Wczesny Rozwój Wszech±wiata Model Wielkiego Wybuchu - Big Bang

Transkrypt

1 Wczesny Rozwój Wszech±wiata Model Wielkiego Wybuchu - Big Bang CZ DRUGA rozdziaªy 1-17/II elementy mechaniki kwantowej, symetrie w zyce klasycznej i kwantowej, zasady zachowania, symetrie P, C, T, symetrie zªo»one CP i CPT, cz stki elementarne, oddziaªywania elementarne - symetrie lokalne, unikacja elektrosªaba i wielka (GUT), supersymetria, scenariusz wczesnego rozwoju Wszech±wiata. preliminary22/1/2007 Wykªad fakultatywny, rok akademicki 2006/2007, semestr zimowy 2 godz tygodniowo Lucjan Jarczyk 24 stycznia 2007

2 Spis tre±ci 1 Fizyka mikro±wiata 3 2 Elementy mechaniki kwantowej 4 3 Cz stki elementarne Leptony Kwarki Idea Stueckelberg'a-Feynman'a Oddziaªywania elementarne 11 5 Symetrie w zyce - zasada Emmy Noether 14 6 Symetrie w zyce klasycznej - prawa zachowania 16 7 Symetrie w zyce kwantowej - prawa zachowania Transformacje unitarne Zachowanie liczb kwantowych addytywnych Zachowanie ªadunku elektrycznego Zachowanie liczby kwantowej barionowej Zachowania liczby kwantowej leptonowej Zachowanie liczb kwantowych zapachu Zachowanie kr tu - spin, izospin Transformacje P, C, T, CP i CPT Oddziaªywania elektromagnetyczne Kwantowe aspekty oddziaªywa«elektromagnetycznych Elektromagnetyczna polaryzacja pró»ni Do±wiadczalne potwierdzenie QED Symetria cechowania lokalnego

3 9 Oddziaªywania silne Charakterystyka odddziaªywania silnego Wªasno±ci oddziaªywania silnego - symetria cechowania Polaryzacja pró»ni dla oddziaªywa«silnych hadrony Oddziaªywania sªabe Podstawy oddziaªywania Lewoskr tno± oddziaªywania sªabego Symetria cechowania - bozony bezmasowe Idea Higgs'a; spontaniczne ªamanie symetrii Niezachowanie CP Oddziaªywania elektrosªabe Oddziaªywanie grawitacyjne Wielka unikacja - GUT Epoka Plancka Supersymetrie - SUSY Scenariusz wczesnego rozwoju Wszech±wiata 13/1/ Bardzo wczesna historia rozwoju; od s do 10 2 s Po¹niejszy rozwój- do 10 5 lat Co dalej Epilog 87 2

4 Rozdziaª 1 Fizyka mikro±wiata W poprzedniej cz ±ci zaprezentowano w zasadzie scenariusz rozwoju Wszech±wiata od okoªo 10 5 s do lat po Wielkim Wybuchu. Wykorzystano gªównie prawa zyki, któr nazywamy zyk klasyczn, w tym w szczególno±ci z wielkiego sukcesu Einsteina jakim jest ogólna teoria wzgl dno±ci. Równania dla jednorodnego i izotropowego rozkªadu materii sformuªowaª Friedman opieraj c si na metryce Walkera-Robertsona. Dzi ki temu uzyskano równania opisuj ce rozszerzanie si Wszech±wiata. Model Wielkiego Wybuchu dobrze opisuje ten okres rozwoju Wszech±wiata, czego najlepszym dowodem jest promieniowanie reliktowe oraz produkcja lekkich atomów w pierwotnej nukleosyntezie. Nie oznacza to,»e nie korzystano z informacji jakie dostarcza zyka mikro±wiata. Niew tpliwie najwa»niejsza informacj to istnienie t.zw. energii pró»ni. Istnienie tej formy energii pozwoliªo Guthowi sformuªowa In- acyjny Model Wielkiego Wybuchu. Wprawdzie do dzisiaj istniej zastrze»enia do sªuszno±ci szybkiej eskpansji prowadz cej do rozwi zania dwu`faktów do±wiadczalnych zwanych problemami pªasko±ci i horyzontu. Mimo zastrze»e«niektórych kosmologów wydaje si konieczne zaprezentowanie tego modelu rozwoju Wszech±wiata. Zajmijmy si teraz wcze±niejsz histori Wszech±wiata, histori od s do okoªo 10 5 s. Scenariusz rozwoju Wszech±wiata w tym okresie okre±la zyka mikro±wiata, zyka ±wiata elementarnych oddziaªywa«i cz stek elementarnych. Do tej pory wykorzystywano tylko wyrywkowe wªasno±ci tego dziaªu zyki. Aby rozumie szczegóªy tego scenariusza potrzebna jest do± gª boko si gaj ca wiedza o tym ±wiecie. W dalszych rozdziaªach zaprezentowana zostanie mo»liwie pogl dowo nasza dzisiejsza wiedza o najbardziej elementarnych prawach przyrody, o cegieªkach, z których zbudowany jest nasz wiat czyli o cz stkach elementarnych oraz o oddziaªywaniach elementarnych wyst puj cych pomi dzy tymi cegieªkami. 3

5 Rozdziaª 2 Elementy mechaniki kwantowej Procesy makroskopowe zachodz ce w ±wiecie opisujemy przy pomocy zyki klasycznej. Procesy mechaniczne okre±la mechanika klasyczna, elektryczne i magnetyczne elektromagnetyka, itd. W opisie rozwoju Wszech±wiata korzystali±my chocia»by z równa«ogólnej teorii wzgl dno±ci, termodynamiki (równanie stanu) itd. W przypadku rozkªadu promieniowania doskonale czarnego si gn li±my do rozkªadu Plancka, który zawieraª ju» nie±wiadomie elementy kwantowe. Planck wprowadziª swój rozkªad w roku Wprowadziª do swego równania staª zwan powszechnie staª Plancka h dla opisania energii fotonu. Mechanika kwantowa rozwin ªa si znacznie pó¹niej. Niew tpliwie znacz c rol odegraªa sugestia Louis de Broglie'a mówi ca o falowej strukturze elektronu, o dualizmie falowo-cz stkowym. W 1926 Schródinger sformuªowaª swoje równanie kwantowe. Procesy zyczne zachodz ce na poziomie mikro±wiatem opisujemy na gruncie mechaniki kwantowej. Do opisu procesów kwantowych przy niskich energiach stosujemy Nierelatywistyczne równanie Schroedingera. W przypadku relatywistycznym mamy równanie Diraca ( dla cz stek o spinie 1/2) wzgl dnie jego pochodne w przypadku cz stek i spinach poªówkowych wi kszych ni» 1/2. Dla cz stek o spinie caªkowitym s to równanie Kleina- Gordona. O równaniach relatywistycznych b dzie mowa w rozdziale o oddziaªywaniach elektromagnetycznych. Równanie Schródingera ma nast puj c posta : Ĥψ (x, y, z, t) = Êψ (x, y, z, t) (2.1) przy czym Ĥ oraz Ê s odpowiednio operatorem Hamiltona i operatoerm energii caªkowitej. ψ(x, y, z, t) jest funkcj falow opisuj c zachowanie si cz stki. Iloczyn ψψ dxdydzdt okre±la prawdopodobie«stwo znalezienia cz stki poruszaj cej si w wyniku dziaªania potencjaªu w punkcie (x,y,z,t). 4

6 Formuªuj c operator Hamiltona i energii startujemy z zasady zachowania energii. Startujemy z klasycznego wyra»enia nierelatywistycznego na caªkowit energi H = T + V = p2 2m + V = E (2.2) gdzie T jest energi kinetyczn, V energi potencjaln a E energi caªkowit cz stki Aby otrzyma operator Hamiltona Ĥ musimy wprowadza odpowiednie operatory; operatory odpowiadaj ce wektorowi p du ˆF p i operator energii caªkowitej ˆF E : ˆF p ( p x i h ; p x y i h ; p ) y z i h z (2.3) ˆF E E i h t Podstawiamy operatory (2.3)do równania (2.2) otrzymujemy operator Hamiltona i operator energii caªkowitej: [ h2 ( ) ] 2 Ĥ = m x y V (x, y, z) ; 2 z Ê = i h (2.4) 2 t Równanie Schródingera przyjmuje posta : [ h2 ( ) ] 2 m x y V (x, y, z) ψ (x, y, z, t) = i h ψ (x, y, z, t) 2 z 2 t (2.5) Jest to równanie, które daje nam funkcj falow ψ ukªadu z uwzgl dnieniem oddziaªywa«reprezentowanych przez potencjaª V. Funkcja falowa okre±la g sto± prawdopodobie«stwa p(x.y.z.t) znalezienie cz stki w odpowiednim miejscu i chwili. Najcz ±ciej opisujemy ukªad zyczny rozwi zuj c bezczasowe równanie Schródingera: [ h2 ( ) ] 2 m x y V (x, y, z) ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z) (2.6) 2 z 2 Rozwi zaniem równania Schródingera jest funkcja falowa ψ i. Opisuje ukªad znajduj cy si w stanie o energii E i. Mówimy o funkcjach wªasnych ukªadu znajduj cego w stanie wªasnym i. Funkcja falowa musi speªnia oczywi±cie odpowiedni warunek normalizacyjny: ψ i (x, y, z) ψ i (x, y, z) ; + ψ i (x, y, z) ψ i (x, y, z) d 3 x = 1 (2.7) 5

7 Stanami wªasnymi s to rozwi zania równania Schródingera, gdy funkcja falowa b dzie speªnia warunek normalizacyjny, b dzie ci gªa podobnie jak jej pochodna. Takie rozwi zania otrzymujemy tylko dla pewnych energii E, energii okre±laj cych energi stanu i. Poznali±my dwa operatory, operator energii i p du. Ka»dej wielko±ci zycznej-obserwabli musimy przyporz dkowa odpowiadaj cy jej operator. Warto± oczekiwan obserwabli f, czyli warto± mierzonej wielko±ci zycznej odpowiadaj cej danemu operatorowi ˆF je»eli ukªad znajduje si w stanie opisanym przez funkcj falow ψ j okre±la nast puj ce wyra»enie: f =< ψ j ˆF ψ j > (2.8) Funkcja falowa ψ j speªnia równanie Hψ j = E j ψ j. Jakie warunki musz speªnia operatory. Wielko±ci mierzone czyli obserwable s wielko±ciami rzeczywistymi. Mo»na pokaza,ze operatory obserwabli ˆF musz by hermitowskie, czyli: F = F + [ F a ik F + a ki ] (2.9) Powy»szy warunek ma charakter ogólny, gdy» operatory niektórych wielko±ci s macierzami. Maj c operator odpowiedniej wielko±ci zycznej oraz stan w jakim znajduje si ukªad zyczny mo»emy pyta si czy odpowiadaj ca obserwabla jest zachowana czy te» nie. To zale»y z kolei od istnienia odpowiednich symetrii. W nast pnym rozdziale b dzie ten problem roztrz sany. Okazuje si,»e pewne obserwable nie b d zachowane je»eli procesy b d zachodzi w wyniku odpowiednich oddziaªywa«. Dalsze informacje o mechanice kwantowej oraz o zasadach zachowania b d zawarte w nast pnych rozdziaªach. 6

8 Rozdziaª 3 Cz stki elementarne Materia która nas otacza zbudowana jest z elementarnych cegieªek, które na obecnym etapie rozwoju dzielimy na dwie grupy, na leptony i kwarki. Ró»ni si przede wszystkim tym jak oddziaªuj. 3.1 Leptony Leptony s cz stkami elementarnymi. leptony oddziaªuj grawitacyjnie (g), sªabo - week, a te które sa naªadowane tak»e elektromagnetycznie em. Znamy 6 leptonów. Dzielimy je na trzy grupy: e µ τ Q = e ν e ν µ ν τ Q = 0 (3.1) Leptony s fermionami. Ich spin wynosi 1/2. Leptonom nale» cym do okre±lonej rodziny przypisujemy liczb kwantow leptonow L i gdzie i=1,2,3 odpowiada leptonom rodziny elektronowej, mionowej i τ. Leptonom pierwszej rodziny przypisujemy L e = +1, drugiej L µ = +1 trzeciej L τ = +1. Leptonom przyporz dkujemy L i =+1 a antyleptonom L i =-1. Liczba leptonowa jest liczb kwantow addytywna. Elektron jest cz stk trwaª. Miony i leptony τ s cz stkami nietrwaªymi. Ich ±rednie czasy»ycia wynosz odpowiednio: τ µ = (2.2)10 6 s, τ τ = (2.9)10 13 s. Leptony naªadowane maj mas wynosz c odpowiednio MeV, MeV i MeV. Do niedawne uwa»ano,»e Neutrina maj mas zerow. Najnowsze eksperymenty pokazuj,»e wyst puj oscylacje neutrinowe. Oznacza to,»e jeden rodzaj neutrin przechodzi w drugi i 7

9 odwrotnie. Np. neutrina ν przechodz w neutrina µ i odwrotnie. Oscylacje s mo»liwe wtedy, gdy masy neutrin s ró»ne od zera. Wg dzisiejszych faktów do±wiadczalnych masy s jednak bardzo maªe. Nienaªadowane leptony mog si rozpada jedynie w wyniku siª sªabych. Klasycznym rozpadem wywoªanym przez oddziaªywania sªabe to rozpad mion µ. Rozpad przebiega nast puj co: µ e + ν e + ν µ (3.2) Podobnie rozpada si lepton τ. W procesach rozpadu musz by speªnione zasady zachowania ªadunku elektrycznego i liczby leptonowej L i. Oscylacje neutrinowe s przykªadem nas niezachowanie liczb leptonowych charakteryzuj cych odpowiednie rodziny leptonowe. Wg naszej dzisiejszej wiedzy zachowana jest jedynie liczba leptonowa. Nie jest zachowana liczba L i. Ka»demu leptonowi odpowiada antylepton. I tak elektronom e pozyton e +. Podobnie leptonom µ i leptonowi τ odpowiednio antyleptony µ + i τ +. Pozostaªe charakteryzuj ce je wielko±ci s takie same, czyli ich spin, masa, czas poªowicznego rozpadu. Podobnie neutrinom ν i odpowiadaj antyneutrina ν i. Neutrina s cz stkami nienaªadowanymi. Antyneutrino ró»ni si od neutrina skr tno±ci. Skr tno± deniujemy nast puj co: s p χ = (3.3) s p gdzie s i p s odpowiednio spinem i wektorem p du neutrina. Je»eli χ = +1, to wtedy wektory spinu i p du s równolegªe a gdy wynosi -1 to wtedy spin i p d s antyrównolegªymi wektorami. Mówimy o neutrinach prawoskr tnych wzgl dnie lewoskr tnych. Neutrina i antyneutrinamaj ró»ni si skr tno±ci χ. Dzisiaj wiemy,»e w przyrodzie obserwujemy jedynie neutrin lewoskr tne czyli takie,»e χ=-1 i prawoskr tne antyneutrina Kwarki Drug grup cz stek elementarnych tworz kwarki. kwarki oddziaªuj grawitacyjnie(g), sªabo (w), elektromagnetycznie (em) oraz silnie textbf(s). Mamy 6 kwarków. Porz dkujemy je podobnie jak leptonów odpowiednio w trzech rodzinach: u c t Q = + 2 / 3 e d s b Q = 1 / 3 e (3.4) 8

10 Poszczególne rodzaje kwarków ró»ni si mas. Okre±lamy t. zw. mas goªego kwarku wzgl dnie jego mas efektywn. Sa to odpowiednio masy podane w MeV: kwark u 1.5-4/350; kwark d 4-8/350, kwark s /500, kwark c , kwark b , kwark t (174.3 ± 5.1GeV. 1 Kwarki s tak»e fermionami, t.zn. ich spin wynosi. Kwarki charakteryzujemy liczb barionow B. Kwarkom przyparz dkowujemy liczb B- 2 +1/3 a antykwarkom B=-1/3. Liczba kwantowa barionowa jest liczb kwantow addytywn. Poszczególnym rodzajom kwarków przyporz dkujemy liczb kwantow zapachu. S to odpowiednio dla: kwarków u := I 3 = +(1/2) - trzecia skªadowa izospinu kwarków d = I 3 = (1/2) - trzecia skªadowa izospinu kwarkom d = D = +1 - urok kwarkom s = S = 1 - dziwno±, kwarkom t = T = +1 - top kwarkom b = B = 1 - pi kno±. Liczby kwantowe zapachu s tak»e liczbami kwantowymi addytywnymi. Ka»demu kwarkowi przyporz dkujemy antycz stk -antykwark. Ró»ni si mi dzy sob znakiem ªadunku elektrycznego, znakiem liczb kwantowych takich jak I 3, S, D, B, T. 3.3 Idea Stueckelberg'a-Feynman'a W tym miejscu warto przypomnie ide Stuckelberg'a z roku 1941 sformuªowan tak»e niezale»nie w roku 1948 przez Feynmana. Zwi zana jest z wyra»eniem relatywistycznym na energi cz stki. E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 E = ± p 2 c 2 + m 2 c 4 (3.5) Idea ta zakªada,»e cz stkom przyporz dkowujemy energi dodatni a antycz stkom energi ujemn. Rozwi zuj c równanie Diraca, równanie kwantowe relatywistyczne dla cz stek o spinie 1/2 otrzymujemy funkcj falow. Dla prostoty rozwa»my cze± przestrzenn funkcji falowej dla cz stki swobodnej. Funkcja falowa: ψ = N exp ( i( p x [Et]) = N exp ( i( p x [( E)( t)]) (3.6) 9

11 Je»eli uwzgl dnimy interpretacj znaku energii podan przez Stueckelberga i Feynmana stwierdzamy,»e funkcja falowa nie zmienia si je»eli dla antycz stki zmienimy jej kierunek ruchu na przeciwny. Oznacza to,»e funkcja falowa cz stki jest taka sama jak antycz stki, je»eli tylko zmienimy jej kierunek ruchu. Jest to stwierdzenie, które cz sto upro±ci nam w przyszªo±ci interpretacj pewnych procesów. Z tej wªasno±ci b dziemy w przyszªo±ci korzysta. 10

12 Rozdziaª 4 Oddziaªywania elementarne Klasycznie oddziaªywanie przenoszone jest poprzez odpowiednie pole. W przypadku oddziaªywa«elektromagnetycznych s to pola elektryczne i magnetyczne. Istnienie pól siª jako no±ników oddziaªywa«nie daje si pogodzi ze sko«czon mo»liwo±ci przekazywania informacji. Wspóªczesna zyka zakªada,»e oddziaªywania maj charakter kwantowy.kwantowa teoria oddziaªywa«zakªada,»e oddziaªywanie zwi zane jest z wymian odpowiednich kwantów oddziaªywania. Kwanty oddziaªywania s bozonami czyli cz stkami o spinie caªkowitym. Oddziaªywaniami elementarnymi s : oddziaªywania grawitacyjne ( g), sªabe (w), elektromagnetyczne (em) i silne (s). ródªem oddziaªywa«s odpowiednie ªadunki niekiedy jeden niekiedy dwa lub trzy. W przypadku oddziaªywa«: grawitacyjnych jest jeden ªadunek którym jest masa grawitacyjna m, sªabych s dwa ªadunki - sªabe izospiny oznaczane jako τ 3 = +1/2 lub tau 3 = 1/2, elektromagnetycznego jest ªadunek elektryczny-ªadunek elektronu a silnego trzy ªadunki silne R(ed), G(reen), B(lue). Kwantami oddziaªywania: silnego s gluony - mamy 8 gluonów elektromagnetycznego jest foton γ, sªabego s bozony po±rednicz ce W +, W, Z 0, grawitacjnego jest grawiton g Bozony po±rednicz ce s bezmasowe poza bozonami W i Z, których masy m i si gaj prawie 100 GeV. 11

13 Miar siªy, wielko±ci oddziaªywania s staªe sprz»enia. W przypadku oddziaªywa«elektromagnetycznych ju» w 19. wieku zdeniowano ªadunek elektryczny. Do okre±lenia mocy oddziaªywania deniujemy zamiast ªadunku elektrycznego staª sprz»enia α em. W przypadku oddziaªywania elektromagnetycznego staªa sprz»enia α em zwi zana jest z ªadunkiem elektrycznym nast puj co: α em = (4.1) 4π hc Dla oddziaªywa«silnych (s), sªabych (w) i grawitacyjnych nie deniujemy wielko±ci odpowiedniego ªadunku a jedynie staªe sprz»enia α s, α w i α g. W tabeli uªo»one s oddziaªywania wedªug ich mocy. e2 oddz. bozon spin m i α i s 8gluonow g em foton γ w W +, Z 0, W GeV 10 7 grawit. grawiton g (4.2) Nale»y podkre±li,»e w przypadku grawitacji nie mamy jeszcze kwantowej teorii oddziaªywa«grawitacyjnych. Co to znaczy,»e oddziaªywanie ma charakter kwantowy. Dobrym przykªadem jest rozpraszanie elektronu na elektronie. Pozwoli to na rozwa»enie aspektów kwantowych oddziaªywania elektromagnetycznego. Rozpraszanie elastyczne elektronów na elektronach klasycznie przebiegaªoby jak to prezentuje na rys 1/IV diagram 1a. Odpychanie kulombowskie przebiega proporcjonalnie do 1 przy czym r jest zmieniaj c si w czasie rozpraszania odlegªo±ci pomi dzy elektronami. Kwantowo proces przebiega jak na r 2 prezentuj diagramy 1b i 1c. Oddziaªywanie polega na wymianie kwantu oddziaªywania czyli fotonu. Mo»liwe s procesy jednostopniowe (przypadek 1b), dwustopniowe z wymian sekwencyjn dwu fotonów (przypadek 1c), procesy wielostopniowe. W procesie jednostopniowym jeden z ªadunków emituje foton (przypadek 1d), drugi go absorbuje (przypadek 1e). Prawdopodobie«stwo emisji wzgl dnie absorpcji fotonu jest proporcjonalne do staªej sprz»enia α em. Proces jednostopniowy skªada si z dwu wierzchoªków. Jest zatem proporcjonalny do kwadratu staªej sprz»enia α em. Proces wymiany fotonu trwa bardzo krótko. Zatem zgodnie z zasad nieoznaczono±ci Heisenberga E t = h w czasie wymiany fotonu nie musi by zachowana energia. Foton odpowiedzialny za rozproszenie mo»e unosi ró»ne energie. Nazywamy go fotonem wirtualnymi. Nie jest bezpo±rednio obserwowany. Istniej procesy w których emitowane s fotony rzeczywiste przez ªadunki elektryczne (przypadek 1f). W tego typu procesach obserwujemy emitowany 12

14 foton. Nie mo»na zaªo»y,»e czas od chwili emisji do chwili obserwacji jest bardzo krótki. Takie fotony obserwujemy np. w lampach rentgenowskich. S to fotony skªadowej ci gªej widma rentgenowskiego. S emitowane w wyniku hamowania elektronów na antykatodzie lampy rentgenowskiej. Okazuje si,»e ten sam diagram b dzie opisywa nie tylko emisj fotonów wirtualnych ale tak»e rzeczywistych. Te same diagramy opisuj jeszcze dwa dalsze procesy. Je»eli w przypadku wierzchoªka 1c zamienimy zgodnie z ide Stueckelbergera-Feynmana elektron na antyelektron-pozyton to otrzymujemy diagram opisuj cy proces kreacji pary pozyton-elektron (2a). Z kolei je»eli dokonamy zmiany elektronu na pozyton w diagramie 1d mamy graf opisuj cy proces anihilacji elektronu i pozytronu (2b). Rysunek 2/IV 1 prezentuje obydwa przypadki. Takie same diagramy jakie wyst puj dla oddziaªywania elektromagnetycznego zachodzi b d tak»e dla oddziaªywa«silnych i sªabych. Nie wyczerpuj one jednak wszystkich mo»liwo±ci. W obydwu przypadkach tak»e bozony oddziaªywania b d braªy udziaª w oddziaªywaniu. Nale»y pami ta,»e w przypadku oddziaªywa«silnych cz stki musz unosi ªadunek silny a dla sªabych ªadunek sªaby. Schematycznie wyst puj ce sprz»enia prezentuje nast puj ce zestawienie 1. oddziaªywanie silne: g (qq), 2. oddziaªywanie em: γ (l l + ),(q q) 3. oddziaªywanie sªabe: bozon sªabego oddziaªywania W +, W, Z 0 (l l), (q q),. Nie s to wszystkie informacje o oddziaªywaniach elementarnych. W nast pnych rozdziaªach b d omówione dalsze wªasno±ci poszczególnych oddziaªywa«. W pierwszej kolejno±ci b dzie to oddziaªywanie elektromagnetyczne. Znamy je najlepiej i wnioski wynikaj ce z wªasno±ci tego oddziaªywania b d przenoszone do pozostaªych oddziaªywa«. 13

15 Rozdziaª 5 Symetrie w zyce - zasada Emmy Noether Niezwykle wa»n rol w zyce graj zasady zachowania by wymieni takie zasady jak zachowanie energii, p du, ªadunku elektrycznego. Okazuje si, jak to pokazaªa mi dzy innymi pani Emma Noether ju» w 1918 roku,»e zasady zachowania w zyce zwi zane s z odpowiednimi symetriami, niezmienniczo±ciami praw zyki wobec okre±lonych przeksztaªce«-transformacji. Jest to t. zw. zasada pani Emmy Noether. Dotyczy to tak zyki klasycznej jak i zyki kwantowej. Dotyczy to nie tylko wielko±ci ci gªych jak np. p d ale tak»e dyskretnych jak np. parzysto±. Oka»e si,»e pewne symetrie - zasady zachowania nie zawsze b d zachowane. Zale»y to od oddziaªywa«w wyniku których b d zachodzi odpowiednie procesy zyczne. Poj cie symetrii jest w zasadzie ka»demu znane. Czªowiek i jego twórczo± cechuj d»enia preferuj ce symetrie. Nasze odczucie pi kna faworyzuje obiekty, przedmioty wykazuj ce bardzo cz sto wewn trzne symetrie. Wystarczy wymieni takie obiekty jak paªac Do»ów w Wenecji, rozety w katedrach gotyckich, muzyk np. utwory Bacha. Fig 3/IV Symetria architektury Powi zanie poczucia pi kna u czªowieka z symetri prawdopodobnie jest sposowodowane tym,»e to co w przyrodzie jest pi kne wykazuje naogóª symetri. Wiele ro±lin, zwierz t ma w swojej budowie struktury o charakterze symetrycznym chocia»by pi kne kwiaty. Fig 2/IV Symetria ro±liny 14

16 Tak»e obiekty zyczne na poziomie makroskopowym cechuje cz sto symetria. Klasycznym przykªadem s pªatki ±niegu, ró»ne sturktury krystaliczne. Fig 1/IV Symetria pªatka ±nie»nego Okazuje si,»e tak»e ±wiat elementarnych cz stek i oddziaªywa«cechuje symetria, symetria z której wynikaj mi dzy innymi wªasno±ci oddziaªywa«elementarnych, struktury cz stek na poziomie elementarnym. Mo»e w dzisiejszych czasach nasze odczucie pi kna nie jest a» tak bardzo sprz»one z symetri, z regularno±ci. Tym niemniej nie zmienia to oczekiwa«wielu zyków,»e natura w swych najbardziej elementarnych wªasno±ciach wykazuje symetri. Co b dziemy rozumie pod poj ciem symetrii, symetrii w zyce. Bardzo ogólnie mówi c obiekt wykazuje wtedy symetri, je»eli nie zmienia si przy dokonaniu odpowiedniego przeksztaªcenia, odpowiedniej transformacji, np obrotu. Dobrym prostym przykªadem s pªatki ±niegowe. Dokonuj c obrotu dookoªa osi przechodz cej przez jego centrum o okre±lony k t nie zmienia si nasz obiekt, "wygl da tak samo". Dobrymi przykªadami do rozwa»a«nad symetriami s obiekty geometryczne. Trójk t równoboczny symetrie wobec obrotów czy to dookoªa osi prostopadªej przechodz cej przez jego ±rodek prostopadle do jego pªaszczyzny o k t 120 o czy te» dookoªa osi zwi zanych z przek tn, symetrie odbicia. Trójk t równoboczny wykazuje mniej symetrii. Kula jest w tym sensie specy- cznym obiektem, gdy» wykazuje symetrie obrotowe wzgl dnie obrotów o dowolny k t dookoªa ka»dej osi przechodz cej przez jej centrum. Fig 4/IV Trójk t równoboczny, równoramienny, kula 15

17 Rozdziaª 6 Symetrie w zyce klasycznej - prawa zachowania W tym rozdziale rozwa»ymy kilka niezwykle wa»nych przypadków. Najprostsz i bardzo wa»n transformacj jest Translacja przestrzenna - przesuni cie równolegªe Translacja przestrzenna jest to przepis, który b dziemy oznacza T. Polega na przesuni ciu ukªadu wspóªrz dnych X' wzgl dem ukªadu X, czyli T r = r + a (6.1) gdzie odpowiednio wektory r, r s wektorami poªo»enia tego samego punktu odpowiednio w ukªadzie X' wzgl dnie X. Z niezmienniczo±ci zyki wobec translacji przestrzennej wynika,»e caªkowity p d ukªadu si nie zmienia. Speªniona jest zasada zachowania p du, czyli p i = P = const (6.2) i Znaczenie niezmienniczo±ci wobec transformacji jest oczywiste. Fizyka nie mo»e by zale»na od tego w jaki ukªadzie wspóªrz dnych opisujemy eksperyment, w którym miejscu prowadzone s eksperymenty. Mówimy o symetrii wobec translacji przestrzennej. Translacja czasowa t'=t+b Mówimy o symetrii, je»eli proces jest niezmienniczy wobec tej transformacji. W tym przypadku prawa zyki nie mog zale»e od ustawienia zera 16

18 zegarka. Tak»e w tyn przypadku konieczno± wyst powania symetrii praw zyki wobec translacji czasowej jest zupeªnie oczywiste. Z niezmienniczo±ci wobec translacji w przestrzeni czasowej wynika zasada zachowania energii czyli E i = E tot = const (6.3) i Transformacja obrotów w przestrzeni. Mamy dwa ukªady wspóªrz dnych X' i X. Je»eli dokonujemy obroty i k t α dookoªa osi z to wtedy wspóªrz dne x i y ulegaj transformacji w nast puj cy sposób: x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α z = z (6.4) Ogólnie transformacja obrotów T reprezentowana jest przez macierz 3 x 3. Mamy x x x = y, x = y x = T x (6.5) z z W przypadku obrotów dookoªa osi z macierz obrotów przyjmuje posta : ˆT = cos α sin α 0 sin α cos α (6.6) W ogólnym przypadku macierz transformacji zawiera k ty obrotów dookoªa osi x, y, z. Z niezmienniczo±ci wobec obrotów czyli wyst powania symetrii wobec transformacji obrotów w przestrzeni wynika zasada zachowania kr tumomentu p du, czyli L i = L tot = const (6.7) i Transformacja Lorentza. W przypadku relatywistycznym musi wyst powa niezmienniczo± wobec ju» wcze±niej omawianej transformacji Lorentza: x = x ut 1 β 2, y = y, z = t ux c 2 1 β 2 (6.8) 17

19 Niezmienniczo± wobec tej transformacji niew tpliwie b dzie gwarantowa,»e pr dko± ±wiatªa w ró»nych ukªadach wspóªrz dnych jest niezmiennicza. niezmienniczo± wobec transformacji Lorentza zwi zana jest z zachowaniem masy. Masa spoczynkowa m ukªadu cz stek jest niezmiennicza wobec transformacji Lorentza. Mówimy o masie niezmienniczej m. Generalnie niezmienniczy jest iloczyn skalarny dwu czterowektorów: A µ = (A 0, A) A µ A µ = A 2 0 A 2 µ p µ = ( (6.9) E, c p) E2 p 2 = m 2 c 2 c 2 Niezmienniczo± wobec transformacji Lorentza gwarantuje w szczególno±ci niezmienniczo± interwaªu czasoprzestrzennego. 18

20 Rozdziaª 7 Symetrie w zyce kwantowej - prawa zachowania Transformacje w mechanice kwantowej musz speªnia odpowiednie warunki. Musz by transformacjami unitarnymi, transormacjami zachowuj cymi prawdopodobie«stwo. 7.1 Transformacje unitarne W rozdziale o mechanice kwantowej zasygnalizowano,»e wielko± obserwowana czyli obserwabla jest warto±ci oczekiwan operatora danej obserwabli gdy ukªad znajduje si w odpowiednim stanie kwantowym Dla badania niezmienniczo±ci w teoriach kwantowych musimy wprowadzi odpowiednie operatory transformacji. Operatory T w mechanice kwantowej nie mog zmienia normalizacji funkcji falowej (nie mog zmienia prawdopodobie«stwa). Operatory takie nazywamy operatorami unitarnymi. B dziemy je oznacza liter U. Aby operator byª operatororem unitarnym musi speªnia nast puj cy warunek: UU + = U + U = 1 (7.1) przy czym U jest macierz hermitowsk sprz»on do miacierzy U. Je»eli oznaczymy T = U to elementy macierzy srz»onej po hermitowsku zwi zane s z elementami macierzy pierwotnej nast puj c T kl = A lk. Transformacja unitarna odpowiadaj ca operatorowi ˆF ma posta : iε ˆF Û = e (7.2) gdzie ɛ jest parametrem rzeczywistym a F operatorem odpowiedniej obserwabli. Operator F nazywamy generatorem transformacji U. Parametr 19

21 ɛ okre±la obrót.jednym z takich generatorów mo»e by wprowadzony wcze±niej operator energii. Jaki warunek musi speªnia generator transformacji F by odpowiadaj ca mu wielko± zyczna (obserwabla) byªa zachowana, by zachodziªa odpowiednia symetria. Zgodnie z zasad pani Noether zyka w wyniku takiej transformacji nie mo»e si zmienia. Oznacza to,»e nie tylko funkcja falowa ψ speªnia odpowiednie równanie kwantowe ale tak»e funkcja falowa ψ = Uψ musi speªnia to samo równanie. Oznacza to,»e Ĥψ = Eψ oraz Ĥψ = Eψ ; gdzie...ψ = Uψ Mo»na pokaza,»e jest to równowa»ne warunkowi komutacji. Mianowicie obserwabla jest zachowana je»eli odpowiadaj cej jej operator F b dzie komutowaª z odpowiednim hamiltonianem H czyli je»eli: [H, F ] = 0 HF F H = 0 (7.3) Stany w jakich mo»e znajdowa si nasz ukªad okre±laj stany wªasne operatora Hamiltona poprzez równanie Ĥψ i = E i ψ i. Okazuje si,»e gdy operatory Ĥ i ˆF komutuj z sob to warto±ci wªasne operatora ˆF danej obserwabli f gdy ukªad znajduje si w stanie i okre±la nast puj ce równanie: ˆFψ i = f i ψ i (7.4) Pierwsze równanie okre±la energi wªasn ukªadu a drugie (7.4) warto±ci wªasne operatora F czyli warto±ci jakie mo»e przyj obserwabla gdy ukªad kwantowy znajduje si w stanie i. Cz sto wprowadza si transformacje innitezymalne. Rozwijamy operator unitarny nast puj co: Û = e iε ˆF = 1 + iε ˆF + (iε ˆF) 2 / iε ˆF ; gdyε ˆF << 1 (7.5) Transformacja innitezymalna jak si okazuje komutuje z Hamiltonianem. Aby dana obserwabla byªa zachowana wg pani Noether musi wyst powa odpowiednia symetria. a jej operator ˆF musi komutowa z operatorem Hamiltona Ĥ opisuj cym zachodz cy proces. Stwierdzenie czy operator komutuje z hamiltonianem nie jest takie proste. Hamiltonian skªada si z operatora energii kinetycznej T i energii potencjalnej reprezentuj cej ró»ne oddziaªywania, czyli H = T + V s + V em + V w + V G. Nie znamy jednak dokªadnej zale»no±ci funkcyjnej potencjaªów opisuj cych poszczególne oddziaªywania poza potencjaªem oddziaªywa«elektromagnetycznych. Z tego powodu nie mo»emy w sposób prosty, analityczny powiedzie czy operator 20

22 obserwabli komutuje z hamiltonianem. Oznacza to,»e warunek komutacji nie potra jednoznacznie powiedzie, czy jaka± wielko± jest zachowana czy te» nie. Cz sto warunek symetrii bada si sprawdzaj c czy odpowiedni Lagrangian jest niezmienniczy wobec wªa±ciwej transformacji. W zyce klasycznej Lagrangian jest ró»nic energii kinetycznej i potencjalnej L = T + V = L(q i.., q i )...i = 1...f. Wspóªrz dne uogólnione q i q zast pujemy odpowiednio q ψ ( x, t)..., q ψ t (7.6) Lagrangian jest funkcj funkcji falowej ψ α (( x i, t) ukªadu cz stek znajduj - cych si w stanie α. Wobec tego mamy: L (q i, q i, t) L ( ψ α, ) ψ α, x µ x µ (7.7) 7.2 Zachowanie liczb kwantowych addytywnych Zajmijmy si wpierw zachowaniem liczb kwantowych skalarnych addytywnych. Transformacja unitarna ma wtedy posta : iε ˆQ Û = exp (7.8) ˆQ jest operatorem odpowiedniej liczby kwantowej, ogólnie ªadunku potraktowanego w sensie ogólnym, By zachodziªa symetria Lagrangian musi by niezmienniczy wobec transformacji unitarnej to znaczy funkcja falowa ψ i ψ musz speªnia to samo równanie Lagrange'a, czyli L ( ψ α, ) ( ) ψ α, x µ = L ψ x α, ψ µ x α, x µ ψ = e iε ˆQψ (7.9) µ Rozwa»my kilka zasad zachowania Zachowanie ªadunku elektrycznego Šadunek elektryczny jest skwantowany. Ka»dy ªadunek jest wielokrotno±ci ªadunku elementarnego, którym jest ªadunek elektronu e (ewentualnie 1/3e ). Jednym z eksperymentów, który ma potwierdzi zasad zachowania ªadunku to poszukiwanie ewentualnego rozpadu elektronu. Byªby to proces e γ + ν e 21

23 Do tej pory nie zaobserwowano rozpadu elektronu. Je»eli miaªby by niestabilny, to jego czas»ycia musiaªby wynosi τ >> lat. Stwierdzono tak»e,»e ªadunek elektronu i pozytronu jest w granicach bª du taki sam, czyli q e + q e + < Wynika z tego,»e ªadunek elektryczny jest zachowany we wszystkich procesach niezale»nie od oddziaªywania (s,em,w,g) b d cego ¹ródªem przemiany a tak»e,»e ªadunek i jego antyªadunek s sobie równe. Nale»y podkre±li,»e ªadunek elektryczny jest ¹ródªem oddziaªywania Oprócz ªadunku elektrycznego b d cego ¹ródªem oddziaªywa«elektromagnetycznych istniej odpowiednio ªadunki silne, sªabe i grawitacyjne b d ce ¹ródªem trzech pozostaªych oddziaªywa«. oddziaªywania silne Istniej trzy ró»ne ªadunki silne Red czerwony, Green zielony, Blue niebieski i ich antyªadunki R, Ḡ, B. Staªe sprz»enia s takie same. Suma trzech ªadunków silnych si znosi (R+G+B=1). Šadunki silne s zachowane we wszystkich oddziaªywaniach. Oddziaªywania grawitacyjne ródªem oddziaªywania grawitacyjnego jest masa ci»ka. Poniewa» do dzisiaj nie sformuªowano kwantowej teorii oddziaªywa«trudno mówi o elementarnych ªadunkach grawitacyjnych. Z niezmienniczo±ci wobec transformacji Lorentza wynika,»e masa klasyczna jest zachowana we wszystkich oddziaªywaniach. oddziaªywania sªabe Ich wªasno±ci podane zostan w odpowiednim rozdziale. Dalsze szczegóªy o oddziaªywaniu podane zostan w odpowiednich rozdziaªach. Wa»n rol w zyce odgrywaj tak»e liczby kwantowe barionowa, leptonowa i zapachu. Charakteryzuj cz stki elementarne. Nie s jednak ¹ródªem oddziaªywania. 22

24 7.2.2 Zachowanie liczby kwantowej barionowej Liczba barionowa B, która charakteryzuje cz stki oddziaªuj ce silnie` czyli kwarki i zªo»one ukªady kwarkowego jest skalarn liczb kwantow addytywn przyjmuj c ` warto±ci dyskretne. Kwarkom przypisujemy liczb barionow 1/3. Przeprowadzono wiele eksperymentów potwierdzaj cych zachowanie B. Na szczególn uwag zasªuguj procesy kreacji cz stek elementarnych. W procesach kreacji oboj tnie w wyniku jakiego oddziaªywania si to odbywa powinny by kreowane cz stki jak i antycz stki i to w takich samych ilo±ciach. Powinno powstawa tyle samo materii co antymaterii. Proces kreacji materii przebiega nast puj co: γ(g, W, Z) q + q, p + p B = 0 1 / 3 + ( 1 / 3 ), 1 + ( 1) (7.10) przy czym zgodnie z zachowaniem liczby barionowej powinno powsta tyle samo kwarków, protonów.. co antykwarków, antyprotonów. A jednak musi powstawa mniej antycz stek. Wiemy»e anty±wiat nie istnieje. Szacuje si,»e aby wytªumaczy brak anty±wiata zasada zachowania liczby barionowej musiaªaby by niezachowana na poziomie 1 przypadek na (1 na ) kreacji jedynie protonu bez powstania antyprotonu a parze. Zachowanie liczby barionowej musiaªoby by tak»e ªamane w przypadku unikacji oddziaªywa«silnych, elektromagnetycznych i sªabych. Wg teorii wielkiej unikacji GUT proton rozpada si nast puj co: p π 0 + e + B Do tej pory nie zaobserwowano promieniotwórczo±ci protonu. Czas»ycia protonu wg przypuszcze«powinien by bardzo dªugi si gaj cy lat co wobec czasu»ycia Wszech±wiata (10 10 lat jest czasem bardzo dªugim. Wg naszych obecnych oszacowa«wielka unikacja powinna zachodzi w okoªo s po Wielkim Wyb uchu. By mo»e w tym okresie nast piªo ªamanie symterii barionowej. We wszystkich eksperymentach przeprowadzonych w laboratoriach stwierdzono,»e liczba barionowa B jest zachowana w procesach niezale»nie od tego jakie oddziaªywanie jest odpowiadzialne za przemian. Pozostaje otwarty problem niezachowania liczby barionowej na poziomie 1:

25 7.2.3 Zachowania liczby kwantowej leptonowej Do niedawna uwa»ano,»e zachowane s liczby leptonowe dla poszczególnych rodzin leptonowych, czyli L i, i = e, µ, τ W ostatnich latach zaobserwowano oscylacje neutrinowe. Oznacza to,»e neutrina poszczególnych rodzin mieszaj si, czyli zachodz procesy: ν e ν µ (ν τ ) ν e... Co mo»emy powiedzie o oscylacjach neutrinowych. Szacuje si,»e neutrina powstaªe w reakcjach j drowych zachodz cych na sªo«cu na drodze od sªo«ca do ziemi ulegaj okoªo 10 krotnie przemianom oscylacjom. Elektronowe neutrina przechodz w mionowe zwgl dnie/i na mionowe i tau i ponownie przechodz w elektronowe itd. Przeprowadzono eksperymenty nad zachowaniem liczby leptonowej L. Jednym z badanych procesów to reakcja: γ e + p L = B = Tego procesu nie zaobserwowano co oznacza,»e nie zaobserwowano ªamania dwu liczb leptonowej i baionowej. Podobnie jak dla liczby barionowej liczba leptonowa L jest zachowana w procesach niezale»nie od tego jakie oddziaªywanie odpowiada za zachodz cy proces. Pozostaje otwarty problem niezachowania na poziomie 1: Zachowanie liczb kwantowych zapachu Kwarki jako cz stki oddziaªywuj ce silnie charakteryzujemy liczb barionow. Pomi dzy sob wyró»niamy ró»nego rodzaju kwarki przyporz dkowuj c im liczb kwantow addytywn zwan zapachem. I tak Okazuje si,»e u I 3 = + 1 / 2 c C = +1 t T = +1 Q = + 2 / 3 e d I 3 = 1 / 2 s S = 1 b B = 1 Q = 1 / 3 e ka»da z liczb zapachu oddzielnie jest zachowana we wszystkich przemianach zachodz cych w wyniku oddziaªywa«silnych i elektromagnetycznych. Jedynie oddziaªywanie sªabe NIE zachowuje zapachu. 24

26 Oznacza to,»e kwarki jednego rodzaj mog przej± w inny rodzaj jedynie w procesach sªabych, przy czym zmiana zapachu mo»e wynosi (zapach) = 0 lub 1. Okazuje si,»e istnieje symetria zapachowa w oddziaªywaniach silnych i elektromagnetycznych, NIE istnieje symetria zapachowa dla oddziaªywa«sªabych 7.3 Zachowanie kr tu - spin, izospin W poprzednim rozdziale prezentowano zachowanie wielko±ci skalarnych addytywnych. Generatory tych transformacji s jednowymiarowe. W przypadków wielko±ci wektorowych jakimi s np. spin mamy do czynienia z obrotami w przestrzeni geometrycznej. P:oniewa» obroty mog zachodzi dookoªa ró»nych osi w przestrzeni do opisu symetrii wymagane s generatory w postaci macierzy. Formalizm matematyzny zwi zany ze spinem stosujemy tak»e do takich wielko±ci jak izospin. Rozpatrzymy bardzo prosty przypadek, przypadek cz stki o kr cie wªasnym opisanym prze liczb kwantow spinu S=1/2 (np. elektron, kwark). Cz stka mo»e wyst powa w dwu stanach. Rzut spinu cz stki na wyró»niony kierunek jak nam o tym mówi teoria kwantów mo»e wynosi s 3 = +1/2 albo -1/2. W tym przypadku stanami bazowymi s odpowiednio wektory bazowe ( 1 0 ) oraz ( 0 1 ) (7.11) P:ierwszy opisuje fermion, którego spin na wyró»nion o± wynosi S 3 = +1/2, drugi gdy S 3 = 1/2. Operator obrotów dookoªa osi i=1,2,3 (np osi x, y, z) ma posta ( U (θ i ) = exp σ i iθ i 2 przy czym generatorami obrotów s macierze Pauliego σ: S = ( 1 / 2 ) σ σ 1 = ( ), σ 2 = ) ; i = 1, 2, 3 (7.12) ( 0 i i 0 ), σ 3 = ( ) (7.13) Innitezymalna posta operatora Û przy obrocie dookoªa osi 3 (np. osi z) przyjmuje posta : Û = 1 iε 3 s 3 (7.14) 25

27 W Okazuje si,»e macierze obrotów wykazuj bardzo wa»n wªasno±. Macierze te nie s od siebie niezale»ne, s sprz»one z sob nast puj co: [S i, S j ] = iε ijk S k (7.15) przy czym ε ijk =0, gdy dwa wska¹niki s takie same, przyjmuje warto±c +1 gdy ich permutacja jest parzysta oraz -1 gdy jest nieparzysta. Okazuje si,»e jedynie caªkowity kr t komutuje z jednym z trzech rzutów kr tu (np s 3, 3 = z) z sob sprz»one: [ s 2, s 3 ] = 0 (7.16) Jest to zwi zane z operatorem Casimira. Badanie symetrii prowadzi do wniosku,»e mo»emy okre±la równocze±nie spin cz stki i rzut na jeden wyró»niony kierunek którym najcz ±ciej jest o± z. Dlatego mówi c o spinie, ogólnie o kr cie okre±lamy zawsze liczb kwantow kr tu i rzut na jedn z osi (naogóª trzeci o±, o± z). Macierze Pauliego tworz c grup obrotów SU(2). Jest to bardzo wa»ne stwierdzenie. Dzi ki temu korzystamy cz sto z bardzo po»ytecznych wªasno±ci transformacji. elementy teorii grup Skoncentrujmy si na podstawach teorii - wa»nego dziaªu matematyki - my±l c o obrotach. Oznaczmy transformacje symbolami T,S,V,... Niechaj transformacja T przyporz dkowuje punktowi P > ˆT > punktp, transformacja S punktowi P > Ŝ > P,... Transformacje T,S,V,...tworz grup G je»eli wykazuj nast puj ce wªasno±ci: je»eli transformacje T (przyporz dkowuje p=>p') oraz transformacja S (p'=>p) nale» do grupy G to ich iloczyn ST (p=>p) te» nale»y do grupy G, mno»enie transformacji jest ª czne to znaczy,»e wynik ª czny transformacji jest taki sam S(TV)=(ST)V, do G nale»y identyczno± I (P > Î > P ) Odwzorowanie odwrotne, czyli T 1 te» nale»y do G, czyli T T 1 = T 1 T = I 26

28 W±ród transformacji obrotów O transformacje obrotów unitarnych b dziemy oznacza U a takie nie zawieraj c odbicia b dziemy oznacza przez SU(n), gdzie n b dzie wymiarem przestrzeni obrotów. W±ród transformacji wyró»nia si transformacje abelowskiej je»eli TS=ST; nieabelowskiej, gdy ST T S. Wyró»niamy tak»e grup transformacji Lie'go je»eli rotacj mo»emy wyrazi jako wynik sukcesywnych innitezymalnych rotacji. ukªad dwu elektronów Jak po»yteczna jest teoria grup w przypadku obrotów ±wiadczy nast puj cy przykªad. Niechaj nasz ukªad skªada si z dwu elektronów. Peªn funkcj falow mo»emy naogóª rozdzieli na dwie skªadowe. Peªna funkcja falowa ψ = ψ rel ψ spin gdzie funkcji falowej ψ wzgl opisuje ruch wzgl dny elektronów, druga caªkowity spin elektronów ψ spin. Peªna funkcja falowa dwu fermionów musi by funkcj antysymetryczn to znaczy zmienia` swój znak je»eli zamienimy miejscami cz stk pierwsz z drug. Parzysto± funkcji falowej ψ rel opisuj cej ruch wzgl dny obydwu elektronów zale»y od kr tu L ruchu wzgl dnego obydwu elektronów i wynosi ( 1) L. Cz ± spinowa funkcji falowej ψ spin opisuje caªkowity spin obydwu elektronów. nale»y traktowa jako skªadow opisuj c wspóªrz dne wewn trzne peªnej funkcji ψ. Mo»liwe s cztery ustawienia spinów. Odpowiednie funkcje falowe opisuj te cztery mo»liwo±ci. W najprostszym przypadku funkcje falowe spinowe wykazywaªyby nast puj ce przypadki: 1, 1 >= >; 1, 0 >= >; 1, 0 >= >; 1, 1 >= > Oznaczenia okre±laj spin i rzut spinu ( S, S 3 >) wzgl dnie S 3 = +1/2 oraz S 3 = 1/2. Okazuje si,»e tak utworzone funkcje falowe spinowe nie wykazuj symetrii. Na gruncie teorii grup okazuje si,»e iloczyn dwu macierzy Pauliego mo»na przestawi jako sum dwu macierzy 2 2 = 1 3 (7.17) Dzi ki temu otrzymujemy przepis daj cy dwie grupy funkcji falowych spinowych. S to: stan singletowy oraz trzy stany tworz ce tryplet 0, 0 > > > > > (7.18) 1, 1 > > > 1, 0 > > > + > > 1, 1 > > > (7.19) 27

29 Funkcje te wykazuj okre±lone symetrie. Funkcja falowa spinowa singletowa jest stanem antysymetrycznym a funkcje falowe trypletowe s stanami symetrycznymi. Informacje wynikaj ce z teorii grup wykorzystuje si w wielu innych przypadkach. Transformacje obrotów tworz grupy. Przedstawiony formalizm mo»emy tak»e zastosowa np w przypadku izospinu. 7.4 Transformacje P, C, T, CP i CPT Parzysto± P Jedn z wa»nych symetrii w zyce to symetria zwi zana z odbiciem ukªadu wspóªrz dnych w pocz tku ukªadu. Wyst powanie tej symetrii mówi nam czy przyroda nie wyró»nia prawo od lewo. Znamy w zyce klasycznej przypadki faworyzowania jednego z kierunków. Jednym z przypadków mo»e by skr canie pªaszczy»ny polaryzacji ±wiatªa w roztworach`cukru które wykazuje asymetri. Jeden kierunek skr ce«jest faworyzowany. A co mo»emy powiedzie o wªasno±ciach mikro±wiata. Wprowadzamy operator parzysto±ci ˆP. Je»eli zadziaªamy tym operatorem to wtedy ukªad wspóªrz dnych (x,y,z,) przechodzi w ukªad (-x,-y,-z) czyli ˆP ( x ) = ( x) (7.20) W wyniku tej operacji ukªad wspóªrz dnych prawoskr tny przechodzi w lewoskr tny. Figura 6/IV prezentuje przypadek odbicia ukªadu wspóªrz dnych w jego pocz tku. Je»eli operatorem parzysto±ci ˆP b dziemy dziaªa na funkcj falow ψ to: ˆP ψ( x) ψ( x) (7.21) Funkcja falowa opisana w ukªadzie prawoskr tnym R(right) przechodzi w funkcj falow opisan w ukªadzie lewoskr tnym L(left). Je»eli funkcje falowe ψ R i L ró»ni si tylko znakiem to przypisujemy im odpowiedni parzysto± P. Je»eli: ˆP ψ( x) = P ψ( x) (7.22) to mówimy,»e funkcja ta jest parzysta je»eli warto± wªasna operatora parzysto±ci P = +1 albo nieparzysta je»eli warto± wªasna jest P = 1. Parzysto± jest liczb kwantow multiplikatywn. 28

30 Cz stkom przyporz dkowujemy parzysto± wewn trzn. Parzysto± wewn trzn cz stek otrzymujemy porównuj c j z parzysto±ci wewn trzn mezonu π. Temu ostatniemu przyporz dkowujemy parzysto± wewn trzn ujemn (P = 1). Parzysto± wewn trzna antycz stki jest przeciwna do parzysto±ci cz stki. Tak»e funkcji palowej opisuj cej ruch wzgl dny przypisujemy parzysto±. Jak to zostaªo ju» wcze±niej powiedziane Parzysto± funkcji falowej ruchu wzgl dnego wynosi ( 1 l) przy czym l jest kr tem ruchu wzgl dnego. Czy parzysto± jest zachowana, czy te» nie. Innymi sªowy, czy ±wiat prawoskr tny (R - right) i lewoskr tny (L - left) s równowa»ne. Wiele eksperymentów potwierdza,»e wyst puje symetria prawo=lewo, symetria R-L w oddziaªywaniach silnych i elektromagnetycznych. Zupeªnie inaczej przedstawia si sytuacja w przypadku oddziaªywa«sªabych. W eksperymencie nad rozpadem beta j der kobaltu 60 pani Wu pokazaªa,»e liczb elektronów emitowanych w kierunku spinu j der kobaltu jest inna ni» w przeciwnym kierunku. W eksperymencie mierzono zale»no± liczby zlicze«od iloczynu px S a ten posiada parzysto± -1. Wynika to z parzysto±ci p du i kr tu (spinu). Šatwo pokaza,»e ˆP ( p) = p; ˆP ( L = x p ) = (( x) ( p)) = ( x p) = + L (7.23) Badano równie» skr tno± neutrin wyst puj cych w przyrodzie. Okazaªo si,»e obserwujemy jedynie neutrona lewoskr tne (skr tno± κ = 1). NIE ma neutrin prawoskr tnych. Podobnie antyneutrina s jedynie prwoskr tne. Wobec tego symetria prawo-lewo (R-L)jest MAKSYMALNIE ŠAMANA w przypadku oddziaªywa«sªabych czyli. parzysto± P JEST zachowana w oddziaªywaniach silnych i elektromagnetycznych,»e parzysto± P NIE jest zachowana w oddziaªywaniach sªabych. Parzysto± ªadunkowa C 29

31 Wprowadzamy operator sprz»enia ªadunkowego Ĉ, który dziaªaj c na funkcj falow cz stki ψ cz przyporz dkowuje jej funkcj falow antycz stki ψ cz, czyli Ĉ cz > antycz > (7.24) Okre±lamy parzysto± C funkcji falowej cz stki wzgl dnie ukªad cz stek ψ cz Ĉψ cz = Cψ c z (7.25) Cz stkom posiadaj cym ªadunek elektryczny nie mo»emy przypisa parzysto±ci ªadunkowej. Funkcje falowe cz stki naªadowanej i jej antycz stki nie s identyczne; ró»ni si znakiem ªadunku elektrycznego. Podobnie hadronom i innym ukªadom zªo»onym mo»emy przypisywa parzysto± ªadunkow tylko wtedy, gdy cz stki s cz stkami nienaªadowanymi. Okre±lamy warto± wªasn C operatora Ĉ. Mog przyjmowa warto±ci +1 wzgl dnie -1. Mówimy,»e funkcja falowa ma parzysto± ªadunkow dodatni lub ujemn. Okazuje si, co sprawdzono do±wiadczalnie w oddziaªywaniach silnych i elektromagnetycznych parzysto± ªadunkowa JEST ZACHOWANA Z `symetrii parzysto±ci ªadunkowej wynika,»e oddziaªywania silne i elektromagnetyczne mi dzy cz stkami i ich antycz stkami s takie same. Z kolei wiemy,»e neutrino jest lewoskr tne a jej antycz stka czyli antyneutrino jest prawoskr tne. Oznacza to,»e oddziaªywanie sªabe NIE zachowuje parzysto±ci ªadunkowej, rozró»nia cz stki od antycz stek, dziaªa TYLKO pomi dzy cz stkami lewoskr tnymi L i antycz stkami prawoskr tnymi Inwersja czasu T Wprowadzamy operator ˆT dokonuj cego inwersji czasu. W wyniku dziaªania tego operatora zmieniamy kierunek biegu czasu czyli: Operator inwersji czasu powoduje,»e t ˆT t (7.26) x ˆT x; p ˆT p; L ( x p) ˆT L 30

32 Okazuje si,»e równanie Schródingera nie jest niezmiennicze wobec inwersji czasu. Je»eli funkcja falowa ψ(t) speªnia równanie kwantowe to funkcja ˆT ψ(t) = ψ( t) nie speªnia tego równania, poniewa» dψ (t) Ĥψ (t) = i h dt Ĥψ ( t) = i hdψ ( t) dt = Ĥψ (t) = i hdψ (t) dt By byªa zachowana symetria wobec translacji czasu Wigner zaproponowaª, by operator inwersji` czasu miaª nast puj c posta : ˆT ψ (t) = ψ (t) Wtedy funkcja falowa ψ oraz ψ b d speªnia równanie Schródingera. Wprowadzenie operatora Wignera powoduje,»e ˆT exp [ i( p x Et)] = ψ ( x, t) = exp [i( p x E( t))] = exp [ i(( p) x Et)] Po zmianie operatora inwersji czasu ˆT zgodnie z sugesti Wignera obydwie funkcje falowe ψ i funkcja falowa ˆT ψ speªniaj równanie Schródingera, czyli zachowana jest symetria inwersji czsowej. Przeprowadzone eksperymenty z dokªadno±ci 10 4 potwierdzaj,»e zachodzi niezmienniczo± procesów zycznych wobec odwrócenia czasu dla oddziaªywa«silnych i elektromagnetycznych W przypadku oddziaªywa«sªabych sytuacja nie jest jasna. Prowadzone eksperymenty nad rozpadem β neutronu, j der Li stwierdzaj,»e je»eli miaªaby by ªamana symetria odwrócenia czasu, to na poziomie mniejszym ni» Prowadzone s tak»e bardzo dokªadne pomiary momentu dipolowego elektrycznego neutronu. Je»eli miaªaby by ªamana symetria odwrócenia czasu w oddziaªywaniu sªabym, to b dzie ªamana w niewielkim stopniu. Jak to si oka»e w rozwa»aniach nad zachowaniem symetrii CPT i CP wynika,»e sytuacja nie jest taka prosta,»e symetria odwrócenia czasu by mo»e jest ªamana w oddziaªywaniach sªabych. Dokªadno± przeprowadzonych do tej pory eksperymentów nie jest wystarczaj co dobra mimo olbrzymiej precyzji. Dla przykªadu moment dipolowy neutronu zmierzono do tej pory z dokªadno±ci rz du a jednak nie wystarcza to,by powiedzie, czy ªamana jest symetria T. Jak si oka»e z nast pnych odcinkach ewentualny poziom niezachopania inwersji czasowej nie udaªo si potwierdzi ani zanegowa. Sprawa niezmienniczo±ci wzgl dem odwrócenia czasu, czyli zachowania symetrii T jest bardzo wa»na. Jest to zwi zane z tym, czy procesy przebiegaj ce obecnie zachodziªy w przeszªo±ci jak i b d zachodzi w przyszªo±ci tak samo. 31

33 transformacja CPT Najwa»niejsz z transformacji jest transformacja CPT. Transformacja ta zªo»ona jest z operacji polegaj cej na zadziaªaniu na dany ukªad trzema operatorami Ĉ ˆP ˆT. Wynik tej symetrii nie zale»y od kolejno±ci dziaªania poszczególnych operatorów. Fizyka musi by niezmiennicza ze wzgl du na t zªo»on operacj, na t symetri. Symetria ta jest zwi zana z zasadami kwantowej teorii pola.wynikaj z niej najbardziej fundamentalne zaªo»enia jak zasada przyczynowo±ci, lokalno± oddziaªywa«... Zachowanie tej symetrii badamy porównuj c np ªadunki elektryczne, masy, czasy»ycia, momenty magnetyczne cz stek i antycz stek z sob. Dokªadno± zachowania symetrii CPT si ga Oznacza to,»e wszystkie oddziaªywania s niezmiennicze je»eli dokonamy operacji ˆP Ĉ ˆT. Jest to niezwykle cenne i wa»ne twierdzenie. transformacje CP Transformacja CP jest operacj zªo»on, w której zmieniamy skr tno± ukªadu i równocze±nie zamieniamy cz stk na antycz stk, czyli dziaªamy operatorami Ĉ ˆP : C P ψ cz ( x) ψ c z ( x) (7.27) Czy istnieje zwi zana z nasz transformacj odpowiednia symetria CP, symetria, która mówi nam o niezmienniczo±ci zyki wzgl dem parzysto±ci kombinowanej. Dla oddziaªywa«silnych i elektromagnetycznych symetria CP jest zachowana. Wynika to z poczynionych obserwacji. W przypadku oddziaªywa«sªabych symetria CP jest w zasadzie zachowana. Co to znaczy w zasadzie. Jak si oka»e niezachowanie symetrii CP wyst puje na poziomie amplitud rz du Rozpatrzmy przypadek neutrin. Operacja Ĉ powoduje,»e neutrino przechodzi w antyneutrino. Z kolei skr tno± zmienia znak w wyniku operacji ˆP. Oznacza to,»e lewoskr tne neutrino przechodzi w prawoskr tne antyneutrino. Pojedy«cza operacja prowadzi z kolei do nie istniej cych stanówobydwa neutrina istniej. Oznacza to,»e jest zachowana symetria CP. A jednak z rozpadu mezonów K 0 i K0 wynika istnienie rozpadów tych mezonów do 32

34 kanaªów ªami cych symetri CP. Jak zostaªo powiedziane ªamanie wyst puje na poziomie Dalsze szczegóªy tego tak wa»nego problemu zostan omówione w rozdziale o sªabych oddziaªywaniach. Powstaje dylemat: Je»eli zachowana jest symetria CPT i niezachowana jest symetria CP to powinna by niezachowana niezmienniczo± wobec odwrócenia czasu ˆT. Jak to zostaªo powiedziane nie mamy pomiarów potwerdzaj - cych wzgl dnie przecz cych temu wnioskowi. Z powyzej prezentowanych bardzo wa»nych symetrii i odpowiednich praw zachowania wynika,»e jedynie w przypadku oddziaªywa«sªabych wyst puje ªamanie symetrii. Jest to do dzisiaj problem, którego rozwi zania jeszcze nie znamy. Jak zobaczymy ªamanie symetrii, szczególnie symetrii P, C, PC liczb B, L i zapachu stanowi nadal powa»ny problem i wezwanie dla dzisiejszej zyki. Jest nadzieja,»e przygotowywane obecnie nowe wielkie eksperymenty chocia» cz ±ciowo potwierdz obecne próby wytªumaczenia istniej cych dylematów. 33