WSTĘP DO TEORII POMIARÓW

Transkrypt

1 Sps treśc WSTĘP DO TEORII POMIARÓW I. POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 II. BŁĘDY POMIARÓW WIELKOŚCI FIZYCZNYCH...5 III. METODY POMIAROWE...8 IV. NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...11 V. Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch...13 V.A Ocea epewośc pomarowej tp A...13 V.B Ocea epewośc pomarowej tp B...0 VI. Nepewość stadardowa pomarów pośredch... VII. Nepewość rozszerzoa...6 VIII. PRZYKŁAD - Dokładość metod zerowej mostkowej...8 IX. PRZYKŁAD rozkład statstcz Mawella...31 IX.a Rozkład Mawella prędkośc cząsteczek gaz doskoałego...3 IX.b Wzór barometrcz...34 IX.c Ilość klek wrzcach z komor pozostałch w komorze...36 Wkoae wkres I. POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY Pomar jest podstawowm źródłem formacj w fzce. Pomarem azwa sę czośc dośwadczale mające a cel wzaczee wartośc badaej welkośc fzczej. Istotą każdego pomar jest porówae wartośc merzoej z wzorcem mar tej welkośc przjętm za jedostkę (p. pomar dłgośc w m, km tp.). Wk pomar ms zatem składać sę z dwóch częśc: wartośc lczbowej, określającej le raz merzoa welkość jest wększa lb mejsza od przjętego wzorca, rodzaj jedostk. Pomar welkośc fzczch dzelm a bezpośrede pośrede. Pomar bezpośrede polegają wprost a porówa daej welkośc z odpowedą marą wzorcową, wk pomar otrzmje sę bezpośredo bez wkowaa jakchkolwek oblczeń. W pomarach pośredch wartość badaej welkośc jest wzaczaa a podstawe pomarów bezpośredch ch welkośc fzczch, które są z ą powązae zam

2 prawem fzczm, czl wstępje koeczość wlczea wartośc welkośc merzoej a podstawe bezpośredch pomarów ch welkośc 1,,..., zwązach z ą zaą zależoścą fkcją f,,,..., ). ( 1 3 Zgode z przjętą kowecją stosjem jedostk kład SI. Wróżam sedem jedostek podstawowch jedostk pochode. W żc są też pozakładowe jedostk mar. 1) W kładze SI jedostką dłgośc jest metr o smbol m. Metr to odległość, którą przebwa śwatło w próż w czase rówm częśc sekd. ) W kładze SI jedostką mas jest klogram o smbol kg. Klogram to masa wzorca tej jedostk mas przechowwaego w Mędzarodowm Brze Mar w Sèvres pod Parżem. 3) W kładze SI jedostką czas jest sekda o smbol s. Sekda to czas rów lośc okresów promeowaa odpowadającego przejśc mędz dwoma adsbtelm pozomam f = 3 f = 4 sta podstawowego s 1/ atom cez 133 Cs. 4) W kładze SI jedostką atężea prąd elektrczego jest amper o smbol A. Amper to atężee prąd elektrczego stałego, któr płąc w dwóch rówoległch, eskończee dłgch przewodach o zkomo małm przekroj kołowm, meszczoch w próż w odległośc 1 m od sebe, wwołałb mędz tm przewodam słę 10 7 N a każd metr ch dłgośc. Natężee prąd elektrczego zdefowae jest jako szbkość przepłw ładk elektrczego przez wbra elemet powerzch. 5) W kładze SI jedostką temperatr jest Kelw o smbol K. Kelw to 1/ 73,16 część temperatr termodamczej pkt potrójego wod. 6) W kładze SI jedostką lośc mater jest mol o smbol mol. Mol to taka lość mater, w której lczba elemetów strktralch (cząstek) jest rówa lczbe atomów zawartch w mase 0,01 kg czstego kld węgla 1 C.

3 Defcja ta wmaga każdorazowo zdefowaa obekt cząstka - mogą to bć atom, molekł, jo, elektro lb e określoe grp cząstek. 7) W kładze SI jedostką śwatłośc jest kadela o smbol cd. Kadela to śwatłość, jaką ma w określom kerk źródło emtjące promeowae moochromatcze o częstotlwośc Hz (555 m) którego atężee w tm kerk jest rówe ( 1/ 683 ) W/sr. Welkość śwatłość zdefowaa jest jako lość eerg emtowaej przez źródło w zadam kerk przpadającej a jedostkę czas oraz a jedostkę kąta brłowego [sr] w kerk emsj. Jedostkam pochodm kład SI a a przkład jedostk opsjące welkośc: ką płask kąt brłow. Jedostk te są bezwmarowe. Jedostką kąta płaskego jest rada o smbol rad. Jede rada jest rów kątow środkowem opartem a łk o dłgośc rówej promeow okręg. Jedostką kąta brłowego jest sterada o smbol sr. Jede sterada jest rów kątow przestrzeem z werzchołkem w środk sfer, wcającem z powerzch sfer obszar, którego pole powerzch jest rówe pol powerzch kwadrat o bok rówm promeow sfer. Im przkładem jedostk pochodej jest prędkość defowaa jako pochoda przemeszczea po czase (zma położea odbwającej sę w krótkch odstępach czas) co zapsjem ds V o smbol jedostk 1 m s. dt Kolejm przkładem jest sła defowaa jako pochoda pęd po czase (zmaa locz mas prędkośc cała odbwająca sę w krótkch odstępach czas) co zapsjem to. dp F o smbol jedostk dt N kg m s oraz własej azwe jedostk Isteją jedostk pozakładowe stosowae a rów z jedostkam SI. Pożej zameszczoo trz przkład.

4 Temperatra może bć wrażoa w skal Celsjsza ozaczaej t. Jeżel temperatrę wrażoą w skal Kelva ozaczm przez T, to t = T 73,15. Wmar stopa Celsjsza jest rów wmarow stopa Kelva (Δt = 1 = ΔT). Masa może bć wrażoa w toach o smbol t. Wted 1 t = 10 3 kg. Warto zwrócć t wagę, że jedostka toa welkość temperatr Celsjsza ozaczae są tą samą lterą t, która ma e zaczee w zależośc od kotekst zaps (jedostka albo welkość). Masa może też bć wrażoa w jedostkach mas atomowej o smbol. Wted 1 = 1, kg gdż jedostka mas atomowej jest rówa 1/1 częśc mas atomowej kld węgla 1 C. Isteją także pozakładowe jedostk porówwaa wartośc w dzesętej skal względej (proml, procet, ppm część mloowa) oraz skal logartmczej (bel, decbel).

5 II. BŁĘDY POMIARÓW WIELKOŚCI FIZYCZNYCH W trakce pomar gd e moża bezwzględe dokłade wzaczć rzeczwstej wartośc merzoej welkośc, zskaa wartość lczbowa zawsze róż sę od przewdwań teor. W odese do przcz tej rozbeżośc żwa sę term błąd pomar. W tm zastosowa pojęce błąd pomar wstępje w zacze jakoścowm, atomast w zacze loścowm błąd pomarow ozacza różcę pomędz wkem pomar a rzeczwstą wartoścą. Błąd bezwzględ defjem jako różcę wk pomar wartośc rzeczwstej R : (1) a błąd względ jako stosek błęd bezwzględego do wartośc rzeczwstej: R R R 1 () Należ podkreślć, że pojęce wartośc rzeczwstej jest czsto teoretcze, gdż praktcze e jest zaa. Z tego względ operowae wartoścą błęd jest trdoe. Uwzględając przcz powstawaa błędów wstępjącch podczas wkowaa pomarów moża wróżć astępjące trz kategore: błęd grbe, błęd sstematcze, błęd przpadkowe. Błęd grbe powstają a sktek emejętośc żca daego przrząd, pomłek prz odcztwa zapse wków, agłej zma warków pomar tp. Dla błędów grbch różca mędz wkem pomar wartoścą rzeczwstą jest a ogół bardzo dża. Dla ser pomarów wk obarczoe błędem grbm są łatwe do wkrca sęca. Na wkresach merzoch lb wzaczach welkośc pkt pomarowe e obarczoe błędam grbm kładają sę zgode z prawdłowoścą wstępjąca w teor

6 badaego zjawska, atomast wk obarczoe tm błędem odbegają zacze od pozostałch. Błęd grbe elmje sę poprzez: wchwtwae ch w czase wkowaa dośwadczeń powtarzae odpowedch pomarów (gd ekspermetator posada dośwadczee w przeprowadza pomarów), wchwtwae ch w czase opracowwaa wków, pojedcze podejrzae przpadk ależ elmować, w przpadk pewej lczb błędch dach w ser ależ poszkać przcz atr sstematczej. Pomar są obarczoe błędam sstematczm, gd prz powtarza pomarów dla ser pomarowej wstępje różca mędz wartoścam zmerzom a wartoścą rzeczwstą podlegająca pewej prawdłowośc, atomast rozrzt wków poszczególch pomarów jest ewelk lb w ogóle e wstępje. Błęd sstematcze wkają z: mało dokładego stawea ekspermet (p. ewzględee sł wpor powetrza prz dokładm waże), wad rządzeń pomarowch (p. waga dźwgowa z przesętm pktem zaweszea, czasomerz wskazówkow ze środkem skal e pokrwającm sę z osą wskazówek, źle wskalowae przrząd), ze sta zewętrzch warków pomar (zbt wsoka lb zbt ska temperatra w pomeszcze), edoskoałośc ekspermetatora (błąd paralaks w trakce odczt wskaźków aalogowch). Obece błąd sstematcz moża w pewch wpadkach traktować jako zjawsko przpadkowe, gdż e zam zazwczaj jego welkośc zak. W tm jęc wkojąc pomar dam przrządem dspojem tlko jedą realzacją zmeej losowej. Losową próbkę moża jedak zskać, jeżel pomar zostaą wkoae prz żc zbor przrządów o tej samej dokładośc. Postępjąc w te sposób moża zskać dośwadczal rozkład prawdopodobeństwa dla błęd ważaego za sstematcz. Wkające z tego kosekwecje matematcze zostaą przedstawoe prz omawa epewośc pomar.

7 Wstępowae błędów przpadkowch objawa sę jako rozrzt wków pomar wokół wartośc rzeczwstej. Wk każdego kolejego pomar jest. O tm jaka jest szasa zskaa wków wększch lb mejszch od 0 decdje rodzaj rozkład statstczego (p. Gassa, prostokąt, jedostaj), którem te wk podlegają. Błęd przpadkowe wkają z różch przpadkowch e dającch sę względć czków. W fzce klasczej, gdze wększość zjawsk jest opswaa przez prawa determstcze, przczą statstczego rozrzt wków pomar mogą bć: edokładość przpadkowość dzałaa ldzkch zmsłów (ekspermetator każd kolej pomar wkoa eco aczej), flktacj warków pomar (wlgotość, temperatra, cśee, zżce elemetów borącch dzał w dośwadcze), eokreślee samej merzoej welkośc fzczej, szm (elektromagetcze, termcze) geerowae w samm kładze pomarowm oraz zakłócea zewętrze. Podsmowjąc przcz wstępowaa błędów podczas pomarów wkają z: edoskoałośc ekspermetatora, edoskoałośc przrządów pomarowch, edoskoałośc metod pomarowch, edoskoałośc merzoch obektów, a aalza ch prowadz do astępjącch wosków: błęd grbe ależ całkowce welmować odpowedo starae przeprowadzając pomar waże aalzjąc wk (wk pomar e powe bć obarczo ch wpłwem), błęd sstematcze mogą bć korgowae a etape wbor metod pomarowej aalz wków pomarów, ch grace pow bć wraźe określoe, błędów przpadkowch ze względ a ch losow (przpadkow) charakter e moża całkowce kąć a skorgować, ale moża mmalzować ch wpłw a wk końcow.

8 III. METODY POMIAROWE Metoda pomarowa to zastosowa podczas pomar sposób porówaa wartośc merzoej z wzorcem mar tej welkośc. Uwzględając sposób postępowaa rodzaj zastosowach arzędz pomarowch, z czm wąże sę zwkle osągala dokładość wk, rozróża sę metod: bezpośredego odczt, porówawcze, a wśród ch: metodę różcową, metodę przez podstawee, metod zerowe. W metodze bezpośredego odczt, zwaej też metodą odchleową, wartość welkośc merzoej zostaje określoa a podstawe odchlea wskazówk lb ego wskazaa (p. cfrowego) arzędza pomarowego. Podczas pomar wzorzec welkośc merzoej e wstępje bezpośredo, atomast prz prodkcj arzędza pomarowego cał szereg wartośc wzorcowch został wkorzsta do odpowedego wkoaa podzałk (wzorcowae podzałk). Metoda ta jest ajprostsza, ajłatwejsza w zastosowa, daje atchmastowe wk, ale prz wkorzsta aalogowch arzędz pomarowch jest stoskowo mało dokłada. Dokładość metod zacze zwększła sę z chwlą zastosowaa bardzej dokładch przrządów cfrowch. Nedokładość pomar wkowaego tą metodą wka główe z stea dopszczalego błęd sstematczego arzędza pomarowego określoego jego klasą dokładośc. Metoda różcowa jest metodą porówawczą, w której w kładze pomarowm wstępje wzorzec welkośc o wartośc zblżoej do wartośc merzoej (p. jedowartoścow wzorzec eastawal). W tm przpadk bezpośredo merz sę różcę ob wartośc, a wk pomar określa sę astępjąco: W, gdze: W wartość wzorcowa, zmerzoa bezpośredo różca z względeem

9 jej zak. Poeważ wartość wzorcowa jest zwkle określoa z pomjale małm błędem, błąd pomar wartośc wka z edokładośc bezpośredego pomar różc. Metoda pomarowa przez podstawee jest metodą porówaa bezpośredego. W kładze pomarowm zajdje sę wzorzec welkośc merzoej o wartoścach astawach w szerokch gracach. Podczas pomar wartość merzoą zastępje sę wartoścą wzorcową W dobraą w tak sposób, ab sktk (p. odchlea wskazówk merka) wwołwae przez obe wartośc bł take same, z czego wka zależość: W. Metoda przez podstawee jest metodą bardzo dokładą, poeważ praktcze elmje błęd wprowadzae przez kład porówaa. Po welokrotm powtórze pomar oblcze wartośc średej (zmmalzowa błędów przpadkowch) błąd wk pomar jest praktcze rów błędow dopszczalem dla wzorca. Metod pomarowe zerowe są ajdokładejszm metodam porówaa bezpośredego. Porówae wartośc merzoej z wartoścą wzorcową (lb z zespołem wartośc wzorcowch) odbwa sę za pomocą kład pomarowego, w którm przez zmaę parametrów elemetów składowch doprowadza sę do zak (do zera) apęca lb prąd w kotrolowaej gałęz kład. Czość doprowadzaa do zak apęca lb prąd azwa sę rówoważeem kład, a wskaźk słżąc do zaobserwowaa tego sta (p. galwaometr) azwa sę wskaźkem rówowag. Dokładość zerowch metod pomar jest bardzo dża, zależ od dokładośc wkoaa zastosowach w kładze wzorców oraz od człośc wskaźka rówowag. Zastosowae bardzo dokładch wzorców oraz zastosowae wskaźka rówowag o wsokej człośc ogracza błęd sstematcze metod do wartośc pomjalch wobec błędów przpadkowch. Podczas dokładch pomarów wkoje sę zwkle serę pomarów statstczą aalzę wków pomar. Rozróżam zerowe metod mostkowe oraz zerowe metod kompesacje. Metod mostkowe stosje sę ajczęścej do dokładch pomarów takch parametrów jak rezstacja, pojemość dkcjość w kładach z prądem stał lb przeme.

10 Metod kompesacje słżą zwkle do pomar apęca lb do pośredego pomar ch welkośc przetworzoch przedo a apęce. W metodze kompesacjej ezaą wartość apęca merzoego U porówje sę z astawaą dokłade zaą wartoścą wzorcową U W, wtworzoą za pomocą kompesatora. Układ pomarow doprowadza sę do rówowag przez zmaę wartośc U W, a w chwl rówowag zachodz rówość: U UW. Szczególe ważą zaletą metod kompesacjch jest to, że w chwl zrówoważea kład przez bada obekt e płe prąd, zatem e wstępje błąd sstematcz metod, wkając ze spadk apęca a rezstacj wewętrzej obekt badaego.

11 IV. NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA Z stot atr pomar wka, że e moża gd ezależe od metod pomarowej, bezwzględe dokłade wzaczć rzeczwstej wartośc welkośc fzczej, czl dokoać pomar absolte dokładego. Pomar mogą bć wkowae tlko ze skończoą dokładoścą. Poeważ e jest zaa gd rzeczwsta wartość merzoej welkośc posłgwae sę pojęcem błęd pomar, zdefowam jako różca pomędz wkem pomar a wartoścą rzeczwstą, jest ewgode. Podawae tlko wk pomar jest jedak ewstarczające, opracowae wków pomar powo zawerać także oceę ch wargodośc, czl epewość pomar. Take podejśce jest zgode z zaleceam Mędzarodowej Norm Oce Nepewośc Pomar [1], zgodoej w 1995 r. przjętej stawowo w Polsce w 1999 rok []. Nepewość pomar jest ogóle zdefowaa jako parametr zwąza z rezltatem pomar, charakterzjąc rozrzt wków, któr moża w zasado sposób przpsać merzoej wartośc. Pojęcem jakoścowm zwązam z termem epewość jest dokładość. Pomarem dokładejszm jest pomar o mejszej epewośc. Marą epewośc pomarowej jest epewość stadardowa, która może bć szacowaa a dwa sposob: ocea tp A wka ze statstczej aalz ser rówoważch eskorelowach obserwacj welkośc podlegającej błędow przpadkowem, ocea tp B wka z akowego osąd ekspermetatora, borącego pod wagę wszstke posadae formacje o pomarze źródłach jego epewośc. Stosowaa jest w przpadk emożośc przeprowadzea statstczej aalz ser pomarów p. dla błęd sstematczego. Jako smbol epewośc stadardowej przjęto ozaczee (od agelskego słowa certat), które może bć zapsae a trz sposob:

12 epewość stadardowa dowolej welkośc () epewość stadardowa welkośc wrażoej smbolem (dłgość wahadła) epewość welkośc wrażoej słowe. Nepewość względa jest defowaa jako stosek epewośc stadardowej do welkośc merzoej: r (W.3) Wmar epewośc stadardowej () jest tak sam jak wmar welkośc merzoej, atomast epewość względa jest welkoścą bezwmarową, co możlwa porówwae za jej pomocą epewośc welkośc fzczch posadającch róż wmar. Pojęca epewośc stadardowej epewośc względej wstępją zarówo dla metod oce epewośc tp A oraz tp B, a w każdm z tch przpadków mogą dotczć pomarów bezpośredch jak pośredch.

13 V. Nepewość stadardowa pomarów bezpośredch V.A Ocea epewośc pomarowej tp A Ocea epewośc pomarowej tp A dotcz określea epewośc dla pomarów obarczoch błędam przpadkowm. Z jedego pomar e moża woskować o jego dokładośc. Dlatego koecze jest wkoae ser bezpośredch pomarów welkośc fzczej, poprzez welokrote, ezależe powtórzee rozpatrwaego pomar. Wk w ser będą różć sę losowo, ozaczm je 1,, 3,..., gdze jest loścą powtórzeń pomar w ser. Wk moża traktować jako realzacj zmeej losowej o wartośc oczekwaej o (tożsamaej z wartoścą rzeczwstą) oraz odchle stadardowm stosować stadardowe rezltat teor błędów. Wartość rzeczwsta jest ezaa, ale w wększośc przpadków dla ser pomarów ajlepszm oszacowaem merzoej wartośc jest średa artmetcza: 1 1 (W.4) Jest to podstawowe twerdzee teor pomarów tzw. perwsz postlat Gassa. Wka oo z fakt rówośc prawdopodobeństw zawżea jak zażea welkośc merzoej. Tm samm błęd pow kompesować sę. Prz skończoej lośc pomarów w ser może jedak wstąpć erówomere rozłożee wków wokół wartośc rzeczwstej. Tm samm wartość średa jest jede blska welkośc rzeczwstej R, ale jej e rówa. Zblżee to jest tm lepsze m dłższa jest sera pomarowa. Rówość R wstępje tlko dla eskończee dżch ser pomarów, praktcze emożlwej do wkoaa. W ser wk pomarów rozkładają sę wokół wartośc średej w tzw. krzwą Gassa. Ab sę o tm przekoać ależ zakres pomarow podzelć a przedzał o rówej szerokośc oblczć, le pomarów z ser meśc sę w każdm z ch (rs. 1). Oczwśce zwększając moża zmejszć szerokośc poszczególch przedzałów rozkład, ale adal zostae zachowa jego dskret charakter. Obweda dzwoowa poprowadzoa po środkach przedzałów (patrz rs. 1) jest pewm wdealzowaem, pokazje wgląd rozkład ormalego, gdb bł fkcją cągłą (dla ). Taka

14 postać łatwej poddaje sę aalze matematczej dlatego jest często stosowaa, ale e ależ zapomać, że real rozkład ormal ma strktrę zarstą (dskretą). Cągł rozkład Gassa jest astępjącą fkcją matematczą: P 1 e (W.5) gdze parametr, zwa w statstce odchleem stadardowm, określa rozkład wków pomarów wokół wartośc średej. Kształt krzwej Gassa, zwaej róweż krzwą dzwoową, bardzo sle zależ od wartośc odchlea stadardowego. Na rs. pokazao przebeg krzwej Gassa dla klk różch wartośc odchlea stadardowego. Dla małch odchleń stadardowch krzwa jest bardzo stroma odchlea od wartośc oczekwaej są bardzo małe. Im wększe odchlee stadardowe tm krzwa jest bardzej płaska. Zaważm, że a krzwej Gassa moża wróżć obszar o przecwe skerowaej krzwźe. W okolc maksmm krzwa jest wpkła, a daleko poza maksmm wklęsła. Obszar o przecwej krzwźe są oddzeloe pktam przegęca, odpowadają m a os odcętch pkt. Poeważ rozkład Gassa opsje zjawsko probablstcze moża określć jede prawdopodobeństwo zalezea sę dowolego wk pomar ( = 1,, 3...) w określom przedzale wartośc, A B. I tak: w przedzale, meśc sę 68,6% wków z ser, w przedzale, meśc sę 95,45% wków z ser, w przedzale 3, 3 meśc sę 99,73% wków z ser. Prawdopodobeństwo, że da wk pomar z ser pomarowej zajdze sę w przedzale, wos zatem 0,683. Prawdopodobeństwo, z jakm w zadam przedzale zajdze sę dowol pomar z ser os azwę pozom fośc, a przedzał przedzał fośc.

15 Rs. 1. Rozkład pomarów w ser wokół wartośc średej jest rozkładem Gassa. Rs.. Przebeg krzwej cągłego rozkład ormalego w zależośc od odchlea stadardowego. Im wększe jest odchlee stadardowe, tm krzwa jest szersza bardzej spłaszczoa.

16 Rs. 3. Iterpretacja grafcza przedzałów fośc pozomów fośc p oraz współzależość mędz m. W terpretacj grafczej prawdopodobeństw zalezea wk pomar w odpowedm przedzale odpowada pole pod krzwą Gassa odcęte tm przedzałem prz założe, że pole pod całą krzwą rówa sę jede (rs. 3a, 3b).

17 Aalza kształt krzwej Gassa prowadz do wosk, że wbór przedzał, jako określającego rozrzt wków pomarów wokół wartośc średej jest ajbardzej optmal, co wka z fakt, że jest o wzaczo przez pkt przegęca krzwej. Sztcze zmejszee przedzał fośc do d, d (rs. 3c) prowadz do zaczego obżea pozom fośc (o pole pod krzwą Gassa odcęte przedzałam, d,, d, które jest dże, bo a tch odckach krzwa Gassa jest wpkła). Podesee pozom fośc (rs. 3d) jest możlwe tlko przez zacze poszerzee przedzał fośc do c, c, gdż pola pod krzwą w przedzałach oddaloch od średej dalej ż o woszą mał wkład do pozom fośc (krzwa Gassa a tch obszarach jest wklęsła). Odchlee stadardowe w teor pomarów przjmje sę za marę rozrzt wków pomar defje są jako epewość stadardową pojedczego pomar, którą oblcza sę prz pomoc wrażea: 1 1 (W.6) Wstępjąc w wraże czk 1 moża zasadć faktem, że poeważ część formacj zawartej w ser 1,, 3,... została wkorzstaa do określea wartośc średej, średae zwązae z odchleem stadardowm astępje z mejszą lczbą pktów swobod stąd dzelee przez 1 zamast przez. Natomast dla wartośc średej zawaej za wk ser pomarów jako epewość stadardową przjmje sę odchlee stadardowe wartośc średej wos oa: 1 1 (W.7)

18 Wartość epewośc stadardowej wartośc średej jest raz mejsza od epewośc stadardowej pojedczego pomar. Wartośc epewośc stadardowch lb, choć wzaczoe prz pomoc jedozaczch wzorów są rówe prawdzwm wartoścom odchlea stadardowego odchlea stadardowego średej tlko w grac dla eskończoej lośc pomarów. Dla skończoej lczb pomarów epewość pomar jest określoa ze skończoą dokładoścą. Przjmje sę, że dla wzaczea epewośc stadardowej jako odchlea stadardowego ależ wkoać 510 pomarów, co pozwala a oceę epewośc pojedczego pomar rzęd 030%. Wkowae zbt dżej lczb pomarów e jest opłacale, poeważ dokładość wzaczea epewośc dość powol zwększa sę ze wzrostem lośc pomarów. Reasmjąc wkoae ser pomarów możlwa: oszacowae epewośc spowodowach błędam przpadkowm, zwększee dokładość epewośc. Wkoae ewelkej lczb lb 3 pomarów moża przjąć jako sprawdza powtarzalośc, za wk pomar ależ wówczas przjąć średą, a dla oce epewośc pomar stosować oceę tp B. Trzeba zdecdowae sle podkreślć, że same parametr rozkład (, σ ) e dają pełej formacj statstczej. Taką formacją jest jede wkres rozkład w postac dskretej (tzw. hstogram) lb w postac cągłej. Pkt ekspermetale otrzmaego hstogram ejedokrote zacze odbegają od teoretczej krzwej Gassa, poeważ lość powtórzeń e jest wstarczająco dża. W ćwcze w cel łatwea otrzmaa docelowej cągłej krzwej rozkład stosjem metodę Smpsoa możlwającą przelczee pktów ekspermetalch P( ) a pkt położoe blżej docelowej krzwej P S ( ) w zwązk z tm łatwające jej zalezee. Zależość Smpsoa ma postać: P ), 5 P( ) P( ) P( ) (1.1) S( jest właścwoścą krzwej Gassa określającą współzależość trzech sąsedch pktów pomarowch. Parametr rozkład ormalego moża wzaczć astępjącm sposobam:

19 średa : a baze wzor (W.4); z wkres rozkład ormalego - jako mejsce położea jego maksmm; odchlee stadardowe σ : a baze wzor (W.6); z wkres rozkład ormalego określając położee pktów przegęć.

20 V.B Ocea epewośc pomarowej tp B Ocea epewośc pomarowej tp B jest stosowaa, gd statstcza aalza ser pomarów e jest możlwa. Taka stacja zachodz dla błęd sstematczego lb dla błęd przpadkowego, gd dostępch jest tlko klka rezltatów pomar. Co ma mejsce, gd ze względów ekspermetalch e ma możlwośc powtórzea dośwadczea. Ocea epewośc tp B opera sę a akowm osądze ekspermetatora, możlwe obektwm, wkorzstjącm wszstke formacje o pomarze źródłach jego epewośc. W tm cel może o wkorzstać mędz m: dośwadczee wedzę a temat przrządów obektów merzoch, formacje prodceta przrządów (p. klasę przrządów, dzałkę elemetarą), dae z poprzedch pomarów, epewośc przpsae dam zaczerpętm z lteratr. Ocea epewośc tp B polega a oszacowa epewośc maksmalej, ozaczaej smbolem (dża delta), czl ajwększej jaka może wstąpć w dam pomarze. Najczęścej ocea tp B dotcz określea epewośc wkającch ze skończoej dokładośc przrządów. Dla prostch przrządów, do którch moża zalczć ljkę, termometr, śrbę mkrometrczą, jako epewość maksmalą przjmje sę dzałkę elemetarą przrząd, p. oszacowaa epewość maksmala pomar temperatr prz pomoc tpowego termometr wos o Δ t 1 C. W elektroczch przrządach cfrowch wartość odpowadająca zmae ostatej cfr, zwaa dzałką elemetarą, określa rozdzelczość przrząd. Nepewość maksmala zazwczaj jest klkakrote wększa od dzałk elemetarej. Podawaa jest przez prodceta przrząd ajczęścej zależ od welkośc merzoej oraz zakres z, a którm dokoje sę pomar wzaczaa jest z zależośc: c c z. 1

21 Jeśl za pomocą woltomerza, dla którego podae przez prodceta wartośc c 1 c woszą odpowedo: c 1 =0,% c =0,1% zmerzoo apęce o wartośc U = 98,5 V a zakrese z = 150 V, to epewość maksmala tego pomar jest rówa 0,35 V. Na końcow wk oszacowaa epewośc oprócz dokładośc przrządów składa sę róweż dokładość samego ekspermetatora. Własą epewość odczt, cz edoskoałość zmsłów, szczególe trdo jest oceć. Podczas pomar czas prz pomoc stopera ależ względć szbkość reakcj fzjologczej podczas jego włączaa włączaa, która może bć rzęd 0, s lb mejsza. Moża ją oszacować próbjąc klkkrote zatrzmać stoper a określoej pozcj. Łącza epewość pomar może bć dwkrote wększa, poeważ edokładośc zwązae zz rozpoczęcem zakończeem pomar smją sę. W wk takej aalz może sę okazać, że w cel zwększea dokładośc pomar żce preczjejszego stopera jest bezcelowe. Lepszm rozwązaem będze zastosowae elektroczego pomar czas z żcem fotokomórk. Jak wka z określea epewośc maksmalej, jeśl e wstępją żade dodatkowe formacje, wk pomar powe wstąpć z jedakowm prawdopodobeństwem w przedzale. Dla rozkład jedostajego, któr wstępje w tm przpadk jako odchlee stadardowe przjmje sę połowę szerokośc rozkład podzeloą przez 3. Zgode z zaleceam orm [1] zaleca sę epewość stadardową wrazć poprzez epewość maksmalą za pomocą wzor: 3 (W.8) Gd wstępją oba tp epewośc zarówo statstcz rozrzt wkając z błędów przpadkowch jak epewość wkająca z dokładośc przrządów obe są tego samego rzęd, to żada z ch e może bć pomęta. W tm przpadk całkowta epewość stadardową wraża sę wzorem: 3 (W.9)

22 VI. Nepewość stadardowa pomarów pośredch Wele welkośc fzczch e moża wzaczć jako wk pomar bezpośredego. Take welkośc są zwązae z k m welkoścam fzczm 1,,... k wzaczam z pomarów bezpośredch odpowedą zależoścą fkcją: f,..., 1, Po przeprowadze pomarów zae są wk 1,,..., stadardowe,,..., 1 k k merzoch welkośc 1,,... k. (W.10) k epewośc Jako wk pomar welkośc przjmje sę welkość wzaczoą z zależośc: f 1,,..., Wartość obarczoa jest pewą skończoą epewoścą epewośc stadardowe welkośc merzoch bezpośredo Nepewość k (W.11) c, a która przeoszą sę,,.., 1. c os azwę epewośc złożoej (od agelskego term combed certat), a sposob jej oblczaa to prawo przeoszea epewośc lb prawo propagacj epewośc. W przpadk pomarów bezpośredch eskorelowach tz. gd każdą z welkośc 1,,... k wzacza sę ezależe, bezwzględą epewość złożoą welkośc szacje sę prz pomoc astępjącego wzor: c 1 k... Pochode cząstkowe 1 (W.1) k k 1 k c oblcza sę różczkjąc zwązek f,..., względem zmeej traktjąc pozostałe zmee jak stałe. 1, k

23 Prawo przeoszea epewośc przjmje przejrzstą wgodą do praktczch oblczeń postać, gd zamast epewośc złożoej bezwzględej zostae wzaczoa epewość złożoa względa r c, : c r c, (W.13) W tm cel wrażee (W.1) dzelm obstroe przez, a astępe wrażea wewątrz awasów po prawej stroe rówośc możm dzelm przez k, co prowadz do postac: k c 1 (W.14) Nepewość złożoą względą moża zatem wrazć jako smę geometrczą epewośc względch welkośc merzoch bezpośredo pomożoch przez bezwmarowe wag w w postac w, czl k r r c w 1, (W.15) Jeśl zależość fkcja pomędz welkoścam 1,,... k wrażoa jest w postac potęgowo loczowej tp: k k C (W.16) to wag w są odpowedo rówe: k k C C w k k (W.17) czl epewość złożoa względa welkośc wraża sę zależoścą:

24 c, r c k r 1 k 1 (W.18) W szczególm przpadk jeśl welkość wraża sę zależoścą loczowo - lorazową welkośc 1,,... k, prz oblcza wag otrzmje sę jako wk jedość. W tm przpadk złożoa epewość względa jest smą geometrczą względch epewośc welkośc : c r k c, r 1, (W.19) Wartośc wag dla ajczęścej spotkach fkcj zebrae są w poższej tabel, gdze smbol C ozacza e tlko stałą, ale róweż pozostałą cześć wzor fkcjego e zawerającą zmeej, czl staowącą czk stał prz oblcza odpowedej pochodej cząstkowej. tp zależośc fkcjej C a Ce waga w a C la 1/ la Otrzmae zgode z prawem przeoszea epewośc wrażee (W.1) wążące epewość złożoą k c welkośc z epewoścam stadardowm, 1,.., welkośc 1,,... k merzoch bezpośredo jest słsze zarówo w przpadk wzaczea epewośc epewośc tp A jak oce tp B.,,.., 1 z zastosowaem metod oce Jeżel bezpośrede pomar welkośc 1,,... k pozwalają jede a zastosowae metod oce epewośc tp B, czl wzaczee epewośc maksmalch 1,,... k k, wówczas względając jedostaj rozkład

25 merzoch welkośc w przedzałach ależ zgode z wrażeem (W.8) oblczć epewośc stadardowe pomarów bezpośredch jako: 3 (W.0) W tm przpadk wrażee opsjące epewość złożoą sprowadza sę do postac: k k k c (W.1) a dla zależośc potęgowo loczowej (W.16) epewość złożoa względa k c r c 1, 3 1 (W.) Prawdłowo przeprowadzo rachek epewośc atomatcze odpowada a ptaa: które welkośc fzcze ależ zmerzć z wększą dokładoścą dla zskaa zmejszea epewość pomarowej welkośc wkowej ; która epewość stadardowa bezwzględa wos ajwększ wkład do polczoej epewośc złożoej r c, Otrzmae wosk z aalz błędów są waże poczające gdż pozwalają a ewetale efektwejsze powtórzee dośwadczea.

26 VII. Nepewość rozszerzoa Nepewośc stadardowa epewość złożoa c wzaczają przedzał domkęte, take że prawdopodobeństwo zalezea wartośc rzeczwstej pomar odpowedo w przedzale od c do lb od do wos 0,683. Nepewośc te są marą dokładośc pomarów możlwają porówwae dokładośc różch metod pomarowch. Ab wcągać wosk o zgodośc wk pomar z m wkam Mędzarodowa Norma Nepewośc Pomarów [1] wprowadza pojęce epewośc rozszerzoej (z jęzka agelskego epaded certat), ozaczaej Nepewość rozszerzoą wbera sę tak, ab w przedzale U c U., zwam przedzałem objęca zajdowała sę przeważająca wększość wków pomar, potrzeba do określoch zastosowań. Wartość epewośc rozszerzoej U jest loczem epewośc stadardowej bezwmarowego współczka rozszerzea k: U k (W.3) Tak zdefowa przedzał objęca moża tożsamać z przedzałem fośc, a prawdopodobeństwo objęca z pozomem fośc. Przkładowe pozom fośc dla klk ajczęścej stosowach współczków k podaje poższa tabela: Tabela 1. Pozom fośc dla wbrach współczków rozszerzea k. współczk rozszerzea k pozom fośc 1 0,683 1,8 0,800 1,65 0,900 0,954,33 0, ,997

27 W przpadk oce tp B dla epewośc stadardowej przedzał objęca e ma ścsłej terpretacj statstczej. W zgodze z mędzarodową praktką do oblczea epewośc rozszerzoej przjmje sę wówczas domśle wartość k=. Wartośc e ż mogą bć stosowae tlko w wk deczj prawoego eksperta pow wkać z staloch dokmetowach wmagań [3]. Tpowe zastosowaa epewośc rozszerzoej to woskowae o zgodośc zskaego wk z wartoścą dokładą: teoretczą (określoą prz pomoc teor) lb tabelarczą p. stałą przrod, wzaczoą w wk pomarów, ale aktale zaą z bardzo dżą dokładoścą. Porówae wartośc zmerzoej z wartoścą dokładą 0 polega a porówa różc 0 z epewoścą rozszerzoą U. Jeśl speło jest warek: 0 U (W.4) to wartość zmerzoą zajem za zgodą z wartoścą dokładą. Ab określć, cz wk dwóch ezależch pomarów tej samej welkośc 1 są rówe w gracach epewośc pomar, ależ porówać różcę tch wków z epewoścą rozszerzoą tej różc. Jeśl epewośc stadardowe pomarów są rówe odpowedo 1, to zgode z prawem przeoszea błędów epewość stadardowa różc jest rówa sme geometrczej a epewość rozszerzoa: U 1 1 k 1 1 Wk ob pomarów moża zać za zgode, jeżel U. 1 1, 1 : (W.5) (W.6)

28 VIII. PRZYKŁAD - Dokładość metod zerowej mostkowej Zasada bdow rówoważea mostka Wheatstoe a jest zgoda z rskem przedstawom pożej, gdze l l l3 to całkowta dłgość drt. Ramę AC odpowada merzoej rezstacj R X, zaś ramę AD wzorcowej rezstacj zatczkowej R 4. Welkośc rezstacj R R 3 (odck drt ślzgowego) zależą od położea swaka reochord. Prz przeswa jego swaka zmeają sę welkośc rezstacj R R 3, a w zwązk z tm ch stosek. Pomar ezaej rezstacj sprowadza sę do zalezea takego położea swaka reochord, prz którm przez galwaometr e płe prąd. Powższa operacja os azwę rówoważea mostka. W rzeczwstch kładach dodatkowo stalje sę komtator słżąc do zama mejscam rezstacj włączoch w ramoa mostka bez przełączaa przewodów. Stosowae komtatora jest wskazae z tego powod, że drt reochord e bwa całkowce jedorod wzdłż całej dłgośc dlatego stosek R / R 3 e jest dokłade rów stoskow l /l 3. Obwód zasla jest prądem stałm.

29 Zastosjem teraz rachek epewośc do wzaczea ajlepszego pkt pomar. Mmo brak zajomośc wartośc merzoch ch epewośc będze moża wzaczć jak przeprowadzć ćwczee, b rezltat bł obarczoe jak ajmejszą epewoścą. Wartość tej epewośc będze moża wzaczć po wkoa ćwczea. W przpadk, gd opork R, R 3 są odckam drt ślzgowm, warek rówowag mostka ma postać: gdż: l S R R X l l R4 R4 (P.1) l l l 3 l. (P.) S 3 R3 gdze: l l l3 całkowta dłgość drt, opór właścw drt, S powerzcha przekroj drt. Rozpatrzm zależość (P.1), z której metodą pośredą określam wartość ezaej rezstacj R X. Merzm l z epewoścą maksmalą l. Wartość l oraz R 4 został zmerzoe ze zacze wększą preczją. Załóżm, że ch epewośc maksmale woszą odpowedo l oraz R4. Wówczas epewość złożoa bezwzględa wzaczaej rezstacj wese (patrz wzór W.1): c R X 1 3 R l X l R X l l R X R 4 R 4 (P.3) Prz pomęc wkładów od błęd l oraz R4 jako zacze mejsze od wkład pochodzącego od l powższ wzór przjmje postać: a epewość względa: c, r R c 1 l l (P.4) 3 ( l l ) RX R4 X c RX 1 l l (P.5) R 3 l ( l l ) X

30 Nepewość względa osąga mmm dla takej wartośc l, prz której maowk powższego wrażea osąga maksmm. Łatwo zaważć, że warek te ma mejsce dla l l, czl w stacj, gd l l3 (tz. R = R 3 ). Wówczas speło jest warek R X = R 4. Dla tej szczególej stacj epewość względą wzaczaej rezstacj możem wrazć epewoścą względą zmerzea dłgośc l : Wzór powższ możem stosować, gd R X mało róż sę od R 4, c, r R X l (P.6) 3 l czl gd l jest blske l. Poszkwaą wartość epewośc będze moża wzaczć po wkoa ćwczea ze wzor (P.6) gd swak reochord zajdje sę blsko połow dłgośc drt ślzgowego.

31 IX. PRZYKŁAD rozkład statstcz Mawella W mechace klasczej pełej formacj o cząsteczce dostarczają fkcje położea oraz prędkośc. Zazwczaj moża je zapsać w postac f r v RrV v,. Aalogczej formacj w ramach termodamk (ops statstczego) dostarczają fkcje rozkład prawdopodobeństwa zalezea w gaze cząsteczk, która: ma prędkość z przedzał V V dv,, zajdje sę w pewm obszarze (p. a wsokośc z przedzał h h dh, ). Sta gaz możem też opsać podając jego temperatrę, cśee, zajmowaą objętość, masę lb lość mol. Perwsze dwa parametr zwązae są z prędkoścam z jakm porszają sę cząsteczk gaz. Z drgej stro zajomość tch parametrów e pozwala jeszcze określć z jakm kokretm prędkoścam porszają sę poszczególe cząsteczk gaz. Cząsteczk gaz porszają sę chaotcze, co ozacza, że wszstke kerk rch są jedakowo prawdopodobe. Wartośc prędkośc cząsteczek są róże obejmją szerok przedzał wartośc. Gdb wszstke cząstk mał taką samą prędkość, to stacja taka e mogłab trwać dłgo poeważ w gaze dochodz do zderzeń. Zakładając awet, że są to tlko zderzea sprężste jedakowch cząsteczek, e są to tlko zderzea cetrale. Zderzea ecetrale zmeają wektor prędkośc cząsteczek (wartośc kerk). Pojawa sę t rozkład statstcz prędkośc ale e jest to rozkład Gassa. Fkcja rozkład Mawella-Boltzmaa określa lczbę dn cząstek którch prędkośc zawarte są w przedzale V, V dv, a położea w przedzale r r dr, dla przpadk klasczego (ekwatowego) kład cząstek (p. gaz jedoatomowego lb gaz cząsteczkowego) będącego w rówowadze termodamczej. Po średe prędkośc z rozkład Mawella-Boltzmaa zskje sę rozkład Boltzmaa fkcję rozkład lośc cząsteczek w wróżom obszarze. Po scałkowa współrzędch przestrzech z rozkład Mawella-Boltzmaa zskje sę rozkład Mawella fkcje rozkład prędkośc cząsteczek.

32 IX.a Rozkład Mawella prędkośc cząsteczek gaz doskoałego James Clerk Mawell ( ), szkock fzk matematk, perwsz rozwązał zagadee ajbardzej prawdopodobego rozkład prędkośc welkej lczb cząstek gaz doskoałego: gdze: N V 4N 0 m kt 3/ V mv ep kt N V dv jest lczbą cząstek w próbce gaz mającch prędkośc z przedzał V, V dv, T jest temperatrą bezwzględą, k jest stała Boltzmaa, m jest masą (1) cząsteczk, N0 jest całkowtą lczbą cząsteczek w próbce 0 N 0 N V dv. Charakter rozkład Mawella (1), przedstawo jest a rs.1 dla przpadk obejmjącego mloa cząsteczek podzeloch a sto przedzałów prędkośc. Możem tam wskazać: prędkość ajbardzej prawdopodobą V p odpowadającą maksmm fkcj (przedzał mer 4 zawerając cząsteczek), prędkość średą V śr dla której steje taka sama lczba cząsteczek porszającch sę szbcej jak wolej od ej (przedzał od 1 do 6 zawerają cząsteczek, a przedzał od 1 do 7 zawerają cząsteczek). Prędkośc V p V śr, zależe od temperatr, moża wzaczć z (1). Prędkość ajbardzej prawdopodobą wzaczam szkając maksmm fkcj z wark zerowaa perwszej pochodej, w wk otrzmjem: V N dv V N dv 4N 0 4N 0 m kt m kt 3/ 3/ V mv ep kt dv mv V ep V kt mv ep kt mv kt (a) (b)

33 lczba cząsteczek przedzał prędkosc (v, v+dv) Rs.1. Charakter rozkład Mawella lczba cząstek dla kolejch zakresów prędkośc. zerowae sę pochodej jest możlwe tlko wted, gd zerje sę wrażee w awase kwadratowm czl: mv V ep V kt mv mv ep kt kt mv ep kt mv V kt 0 Zerowae sę wrażea w awase kwadratowm gwaratje stee maksmm fkcj (dla V=0 mam mmm) stąd prędkość ajbardzej prawdopodoba to (c) kt kt V p 1, 41 (3) m m Prędkość średą wzaczam całkjąc (smjąc) prędkośc wszstkch cząsteczek dzeląc otrzmaą prędkość przez lczbę cząsteczek, w wk otrzmjem: stąd N 0 0 N V dv 3/ m mv 4N 0 V ep dv kt 0 kt (4a) 1 kt 4 m 3/ 0 V mv ep kt dv (4b)

34 chcąc skorzstać ze wzor a całkę eozaczoą tp a 0 ep ep d a a a 1 ależ zmeć zmee. Nowa zmea jej różczka V, d dv e zmeają grac całkowaa, stąd rówae (4b) przjmje postać 3/ 1 kt m d ep 4 m kt 0 (4c) po powroce do perwotch zmech praszczając rówae kt 4 m Ostatecze prędkość średa wos m ep V kt m kt m V kt 3/ 1 m mv m ep V 1 8kT kt kt 1 (4d) (4e) 8kT V 1, 59 m kt m (5) IX.b Wzór barometrcz Załóżm, że N cząstek wpeła acze o wsokośc H pol podstaw S. Cząstk te wwerają cśee a ścak acza cała zajdjące sę wewątrz, które jest wższe podstaw acza a ższe a górze ph ph dh zwązaa z wsokoścą wos dp ph dh ph. Różca cśeń. Przez (h) ozaczam kocetracja cząstek (lość przpadającą a elemet objętośc). Ilość cząstek w acz a pewej wsokośc to dq mg hsdh dn hsdh, ch masa to dm dnm mhsdh, a ch cężar. Cząstk te wwerają cśee

35 Rówae sta gaz doskoałego gdze: lczba mol gaz, R stała gazowa. dq dp mghdh (6) S pv RT (7) W stałej objętośc ( HS ) różczka wrażea (7) podstawoa do (6) daje RTd mghdh (8) skąd obstroe całkjąc wzaczając (h) mam d mg dh (9) RT mg l h h C (10) RT mg mg mg ep (11) RT RT RT h h C epc ep h C' ep h Wartość stałej C' zajdzem z wark, że wszstkch cząstek w acz jest N stąd N h d SC' H 0 ep mg RT Nmg C' SRT 1 ep hdh SC' mgh RT RT mg 1 ep mgh RT Ostatecze wrażee (9) przedstawa zależość średej kocetracj gaz a wsokośc h w pol grawtacjm przjmje postać h mg SRT1 ep mgh RT N ep Zależość ta może też bć wrażoa poprzez cśee pające a wsokośc h p h p 0 ep mg RT h mg RT h (1) (13) (14) (15)

36 IX.c Ilość klek wrzcach z komor pozostałch w komorze W kładze laboratorjm oprócz wzaczaa rozkład barometrczego cśea klek możem też wzaczać lość klek, które opścła komorę przez otwór lb pozostała w komorze. Szbkość bwaa klek z komor jest proporcjoala do ch d lośc zależ od mejscowea oraz welkośc otwor. Jeżel przez dt ozaczm szbkość bwaa klek a przez c lość klek która wlecała przez otwór (c pewa stała) to welkośc te mszą bć rówe: d c 0 (16) dt przeosząc czło a dwe stro rówaa grpjąc czło z lczą klek po jedej stroe d cdt (17) Całkjąc obstroe od czas początkowego do końca trwaa dośwadczea w dzedze lośc zaczam od 0 klek a dochodzm do klek w komorze 0 d c t 0 dt (18) Rozwązaam tch całek jest wrażee l t 0 ct z którego wzaczam lość klek pozostałą w komorze po czase t t ep ct (19) 0 (0) Aalogcze moża wzaczć lość klek, która wpadła przez otwór, a która jest dopełeem do lośc klek z którą rozpoczęlśm dośwadczee t 1 ep ct 0 (1) Wrażea (0) (1) opsją wele zagadeń w fzce p. rozpad zotopów, stgęce cecz, ładowae rozładowae kodesatora.