Efekt Dopplera Dla Światła

Transkrypt

1 Władysław Darowski Efekt Dopplera Dla Światła Długość fali jest to odległość między dwoma powtarzającymi się fragmentami fali, czyli odległość między dwoma następującymi po sobie grzbietami fali. Jeśli będziemy wysyłać impulsy z określoną częstotliwością, to długość wysyłanej fali będzie odległością pomiędzy kolejnymi impulsami. Użyjmy do obliczeń generatora świetlnego, ponieważ za jego pomocą w bardzo zrozumiały sposób widać wszystkie obliczenia. Przypomnę zasadę jego działania. Na początku linijki L umieszczamy źródło światła i detektor, a na końcu lustro. Gdy światło doleci do lustra i z powrotem do detektora, zostanie wysłany następny impuls. Do naszych celów lustro będzie półprzezroczyste. W stanie spoczynku tego generatora, w punkcie A, wysyłamy impuls światła, który dolatuje do lustra, odbija się i leci do detektora, a także leci dalej, ponieważ lustro jest półprzezroczyste. (Rys 1) Rys 1 Gdy światło doleci z punktu A do lustra, odbije się i wróci do detektora, zostaje wysłany następny impuls. Zatrzymujemy wszystko i robimy pomiary. Długość fali będzie równa długości drogi, jaką światło pokona do lustra i z powrotem. W naszym przykładzie L = 0.5 więc; = = 1 λ = 2d = 2L

2 Jaką długość fali będzie generował ten sam generator w ruchu? (rys 2) Rys 2 Drogę światła d' do lustra gdy generator porusza się z prędkością v obliczymy wzorem; więc; d ' = L sin = cos 1 v/c L d ' = sin cos 1 v/c AB = ' = AB = 2d ' = BC = 2L 2L sin cos 1 v/c Zatem wzór na długość fali generowanej w ruchu przybiera postać; λ ' = λ sin cos 1 (v/c) Dla prędkości v = 0.6c (dla łatwiejszego zapisu) ' = 1.25

3 Impuls wysłany jako pierwszy, lecąc z prędkością c (względem punktu A) pokonał dystans AB, czyli λ, natomiast generator poruszający się z prędkością v pokonał dystans AC Dystans AC obliczymy wzorem; co w naszym przykładzie daje dystans; AC = 0.75 AC = λ ' (v/c) W tym miejscu, czyli w punkcie C, zostaje wysłany następny impuls. Odległość pomiędzy punktem C i okręgiem, daje nam długość fali, jaką wysyła generator w kierunku odbiornika. Rys 3 Jak widać, odległość między tymi impulsami zależna jest od kąta α pod jakim ustawiony będzie odbiornik względem kierunku ruchu generatora. (Rys 3) Jeśli odbiornik znajduje się pod kątem α = 0 (generator zbliża się do odbiornika), odległość ta, czyli długość fali generowanej w tym kierunku (λ gen) wynosi; czyli; = ' AC λ gen = λ ' λ ' (v/c) = λ gen = λ ' (1 v /c) Wiemy że; ' = sin cos 1 v/c więc; λ gen = λ 1 v/c sin cos 1 (v/c)

4 λ gen = sin cos = 0.5 Długość fali generowanej w kierunku odbiornika ustawionego pod kątem 180 (generator oddala się od odbiornika) wynosi; więc; λ gen = λ = ' AC 1 + v/c sin cos 1 (v/c) = sin cos = 2 Obserwator z odbiornikiem w spoczynku zmierzy tę długość wysłanej fali w następujący sposób; pierwszy impuls uruchamia zegar, a drugi zatrzymuje go. W taki sposób zmierzy czas między pierwszym a drugim impulsem, który będzie wynosić; t = c Jeśli pomnoży ten czas przez prędkość propagacji impulsów, to otrzyma długość odebranej fali Dopplera (λd) co po skróceniu daje; = c c = Jeśli obserwator z odbiornikiem porusza się z prędkością v odb, w kierunku przeciwnym do kierunku impulsów, to prędkość c' impulsów względem odbiornika wynosi; jesli w kierunku zgodnym z kierunkiem impulsów; c' = c v c' = c v więc czas jaki zmierzy obserwator z odbiornikiem poruszający się w kierunku przeciwnym do kierunku wysyłanych impulsów wynosi; t ' = c v odb Zegar poruszający się z prędkością v wyznacza dłuższą jednostkę czasu (sekundę) niż w spoczynku zgodnie z wzorem; t ' = t sin cos 1 v/c

5 a tym samym będzie mierzyć mniejszy upływ czasu.musimy więc to uwzględnić i wzór na obliczenie czasu t' między impulsami ma postać; t ' = c v odb sin cos 1 v /c odb Mnożąc ten czas przez prędkość propagacji impulsów otrzymamy długość fali Dopplera odebranej przez odbiornik zbliżający się do generatora lecącego w kierunku odbiornika; Po skróceniu mamy; = sin cos 1 v/c odb c c v odb = λ gen sin cos 1 (v/c) odb 1 + (v /c) odb Jest to wzór na obliczenie długości fali gdy generator i odbiornik są w ruchu, przy czym znaki + i zależą do kierunków ruchu. Długość fali generowanej (λgen) przez generator w kierunku swego ruchu wyraża się wzorem; 1 v/c = gen sin cos 1 v/c lub gdy wysyła impulsy w stronę przeciwną do kierunku swego ruchu; 1 v/c = gen sin cos 1 v /c więc przy takim zapisie otrzymamy; a po uporządkowaniu; = [1 v/c] sin cos 1 v/c odb sin cos 1 v/c [1 v/c odb ] gdzie; (v/c) gen = prędkość generatora (v/c) odb = prędkość odbiornika = λ [1 (v/c) gen] sin cos 1 (v/c) odb [1 + (v/c) odb ] sin cos 1 (v/c) gen Z tego wzoru można wyprowadzić wzory na obliczenie długości fali Dopplera dla czterech przypadków wzajemnego ruchu generatora i odbiornika.

6 1) generator wysyła impulsy do odbiornika z przodu, odbiornik leci w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu generatora; = [1 v/c] sin cos 1 v/c odb [1 v/c odb ] sin cos 1 v/c 2) generator wysyła impulsy do odbiornika z przodu, odbiornik leci w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu generatora; = [1 v/c] sin cos 1 v/c odb [1 v/c odb ] sin cos 1 v/c 3) generator wysyła impulsy do odbiornika z tyłu, odbiornik leci w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu generatora; = [1 v/c] sin cos 1 v/c odb [1 v/c odb ] sin cos 1 v/c 4) generator wysyła impulsy do odbiornika z tyłu, odbiornik leci w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu generatora; = [1 v/c] sin cos 1 v/c odb [1 v/c odb ] sin cos 1 v/c Wzory te są wyprowadzone w oparciu o "eter" czy też "medium" (jak kto woli) gdzie predkość światła "c" jest określona względem spoczywającego punktu "A", i jest sumowana w sposób algebraiczny z predkością v ( c + v ) i ( c v ). Jak pozbyć się eteru z tych wzorów? Odpowiedź jest prosta. Dla przykładu obliczmy długość fali Dopplera, gdy odbiornik i generator zbliżają się do siebie z jednakową prędkością v = 0.6c. = [1 0.6] sin cos [1 0.6] sin cos = 0.25 Jesli odbiornik jest w spoczynku a generator leci w jego kierunku z prędkością vgen = 0.6c; = [1 0.6] sin cos 1 0 [1 0] sin cos = 0.5 Jak widać odebrana długość fali Dopplera przez odbiornik poruszający się z taką samą prędkością co generator lecz w kierunku generatora, jest kwadratem długości fali Dopplera odebranej przez odbiornik w spoczynku. Przy jednakowych prędkościach vgen = vodb wzór przyjmuje postać; = [1 v/c ] sin cos 1 v/c [1 v/c ] sin cos 1 v/c

7 Po zredukowaniu wyrazów sin cos -1 (v/c) otrzymujemy; 1 v /c = λ 1+v /c Jest to wzór na obliczenie długości fali odebranej przez odbiornik lecący z tą samą prędkością co generator w kierunku generatora. Zatem jak wczesniej obliczyliśmy, długość fali obebranej przez odbiornik w spoczynku będzie pierwiastkiem długości odebranej przez odbiornik lecący z tą samą prędkością co generator, i w jego kierunku, węc wzór na obliczenie długości fali Dopplera odebranej przez odbiornik w spoczynku ma postać; = λ 1 v/c 1+v/c i mamy skrócony wzór na obliczanie długości fali Dopplera, z korzeniami tkwiącymi głęboko w medium, a którego fizycy nazywają wzorem relatywistycznym. Dla generatora oddalajacego sie od odbiornika mamy wzor; = λ 1+v/c 1 v/c Wiemy że długość fali Dopplera odebrana przez odbiornik poruszający się z taką samą prędkością co generator, jest kwadratem długości fali Dopplera odebranej przez odbiornik w spoczynku, więc możemy to zapisać w inny sposób: ( = λ 1 v/c 2 = λ 1+v/c) 1 v/c 1+v/c (1 v /c)2 = λ = λ (1 v/c) (1 v/c) (1+v /c) 2 (1+v/c) (1+v/c) Z tego zapisu widać, że przy różnych prędkościach generatora i odbiornika wzór ten będzie mieć postać; = λ [1 (v/c) gen] [1 (v /c) odb ] [1+(v/c) gen ] [1+(v /c) odb ] Przez zamianę znaków + zgodnie z zasadą że impulsy wysyłane do przodu mają znak / + wysyłane do tyłu + / i odbierane przez odbiornik lecący naprzeciw impulsom / + odbierane przez odbiornik lecący zgodnie z impulsami + /, otrzymamy skrócone wzory na obliczenie długości fali Dopplera dla czterech przypadków wzajemnego ruchu generatora i odbiornika; Podałem też wyniki obliczone dla prędkości vgen = 0.8c oraz vodb = 0.3c 1) generator wysyła impulsy do odbiornika z przodu, odbiornik leci w kierunku przeciwnym do kierunku impulsów; = [1 v/c ] [1 v /c odb ] [1 v/c ] [1 v /c odb ] =

8 2) generator wysyła impulsy do odbiornika z przodu, odbiornik leci w kierunku zgodnym z kierunkiem impulsów; = [1 v/c ] [1 v /c odb ] [1 v/c ] [1 v /c odb ] = ) generator wysyła impulsy do odbiornika z tyłu, odbiornik leci w kierunku przeciwnym do kierunku impulsów; = [1 v/c ] [1 v /c odb ] [1 v/c ] [1 v /c odb ] = ) generator wysyła impulsy do odbiornika z tyłu, odbiornik leci w kierunku zgodnym z kierunkiem impulsów; = [1 v/c ] [1 v /c odb ] [1 v/c ] [1 v /c odb ] = Używając wzorów trygonometrycznych, obliczmy dla przykładu długość fali Dopplera () jaką odbierze odbiornik w sytuacji gdy generator leci z prędkością v = 0.7c, a odbiornik leci przed generatorem w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu generatora, lecz z prędkością v = 0.2c. = [1 v/c] sin cos 1 v/c odb [1 v/c odb ] sin cos 1 v/c = sin cos sin cos = Dla takiej samej sytuacji ale przy prędkości generatora v = 0.8c i prędkości odbiornika v = 0.3c, długość fali Dopplera odebranej przez odbiornik wynosi; = Jak widać, przy tej samej różnicy prędkości ( = 0.5 i = 0.5) wyniki są różne. Znaczy to, że długość fali Dopplera nie zależy tylko od wzajemnej prędkości miedzy generatorem a odbiornikiem, lecz także od ich prędkości w stosunku do medium. Znając długość fali Dopplera odebranej przez odbiornik w spoczynku, możemy obliczyć prędkość z jaką zbliża lub oddala się generator ( vgen ). Wynik "plusowy" będzie oznaczać że generator się zbliża, a wynik "minusowy" że generator oddala się. v gen = 1 2 D 2 1 Dla przykładu odebrana długość fali λd = 0,5 to prędkość generatora vgen = 0,6c (generator zbliża się). Odebrana długość fali λd = 2, więc prędkość generatora vgen = 0,6 (generator oddala się). Uwaga; ten wzór można stosować tylko w przypadku, gdy odbiornik znajduje się na trajektorii ruchu generatora. Nie można go stosować w przypadku gdy trajektoria ruchu generatora jest nachylona pod kątem do odbiornika. Jeszcze jeden problem. Odebrana długość fali Dopplera λd może być wynikiem dwuch przypadków. Pierwszy przypadek to taki, że generator i odbiornik są w ruchu i zbliżają się do siebie.

9 Np. prędkość generatora vgen = 0.8c i prędkość odbiornika vodb = 0.3c daje nam długość fali; = Drugi przypadek to taki, że odbiornik jest w spoczynku, a generator zbliża się do niego z prędkością; v gen = 1 2 D 1 = c 2 D lub generator jest w spoczynku, a odbiornik zbliża się do niego z taką prędkością. Taką prędkość otrzymamy również z relatywistycznego składania dwuch prędkości vgen = 0.8c i vodb = 0.3c v sk = v gen v odb 1 v gen v odb c = Jeśli podstawimy tą składową prędkość do wzoru; to również otrzymamy wynik; = = 1 v sk 1 v sk Nasuwa mi się wniosek, że relatywistyczne składanie prędkości sprowadza jeden obiekt (obojętnie który) do stanu spoczynku względem eteru, a obliczona prędkość względna jest prędkością jednego obiektu w stosunku do drugiego, z których jeden spoczywa względem eteru. Taki zabieg pozwala na wyeliminowanie eteru, a prędkość względna jest okreslana w stosunku do spoczywającego obiektu, a nie do eteru. Daje to taki sam sens, ale usuwa eter. Sam wzór natomiast nie określa nam który z obiektów jest w spoczynku, a który w ruchu co daje możliwość względności ruchu. Obliczona prędkość odbiornika lub generatora ( przy znanej długości fali Dopplera ), za pomocą skróconego wzoru (relatywistycznego) zawsze da wynik jak gdyby generator lub odbiornik znajdował się w stanie spoczynku do medium. Z tego względu relatywistyczne składanie prędkości jest nie do przyjęcia. Wzór na długość fali Dopplera odebranej przez odbiornik w spoczynku, znajdujący się pod dowolnym kątem "α" w stosunku do osi ruchu generatora wyprowadzimy w następujący sposób;

10 Rys 4 kąt α jest średnią kątów γ1, pod jakim znajduje się odbiornik w chwili wysłania pierwszego impulsu i kąta γ2, pod jakim znajduje się odbiornik w chwili wysłania drugiego impulsu. (Rys 4) dla przykładu; α = = 75 α = γ 1 + γ 2 2 Są to kąty, jakie otrzymamy przy prędkości v = 0.5c i odległości odbiornika od generatora d = 1λ Kąt β jest różnicą kątów γ2 i γ1. = = 30 = 2 1 Jak widać na tym rysunku, odcinek BD nachylony pod kątem α, dzieli kąt β na dwie połowy lecz nie przechodzi przez środek odcinka AC. Wartość kąta β maleje wraz ze wzrostem odledłości między odbiornikiem a generatorem (Rys 5), przy czym połowa sumy kątów γ1 + γ2 czyli kąt α, nie ulega zmianie.

11 Rys 5 1 = 2 1 = = 20 = = = 75 Z rysunku 5 wynika też że im większa odległość między odbiornikiem a generatorem tym odcinek BD przesuwa się bliżej środka odcinka AC ( λ' v/c ). Przy dostatecznie dużej odległości można uznać że kąt β = 0, kąty γ1 oraz γ2 są równe kątowi α, a odcinki AD i DC są jednakowe. Na tej podstawie można wyprowadzić wzór na obliczenie długości fali Dopplera odebranej przez odbiornik znajdujący się pod dowolnym kątem w stosunku do osi ruchu generatora. Jeśli narysujemy odcinek CE prostopadle do BD, to otrzymamy równoramienny trójkąt BCE. (Rys 6)

12 Rys 6 Różnica odcinków AB i BE daje nam dystans na jaki generator zbliżył się do odbiornika w czasie, gdy pierwszy impuls światła pokonał odległość λ. więc; AE = AB BE = ' AE Znając odcinek AC = λ' v/c oraz kąt γ1 = α, obliczymy odcinek AE. więc; Po uporządkowaniu mamy; Wiemy że; AE = ' v/c cos = ' ' v/c cos = ' 1 v/c cos ' = sin cos 1 v/c

13 więc wzór przyjmuje postać; λ gen = λ 1 (v /c) gen cos α sin cos 1 (v/c) gen Jest to wzór na obliczenie długości fali generowanej przez generator w kierunku spoczywającego odbiornika oddalonego na odległość, przy której możemy uznać kąt β = 0. W fizyce ten wzór nazywany jest wzorem na "Poprzeczny Efekt Dopplera." Dzieląc odcinek AE przez cosinus ( 0.5β ) obliczymy odcinek AE1. Wiedząc że β = γ2 γ1 mamy wzór; cos AE 1 = ' v/c cos więc; cos = ' ' v/c cos Po uporządkowaniu mamy; λ gen = λ 1 (v/c) gen cos α / cos(0.5 β) sin cos (v/c) gen Jest to wzór na obliczenie długości fali generowanej w kierunku odbiornika oddalonego na taką odległość, przy której możemy zmierzyć różnice kątów γ2 i γ1 a tym samym kąt β. Kąt β = 0.05 możemy spokojnie przyjąć dla naszych obliczeń jako wystarczająco mały, a odległość odbiornika od generatora w chwili wysyłania pierwszego impulsu, którą możemy uznać za wystarczająco dużą, będzie; Daje nam to wynik rzędu; AB = 600 dla prędkości v = 0.5c i kąta α = 75 Powyżej tej odległości można stosować wzór; sin(α + 0.5β) AB = λ '(v/c) gen sinβ = ' 1 v/c cos Dla przykładu obliczmy długość fali wysyłanej w kierunku odbiornika w spoczynku znajdującego się w odległości d = λ' od generatora w chwili wysyłania pierwszego impulsu a poruszającego się z prędkością v = 0.5c i wysyłającego impulsy pod kątami γ1 = 60 i γ2 = 90. Kąt = = 75 o = = 30 o

14 λ gen = 1 1 (v /c) gen cos α/cos0.5β sin cos 1 (v /c) gen = 1 Dla tej samej prędkości generatora i tego samego kąta α lecz dużej odległości odbiornika od generatora, mamy; λ gen = cos 75 sin cos = Dla kąta α = 90 długość generowanej fali wynosi; cos 90/cos 0.5β λ gen = 1 sin cos = Jak widać, przy kącie α = 90, λ gen = λ ' przy każdej prędkości generatora i każdej odległości odbiornika od generatora. Długość fali możemy również określić jako czas potrzebny do pelnego obiegu światła do lustra i z powrotem pomnożony przez prędkość światła i wyrazić wzorem; λ = ct Długość fali generowanej przez generator w ruchu będzie; c T λ ' = sin cos 1 (v/c) Impuls lecący z prędkością "c" w czasiet' przeleci dystans ct', a generator pokona dystans vt' więc długość fali Dopplera jaką będzie wysyłać do przodu będzie różnicą drogi ct' pokonanej przez impuls światła i drogi vt' przebytej przez generator; czyli, Dla wszystkich kątów będzie; ct vt = sin cos 1 (v/c) = T c v sin cos 1 (v /c) = T c v cos α sin cos 1 (v /c)

15 Aby otrzymać czas T z długości fali musimy podzielić tę długość przez prędkość c; Po skróceniu otrzymujemy; = T c v cos α sin cos 1 (v /c) /c Częstotliwość jest odwrotnością czasu, więc; = T 1 v/c sin α sin cos 1 (v /c) f D = f sin cos 1 (v/c) 1 v/c cos α Obliczmy jaką długość fali odbierze odbiornik poruszający się z prędkością v pod dowolnym kątem względem osi ruchu generatora. (Rys 7) Rys 7 Kąt α generatora (α gen) jest kątem między kierunkiem ruchu generatora a odbiornikiem w chwili odbierania impulsów przez ten odbiornik, a inaczej mówiąc, punkt A jest punktem, w którym znajdował się generator wysyłając impulsy. Natomiast kąt α odbiornika (α odb) jest kątem między kierunkiem ruchu odbiornika a generatorem również w chwili odbierania impulsów.

16 Jeśli podzielimy długość fali generowanej w kierunku odbiornika przez prędkość odbiornika w stosunku do prędkości impulsów, to otrzymamy czas T w jakim impuls pokona dystans o długości fali generowanej λgen. 1 (v/c) T = λ gen cos α gen sin cos 1 (v/c) gen [(c+v) odb cosα odb ] Zegar w odbiorniku w ruchu wyznacza dłuższą jednostkę czasu (sekundę) niż w spoczynku, więc należy to również uwzględnić; T = λ [1 (v/c) gen cos α gen ] sin cos 1 (v/c) odb sin cos 1 (v/c) gen [(c+v) odb cosα odb ] Jeśli pomnożymy ten czas przez prędkość rozchodzenia się impulsów "c", to otrzymamy długość fali Dopplera odebranej przez odbiornik poruszający się z prędkością "v odb", wysłanej z generatora w poruszającego się z prędkością "v gen" pod każdym kątem w stosunku do siebie; = λ [1 (v /c) gen cos α gen ] sin cos 1 (v/c) odb c sin cos 1 (v/c) gen [(c+v) odb cosα odb ] Po skróceniu i uporządkowaniu wzór przyjmuje postać; = λ (1 (v /c) gen cos α gen ) sin cos 1 (v /c) odb (1+(v/c) odb cosα odb ) sin cos 1 (v/c) gen Jeśli umieścimy w środku karuzeli generator z odbiornikiem i na obwodzie taki sam generator z odbiornikiem lecący z prędkością v = 0.6c, to odbiornik w środku karuzeli odbierze długość fali Dopplera od generatora lecącego po obwodzie równą; = 1.25 a odbiornik na obwodzie odbierze długość fali Dopplera od generatora w środku równą; = 0.8 Teza ekspansji kosmosu oparta jest na zjawisku Dopplera. Zauważono, że widmo swiatła z odległych galaktyk jest przesunięte ku czerwieni (red shift). Wysunieto więc tezę, że galaktyki muszą się oddalać. Jeśli się oddalają, to coś musiało nadać im prędkość. Powstała więc teoria Wielkiego Wybuchu. W pierwszych ułamkach sekundy powstawały pierwsze cząsteczki materii, następnie pierwiastki, gwiazdy, planety a potem samoistnie powstało życie i mamy teorię ewolucji. Umieśćmy teraz w punkcie obrotu karuzeli jeden generator, na obwodzie drugi generator, a w środku pomiędzy nimi odbiornik. Jeśli prędkość pierwszego generatora vgen1 = 0 a drugiego vgen2 = 0.6c to prędkość odbiornika vodb = 0.3c (Rys 8)

17 Rys 8 Jeśli odbiornik i generator 2 będą krążyć z prędkościami jak w powyższym przykładzie, v gen 2 = 0.6c oraz v odb = 0.3c i w chwili odebrania impulsów od generatora wystąpi ich wzajemna pozycja jak na rys 8, tzn. generator nr 2 był w tym miejscu w chwili wysyłania impulsów, a odbiornik był w tym miejscu w chwili ich odbierania, to długość fali Dopplera odebrana od generatora pierwszego wynosi; = λ (1 0 cos90 ) sin cos ( cos90) sin cos 1 0 = natomiast długość fali Dopplera odebrana od generatora drugiego wynosi; = λ (1 0.6 cos90) sin cos ( cos90) sin cos = Jak widać, przy ruchu orbitanym długość fali Dopplera odebranej przez odbiornik daje nam przesunięcie widma ku fioletowi (Blue Shift) od generatora nr 1 i przesunięcie widma ku czerwieni (Red Shift ) od generatora nr 2. (Rys 8) Im większa odległość generatora od środka, tym większa jest jego prędkość po orbicie, więc zgodnie z wzorem; ' = sin cos 1 v/c będzie wysyłać większą długość fali, co właśnie daje przesunięcie widma, i jest to zgodne z obserwacjami, z których wynika, że im bardziej oddalone galaktyki tym większe dają przesunięcie widma. Na tej podstawie można wysunać tezę, że galaktyki nie uciekają lecz poruszają się po orbicie względem jakiegoś środka.