Metody numeryczne w C++Builder

Transkrypt

1 IDZ DO PRZY DOWY ROZDZI SPIS RE CI LOG SI E LOG ONLINE ZMÓW DRUOWNY LOG Mody umrycz w CBuldr uorzy: Brrd Bro, uksz P¹k ISBN: X Form: B5, sro: 55 WÓJ OSZY DODJ DO OSZY CENNI I INFORMCJE ZMÓW INFORMCJE O NOWO CICH ZMÓW CENNI CZYELNI FRGMENY SI E ONLINE Mody umrycz s¹ o sposoby rozw¹zyw z³o oych problmów mmyczych z pomoc¹ rzêdz oblczowych udosêpych przz populr jêzyk progrmow Jd z jpopulrjszych jêzyków C, choc by³ projkowy z my l¹ o zsosowu go w oblczch umryczych, posd mchzmy, kór umo lwj¹ sosukowo ³w¹ mplmcjê lgorymów oblczowych Dzêk uwrslo c mchzmu szbloów progrms mo worzyæ procdury umrycz, w kórych d sê okr læ prcyzjê oblczñ zmoprzckowych Procdury sworzo w C dj¹ sê do przprowdz oblczñ zrówo w dzdz lczb rzczywsych, jk zspoloych s¹ k Mody umrycz w CBuldr przdsw jczê cj wykorzysyw lgorymy umrycz wrz z przyk³dm ch mplmcj w jêzyku C d zgd js omówo zrówo od sroy oryczj, jk prkyczj, co u³w jgo zrozum pozwl modyfkcj zmszczoych w ks¹ c kodów ród³owych s¹ k zwr rów ops zgdñ zw¹zych z jêzykm C, zbêdych do poz prwd³owgo wykorzysyw bblok oblczñ umryczych lgbr mcrzy rów low C³kow ró czkow umrycz Wybr lgorymy rpolcj proksymcj Wyzcz mmów fukcj Rozw¹zyw rówñ lowych wyzcz wro c w³sych mcrzy Uk³dy rówñ ró czkowych lowych lowych Przksz³c Fourr Lplc Wydwcwo Hlo ul Chop Glwc l ml: hlo@hlopl

2 Sps rśc Przdmow 7 Rozdzł Dfcj ypów, fukcj, kls wzorców dl zgdń umryczych 9 Zsosow wzorców C w bbloc oblczń umryczych Dfcj wzorc klsy lczb zspoloych3 3 Orgzcj bblok oblczń umryczych5 4 Fukcj kowrsj lczb rzczywsych zspoloych łńcuch odwro 6 5 Użyc wzorc klsy vcor do mplmcj wkorów w języku C 8 5 Oprcj wkorch zdfowych bz koru vcor 6 Mcrz jko wkor wkorów 7 Zps odczy wkorów orz mcrzy kompoc SrgGrd 4 8 Fukcj wzorcow do zpsu odczyu plków mcrzy 4 9 Wykorzys fukcj mmyczych zwrych w bbloc mhh5 Przkzyw wskźków fukcj do procdur mplmujących lgorymy oblczń umryczych7 Dymcrry wzorzc vlrry jko lryw dl wzorc klsy vcor 9 Wyśwl komuków o błędch mplmcj wskźków posępu 9 Rozdzł lgbr mcrzy rów low 33 Mod bzpośrdgo rozwązyw ukłdu rówń mcrzowych modą lmcj Guss34 Sklow ukłdu rówń lowych 38 Rozwązyw ukłdu rówń lowych wdług lgorymu Crou4 3 Oblcz mcrzy odwroj modą lmcj Guss44 4 Oblcz mcrzy odwroj modą Crou 48 5 Oblcz wyzczk mcrzy kwdrowj53 6 Wskźk uwrukow mcrzy 54 7 Oblcz wrośc włsj mcrzy kwdrowj o jwększym modul56 8 Oblcz wrośc włsj mcrzy α o jwększym modul 57 9 Rozwązyw ukłdu rówń lowych modą rcj Jcobgo orz Rchrdso59 Rozwązyw ukłdu rówń modą Guss-Sdl orz modą drlkscj6 Psudorozwąz ukłdu dokrślogo65 Mod jmjszych kwdrów7 3 lgorym Crou rozwązyw rzdkch ukłdów rówń lowych73 4 lgorymy rcyj Rchrdso orz Guss-Sdl dl mcrzy rzdkch8 Przykłdy 88

3 4 Mody umrycz w CBuldr Rozdzł 3 Prkyk bd fukcj 3 Cłkow różczkow umrycz 3 Eksrpolcj row Rchrdso k 3 Cłkow umrycz 9 33 Różczkow umrycz3 34 Grd fukcj wlu zmych4 35 Jcob fukcj wkorowj wlu zmych Hsj fukcj wlu zmych47 3 Wybr mody proksymcj rpolcj lowj fukcj jdj zmj 49 3 proksymcj modą jmjszych kwdrów5 3 proksymcj fukcj dyskrj wlomm5 33 proksymcj ukłdm fukcj orogolych proksymcj wlomm orogolym54 35 Implmcj mod proksymcj Irpolcj fukcj dyskrj krzywą łmą Irpolcj wlomm poęgowym Lgrg 7 38 Irpolcj fukcjm skljym7 39 Irpolcj fukcjm wlomm orogolym7 3 Mody rpolcj w rmch klsy Irpolcj Wybr mody poszukw mmum fukcj wlu zmych modm bzgrdowym Wyzcz mmum fukcj wlu zmych bzgrdową modą poszukwń prosych Hook -Jvs9 33 Bzgrdow mod złogo podzłu poszukw mmum Bzgrdow mod Powll poszukw mmum fukcj wlu zmych 34 Wybr mody poszukw mmum fukcj wlu zmych modm grdowym 5 34 Mod kspsj korkcj gomryczj z jdym sm bd współczyk kroku przy poszukwu mmum w kruku 6 34 Mod proksymcj prbolczj z jdym sm bd współczyk kroku przy poszukwu mmum w kruku 343 lgorym jwększgo spdku Zmodyfkowy lgorym Nwo 7 Przykłdy Rozdzł 4 Rów low, zr wlomów, wrośc włs mcrzy 63 4 lgorymy rozwązyw ukłdów rówń lowych64 4 Rozwązyw ukłdów rówń lowych modą Nwo 65 4 Rozwązyw ukłdów rówń lowych modą grdową Rozwązyw ukłdu rówń lowych zmodyfkową modą Nwo7 44 Rozwązyw ukłdów lowych modą rcyją Psudorozwąz lowgo ukłdu dokrślogo modą Hook -Jvs78 4 Wyzcz zr wlomów modm Brsow Lgurr 8 4 Dzl wlomów o współczykch rzczywsych przz czyk lowy wdług lgorymu Horr 8 4 Dzl wlomu przz czyk kwdrowy 8 43 Wyzcz dzlków wlomu sop N> w posc rójmu kwdrowgo modą Brsow8 44 Wyzcz zr wlomów o współczykch rzczywsych87 45 Wyzcz zr wlomu modą Lgurr Wyzcz wszyskch zr wlomu modą Lgurr 9

4 Sps rśc 5 43 Wyzcz wrośc włsych mcrzy modm Brsow Lgurr Wyzcz współczyków wlomu chrkrysyczgo mcrzy kwdrowj modą ryłow93 43 Wyzcz wrośc włsych mcrzy modą Brsow Wyzcz wrośc włsych mcrzy modą Lgurr Wyzcz zr fukcj jdj zmj modą połow przdzłu98 Przykłdy99 Rozdzł 5 Ukłdy zwyczjych rówń różczkowych lowych 35 5 Ukłd rówń różczkowych jko kls progrmow obkowgo 37 5 Dfcj ypów do zdw ukłdu rówń różczkowych lowych37 5 Dfcj klsy prooypowj dl kls mplmujących rozwązyw ukłdu rówń różczkowych Dfcj klsy prooypowj dl kls poomych doyczących rozwązyw ukłdu rówń różczkowych lowych proksymcj dyskrych wrośc wkorów su37 55 Fukcj pomoccz do dzł wkorch su 33 5 Mody Ruggo-uy Rozwązyw ukłdu rówń różczkowych zwyczjych modą Ruggo-uy z uomyczym doborm kroku cłkow Mody Fhlbrg34 55 Rozwąz ukłdu rówń różczkowych lowych zwyczjych modą Fhlbrg z uomyczym doborm kroku cłkow Rozwąz ukłdu rówń różczkowych lowych zwyczjych modą Dormd-Prc z uomyczym doborm kroku cłkow Mod wlokrokow rozwązyw ukłdu rówń różczkowych lowych z człom przwdyw dms-bshforh orz człom korkcyjym dms- Mulo z uomyczym doborm kroku rzędu lgorym dms-bshforh lgorym dms-mulo lgorymy przwdyw korkcj wyrżo przz mcrz Nordsck Fz wsęp oblczń Mody klsy dmsmulobsrc dmsmulo rlzując lgorym dms-mulo Rozwązyw ukłdu rówń lowych modą szywo sblych lgorymów Gr Mod Grgg z ksrpolcją Bulrsch-Sor395 Przykłdy43 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 45 6 Rów różcow dl różych proksymcj fukcj wymuszjących49 6 Wymusz proksymow fukcjm przdzłm słym 43 6 Wymusz proksymow fukcjm przdzłm lowym Wymusz proksymow wlomm sop druggo Dobór kroku cłkow z względu dobór górj grcy błędu oblcz mcrzy orz z względu umryczą sblość rozwąz Dfcj ypów dl lowych rówń różczkowych Numrycz rozwązyw rówń różczkowych lowych o słych współczykch dl proksymcj wymuszń fukcjm przdzłm słym44

5 6 Mody umrycz w CBuldr 64 Numrycz rozwązyw rówń różczkowych lowych o słych współczykch dl proksymcj wymuszń fukcjm przdzłm lowym Numrycz rozwązyw rówń różczkowych lowych o słych współczykch dl proksymcj wymuszń fukcjm przdzłm kwdrowym447 Przykłdy 45 Rozdzł 7 Prkyk przkszłcń Fourr Dyskr rsformcj Fourr wdług lgorymu Horr Szybk przkszłc Fourr wdług lgorymu Cooly-uky Szybk przkszłc Fourr wdług lgorymu Sdgo-uky Wyzcz współczyków zspologo szrgu Fourr dl dowolj fukcj okrsowj Oblcz odwroj rsformcj Fourr dl dowolj rsformy478 Przykłdy 48 Rozdzł 8 Prkyk przkszłcń Lplc Numrycz oblcz rsformcj odwroj Lplc w wybrj chwl czsu z zsosowm szrgów Fourr Numrycz oblcz rsformcj odwroj Lplc w wybrj chwl czsowj z zsosowm szrgów Lgurr 5 83 Numrycz oblcz rsformcj odwroj Lplc w wybrj chwl czsowj wdług lgorymu Vls Oblcz rsformcj odwroj Lplc fukcj wymrj podsw jj pozosłośc w bguch 5 84 Dfow klsy do oblcz odwroj rsformcj Lplc fukcj wymrj podsw jj pozosłośc w bguch 53 Przykłdy58 Bblogrf 53 Skorowdz 535

6 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch Zdy js ukłd N rówń różczkowych lowych jdorodych: W j j N j j u b d d,,,,n, 6 gdz współczyk orz b są rzczyws Ukłd moż zpsć w posc mcrzowj: d d Bu, 6 gdz: N ; d d d d d d d d N ; NN N N N N ;

7 46 Mody umrycz w CBuldr b b b W B b b b W ; b b b N N NW u u u u w N człoy jdorod ukłdu 6 skłd sę W wymuszń u j j,,, W wysępujących z współczykm b mcrzy prosokąj B W or rów 6 crlą rolę odgryw fukcj wykłdcz, mcrzy kwdrowj przmożoj przz zmą zlżą, zdfową szrgm mcrzowym [7]:! k k k! k k! 63 Szrg mcrzowy 63 js rówowży z N zwykłych sklrych szrgów poęgowych: k δ { } { },,j,,,n! k! Dl zrozum kosrukcj cłk ogólj rów 6 zbęd będą sępując włsośc fukcj wykłdczj : Jżl, o zgod z dfcją 63 mcrz jdoskow N N-wymrow 64 Jżl mcrz komuuj z mcrzą B, węc B B, o: B B 65 3 Powż mocy włsośc 65, węc mcrz odwro mcrzy m posć: [ ] 66 4 Różczkując ob sroy rów mcrzowgo 63 z względu orz wyłączjąc wspóly czyk z wyrzów szrgu skończogo, orzymujmy: d d 5 Możąc lwosro lub prwosro rów mcrzow 67 przz mcrz odwro mcrzy, sęp cłkując k orzymyw rów z względu od do, orzymujmy: 67

8 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 47 d 68 Do rozwąz ukłdu rówń różczkowych lowych 6 moż zsosowć modę uzm słych W ym clu jprw rozpruj sę przypdk, gdy u, co ozcz, ż rów 6 js jdorod d d Łwo wykzć, ż cłk ogól rów jdorodgo 69 m posć: y, 6 gdz y js wkorm N-wymrowym o skłdowych słych 69 Iso, z włsośc 67 wyk d d d d y y 6 Zgod z modą uzm słych przyjmuj sę dlj, ż wkor y js fukcją zmj, co dj: y, 6 sęp podsw sę wyrż 6 do rów jdorodgo 6 z uwzględm włsośc 67 y dy d y Bu 63 Uprszczjąc rów 63 o czło y orz możąc j lwosro przz mcrz, orzymujmy mocy włsośc 66 dy d Bu Cłkując rów 64 z względu od do, orzymujmy: 64 y y Bu τdτ 65 Jżl zdy js wkor wrośc począkowych, o odpowdjący mu wkor y możmy wyzczyć z rów 6, sosując włsość 66 y 66 Uwzględjąc rów 65 wrz z podswm 66 w rówu 6, orzymujmy sępując rozwąz rów 6

9 48 Mody umrycz w CBuldr d τ τ τ Bu 67 Rów 67 dj sę do bzpośrdgo oblcz umryczgo Rozwąz dokłd 67 rów 6 możmy jdk wykorzysć w modz krokowj, zsępując o rów rówm różcowym, przyjmując k k [ ] k k k d k k τ τ τ Bu 68 W oblczu cłk 68 mogą wysąpć rudośc zwąz z wysępowm ujmych dużych co do modułu wrośc włsych mcrzy Z względu możlwość kgo przypdku, musmy proksymowć fukcję wkorową wymuszjącą u, zmjąc jądr w cłc rów 68 Nch zchodz przypdk ogóly, dl kórgo mcrz m dzlk lmr: s p s p p,,,, gdz wśród wrośc włsych,,, s mcrzy będących, zgod z dfcją, zrm wlomu chrkrysyczgo mcrzy d I mogą być lczby jdkow; N p, przy czym p p p s M Dowodz sę, ż w km przypdku sj k mcrz osoblw S, ż S CS, 69 gdz mcrz C js mcrzą qus-dgolą zwą koczą mcrzą Jord [3] p p p I I I C ; p I 6 Sosując rsformcję 69, fukcję wykłdczą możmy przkszłcć sępująco: S S C S C S CS S 6 Powż mcrz C js qus-dgolą, o:

10 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 49 C I p I p I ps s 6 Zgod z dfcją mcrzowj fukcj wykłdczj orz mcrzy 6 zchodz [3]: I p! p p p 3 p! p! p 3! 63 Wzory 67, 6 6 okrślją srukurę rozwąz rów różczkowgo 6, w szczgólośc jgo zwązk z wroścm włsym wysępującym w kombcjch fukcj przmożoych przz wlomy P wększgo sop ż p, gdz p js sopm dzlk lmrgo odpowdjącgo wrośc włsj, j P Złóżmy w ogólym przypdku, ż wrośc włs mcrzy są zspolo Jżl R { } α > α jβ,,,,n 64, o odpowd skłdk rozwąz P wzrsją wykłdczo z człom wlomowym P gdy czs wzrs Jżl α <, o odpowd skłdk rozwąz P mlją gdy czs wzrs W kżdym przypdku, jśl { } β Im, o jk wdomo worzy zspoloą prę sprzężoą z odpowdą wroścą włsą, co odpowd skłdkow rozwąz susodlmu z wgą wykłdczą wlomową P P α s β 65 6 Rów różcow dl różych proksymcj fukcj wymuszjących Do umryczgo rozwąz ukłdu rówń różczkowych lowych 6 możmy wykorzysć rów różcow 68, przyjmując różą proksymcję fukcj wymuszjącj u W jszym oprcowu pod będą kosrukcj ych lgorymów dl rzch przypdków, mowc dl proksymcj fukcj wymuszjącj w posc fukcj przdzłm słj, lowj kwdrowj

11 43 Mody umrycz w CBuldr 6 Wymusz proksymow fukcjm przdzłm słym Nch wymusz wkorow u js d w posc fukcj przdzłm słj, kj, ż: u uk dl k k, k,,, 66 W km przypdku wykoując cłkow w rówu różcowym 68 z uwzględm wzoru 68, orzymujmy [7]: k τ k Bu τ dτ - τ k k Bu k k k Bu k 67 Umszczjąc powyższy wyk cłkow w rówu 68, orzymujmy: k k k [k ] k k Buk, gdz: mcrz jdoskow Buk 68 W rówu różcowym 68 powśmy, z względu mmum oprcj umryczych, oblczć mcrz, wykoując pomocczych oblczń mcrzy orz, lcz wykorzysując rówość: wkjącą z dfcj 63 69! Gdy uwzględmy węc rów 69 orz ozcz mcrzy: F! ; 63 G 63 B! wkorów k k; uk uk, 63 formuł rkurcyj 68 przyjm posć: k Fk G uk 633

12 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 43 N sj węc porzb oblcz mcrzy odwroj, jk by o wykło z rów 68 Mjąc uwdz dlszą mmlzcję oprcj umryczych, powśmy zuwżyć, ż formow mcrzy F G wzory lży prowdzć rówolgl z względu wspól lmy wysępując w szrgch Rów różcow 633 dj węc formułę rkurcyją, kórą moż łwo zprogrmowć kompurz, co pokz będz w dlszych pukch Sosując wzór rkurcyjy 633 do rozwąz umryczgo rów różczkowgo 6, odpowdjący proksymcj wymuszń fukcjm przdzłm słym, musmy w prwszj koljośc wygrowć mcrz F G okrślo wzorm Blok fukcyjy grujący mcrz moż mć posć:

13 43 Mody umrycz w CBuldr 6 Wymusz proksymow fukcjm przdzłm lowym Zkłdmy, ż wymusz u js fukcj cągłą przdzłm lową, ką, ż: 634 u τ u k [ u k uk ] τ k f fτ dl gdz: k τ < k, k,,,, s s ds ; f u k [ uk ] 634 Wykoując w km przypdku cłkow przz częśc w rówu różcowym 68 z uwzględm wzoru 68, orzymujmy: k τ k Bu τ dτ -τ - -k f τ B f B B k k k k -k Bf dτ B u k - B u k -τ Gdy uwzględmy powyższy wyk cłkow orz ozcz 63, rów różcow 68 przyjm posć: k k Bu k Bu k 635 Uwzględjąc wzory 63 69, rów rkurcyj 635 możmy przkszłcć do posc: k Fk G uk Huk, 636 gdz: G B B!, H,! [ ] B B oms mcrz F wyrż sę wzorm

14 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 433 Rów rkurcyj 636 dj węc lgorym wyzcz rozwąz rów różczkowgo w posc 6 W oblczch kompurowych lży zuwżyć, ż wyzcz mcrzy F, G H zgod z wzorm 63, lży prowdzć rówolgl z względu wspól lmy wysępując w szrgch mcrzowych ych wzorów, co mmlzuj lczbę oprcj umryczych W przypdku sosow wzoru rkurcyjgo 636 zbęd js wygrow mcrzy F, G H wzory 63, , co moż zrlzowć w sępującym bloku fukcyjym:

15 434 Mody umrycz w CBuldr 63 Wymusz proksymow wlomm sop druggo W ym przypdku dokoujmy w wzorz 68 zmy zmych pod cłką: co dj: τ s k gdz < s <, s [ k ] k Bu k s ds 639 W clu oblcz cłk w wzorz 639 lży rpolowć uk s wlomm druggo sop: u k s s s 3s s u k 4s 4s uk u k 64 Podswjąc przyblż 64 pod cłkę wzoru 639, orzymujmy: gdz: s 3 Buk sds C C C B uk 64 C C B u k C C B u k s s C ds dl,, 64 Oblczjąc cłkę 64 dl poszczgólych,,, orzymujmy: C,! C [ ],! 643 C 8 3 [ ] 8 3!

16 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 435 Gdy przyjmmy ozcz 63 orz uwzględmy wyk cłkow 64, rów rkurcyj 639 przyjmuj posć: gdz: 644 k F k G u k H u k Ru k, G 3 C C C B, H 645 C C B, 646 R C C B, oms mcrz F wyrż sę wzorm Rów rkurcyj 644 dj lgorym wyzcz rozwąz rów różczkowgo 6 w posc dyskrj k k,, W clu zmmlzow oprcj umryczych lży zuwżyć, ż formow mcrzy F, G, H, R lży prowdzć rówolgl wzory 63, 643, 645, 646, 647 z względu wspól lmy wysępując w szrgch mcrzowych ych wzorów Zuwżmy rówż, ż jżl js lczo co, o u mus być zd co skud Sosując wzór rkurcyjy 644 odpowdjący proksymcj wymuszń wlomm sop druggo, musmy w prwszj koljośc wygrowć mcrz F, G, H, R wzory 63, 645, Moż go dokoć w sposób pokzy w poższym bloku fukcyjym:

17 436 Mody umrycz w CBuldr 64 Dobór kroku cłkow z względu dobór górj grcy błędu oblcz mcrzy orz z względu umryczą sblość rozwąz W pukch 6, 6, 63 podo mody zsępow rów su 6 przyblżoym rówm różcowym W rówch ych pojwją sę mcrz d w posc szrgów: S gdz s dl >! s 648

18 Rozdzł 6 Ukłdy rówń różczkowych lowych o słych współczykch 437 prz wzory 63, 63, 637, 638, 645, 646, 647 W oblczch przyblżmy S, borąc skończoą lczbę skłdków rozwęc S M [ m ] s! Mcrz błędu wyos wówczs R! s [ r ] 65 Nch ozcz jdą z sępujących orm mcrzy kwdrowj sop N: m N j 65 lub m j N 65 Zgod z dfcjm 65 lub 65 dl mcrzy R zchodz dl wszyskch, j Podo zchodz [7]: r R 653 B B 654 Uwzględjąc rówośc 653, 654 orz rów 65, orzymujmy por [7] r 655 lm, j w mcrzy! s [ ]! s! S Jżl krok cłkow js k dobry, ż js zbży, co dj: r! S <, o szrg w rówośc 655 ε 656 Nrówość 656 dj górą grcę błędu lmów mcrzy M 649 używj jko przyblż mcrzy S 648 Dl dgo obcęc sumy szrgów ypu 648 orzymuj sę jwększy błąd 656 dl przypdku gdy s,,, co odpowd mcrzy F wzór 63 Powż mcrz wysępuj w kosrukcj wszyskch rzch rozprywych lgorymów 633, 636, 644, jko kryrum błędu formow mcrzy wysępujących w ych lgorymch moż przyjąć góry błąd obcęc w posc por [9]:

19 438 Mody umrycz w CBuldr ε! 657 Przy zdym ε wzór 657 moż posłużyć do wyzcz kroku cłkow Jk pokzo w wsęp, srukur rozwąz rów 6 zlży od wrośc włsych mcrzy Wykzuj sę, ż w clu zgwrow sblośc umryczj, krok czsowy cłkow lczb wyrzów w rozwęcu 649 muszą być k dobr, żby jwększ co do modułu wrość włs mcrzy M wzór 649 był mjsz od jdośc Wruk powyższ będą sprwdz w procdurch oblczowych podych żj