wykład 1. Fizyka Jądrowa Bogdan Muryn

Transkrypt

1 wykład 1. Fizyka Jądrowa Bogdan Muryn

2 Jednostki: Podczas tego wykładu obowiązują jednostki układu SI. Przez ładunek będziemy rozumieć (o ile nie zaznaczymy inaczej): Q Q 4 Wtedy ładunek elementarny ma ostać (amiętamy, że esilon osiada wymiar: 0 e1.510 kg m s Używa się często jednostek odowiadających skali rozważanego roblemu: n. jednostką długości w fizyce jądrowej jest "femtometr" 1 fm10 Przekrój czynny na dany roces rzyjmujemy w barnach: 15 m 1 b10 fm 10 m 8

3 W skali energetycznej fizyki jądrowej rzyjmuje się się jednostkę 1 MeV: , MeV ev J W fizyce cząstek elementarnych definiujemy jednostkę 1 GeV 10 Nowa Fizyka? i rzyszłe ekserymenty zmieniają dotychczasową skalę na TeV: 1 TeV ev ev Masę obiektów mikroświata wyrażamy w jednostkach: GeV / c 4 ( zgodnie z wzorem E = mc+ c) Gdzie c jest rędkością światła. Pęd cząstek mierzymy w jednostkach: GeV (Zgodnie ze wzorem E m c 4 c ) Energia odowiada temeraturze zgodnie z E / c 13 1 GeV 10 K kt 5 ev k J

4 Często używa się relatywistycznego układu jednostek, c=1. Wtedy Wtedy: m mv,, = + 1v 1v E E E m m GeV Skądinąd w fizyce kwantowej wybiera się często układ jednostek z warunkiem Można ołączyć oba te układy w tzw. Naturalny Układ Jednostek, L t c 1 1 E m L t E m bo L1 1 c L t 1 E m 1 GeV L 1 Lt1 GeV 1 1 oczywiście każda rędkość jest bezwymiarowa L 1 B. Muryn

5 Podstawy Mechaniki Kwantowej (MK) Klasycznie rozwiązanie roblemu zwykle rzez równanie różniczkowe. N. równanie Newtona. Wyznaczamy trajektorię.w MK możemy odać tylko rawdoodobieństwo danej cechy nie możemy stwierdzić, że na ewno. Tu mamy konstrukcję matematyczną olegająca na tym, że równania mechaniki kwantowej zawierają ojęcie oeratora odowiadającego danej wielkości fizycznej. Oerator taki działa na ewien obiekt (którego zdefiniowanie było wielkim osiągnięciem XX wieku) funkcję falową. Oerator liczba układ fizyczny Oerator danej wielkości fizycznej "działa" na funkcję falową dając wartość fizyczną. Wsomniana liczba nazywa się wartością własną oeratora. Jeśli jest to oerator energii to daje on wartość własną energii czyli energię układu, a jeśli jest to oerator n. ędu to o działaniu na funkcję falową otrzymujemy wartość własną ędu, która jest wartością ędu rozatrywanego układu fizycznego.

6 Niech fala łaska oisuje stan oisujący strumień lecących cząstek n. fotonów. (równanie fali EM). Przeiszmy nasze równanie w innej ostaci, h Ae Ae......= Ae Ae i xt h i( xt) i( xt) i( kxt) h Ae i( xt) wróćmy do naszego zasadniczego równania oerator ędu ma ostać P wartosćędu i Ae x P i x ( ) ( i xt i xt) Ae liczba określająca ęd cząstek w strumieniu

7 Możemy skonstruować również oerator energii y( x, t) Możemy skonstruować również oerator energii E = i t i( xt) E wartosćędu i Ae i h i( xt) i( xt) i( xt) h e E E i( xt) Ae t Ae A Ae Ale oerator energii można również wyrazić rzez kwadrat ędu Eˆ ˆ m wtedy Eˆ ˆ 1 æ ö i i = =- ç - =- m m x çè xø m x

8 Również oeratorem energii jest tzw. hamiltonian, w którym ęd został zastąiony oeratorem ędu ˆ H E V r V r m m ˆ ˆ ( ) ( ) Jeśli stan fizyczny (funkcja falowa) jest stanem własnym dla danego oeratora wtedy sełnione jest równanie i dany stan ma określoną wartość "obserwabli" odowiadającej danemu oeratorowi. Ten sam stan własny może nie być stanem własnym innego oeratora i wtedy wartość tej obserwabli jest dla tego stanu nieokreślona. Obowiązuje zasada suerozycji każdą funkcję falową można rzedstawić jako kombinację liniową zuełnego układu funkcji będących stanami własnymi jakiegoś innego oeratora. Wszystkie oeratory, które komutują ze sobą mają wsólny układ funkcji wlasnych. Gˆ G liczba c Każdemu obiektowi rzyisujemy funkcję falową. Funkcja ta zależy od zbioru niezależnych zmiennych. W odróżnieniu od mechaniki klasycznej nie można ich wszystkich określić. Dla obiektu klasycznego możemy wyznaczyć ołożenie i ęd zaś dla obiektu oisanego mechaniką kwantową albo jedno albo drugie. i i E wartosć energii AB ˆ, ˆ AB ˆ ˆ BA ˆˆ 0

9 Zauważmy, że równanie oeratorowe Oerator wartość Może rowadzić do wyznaczenia wartości własnej albo funkcji określającej stan y Probabilistyczna interretacja funkcji falowej. Jeśli funkcja falowa zależy od jakiejś wielkości fizycznej n. od ędu ( ęd) daje rawdoodobieństwo, że rozatrywany stan znajdzie się w stanie ędowym w rzedziale d d daje rawdoodobieństwo, że rozatrywany stan znajdzie się w stanie ędowym w rzedziale (, d ) n. dla funkcji zależnej od ołożenia Jeśli rozwiązaniem byłaby taka fala wtedy stwierdzilibyśmy, że największe rawdoodobieństwo sotkania cząstki jest w środku udła. Najmniejsze na brzegach. X to kwadrat tej funkcji falowej odaje gęstość rawdoodobieństwa, tzn.

10 Równanie Schrödingera oisuje rozwój w czasie stanu "rostego" (tzn. nierelatywistyczny i bez dodatkowych stoni swobody n. sinu) załóżmy dla rostoty rzyadek jednowymiarowy, a do energii kinetycznej dodajemy również oerator energii otencjalnej, x. i ( xt, ) æ ö =- + V( x, t) y, ˆ = t è ç m x ø y ( xt) H y( x, t) dla 3-wymiarów i y( x, t) æ ö =- V( x, t) y, t + = m çè ø ( xt, ) Hˆ y( x t) ( ) ( ) Jeśli V x, t = V x to zmienne są searowalne, tzn. y ( xt, ) f( x) f( t) = fala stojąca Jest to najrostsza ostać równania, które rozwiązuje się n. Dla atomu wodoru Równanie Schroedingera jest NIERELATYWISTYCZNE!! Próby konstrukcji równań relatywistycznych: 1. Równanie Kleina-Gordona. Równanie Diraca

11 Równanie Kleina-Gordona ale E i t E t E c m c 4 i x i x t t 4 4 c m c c m c 0 zbudowaliśmy oerator, teraz działamy nim na funkcję stanu t 4 c m c 0 jeśli zdefiniujemy t c i rzyjmiemy układ jednostek c 1 to otrzymujemy równanie Kleina-Gordona m 0 masa jest skalarem, też jest skalarem stąd równanie to oisuje tylko cząstki skalarne (bez sinu)

12 Równanie Diraca i t Hˆ orzednio H =- + V( x, t) m Dirac założył, że jego równanie będzie również niezmiennicze względem transformacji Lorentza ale będzie miało inną ostać wtedy o działaniu na funkcję ( ) H = ca -i + bmc otrzymujemy y é ù ( ) i = ca -i + bmc t êë Rozwiązaniem jest już NIE JEST funkcja oisująca cząstki bezsinowe (skalarne) ale FERMIONY (o sinie ołówkowym) n. elektrony oraz ich antycząstki ozytony u elektron v ozyton u u v v ú y û

13 Pozyton Paul Dirac E m E c m c Gdy energia asma elektronowe (198) 4 4 E e m c? E c m c E c m c 4 wtedy elektron z dolnego asma rzeskakuje do górnego. W dolnym dziura (dodatnia ozyton) a w górnym elektron. Kreacja ary elektron-ozyton. +mc e mc -mc

14 Inny rzykład na równanie własne: Problem statystyk kwantowych statystyka Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina Rozważamy układ nierozróżnialnych cząstek. Wśród różnych oeratorów takich jak oerator energii, ędu itd. istnieje oerator zamiany miejscami dwóch cząstek (oerator ermutacji) 1 gdy odziałamy takim oeratorem raz jeszcze to, 1 y(1, ) = h y(1, ) 1 1 stąd widać, że czyli dla jednego tyu cząstek wartość własna wynosi +1 a dla drugiego tyu -1 Pˆ rr rr rr Pˆ rr rr rr 1,, 1 1, 1,, 1 1, bozony sin całkowity 0,1,.. Jeśli odziałamy takim oeratorem na funkcję takiego układu to otrzymamy wartość własną tego dziwnego oeratora (zakładamy, że badany stan jest stanem własnym oeratora ermutacji r, r, s, s Pˆ r, r, s, s r, r, s, s 1 1 W skrócie naiszemy fermiony sin ½, 3/ itd Ponieważ kwadrat funkcji wyznacza rawdood. więc można owiedzieć, że z tego unktu widzenia zmiana jest niezauważalna! Zasadnicza różnica!!! Dotąd w fizyce nie znaleziono rzejść bozon w fermion (lub odwrotnie). Dla rostoty ouszczamy dalej ozostałe liczby kwantowe. Py ˆ (1,) = y(,1) = h y(1,) PP ˆˆy(1,) = Pˆ y(,1) = Pˆ hy(1,)

15 Czyli o działaniu oeratorem ermutacji dla bozonów funkcja własna rzyjmuje znak lus zaś dla fermionów znak minus. Z tego wynika raktyczna własność zwana zakazem Pauliego. Wyobraźmy sobie dwa fermiony będące tak blisko siebie, że r r r 1 wtedy z orzedniego wynika r 1 r P ˆ rr, rr, rr, ˆ Możliwe tylko w wyadku gdy 0 r rr P rr rr, 1 1, 1, Stwierdzamy zatem, że dwie cząstki nierozróżnialne (czyli mające takie same liczby kwantowe) nie mogą rzebywać w tym samym miejscu. Stąd krok do zasady Pauliego, która mówi, że na jednej orbicie nie mogą rzebywać dwa elektrony (fermiony) mające wszystkie liczby kwantowe identyczne. Muszą n. różnić się kierunkiem sinu.

16 Co dzieli mechanikę klasyczną i mechanikę kwantową? W mechanice Newtona i jej relatywistycznym rozszerzeniu obiekt ma zawsze określone arametry. Zawsze można (jest to tylko kwestią użytych narzędzi) zmierzyć rędkość, ołożenie, energię, moment ędu oraz interwał czasowy zdarzenia. W kwantowym odejściu jest jednak inaczej! N. jeśli otrafimy określić ołożenie obiektu to nie otrafimy określić jego ędu (rędkości) i na odwrót jeśli znamy ęd to nie jesteśmy w stanie określić gdzie się badany obiekt znajduje (ołożenie obiektu). Przez obiekt rozumiemy n. elektrony, rotony itd.. Znajduje to swoje odbicie w tzw. nierówności Heisenberga (wyrowadza się ją z zasad mechaniki kwantowej). x x Aby ta nierówność była sełniona to dokładne wyznaczenie ołożenia x 0 ociąga za sobą warunek x (i na odwrót) Dotyczy to również składowej x i y oraz odowiednich ędów tzw. zmienne kanonicznie srzężone!! Zasada nieoznaczoności H. wiąże nie tylko ołożenie i ęd ale też i inne wielkości fizyczne, które w odejściu Newtona (dotąd oznana fizyka klasyczna) uważała za niezależne od siebie. N. czas i energia, E t h

17 W chwili obecnej mamy około 450 różnych (cząstek) uważanych jeszcze w latach 70 za elementarne. W ramach wiedzy, którą obecnie dysonujemy obiektów elementarnych mamy zaledwie 4. Przed obieżnym rzeglądem musimy odkreślić bardzo ważną rzecz a mianowicie, że oddziaływania obiektów odbywają się rzez ośredników nazywanych cząstkami ośredniczącymi. Nie tak Ale tak

18 Cząstki Kwanty rzenoszące oddziaływania 4 0 Z W W : : g g G 1? Cząstki składowe materii e e LEPTONY u c t d s b KWARKI Hadrony Stabilne Rezonanse Mezony Bariony Mezono -we Bariono -we Elementarne Nie-elementarne 0 0 0,,, K K D D 0 0,, c n 0 0 * *0,, K K o tym óźniej B. Muryn

19 1 Jeśli chodzi o skalę masy m 1 GeV ( GeV / c ) m GeV GeV c e W, Z ( / ) m GeV GeV c ( / ) GeV 10 ev = 10 kev 10 MeV 13 1MeV J Jaka skala czasowa odowiada rzyjętej skali masy 1 GeV? Posłużmy się zasadą nieoznaczoności Heisenberga. E t h lub w naturalnym układzie jednostek: E t t h E h 1GeV 1 t s B. Muryn

20 Zacznijmy od sił: W ramach Modelu Standardowego istnieją tylko cztery odstawowe siły Siły Lata 60/70 Obecnie Grawitacja Tylko klasyczna Bez zmian Elektr. Słabe QED kwant. elektrodynamika Brak Teoria elektrosłabych Silne Brak QCD kwantowa chromodyn. SM

21 Ty Obiekty wymieniane Intensywność Promień [R]=m Czas charakterysty czny [s] 1 Silne Gluony Elektromagn. Podstawowe arametry oddziaływań g g 1,... 8 Foton 1/ Słabe Bozony W, W, Z 0 4 Grawitit. Grawiton G 10-38? Problem intensywności oddz. (fachowo stałej srzężenia). B. Muryn

22 Rozważmy oddz. EM (atrz orzednia redefinicja ładunku) Q m Fk Q F R kg R s Czyli stosunek kq c 3 k bezwymiaowy r EM ke e c 4 c Tak wybraliśmy stałą srzężenia EM aby była bezwymiarowa (niezależność od skali!). Podobnie są zdefiniowane ozostałe stałe dla oddz. silnych i słabych! Zróbmy odobnie dla oddz. grawitacyjnego omiędzy dwoma rotonami o masach m, graw Gm c 10 Zadajmy sobie ytanie jakie warunki muszą być sełnione aby można było oddz. grawitacyjne orównać chociaż z siłą EM? Weżmy dwa rotony. Oddziaływania mogą odgrywać rolę gdy odległość między rotonami będzie tak mała, że energia otencjalna będzie orównywalna z energią soczynkową układu rotonów. 38 m m c Js kg s s 3

23 wtedy G m l mc stąd l G m c m Rozmiar rotonu wynosi m! Czyli roton jest "większy" o 41 rzędów wielkości. Można oczywiście wyobrazić sobie tak wysokie masy, że oddziaływanie będzie orównywalne ze znanymi rzy większych odległościach, odowiadających tzw. długości naturalnej zdefiniowanej rzez zasadę nieoznaczoności. GM l Mc Mc l l Mc x GM Mc Mc stąd Po odstawieniu M GeV Masa owyższa nazywa się masą Plancka i wyznacza skalę rzy, której być może zaczynają się kwantowe efekty grawitacyjne. B. Muryn

24 Kwantowe rozwiązanie dla cząstki uwięzionej w studni otencjału rerezentuje rzy większości warunków oczątkowych falę stojącą stąd o rostu kwantowanie. a h n a n a n n a h Bohr roonuje swój model atomu H 1. Elektrony oruszają się o orbitach kołowych lub elitycznych.. Zmiana orbity (zmiana energii) związana jest z emisją lub absorcją fotonu. 3. Moment ędu jest skwantowany (wtedy intuicja!) mv e E T U R rzyciąganie Założenia e mv R R L R n (*) (**) (***)

25 A jak interretować cząstkę, która jest "uwięziona" n. roton w jądrze lub elektron na orbicie w atomie? JEST TO FALA STOJĄCA jądro roton-fala stojąca atom wodoru elektron "obrazek" ten jest niczym innym niż warunkiem na zaroonowane rzez Bohra kwantowanie momentu ędu (Bohr traktował to jako założenie) bo: h h nh R n = Rn R L n jest to znane założenie Bohra i orzednio zacytowane

26 A jak w świetle tego co wiemy obecnie odchodzimy do rozwiązywania roblemów związanych ze strukturą atomową (a w szczególności atomu wodoru)? Piszemy tzw. równanie Schrödingera y i t ( xt, ) =- m Ze y ( x, t) - y( x, t) r orbity Bohra Rozwiązanie tego równania wyznaczone jest rzez trzy liczby kwantowe: nlm,, l n 1,,3... nlm,, l energia E n 4 me 1 h n Schrödingera dokładnie taka sama jak z modelu Bohra l dla danego n, l-numeruje stany o momencie ędu (numeruje możliwe orbity) Liczba m określa rzut l na jakiś wyróżniony kierunek (n. na kierunek ola magnetycznego B) 0,1,,...( n 1) m l, ( l1),( l).. 1, 0, 1,,..( l1), l L l( l1) ilość stanów m rzy danej liczbie l l 1

27 Elektron krążąc o orbicie osiada moment ędu (jak kulka o masie m oruszająca się o okręgu) ale ten moment ędu jest skwantowany. Liczba l- numeruje wyznacza oszczególne momenty ędu L ale wartość jego wynosi L ll1 L ll1 Liczba m, która rzyjmuje (l+1) wartości wyznacza rzut L na oś (rzuty też skwantowane) zewnętrznego ola B B m m 1 m 0 m 1 m e l mc m W olu B energetyczna wielkość tego rozczeienia w wynosi: E B B. Muryn

28 Sin Jest to wewnętrzny kwantowy stoień swobody elektronu (równanie Diraca) Sin geometrycznie można traktować jako wektor można okazać, że jego długość wynosi odobnie jak dla orbitalnego momentu ędu. ss ( 1) 1 1 B Rzut sinu na dowolny kierunek jest skwantowany i wynosi 1 1 Istnienie sinu (momentu ędu elektronu ociąga za sobą istnienie momentu magnetycznego (analogiczna wielkość do momentu magn. dla ładunku) e e mc e ważne

29 r n Dziś nikt nie mówi o modelu Bohra jako aktualnym modelu. Ale do oceny "skali" jest wciąż bardzo wygodny: Pamiętamy, że Z równań orzednich o rostych rachunkach (są trzy równania i trzy niewiadome ) n me (**) L n mv= mv e mv e E T U r r 4 e 1 me 1, v =, E n n n n n-klasyczny numer orbity, e mv r r r r n E, r,v Stąd odstawiając n=1, możemy dostać z dobrym rzybliżeniem wartości owyższych wielkości (wskaźnik A oznacza skale atomowe). e r m m s 10 6 A 17 A v 10 / 10 A A me v1 me m EA ev ~ 10 kg / m ke (*) e 4 14 A 3 r1 3 3 R s (***) (***) odnosimy do kwadratu i wyliczamy mv a nastęnie wstawiamy do (**) otrzymując r

30 Jak to wygląda na oziomie jądra atomowego? Można skorzystać z orzednich wzorów od warunkiem, że odstawimy zamiast e wielkość f odowiadająca silnym oddziaływaniom (wiadomo, że "intensywność" silnych jest około 10 razy większa niż EM, więc f 100e Silne oddział. to inaczej oddziaływania jądrowe (a więc oddział. między nukleonami) zamiast masy elektronu odstawiamy masę rotonu m 000 m e f R rn m v m s s m f 15 7 A / 10 N N v1 mf m EN 1 MeV ~ 10 kg / m N 3 r1 18 3

31 Zobaczmy orównanie bezwzględne skal: r r v ~ 10 ~ v N 5 N N 5 A A A Atom wydaje się być usty E E N A ~10 ~10 5 N 15 A Są to ogromne, jakościowe wręcz, różnice.