dr Marta Pytlak Rozwijanie aktywności matematycznych o charakterze twórczym

Transkrypt

1 Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu połecznego Rozwijnie ktywności mtemtycznych o chrkterze twórczym dr Mrt Pytlk Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

2 Zdnie: formułuj i udowodnij przestrzenny odpowiednik nstępującego twierdzeni: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to sum pól kwdrtów zbudownych n przyprostokątnych jest równ polu kwdrtu zbudownego n przeciwprostokątnej. Jk może wyglądć przykłdowe rozwiąznie tego zdni? Jkie twórcze ktywności mtemtyczne może uczeń rozwijć podczs rozwiązywni powyższego zdni? Czy rozwż Pn/Pni tego typu zdni z ucznimi? Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

3 Główne cechy twórczej ktywności: Przeksztłcnie zjwisk, rzeczy, procesów dziłń lub ich obrzów poglądowo-zmysłowych lub myślowych; Nowość, oryginlność: wytworów dziłlności, wzorców lub nrzędzi i środków, stosownych w trkcie tej dziłlności; Poszukiwnie nieznnych istniejących związków między rozwżnymi obiektmi. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

4 W. Nowk (989): ktywność mtemtyczn uczni to prc umysłu ukierunkown n ksztłtownie pojęć i rozumowni typu mtemtycznego, stymulown przez sytucje prowdzące do formułowni i rozwiązywni problemów teoretycznych i prktycznych. A.Z. Krygowsk (977, 98): Rodzje ktywności mtemtycznej Aktywność specyficznie twórcz Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

5 Mtemtyk Gotow wiedz Dziedzin specyficznej dziłlności intelektulnej człowiek Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

6 Koncepcj ksztłtowni i rozwijni twórczej ktywności mtemtycznej Podstwowe rodzje TAM Zdni wieloetpowe Pewne złożone procedury występujące w twórczej prcy zwodowych mtemtyków uczeń: Znleźć się w sytucji zbliżonej do tej, w jkiej prcują mtemtycy twórczy Lbortorium TAM Nuczyciel: świdome kierownie procesem prcy uczniów Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

7 Podstwowe rodzje twórczej ktywności mtemtycznej TAM stwinie hipotez i ich weryfikcj (w szczególności stwinie hipotez nierównościowych w oprciu o dne empiryczne), trnsfer metody (przeniesienie metody rozumowni czy rozwiązni problemu n zgdnienie podobne, nlogiczne, ogólniejsze, otrzymne przez podniesienie wymiru, szczególny czy też grniczny przypdek), twórcze odbiernie, przetwrznie i wykorzystywnie informcji mtemtycznej, dyscyplin i krytyczność myśleni, generownie problemów w procesie trnsferu metody, przedłużnie problemów, stwinie problemów w sytucjch otwrtych. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

8 M. Klkl (00) wyodrębni i chrkteryzuje rodzje TAM n bzie odpowiednio dobrnych przykłdów w trzech spektch: Aspekt intelektulny pod kątem opisu procesów intelektulnych zchodzących w trkcie podejmowni dnego rodzju ktywności przez uczni, Aspekt dydktyczny pod kątem opisu propozycji dydktycznej (projektu dydktycznego) mjącej n celu spowodownie podjęci przez uczniów dnego rodzju ktywności mtemtycznej, Aspekt ewlucyjny pod kątem problemów związnych z bdniem umiejętności podejmowni przez uczniów dnego rodzju ktywności mtemtycznej. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

9 Zdni wieloetpowe to specyficzn struktur ciągów zdń, problemów i sytucji dydktycznych, są oprte n sytucjch problemowych, wiążą ze sobą różne rodzje twórczej ktywności mtemtycznej w złożonych, bogtych sytucjch mtemtyczno-dydktycznych, stnowią dl uczniów swoiste lbortorium TAM. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

10 Chrkterystyk zdni wieloetpowego wg M. Klkli ) dje okzję do podejmowni różnych rodzjów ktywności (np. dostrzegni prwidłowości, stwini hipotez i ich weryfikcj, specyfikcj, dostrzegnie i wykorzystywnie nlogii jko środk do formułowni hipotez, dostrzegnie i formułownie problemów), b) dje się sensownie przedłużć w różnych kierunkch, dopuszcz uogólnieni, c) stwrz możliwość wykorzystni różnorodnych metod mtemtycznych (rozumowni redukcyjne, dedukcyjne, dowód nie wprost, indukcj mtemtyczn itp.), Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

11 d) treści mtemtyczne występujące w zdniu są różnorodne (z różnych dziłów mtemtyki) i w innym ukłdzie niż w progrmie szkolnym, e) relizcj zdni wieloetpowego może być rozłożon w czsie, np. do pewnych części zdni powrc się dopiero po pewnym czsie, gdy uczeń w trkcie normlnej nuki szkolnej zdobędzie odpowiednią bzę mtemtyczną, by podjąć tę problemtykę, f) tzw. mpk zdni wieloetpowego umożliwi nuczycielowi objęcie jednym rzutem ok cłej problemtyki i wybór tej części, któr n dnym etpie może być relizown w klsie. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

12 FRAGMENT ZADANIA WIELOETAPOWEGO PRZEDŁUŻANIE BOKÓW WIELOKĄTA Problem sytucj wyjściow. Dny jest trójkąt ABC. konstruuj trójkąt A B C poprzez przedłużenie kżdego z boków trójkąt ABC o jego długość w tej smej orientcji. Ile wynosi stosunek pól trójkątów ABC i A B C? B C A B A C Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

13 B A C B A P P ABC A'B'C' 3 7 C Dlsze pytni, które możn postwić: Czy wynik zleży od rodzju trójkąt ABC? Czy skonstruowny trójkąt będzie mił tki sm ksztłt jk wyjściowy? Czy wybór orientcji przedłużni wpływ n wynik? Co się dzieje, gdy będziemy kżdy bok trójkąt przedłużć -krotnie, 3-krotnie, n-krotnie? Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

14 PROBLEM WYJŚCIOWY DiK Dyskusj nd treścią zdni jk wykonć poprwny rysunek Rozwiąznie 3 rzy 3 rzy 3 rzy 3-krotne przedłużnie boków TM TM PZ -krotne przedłużnie boków Rozwiąznie Rozwiąznie rzy rzy rzy n rzy n rzy n-krotne przedłużnie boków n rzy TM Rozwiąznie PZ Zleżności pomiędzy liczbmi wrtościmi wielominu 3n +3n+ Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

15 3n 3n dl n nturlnego. Co możn zuwżyć? B... n n (n ) C A n c B n c... A P P ABC A'B'C' n (n ) 3 3n(n ) 3n 3n Dlsze pytni, które możn postwić: Czy w minowniku otrzymywnych ułmków zwsze znjdują się liczby nieprzyste? Czy w minowniku otrzymywnych ułmków znjdują się zwsze liczby pierwsze? Wypisz wrtości otrzymnego wielominu Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

16 PROBLEM WYJŚCIOWY PZ Czworokąt dowolny -krotne przedłużnie boków rz rz rz PZ Rozwiąznie TM rz rzy rzy rzy rzy Czworokąt dowolny -krotne przedłużnie boków TM Rozwiąznie PZ Czworokąt dowolny 3-krotne przedłużnie boków 3 rzy 3 rzy n rzy n rzy PZ TM 3 rzy n rzy n rzy Rozwiąznie 3 rzy Czworokąt dowolny n-krotne przedłużnie boków TM DiK Rozwiąznie Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

17 PROBLEM WYJŚCIOWY Trójkąt równoboczny jko przypdek szczególny PZ PZ PZ Kwdrt jko przypdek szczególny czworokąt Pięciokąt foremny DiK n- kąt foremny TM PZ Rozwiąznie PZ DiK n dąży do nieskończoności Rozwiąznie WH DiK H Rozwiąznie Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

18 C B C A B A C D A D B C B A D C E A E D B B C A A A A 3 A 5 A 4 A 3 A A n A 4 O A Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

19 Jk sformułowć problem wyjściowy w przestrzeni? Trójkąt Przedłużnie jednokrotne boków tosunek pól Czworościn Przedłużnie jednokrotne ścin tosunek objętości Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

20 Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie ), ( b b b b ), ( b b b b ), 3( Problem sytucj wyjściow Niech, b są liczbmi dodtnimi (>0, b>0) )

21 PROBLEM WYJŚCIOWY Definicje średniej rytmetycznej (, b) średniej geometrycznej (, b) H średniej hrmonicznej 3 (, b) DiK Zleżności pomiędzy średnimi PZ Interpretcj geometryczn średnich liczb, b H WH Oszcowywnie średniej geometrycznej z pomocą średnich rytmetycznej i geometrycznej DiK Ciągi średnich Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

22 . Problem Znjdź zleżności pomiędzy średnimi rytmetyczną, geometryczną i hrmoniczną dwóch liczb. Hipotez Dl dowolnych >0, b>0:, b) (, b) (, ) ( 3 b Uzsdnienie: Niech >0 i b>0. Zchodzą nstępujące równowżności: b b ( b) 4b b b 4b 0 b b 0 ( b) b b ( b) b 4 b ( b b ) b 4 b 0 b( b b ) 0 b( b) 0 b Wobec złożeń oczywiste są nierówności tąd b b b b ( b) 0 b( b) 0 więc dl dowolnych liczb dodtnich, b. (, b) (, b) 3(, b) Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie 0

23 i. Pytnie dodtkowe Dl jkich, b ich średnie rytmetyczn, geometryczn i hrmoniczną będą sobie równe? Rozwiąznie: b b ( b) 0 b b b b( b ) 0 tąd wynik, że (, b) (, b) 3(, b) b Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

24 Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie Hipotez Odwrotność średniej hrmonicznej liczb dodtnich i b jest średnią rytmetyczną odwrotności tych liczb, więc ), ( ), ( 3 b b. 0, 0 b ), ( ), ( 3 b b b b b b b b b Uzsdnienie: Niech Zchodzą nstępujące równości:.

25 Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie Hipotez 3 Średni hrmoniczn odwrotności liczb dodtnich i b jest odwrotnością średniej rytmetycznej, więc ), ( ), ( 3 b b. Hipotez 4 Odwrotność średniej geometrycznej dwóch liczb dodtnich i b jest średnią geometryczną odwrotności tych liczb, więc ), ( ), ( b b. Hipotez 5 Kwdrt średniej geometrycznej dwóch liczb dodtnich i b jest iloczynem średniej rytmetycznej i hrmonicznej tych liczb, więc ), ( ), ( ), ( 3 b b b.

26 Problem Niech dny będzie trpez ABCD, w którym AB DC orz AB = i DC =b. Znjdź odcinki równoległe do podstw trpezu, których końce nleżą do rmion trpezu, ich długości równe są średnim rytmetycznej, geometrycznej i hrmonicznej liczb i b. Problem dodtkowy: Zkłdjąc, że >b uzsdnij, że, b) (, b) (, b) ( 3 b Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

27 Hipotez 6 Długość odcink łączącego środki rmion trpezu o podstwch i b jest równ średniej rytmetycznej liczb i b. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

28 Hipotez 7 Długość odcink równoległego do podstw trpezu i b, którego końce nleżą do jego rmion, przechodzącego przez punkt przecięci się przekątnych trpezu jest równ średniej hrmonicznej liczb i b. Pytnie dodtkowe: Gdzie znjduje się odcinek równoległy do podstw trpezu, którego końce nleżą do rmion trpezu, którego długość jest równ średniej geometrycznej długości tych podstw? Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

29 Problem Czy powtrzjąc powyższą konstrukcję dl trpezu A B C D otrzymmy lepsze oszcownie średniej geometrycznej liczb i b, tzn. czy będzie spełniony wrunek: ( (, b), 3(, b)) (, b) 3( (, b), 3(, b)) 3 Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

30 Problem b Czy średni geometryczn liczb i b będzie zwsze zwrt między średnimi rytmetycznymi i hrmonicznymi otrzymnymi przez nieskończone kontynuownie omówionych powyżej konstrukcji? Dlsze pytni, które możn postwić: Zdefiniuj średnią rytmetyczną, geometryczną i hrmoniczną trzech liczb dodtnich, b, c. Jkie problemy możn rozwżyć odnośnie średniej rytmetycznej, geometrycznej i hrmonicznej trzech liczb dodtnich, b, c? Czy będą zchodzić odkryte zleżności? Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

31 FRAGMENT ZADANIA WIELOETAPOWEGO MOTYL II RODZAJU Problem sytucj wyjściow. Niech dny będzie trójkąt ostrokątny ABC. Przez dowolny punkt P nleżący do wnętrz trójkąt poprowdzono proste równoległe do kżdego z jego boków. Proste te dzielą trójkąt ABC o polu n sześć części, z których trzy są trójkątmi o polch,, 3. Figurę, będącą sumą trzech, powstłych w wyniku opisnej konstrukcji, trójkątów o wspólnym wierzchołku P nzywmy motylkiem. Zś trójkąty skłdjące się n motylk jego skrzydełkmi. Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

32 Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

33 Księżycmi Hipokrtes zbudownymi n trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym C będziemy nzywć obszry ogrniczone łukiem ACB okręgu opisnego n tym trójkącie i łukmi półokręgów o średnicch równych długościom przyprostokątnych trójkąt i środkch w środkch przyprostokątnych. B O A C Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

34 Dny jest trójkąt ABC. Punkt A jest symetryczny do punktu P względem prostej BC, punkt B jest symetryczny do punktu P względem prostej AC, punkt C jest symetryczny do punktu P względem prostej AB. formułuj pewne istotne pytni związne z sytucją zprezentowną n rysunku i spróbuj n nie odpowiedzieć. P Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

35 Zdnie: formułuj i udowodnij przestrzenny odpowiednik nstępującego twierdzeni: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to sum pól kwdrtów zbudownych n przyprostokątnych jest równ polu kwdrtu zbudownego n przeciwprostokątnej. Jkie twórcze ktywności mtemtyczne może uczeń rozwijć podczs rozwiązywni powyższego zdni? Czy rozwż Pn/Pni tego typu zdni z ucznimi? Jk może wyglądć przykłdowe rozwiąznie tego zdni? Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie

36 Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu połecznego Projekt relizowny przez Uniwersytet Rzeszowski w prtnerstwie z Uniwersytetem Jgiellońskim orz Pństwową Wyższą zkołą Zwodową w Chełmie