Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
|
|
|
- Czesław Rutkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
2 W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK
3 W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie 1.(XXI OM, zadanie 11/I) Udowodnij, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w co najmniej jednym z nich istnieją dwa punkty odległe o 1. To zadanie możemy sformułować inaczej, używając pojęcia kolorowania. Oto takie sformułowanie: Zadanie 1. Każdy punkt płaszczyzny pokolorowano jednym z trzech kolorów. Udowodnij, że na tej płaszczyźnie istnieją dwa punkty odległe o 1 pokolorowane tym samym kolorem.
4 W. Guzicki: O kolorowaniu 4 Punktyodległeo 3sątegosamegokoloru: C A E B D AB= 3, AC=BC=AD=BD=1 oraz CD=1.
5 W. Guzicki: O kolorowaniu 5 PunktyAiBmajątensamkolorcopunktC: C 3 3 A 1 B
6 W. Guzicki: O kolorowaniu 6 Tych siedmiu punktów nie można pokolorować trzema kolorami, tak, by punkty połączone odcinkiem miały różne kolory: A B F E C D G
7 W. Guzicki: O kolorowaniu 7 Zadanie 2.(Olimpiada Matematyczna Australii, 2016 r.) Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na jeden z czterech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwa punkty tego samego koloru w odległości 1lub 3. Rozwiązanie. Kolorujemy punkty płaszczyzny czterema kolorami: czerwonym, niebieskim, zielonym i żółtym. Zakładamy,żedowolnepunktyodległeo1lubo 3mająróżnekolory. Istnieją dwa punkty odległe o 2 pokolorowane różnymi kolorami. Wystarczy wziąć trójkąt XY Z o bokach następujących długości: XY=1 oraz XZ=YZ=2.
8 W. Guzicki: O kolorowaniu 8 PunktAczerwony,punktBniebieski,AB=2. TrójkątABCrównoboczny(czyliAC=BC=2). PunktyD,EiFsąśrodkamibokówBC,ACiABtrójkątaABC. C E D A F B
9 W. Guzicki: O kolorowaniu 9 OczywiścieAE=ED=BD=1orazAD=BE= 3. PunktyDiEmająróżnekolory,aleaniczerwony,aniniebieski. NiechpunktDbędziezielony,apunktEżółty. JakikolormapunktF? C E D A F B
10 W. Guzicki: O kolorowaniu 10 Tych dziewięciu punktów nie można pokolorować czterema kolorami, tak, by punkty połączone odcinkiem miały różne kolory: D B G E F J H A C
11 W. Guzicki: O kolorowaniu 11 Zadanie 3.(XLIV OM, zadanie 4/III) Dany jest wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami. Wierzchołki tego wielościanu kolorujemy trzema kolorami. Udowodnij, że liczba ścian mających wierzchołki wszystkich trzech kolorów jest parzysta. Zadanie 4.(LI OM, zadanie 4/I) Każdy punkt okręgu jest pokolorowany jednym z trzech kolorów. Udowodnij, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
12 W. Guzicki: O kolorowaniu 12 Zadanie 5.(LIX OM, zadanie 4/III) Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało lub czarno. Udowodnij, że ze zbioru wszystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty mają ten sam kolor. Zadanie 6.(IV OMG, zadanie 6/I) Każdy punkt płaszczyzny pokolorowano na niebiesko lub czerwono. Udowodnij, że istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego wierzchołki są tego samego koloru.
13 W. Guzicki: O kolorowaniu 13 Zadanie 7.(VIII OMG, zadanie 4/II) Każdy punkt płaszczyzny należy pomalować na pewien kolor w taki sposób, aby każda prosta była jednokolorowa lub dwukolorowa. Jaka jest największa możliwa liczba kolorów, których można użyć do pomalowania punktów tej płaszczyzny? Zadanie 8.(IX OMG, zadanie 4/II) Napłaszczyźniezaznaczononpunktów(n 3),zktórychżadnetrzy nieleżąnajednejprostej.każdyztychpunktówpomalowanonajeden z trzech kolorów, przy czym każdego koloru użyto przynajmniej raz. Udowodnij, że istnieje taki trójkąt o wierzchołkach w zaznaczonych punktach, którego każde dwa wierzchołki mają różne kolory i do wnętrza którego nie należy żaden zaznaczony punkt.
14 W. Guzicki: O kolorowaniu 14 Zadanie 9.(X OMG, zadanie 2/III) Każdą liczbę całkowitą dodatnią pomalowano na pewien kolor. Okazałosię,żedlakażdejparyliczbcałkowitycha,bwiększychod1 liczbya+biabsątegosamegokoloru.wykaż,żewszystkieliczby większe od 4 zostały pomalowane tym samym kolorem. Zadanie 10.(XIII OMJ, zadanie 5/II) Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.
15 W. Guzicki: O kolorowaniu 15 Galeria sztuki
16 W. Guzicki: O kolorowaniu 16 Strażnik w punkcie S S
17 W. Guzicki: O kolorowaniu 17 Strażnik w wierzchołku S S
18 W. Guzicki: O kolorowaniu 18 Zadanie. Dana jest galeria sztuki, będąca wielokątem(niekoniecznie wypukłym) mającym n boków. Jaką najmniejszą liczbę strażników należy rozmieścić w galerii, by widzieli oni całą galerię? Odpowiedź. n 3.
19 W. Guzicki: O kolorowaniu 19 Triangulacja galerii
20 W. Guzicki: O kolorowaniu 20 Kolorowanie wierzchołków galerii
21 W. Guzicki: O kolorowaniu 21 n 3 strażników wystarczy
22 W. Guzicki: O kolorowaniu 22 Można też wybrać czerwone wierzchołki:
23 W. Guzicki: O kolorowaniu 23 n Umieszczenie co najmniej strażników 3 może być konieczne:
24 W. Guzicki: O kolorowaniu 24 KOLOROWANIE GRAFÓW
25 W. Guzicki: O kolorowaniu 25 Graf Wierzchołki Krawędzie
26 W. Guzicki: O kolorowaniu 26 Graf To nie jest wierzchołek
27 W. Guzicki: O kolorowaniu 27 Graf płaski
28 W. Guzicki: O kolorowaniu 28 Grafy planarne
29 W. Guzicki: O kolorowaniu 29 Grafy planarne
30 W. Guzicki: O kolorowaniu 30 Grafy nieplanarne
31 W. Guzicki: O kolorowaniu 31 Grafy wielościanów foremnych G 4 G 6 G 8 G 12 G 20
32 W. Guzicki: O kolorowaniu 32 Kolorowanie grafów Każdy wierzchołek grafu kolorujemy jednym z k kolorów w taki sposób, by każda krawędź miała końce różnych kolorów. Liczba chromatyczna grafu to najmniejsza liczba kolorów, którymi można tak pokolorować graf. Oznaczenie: Symbolem χ(g) oznaczamy liczbę chromatyczną grafu G.
33 W. Guzicki: O kolorowaniu 33 Przykład: graf Petersena Można łatwo pokolorować pięcioma kolorami.
34 W. Guzicki: O kolorowaniu 34 Przykład: graf Petersena Można także pokolorować czterema kolorami.
35 W. Guzicki: O kolorowaniu 35 Przykład: graf Petersena Można wreszcie pokolorować trzema kolorami.
36 W. Guzicki: O kolorowaniu 36 Ćwiczenie Grafu Petersena nie można pokolorować dwoma kolorami. Ogólnie: jeśli graf zawiera cykl długości nieparzystej, to tego grafu nie można pokolorować dwoma kolorami. Wniosek: liczba chromatyczna grafu Petersena jest równa 3.
37 W. Guzicki: O kolorowaniu 37 Inne przykłady Te grafy mają liczbę chromatyczną równą 4.
38 W. Guzicki: O kolorowaniu 38 Grafy wielościanów foremnych G 4 G 6 G 8 G 12 G 20
39 W. Guzicki: O kolorowaniu 39 Twierdzenie.(Brooks, 1941) Niech będzie maksymalnym stopniem wierzchołka grafu G. Wówczas χ(g) +1, przyczymrównośćχ(g)= +1mamiejscejedyniewdwóchprzypadkach: grafgjestgrafempełnymk +1 (tzn.grafgma +1wierzchołkówikażdedwawierzchołkisą połączone krawędzią), graf G jest cyklem długości nieparzystej (wówczas =2iχ(G)=3).
40 W. Guzicki: O kolorowaniu 40 KOLOROWANIE GRAFÓW PŁASKICH IMAP
41 W. Guzicki: O kolorowaniu 41 Ściany grafu płaskiego
42 W. Guzicki: O kolorowaniu 42 Twierdzenie.(Euler) Jeśli G jest grafem płaskim, to: w k+s=2, gdzie: w = liczba wierzchołków, k = liczba krawędzi, s=liczbaścian.
43 W. Guzicki: O kolorowaniu 43 Wniosek 1. Jeśli G jest grafem planarnym, to k 3w 6. Wniosek2.JeśliGjestgrafemplanarnymbezcyklidługości3,to k 2w 4. Wniosek 3. W każdym grafie planarnym istnieje wierzchołek stopnia co najwyżej 5.
44 W. Guzicki: O kolorowaniu 44 Twierdzenie.Następującygraf(oznaczanysymbolemK 5 )jestnieplanarny: Dowód.Wtymgrafie: w=5orazk=10. Gdyby ten graf był planarny, to mielibyśmy nierówność 10=k 3w 6=3 5 6=9.
45 W. Guzicki: O kolorowaniu 45 Twierdzenie.Następującygraf(oznaczanysymbolemK 3,3 )jestnieplanarny: Dowód. Ten graf nie ma cykli długości nieparzystej; w szczególności niemacyklidługości3.ponadto: w=6orazk=9. Gdyby ten graf był planarny, to mielibyśmy nierówność 9=k 2w 4=2 6 4=8.
46 W. Guzicki: O kolorowaniu 46 Twierdzenie. Jeśli G jest grafem płaskim, to χ(g) 6.(Łatwe) χ(g) 5.(Trudniejsze) χ(g) 4.(Appel, Haken, 1976; wielkie obliczenia komputerowe)
47 W. Guzicki: O kolorowaniu 47
48 W. Guzicki: O kolorowaniu 48
49 W. Guzicki: O kolorowaniu 49
50 W. Guzicki: O kolorowaniu 50
51 W. Guzicki: O kolorowaniu 51
52 W. Guzicki: O kolorowaniu 52
53 W. Guzicki: O kolorowaniu 53 BP B BB B C C C E G GW JG K K K K K K K L L L Ł Ł NS O O O P PT P P P R R S S S S S S T T T W W W W Z ZG
54 W. Guzicki: O kolorowaniu 54 KOLOROWANIE PŁASZCZYZNY
55 W. Guzicki: O kolorowaniu 55 Z płaszczyzny tworzymy graf Ustalamy jednostkę długości na płaszczyźnie Wierzchołki punkty płaszczyzny Wierzchołki są połączone krawędzią, gdy są odległe o jednostkę
56 W. Guzicki: O kolorowaniu 56 Problem: Znaleźć liczbę chromatyczną płaszczyzny. Inne sformułowanie: Czy można pokolorować punkty płaszczyzny w taki sposób, by każdy odcinek długości 1 miał oba końce różnych kolorów? Jeśli tak, to ilu(co najmniej) kolorów potrzebujemy?
57 W. Guzicki: O kolorowaniu 57 Koniecznejestużycieconajmniej4kolorów:χ(R 2 ) 4. A C B G B E C F D H O K A D G E F
58 W. Guzicki: O kolorowaniu kolorów wystarczy: χ(r 2 ) 9, bokkratki=0,
59 W. Guzicki: O kolorowaniu kolorów wystarczy: χ(r 2 ) 9, bok sześciokąta = 0,4.
60 W. Guzicki: O kolorowaniu 60 7 kolorów wystarczy: χ(r 2 ) 9, bok sześciokąta = 0,4.
61 W. Guzicki: O kolorowaniu 61 E D R Q 0,4 F 0,4 O C 0,4 T 0,4 0,2 0,2 S W K J A 0,4 B P L I M N G H
62 W. Guzicki: O kolorowaniu 62 Podsumowanie Konieczne jest użycie co najmniej czterech kolorów. Na pewno wystarczy siedem kolorów. Problem Ile co najmniej kolorów wystarczy?
63 W. Guzicki: O kolorowaniu 63 Nie znamy odpowiedzi na to pytanie. Zobaczyliśmy tylko, że liczba chromatyczna płaszczyzny jestjednązczterechliczb:4,5,6lub7. 4 χ(r 2 ) 7.
64 W. Guzicki: O kolorowaniu 64 Dopisane 27 października 2018r. Wkwietniu2018r.AubreyD.N.J.deGreyudowodnił,że konieczne jest użycie co najmniej pięciu kolorów. Wiemy zatem, że: 5 χ(r 2 ) 7. Nadaljednaknieznamydokładnejwartościliczbyχ(R 2 ). Dziękuję Joasi Jaszuńskiej za informację o twierdzeniu de Greya!
65 W. Guzicki: O kolorowaniu 65 KOLOROWANIE LICZB CAŁKOWITYCH (LUB NATURALNYCH)
66 W. Guzicki: O kolorowaniu 66 Zadanie.(XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów) Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.
67 W. Guzicki: O kolorowaniu 67 Problem ogólny Dany jest zbiór D N. Rozpatrujemy graf nieskończony, którego wierzchołkami są liczby całkowite(lub liczby naturalne). Dwie liczby minsąpołączonekrawędzią,jeśli m n D. Symbolem χ(z, D)(lub odpowiednio χ(n, D)) będziemy oznaczać liczbę chromatyczną takiego grafu.
68 W. Guzicki: O kolorowaniu 68 Można udowodnić, że χ(z,d)=χ(n,d). W dalszym ciągu będziemy się więc zajmować kolorowaniem liczb naturalnych.
69 W. Guzicki: O kolorowaniu 69 Przykład 1. Niech D będzie zbiorem potęg liczby 2: D={2 n : n N}={1,2,4,8,16,...}. Wówczas χ(n,d)=3.
70 W. Guzicki: O kolorowaniu 70 Oczywiścieliczby1,2i3musząmiećróżnekolory: 2 1 = 3 2 =1=2 0 D oraz 3 1 =2=2 1 D.
71 W. Guzicki: O kolorowaniu 71 Z drugiej strony, kolorujemy liczby całkowite w następujący sposób: c(n)=nmod3. To znaczy c(n)= 0, jeśli3 n, 1, jeśli3 n 1, 2, jeśli3 n 2.
72 W. Guzicki: O kolorowaniu 72 Dwieliczbycałkowitemajątensamkolorwtedyitylkowtedy,gdy ich różnica jest podzielna przez 3. Wtedy jednakże ta różnica nie jest potęgą liczby 2, więc nie należy dozbiorud. To dowodzi, że χ(n,d)=3.
73 W. Guzicki: O kolorowaniu 73 Przykład 2. Niech D będzie zbiorem liczb pierwszych: D={2,3,5,7,11,13,17,...}. Wówczas χ(n,d)=4.
74 W. Guzicki: O kolorowaniu 74 Liczby1,2,3,4,5,6i7niemogąbyćpokolorowanetrzemakolorami. Inaczej mówiąc, następujący graf nie jest 3-kolorowalny:
75 W. Guzicki: O kolorowaniu 75 Przypuśćmy, że jest 3-kolorowalny. Liczby1i6mająróżnekolory(np.zielonyiniebieski):
76 W. Guzicki: O kolorowaniu 76 Liczby3i4musząbyćczerwone Liczby2,5i7niemogąbyćczerwone.Alemusząmiećtrzyróżne kolory. To jest niemożliwe.
77 W. Guzicki: O kolorowaniu 77 Z drugiej strony, kolorujemy liczby całkowite w następujący sposób: c(n)=nmod4. To znaczy c(n)= 0, jeśli4 n, 1, jeśli4 n 1, 2, jeśli4 n 2, 3, jeśli4 n 3.
78 W. Guzicki: O kolorowaniu 78 Dwieliczbycałkowitemajątensamkolorwtedyitylkowtedy,gdy ich różnica jest podzielna przez 4. Wtedy jednakże ta różnica nie jest liczbą pierwszą, więc nie należy dozbiorud. To dowodzi, że χ(n,d)=4.
79 W. Guzicki: O kolorowaniu 79 Przypomnijmy zadanie 10: Zadanie 10.(XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów) Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.
80 W. Guzicki: O kolorowaniu 80 W tym zadaniu zbiór D jest zbiorem kwadratów liczb naturalnych: D= { k 2 : k N\{0} } ={1,4,9,14,25,...}. Zbioru{0,1,2,...,28}niemożnapokolorowaćtrzemakolorami. Spróbujmy bowiem znaleźć takie kolorowanie. Kolorowanieliczbod0do28zacznijmyodliczb0i25.
81 W. Guzicki: O kolorowaniu 81 Liczby0i25musząmiećróżnekolory(np.niebieskiizielony):
82 W. Guzicki: O kolorowaniu 82 Liczba 9 jest czerwona:
83 W. Guzicki: O kolorowaniu 83 Liczba 16 jest czerwona:
84 W. Guzicki: O kolorowaniu 84 Przypadek 1. Liczba 1 jest czerwona:
85 W. Guzicki: O kolorowaniu 85 Przypadek1 c.d. Liczba26jestniebieska:
86 W. Guzicki: O kolorowaniu 86 Przypadek1 c.d. Liczba10jestzielona:
87 W. Guzicki: O kolorowaniu 87 Przypadek1 c.d. Liczba17jestzielona:
88 W. Guzicki: O kolorowaniu 88 Przypadek1 c.d. Liczba18jestniebieska:
89 W. Guzicki: O kolorowaniu 89 Przypadek1 c.d. Liczba2jestzielona:
90 W. Guzicki: O kolorowaniu 90 Przypadek1 c.d. Liczba27jestczerwona:
91 W. Guzicki: O kolorowaniu 91 Przypadek1 c.d. Liczba11jestniebieska:
92 W. Guzicki: O kolorowaniu 92 Przypadek1 c.d. Liczba12jestzielona:
93 W. Guzicki: O kolorowaniu 93 Przypadek1 c.d. Liczba19jestczerwona:
94 W. Guzicki: O kolorowaniu 94 Przypadek1 c.d. Liczba3jestniebieska:
95 W. Guzicki: O kolorowaniu 95 Przypadek 1 c. d. Sprzeczność! Brakuje koloru dla liczby 28:
96 W. Guzicki: O kolorowaniu 96 Przypadek 1(dla przypomnienia). Liczba 1 jest czerwona:
97 W. Guzicki: O kolorowaniu 97 Przypadek 2. Liczba 1 jest zielona:
98 W. Guzicki: O kolorowaniu 98 Przypadek2 c.d. Liczba10jestniebieska:
99 W. Guzicki: O kolorowaniu 99 Przypadek2 c.d. Liczba17jestniebieska:
100 W. Guzicki: O kolorowaniu 100 Przypadek2 c.d. Liczba26jestczerwona:
101 W. Guzicki: O kolorowaniu 101 Przypadek2 c.d. Liczba18jestzielona:
102 W. Guzicki: O kolorowaniu 102 Przypadek2 c.d. Liczba27jestniebieska:
103 W. Guzicki: O kolorowaniu 103 Przypadek2 c.d. Liczba2jestczerwona:
104 W. Guzicki: O kolorowaniu 104 Przypadek2 c.d. Liczba11jestzielona:
105 W. Guzicki: O kolorowaniu 105 Przypadek2 c.d. Liczba12jestniebieska:
106 W. Guzicki: O kolorowaniu 106 Przypadek2 c.d. Liczba19jestczerwona:
107 W. Guzicki: O kolorowaniu 107 Przypadek2 c.d. Liczba3jestzielona:
108 W. Guzicki: O kolorowaniu 108 Przypadek 2 c. d. Sprzeczność! Brakuje koloru dla liczby 28:
109 W. Guzicki: O kolorowaniu 109 Przykładowe kolorowanie liczb od 0 do 27:
110 W. Guzicki: O kolorowaniu 110 Twierdzenie. Nie istnieje kolorowanie liczb od 0 do 28 trzema kolorami, w którym liczby różniące się o kwadrat liczby całkowitej mają różne kolory. Istnieje kolorowanie trzema kolorami liczb od 0 do 27, w którym liczby różniące się o kwadrat liczby całkowitej mają różne kolory.
111 W. Guzicki: O kolorowaniu 111 Inne rozwiązanie. Weźmy następujące cztery liczby: a=0, b=153 2 = 23409, c=185 2 = 34225, d=697 2 =
112 W. Guzicki: O kolorowaniu 112 Wówczas mamy: b a= =153 2 D, c a= =185 2 D, d a= =697 2 D, c b= = =10816=104 2 D, d b= = =462400=680 2 D, d c= = =451584=672 2 D. Zatemliczbya,b,cidmusząmiećróżnekolory.
113 W. Guzicki: O kolorowaniu 113 Można udowodnić, że dla tego zbioru D także χ(n,d) 5. Nie jest znana liczba chromatyczna tego grafu. Nie wiadomo nawet, czy istnieje kolorowanie zbioru N za pomocą skończonej liczby kolorów.
114 W. Guzicki: O kolorowaniu 114 JEDNOKOLOROWE CIĄGI ARYTMETYCZNE
115 W. Guzicki: O kolorowaniu 115 Przypomnijmy sobie zadanie. Zadanie 4.(LI OM, zadanie 4/I) Każdy punkt okręgu jest pokolorowany jednym z trzech kolorów. Udowodnij, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
116 W. Guzicki: O kolorowaniu 116 Szkic rozwiązania. Na okręgu wybieramy 13 punktów będących wierzchołkami 13-kąta foremnego. Kolorujemy je trzema kolorami. Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że co najmniej 5 punktów pokolorowano tym samym kolorem. Teraz dość żmudnym sprawdzaniem wielu przypadków wykazujemy, że wśród dowolnych pięciu wierzchołków 13-kąta foremnego znajdują się trzy będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
117 W. Guzicki: O kolorowaniu 117 Czy zadanie 4 można uogólnić na większą liczbę kolorów? Czy takie uogólnienie można rozwiązać w podobny sposób?
118 W. Guzicki: O kolorowaniu 118 Twierdzenie. Wśród dowolnych 9 wierzchołków 33-kąta foremnego znajdują się trzy wierzchołki będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Twierdzenie. Wśród dowolnych 15 wierzchołków 71-kąta foremnego znajdują się trzy wierzchołki będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
119 W. Guzicki: O kolorowaniu 119 Dowody(?) tych dwóch twierdzeń wynikają z długich obliczeń komputerowych(w przypadku drugiego twierdzenia mój komputer pracował bez przerwy przez 2 doby). Znakzapytaniaoznacza,żeniemam(ichybanigdyniebędęmiał) pewności, czy mój program jest napisany poprawnie i czy obliczał naprawdę to, co chciałbym obliczyć... A na pewno nie chciałbym tych dowodów przeprowadzać tradycyjnie, na kartce(lub raczej na ryzie papieru). To chyba przekraczałoby granice ludzkiej cierpliwości.
120 W. Guzicki: O kolorowaniu 120 Twierdzenie van der Waerdena. Twierdzenie.Danesąliczbynaturalnek 2orazm 3.Wówczas istnieje liczba naturalna n o następującej własności: jeśliliczbyzezbiorux={1,2,...,n}pokolorujemyzapomocą k kolorów, to w zbiorze X będzie istniał jednokolorowy ciąg arytmetyczny długości m. Najmniejszą liczbę naturalną n o powyższej własności oznaczamy symbolemw(k,m)inazywamyliczbąvanderwaerdena(dlaparametrówkim).
121 W. Guzicki: O kolorowaniu 121 Zadanie. Każdy punkt okręgu jest pokolorowany jednym z k kolorów. Udowodnij, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Niechn=W(k,3).NaokręguwybieramynpunktówA 1 A 2...A n będących wierzchołkami wielokąta foremnego. Te wierzchołki kolorujemy za pomocą k kolorów. Z twierdzenia van der Waerdena wynika, żeistniejąliczbyp,qirtakie,że 1 p<q<r n oraz trójka(p,q,r)tworzyciągarytmetyczny. WówczastrójkątA p A q A r jestrównoramienny(opodstawiea p A r iramionacha p A q oraza r A q ).
122 W. Guzicki: O kolorowaniu 122 Znamy tylko kilka liczb van der Waerdena W(2,3)=9, W(2,4)=35, W(2,5)=178, W(2,6)=1132, W(3,3)=27, W(3,4)=293, W(4,3)=76.
123 W. Guzicki: O kolorowaniu 123 TwierdzenievanderWaerdenadlak=2im=3. Twierdzenie.KażdąliczbęzezbioruX ={1,2,...,9}pokolorowano jednym z dwóch kolorów: czerwonym lub niebieskim. Wówczasistniejątrzyliczbya,bictegosamegokolorutakie,że 1 a<b<c 27oraza+c=2b(tzn.trójkaliczb(a,b,c)tworzy jednokolorowy ciąg arytmetyczny).
124 W. Guzicki: O kolorowaniu
125 W. Guzicki: O kolorowaniu
126 W. Guzicki: O kolorowaniu
127 W. Guzicki: O kolorowaniu
128 W. Guzicki: O kolorowaniu
129 W. Guzicki: O kolorowaniu
130 W. Guzicki: O kolorowaniu
131 W. Guzicki: O kolorowaniu
132 W. Guzicki: O kolorowaniu (1,5,9) lub (7,8,9)
133 W. Guzicki: O kolorowaniu 133 TwierdzenievanderWaerdenadlak=3im=3. Twierdzenie.KażdąliczbęzezbioruX={1,2,...,27}pokolorowano jednym z trzech kolorów: czerwonym, niebieskim lub zielonym. Wówczasistniejątrzyliczbya,bictegosamegokolorutakie,że 1 a<b<c 27oraza+c=2b(tzn.trójkaliczb(a,b,c)tworzy jednokolorowy ciąg arytmetyczny).
134 W. Guzicki: O kolorowaniu 134 TwierdzenievanderWaerdenadlak=4im=3. Twierdzenie.KażdąliczbęzezbioruX={1,2,...,76}pokolorowano jednym z czterech kolorów: czerwonym, niebieskim, zielonym lub żółtym. Wówczasistniejątrzyliczbya,bictegosamegokolorutakie,że 1 a<b<c 27oraza+c=2b(tzn.trójkaliczb(a,b,c)tworzy jednokolorowy ciąg arytmetyczny).
135 W. Guzicki: O kolorowaniu 135 GRAWKÓŁKOIKRZYŻYK
136 W. Guzicki: O kolorowaniu 136
137 W. Guzicki: O kolorowaniu 137 Mamy trzy linie poziome: , oraz , trzy linie pionowe: , oraz i dwie linie ukośne: oraz
138 W. Guzicki: O kolorowaniu 138 PROSTE KOMBINATORYCZNE A={1,2,3} A n A x {x} w(x) alfabet, słowadługościn, alfabetrozszerzony, słowo długości n alfabetu rozszerzonego, {w(a): a A} prosta kombinatoryczna.
139 W. Guzicki: O kolorowaniu 139 Proste kombinatoryczne na dwuwymiarowej planszy do gry {11,21,31} x1 {12,22,32} x2 {13,23,33} x3 {11,12,13} 1x {21,22,23} 2x {31,32,33} 3x {11,22,33} xx
140 W. Guzicki: O kolorowaniu
141 W. Guzicki: O kolorowaniu
142 W. Guzicki: O kolorowaniu
143 W. Guzicki: O kolorowaniu
144 W. Guzicki: O kolorowaniu
145 W. Guzicki: O kolorowaniu
146 W. Guzicki: O kolorowaniu
147 W. Guzicki: O kolorowaniu
148 W. Guzicki: O kolorowaniu a
149 W. Guzicki: O kolorowaniu b
150 W. Guzicki: O kolorowaniu c
151 W. Guzicki: O kolorowaniu
152 W. Guzicki: O kolorowaniu x11 x32 x
153 W. Guzicki: O kolorowaniu x1 3x2 1x
154 W. Guzicki: O kolorowaniu x 12x 23x
155 W. Guzicki: O kolorowaniu xx1 xx2 xx
156 W. Guzicki: O kolorowaniu x1x x2x x3x
157 W. Guzicki: O kolorowaniu xx 2xx 3xx
158 W. Guzicki: O kolorowaniu xxx xxx xxx
159 W. Guzicki: O kolorowaniu
160 W. Guzicki: O kolorowaniu 160 Twierdzenie Halesa Jewetta Twierdzenie.(Hales, Jewett, 1963) Danesądwieliczbynaturalnemik.Następniedanyjestalfabet skończony A mający m symboli(tzn. A = m). Wówczas istnieje liczba naturalna n taka, że dla każdego kolorowania k kolorami c:a n {1,2,...,k} planszya n istniejejednokolorowaprostakombinatoryczna. HJ(m, k) najmniejsza taka liczba n.
161 W. Guzicki: O kolorowaniu 161 Kilka własności HJ(2,k)=k. Łatwe, wystarczy zasada szufladkowa Dirichleta. HJ(3,2)=4. HJ(3,2) 4było; HJ(3,2) 8niejesttrudne. HJ(3, 2) = 4 jest żmudne; Hindman, Tressler, 2014.
162 W. Guzicki: O kolorowaniu <HJ(4,2) M. Lavrov, 2015.
163 W. Guzicki: O kolorowaniu 163 Twierdzenie van der Waerdena wynika z twierdzenia Halesa Jewetta Twierdzenie. Niech n = HJ(10, k). Niech następnie c:{0,1,...,10 n 1} {1,2,...,k} będziekolorowaniemzbioruliczbx={0,1,...,10 n 1}zapomocą k kolorów. Wówczas w zbiorze X istnieje jednokolorowy ciąg arytmetyczny długości 10.
164 W. Guzicki: O kolorowaniu 164 Jak prosta kombinatoryczna może tworzyć ciąg arytmetyczny długości 10 Jeśli mamy słowo w(x) = 11x3x95xx203, to prosta kombinatoryczna wyznaczona przez to słowo składa się ze słów , , ,..., Te słowa są zapisem dziesiętnym liczb tworzących ciąg arytmetyczny oróżnicy
165 W. Guzicki: O kolorowaniu 165 KONIEC
Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.
O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
Kolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Treści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/
Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Matematyka Dyskretna - zadania
zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Wykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Jeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 7 KWIETNIA 01 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) 1 Odwrotnościa liczby
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43
Dla każdej własności zaznacz litery przyporządkowane trójkątom posiadającym tę własność. (rysunek powyżej) A/ B/ C/ D
A B C D 4 4 9 9 4 5 6 2 4 5 4 Zad. 1. (4 pkt.) Dla każdej własności zaznacz litery przyporządkowane trójkątom posiadającym tę własność. (rysunek powyżej) Ma oś symetrii Obwód wynosi 12 Ma środek symetrii
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
W. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa
KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5
Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0
MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut
MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut Każde zadanie od początku do końca jest mojego autorstwa. Odkąd istnieje nowa matura, każde z zadań rozwiązałem na wiele sposobów. Zaznajomiłem
Problem Hadwigera-Nelsona. Agnieszka Maślanka
Problem Hadwigera-Nelsona Agnieszka Maślanka Spis treści 1 Wstęp 2 2 Liczba chromatyczna grafów o różnych typach 3 3 Liczba chromatyczna różnych obiektów matematycznych 5 4 Oszacowanie dolne dla rozwiązań
Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2
(Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)
Skrypt 19. Bryły. 14. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczania pól powierzchni ostrosłupów
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Bryły 11. Ostrosłupy - rozpoznawanie,
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH 12
Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty, matematyk wybitny analogie między faktami, zaś matematyk genialny analogie między analogiami. Stefan Banach WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATURĄ MAJ 2015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony ( zadania 1 19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1
Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +
XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI
XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH W SZKOŁACH INNEGO TYPU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 ETAP
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Matematyk Roku gminny konkurs matematyczny ETAP DRUGI 24 MARCA 2017 KLASA TRZECIA
Imię i nazwisko:.. Klasa:.. "Matematyka nie taka straszna jak ją malują Matematyk Roku 2017 - gminny konkurs matematyczny ETAP DRUGI 24 MARCA 2017 KLASA TRZECIA 1. Przed Tobą zestaw 20 zadań konkursowych.
WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM
Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań
LVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok pieczątka WKK DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH ETAP REJONOWY Drogi Uczniu, witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. rok szkolny 2016/2017. Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 12 MARCA 2016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek, na którym
w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
ARKUSZ II
www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)
Wersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach?
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał KIEZA, Warszawa Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym podczas wykładów otwartych Ars Mathematica organizowanych
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
LVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby
TABELA ODPOWIEDZI. kod ucznia
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów dotychczasowych gimnazjów i klas dotychczasowych gimnazjów prowadzonych w szkołach innego typu województwa małopolskiego Rok szkolny 018/019 ETAP SZKOLNY 5 października
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH
...... kod pracy ucznia pieczątka nagłówkowa szkoły KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu, witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję