszena. Lną cągłą oznaczono na wyrese przebeg danej wel- d

11 Metoda roj cząste w optymalzacj macerzy wagowych ład... ośc dla ład z redcją drgań, natomast lną przerywaną dla ład bez redcj ncja cel nmer teracj Rys.. Przebeg ncj cel algorytm PSO dla przypad ze ścsłym ryterm stablnośc.8.75 ncja cel nmer teracj Rys.. Przebeg ncj cel algorytm PSO dla przypad ze zmodyowanym ryterm stablnośc

12 Macej Przychodz, Roman Lewandows sla watr [N] czas [s] Rys. 3. Przyładowy przebeg czasowy sły watr dzałającej na pozome najwyższej ondygnacj ład przemeszczene [m] czas [s] Rys. 4. Przyładowy przebeg czasowy przemeszczena najwyższej ondygnacj ład z reglacją (lna cągła) bez reglacj drgań (lna przerywana) przyspeszene [m/s] czas [s] Rys. 5. Przyładowy przebeg czasowy przyspeszena najwyższej ondygnacj ład z reglacją (lna cągła) bez reglacj drgań (lna przerywana)

13 Metoda roj cząste w optymalzacj macerzy wagowych ład... 3 a) 9 b) nmer ondygnacj nmer ondygnacj odchylene stand. przemeszczena [m] odchylene stand. przyspeszena [m/s] Rys. 6. Odchylena standardowe: a) przemeszczeń, b) przyspeszeń; ład bez redcj drgań, - ład z redcją drgań standardowym ryterm stablnośc rch, - ład z redcją drgań zmodyowanym ryterm stablnośc rch Jao ryterm oceny jaośc sterowana przyjęto odchylena standardowe przemeszczeń przyspeszeń oblczane względem czas dla pojedynczej realzacj proces drgań onstrcj. Zestawena wartośc odchyleń standardowych przemeszczeń przyspeszeń dla wszystch stopn swobody dynamcznej analzowanego ład przedstawono na Rys. 6. Zarówno w odnesen do przemeszczeń ja przyspeszeń otrzymane wyn są zgodne z oczewanam. 6. UWAGI KOŃCOWE Przedstawone wyn wsazją na stotny wpływ dobor macerzy wagowych występjących we wsaźn jaośc sterowana (.). Ja dotąd ne sormłowano żadnej procedry oreślana tych macerzy. Wyorzystane zaproponowanej ttaj metody optymalzacj może znaczne zwęszyć eetywność dzałana ładów atywnej redcj drgań. Metoda roj cząste zastosowana w pracy oazała sę dość wygodnym narzędzem do osągnęca tego cel. Podstawy matematyczne tej metody ne są zbyt somplowane ne wymaga

14 4 Macej Przychodz, Roman Lewandows ona sormłowana złożonego algorytm oblczeń, a rezltaty optymalzacj można znać za zadowalające. Istotną sprawą w poszwan optymalnych elementów macerzy Q R oazało sę spostrzeżene, ż w wel przypadach neznaczne złagodzene ryterm stablnośc rch może zdecydowane orzystne wpłynąć na eetywność atywnej redcj drgań. Pojęce złagodzone ryterm stablnośc należy rozmeć jao dopszczene możlwośc stnena dodatnch częśc rzeczywstych w l ostatnch wartoścach własnych zmodyowanej macerzy systemowej A ~ opsanej zależnoścą (3.3). Jedna możlwość zastosowana zmodyowanego ryterm stablnośc wymaga dalszych badań, gdyż stablność rch onstrcj ma ndamentalne znaczene dla bezpeczeństwa jej żytowana. LITERATURA. Agranovch G., Rbaov Y., Blostotsy B.: A nmercal method or choce o weghtng matrces n actve controlled strctres, The Strctral Desgn o Tall and Specal Bldngs, Wley InterScence, 3, (4) Anderson B. D. O., Moore J. B.: Optmal control, lnear adratc methods, Prentce-Hall, Inc Battan M., Yang G., Spencer B. F.: Bench-scale experment or strctral control, ASCE Jornal o Engneerng Mechancs, 6, () Bchholdt H. A.: Strctral dynamcs or engneers, Telord Pblcatons Clerc M., Kennedy J.: The partcle swarm exploson, stablty, and convergence n a mltdmensonal complex space, IEEE Transactons on Evoltonary Comptaton, 6, () Dye S. J., Spencer B. F.: A comparson o sem-actve control strateges or the MR damper, Proceedngs o the IASTED Internatonal Conerence, Intellgent Inormaton Systems, Bahamas, 8- December Goodwn G. C., Graebe S. F., Salgado M. E.: Control system desgn, Prentce Hall, Inc.. 8. Kaczore T.: Teora sterowana, tom II, PWN Kennedy J., Eberhart R. C.: Swarm ntellgence, Morgan Kaman Pblshers.. Ogata K.: Dscrete-tme control systems, Prentce Hall Perez R.E., Behdnan K.: Partcle swarm approach or strctral desgn optmzaton, Compters and Strctres, 85, (7) ,. Soong T. T.,: Actve strctral control: theory and practce, Longman Scentc & Techncal 99.