Optymalizacja transformacji wyników pomiarów bloków kadłuba statku z uwzględnieniem ograniczeń

Transkrypt

1 PAK vol. 56, nr 6/ Alesander KNIA POLIECHNIKA GDAŃSKA, WYDZIAŁ OCEANOECHNIKI I OKRĘOWNICWA, ul. G. Narutowa 11/1, Gdańs Optymalzacja transformacj wynów pomarów bloów adłuba statu z uwzględnenem ograneń Dr nż. Alesander KNIA Adunt zatrudnony na Wydzale Oceanotechn Orętownctwa Poltechn Gdańsej. Absolwent erunu Informatya na Wydzale Eletron eleomunacj Informaty Poltechn Gdańsej. W 00 rou obronł pracę dotorsa w dzedzne budowa esploatacja maszyn. Specjalzuje sę w zagadnenach zwązanych z zastosowanam graf omputerowej optymalzacją. e-mal: ole@pg.gda.pl Streszene Artyuł przedstawa algorytm optymalzują transformację wynów pomarów bloów secj adłuba statu, tóra jest wyonywana w celu oceny przydatnośc montażowej bloów secj podas ostatnej fy montażu adłuba w suchym dou lub na pochyln. Poneważ ażdy blo jest merzony w nnym uładze odnesena, stneje oneność transformacj wynów pomarów do wspólnego uładu przyjętego w modelu. Załada sę, że transformacja ne pogarsza doładnośc wynów pomarów zachowuje odległośc pomędzy zmerzonym puntam. Zaproponowany algorytm optymalzacj transformacj wynów pomarów mnmalzuje sumy odległośc pomędzy merzonym puntam, a orespondująm puntam w modelu, uwzględnając jedno z dwóch możlwych ograneń: wspólna płaszyzna, albo wspólna oś. W artyule zaprezentowano zarówno ops metody optymalzacj, ja przyład transformacj puntów zmerzonych na styu dwóch secj dna podwójnego statu. We wnosach opsano zalety wady przedstawonego algorytmu, ja równeż erun dalszych badań. Słowa luowe: optymalzacja, transformacja uładu współrzędnych, pomar adłuba statu, montaż adłuba statu, omputerowe wspomagane projetowana (). Constraned optmsaton of transformaton of shp bloc measurements Abstract he paper presents the constraned optmsaton algorthm for transformaton of measurements taen on shp blocs and sectons to asses ther feasblty for the fnal stage of assembly n a dry doc or on a slpw. As each bloc s measured n dfferent coordnate system t s necessary to mae transformatons and brng results to a common model. ransformaton must eep dstances between the measured ponts and must not lose accura. he analyss of transformed measurements requres frst to chec f blocs were manufactured wthn tolerances assumed n the desgn and then to compare f the two neghbour blocs can be joned. he optmsaton s amed at mnmsng the sum of dstances between the transformed and correspondng ponts n a model. he constrant s algnment of chosen aes or planes. he paper contans both descrpton of the transformaton algorthms and an eample of transformaton of ponts measured on two neghbour sectons of a shp double bottom. In the summary advantages and dsadvantages of the algorthm are descrbed and drectons for further research are gven. Keywords: constraned optmzaton, co-ordnate system transformaton, shp hull measurements, shp hull assembl computer aded desgn (). 1. Wstęp Kontrola wymarów prefabryowanych elementów adłuba statu jest bardzo stotna w całym procese budowy. Neodzowne dla ston jest zapewnene, aby secje blo wprowadzane do suchego dou lub na pochylnę mały wymary meszące sę w tolerancjach ne wymagały poprawe. Przy tam podejścu as potrzebny na ch łąene jest mnmalny. Wyonywane poprawe na secjach bloach poza stanowsem produjnym, na tórym zostały wyonane, jest bardzo asochłonne. Sutem może być spowolnene ostatenego montażu adłuba w suchym dou lub na pochyln, tóry jest zwyle wąsm gardłem w procese produjnym ston. Aby sprawdzć poprawność wymarów secj lub blou pownno sę wyonać dwa pomary. Perwszy pomar to sprawdzene, y wymary meszą sę w założonych tolerancjach. Jeśl ta, można jesze sprawdzć, jae są najwęsze różnce wymarów w sąsednch secjach lub bloach gdze występują. a ostatna nformacja może wpłynąć na sposób montażu. Prefabryowane elementy są zwyle merzone przy pomo nowoesnych laserowo-optynych nstrumentów. Wynem pomarów jest zbór współrzędnych puntów w przestrzen trójwymarowej. Aby sprawdzć wymary nezbędne jest porównane zmerzonych puntów z modelem. Dlatego zmerzone punty muszą zostać przenesone do uładu współrzędnych taego ja w modelu. Wymaga to zometrynego przeształcena wynów pomarów. Zwyle przeształcene to jest wyonywane ntujne przez dośwadonego specjalstę, tóry sprawdza wymary. W celu wyelmnowana ludzch błędów przyśpeszena przeształcana wynów pomarów proponuje sę zastosowane algorytmu zamplementowanego w postac programu omputerowego.. Pomary - doładność, trudnośc Pomary muszą być wyonane z odpowedną doładnoścą. Doładność jest jedną z głównych cech nstrumentu pomarowego. ylo pomary wyonane nstrumentem o odpowednej doładnośc mogą podlegać dalszej analze. Nestety węszość nstrumentów stosowanych w geodezj do pomaru onstrucj budowlanych na doładność newystarającą do zastosowana w orętownctwe. Pomary secj bloów adłuba statu są trudne z dwóch powodów. Perwszym powodem jest położene merzonych puntów wewnątrz secj lub blou. Merzone punty zwyle ne znajdują sę na rawędzach, le wewnątrz onstrucj mogą być schowane za usztywnenam, albo za elementam wzdłużnym lub poprzenym. Drugm powodem jest usytuowane secj lub blou na placu jego otoene. Zwyle z powodu brau mejsca w ston prefabryowane secje blo są sładowane blso sebe. W tam przypadu ęść puntów może być dostępna jedyne z jednej stron a ęść jedyne z drugej strony merzonego obetu. Wyonywane pomarów w wąsch przestrzenach pomędzy secjam bloam może unemożlwać bezpośredn pomar. W tam przypadu stosuje sę dodatowe techn. Jedna należy pamętać, aby ne prowadzły one do utraty doładnośc pomaru zneształcena wynów. Jeśl secja lub blo jest merzona z różnych stron, bardzo stotne jest prawdłowe sorelowane pomarów. Uzysuje sę to poprzez wybór tych samych puntów do pomaru z obu stron, albo poprzez ustawene wspólnego uładu odnesena, wyorzystując funcje nstrumentu pomarowego. Jest równeż wele techn wyonywana pomarów: laser wdzaln laser newdzaln z refletorem, bez refletora, automatyne wyszuwane, sanowane etc. Każda z tych techn jest przeznaona do nnych celów ma swoje wady or zalety. Jednaże wybór techn pomarowej ne jest tematem tego artyułu. Istotą opracowana jest transformacja wynów pomarów, w celu ocen y prefabryowane secje blo adłuba nadają sę do dalszego montażu. Dlatego załada sę, że pomary wyonano adewatną techną z zadowalającą doładnoścą.

2 598 PAK vol. 56, nr 6/ ransformacja wynów pomarów Pomary ażdej secj lub blou wyonywane są w nnym uładze odnesena. Uład odnesena doberany jest ta, aby dostosować sę do stnejącej sytuacj, gdze wyonywane są pomary. Wszyste merzone punty mają swoje odpowedn w projece w sąsednej secj lub blou, z tórym będą łąone. W tam przypadu transformacja wynów pomarów mus spełnać następujące wymagana: mus zachowywać odległośc mędzy merzonym puntam wewnątrz secj lub blou, ne może pogarszać doładnośc pomaru. Celem transformacj jest uzysane możlwe najlepszego dopasowana pomędzy zmerzonym puntam, a puntam, albo z sąsednej secj lub blou. Innym słow transformacja ma zmnmalzować sumę odległośc pomędzy odpowadająm sobe puntam. Jeśl merzony blo został zdeformowany podas wytwarzana, to bardzo ważne jest zachowane współpłaszyznowośc poładów lub współosowośc wybranych os, podas dopasowywana ze sobą sąsednch bloów na ch styach. Warune współpłaszyznowośc lub warune współosowośc są ogranenam, tóre muszą zostać uwzględnone w trace optymalzacj transformacj wynów pomarów. Problem transformacj wynów pomarów z uwzględnenem ograneń jest szególnym przypadem tego samego problemu bez uwzględnena ograneń opsanego w [1]. Aby uwzględnć ogranena potrzebne są dodatowe punty defnujące wspólną płaszyznę albo oś ogranena. Są to dodatowe punt poneważ merzone punty na styu bloów leżą zwyaj w płaszyźne prostopadłej do ogranającej płaszyzny lub os. Formalna defncja problemu transformacj wynów pomarów z uwzględnenem ograneń jest następująca: Defncja 1 Dysponując dwoma zboram puntów A {a 1, a, a 3,, a } Ac { ac 1,, ac n } w jednym uładze odnesena or dwoma zboram puntów C {c 1, c, c 3,, c } Cc {cc 1,, cc n } w nnym uładze odnesena, gdze >1 n= albo n=3, poszuujemy przeształcena zometrynego puntów ze zboru A, tóre daje mnmalna sumę odległośc z odpowadająm puntam ze zboru C, jednoeśne zapewnając współosowość puntów ze zborów Ac Cc jeśl n=, albo współpłaszyznowość puntów ze zborów Ac Cc jeśl n=3. Załada sę, że ażdy punt ze zboru A posada doładne jeden odpowedn w zborze C ażdy punt ze zboru C posada doładne jeden odpowedn w zborze A. Punty posadają etyety znane są ch współrzędne w przestrzen trójwymarowej. Załada sę równeż, że transformacja zometryna jest złożenem obrotów translacj. Wzór (1) defnuje macerz transformacj I, tóra zależy od sześcu zmennych dezyjnych:, z są współrzędnym translacj, a, są ątam obrotu względem os X, Y Z. I(, ( z) R( (1) 4. Optymalzacja transformacj wynów pomarów z uwzględnenem ograneń Zgodne z Defncją 1 należy oreślć funcję celu dla zagadnena transformacj wynów pomarów. Przyjmujemy odległość jao metryę w przestrzen trójwymarowej. Kwadrat odległośc jest równeż metryą, le jest mnej somplowany w oblenach, węc funcję celu przedstawa wzór (). f ( c a ) () Poneważ transformujemy punty a przy pomo zometrynej macerzy transformacj I ( funcja celu zależy co najwyżej od sześcu zmennych dezyjnych przedstawonych we wzorze (3). f (,, ( c I(, a ) (3) Posługując sę funcją celu (3) można oblyć przyblżene sumy odległośc pomędzy odpowadająm sobe puntam ze zboru C przetransformowanym puntam ze zboru A. Celem jest znalezene tach wartośc zmennych dezyjnych, z,, tóre dają mnmalna wartość funcj celu jednoeśne spełnają ogranena. Poneważ punty ze zboru Ac są zdefnowane w tym samym uładze odnesena co punty ze zboru A, spełnene ogranena oznaa, że punty ze zboru Ac są albo współosowe, albo współpłaszyznowe z puntam ze zboru Cc po transformacj macerzą I (. Klasyne podejśce do optymalzacj z ogranenam podane przez Bertseas-a w [3] załada mnmalzację funcj celu w zawężonej domene zmennych dezyjnych, gdze ogranena wyrażone są w postac uładu nerównośc, tóre muszą spełnać zmenne dezyjne (4). f () mn (4) pod warunem, że: g ( ) 0, = 1,..., p Zgodne z Defncją 1 możlwe jest zdefnowane funcj g ( ) 1, tóra zapewn albo współlnowość, albo współpłaszyznowość puntów ze zborów Ac Cc. W ogólnym przypadu funcja ta wymaga wszystch sześcu zmennych dezyjnych, z, zawartych w wetorze. a zdefnowany problem może być rozwązany przy zastosowanu jednej ze znanych metod np. metody funcj ar metody współynnów Lagrange-a, programowana wadratowego, albo metody rzutowana gradentu. Jedna w tym przypadu funcja celu może zostać uproszona poprzez przyjęce wartośc wybranych zmennych dezyjnych jao stałe. Dzę temu możlwe jest pomnece funcj ograneń g ( ) 1 zreduowane lby zmennych dezyjnych. Warune współosowośc puntów Zgodne z Defncją 1 w przypadu gdy n= rozważamy warune współosowośc puntów ze zborów Ac Cc. Jeśl w obu zborach puntów Aa Cc oś ogranająca zdefnowana jest jao oś X, to całe zagadnene optymalzacj z ogranenem reduuje sę do znalezena rozwązana ze względu na zmenne dezyjne: (translacja wzgl. os X) (obrót wzgl. os X), poneważ pozostałe zmenne dezyjne przyjmują wartość stałą. Jest to przypade szególn tóry może zostać uogólnon bowem w ażdym przypadu możemy znaleźć taą macerz transformacj I aa, tóra przeształc punty ze zboru Aa w ten sposób, że oś ogranająca stane sę osą X. Równeż w ażdym przypadu możemy znaleźć taą macerz transformacj I ca, tóra przeształc punty ze zboru Cc w ten sposób, że oś ogranająca stane sę osą X. Jeśl przeształcmy wszyste punty ze zboru A przy pomo macerzy I aa wszyste punty ze zboru C przy pomo macerzy I ca, to możemy poszuwać mnmum funcj celu f ( bez ograneń ta, ja w przypadu szególnym. Kedy mnmum zostane znalezone, można powrócć do orygnalnego uładu odnesena, transformując wyn przy pomo macerzy odwrotnej do I ca. Poszuwana transformacja dla zagadnena optymalzajnego z ogranenem jest złożenem trzech trans-

3 PAK vol. 56, nr 6/ formacj zometrynych: I aa, I ( I -1 ca. ransformacja I aa jest przedstawona wzorem (5), a transformacja I ca jest przedstawona wzorem (6). gdze 0 0 ta y z I, (5) aa y z t t t t aa1 a aa aa1 y z a y z y z y z a a a gdze y z aa3 aa1 y z y z y z a a c yc zc 0 0 tc y z I, (8) cp y z t t c t t cc1 c yc zc cc cc1 y z cc3 cc1 y z y z y z c c a c gdze c yc zc 0 0 tc y z I, (6) ca y z t t t t cc1 c c yc zc cc cc1 y z yc c zc y z y z y z c c c Ogranena wyrażone jao stałe wartośc zmennych dezyjnych Funcja celu (3) wyorzystująca macerze transformacj I aa or I ca zgodne z wzoram (5) (6) dla warunu współosowych puntów jest przedstawona wzorem (9). ) ( Ica c I( Iaa a ) (9) f ( Funcja celu (3) wyorzystująca macerze transformacj I ap or I cp zgodne z wzoram (7) (8) dla warunu współpłaszyznowych puntów jest przedstawona wzorem (10). Warune współpłaszyznowośc puntów Zgodne z Defncją 1 w przypadu gdy n=3 rozważamy warune współpłaszyznowośc puntów ze zborów Ac Cc. Jeśl w obu zborach puntów Aa Cc płaszyzna ogranająca zdefnowana jest jao płaszyzna X-Y, to całe zagadnene optymalzacj z ogranenem reduuje sę do znalezena rozwązana ze względu na zmenne dezyjne: y (przesunęca wzgl. os X Y) or (obrót wzgl. os Z), poneważ pozostałe zmenne dezyjne przyjmują wartość stałą. Jest to przypade szególn tóry może zostać uogólnon bowem w ażdym przypadu możemy znaleźć taą macerz transformacj I ap, tóra przeształc punty ze zboru Aa w ten sposób, że płaszyzna ogranająca stane sę płaszyzną X-Y. Równeż w ażdym przypadu możemy znaleźć taą macerz transformacj I cp, tóra przeształc punty ze zboru Cc w ten sposób, że płaszyzna ogranająca stane sę płaszyzną X-Y. Jeśl przeształcmy wszyste punty ze zboru A przy pomo macerzy I ap wszyste punty ze zboru C przy pomo macerzy I cp, to możemy poszuwać mnmum funcj celu f (. Kedy mnmum zostane znalezone, można powrócć do orygnalnego uładu odnesena transformując wyn przy pomo macerzy odwrotnej do I cp. Poszuwana transformacja dla zagadnena optymalzajnego z ogranenem jest złożenem trzech transformacj zometrynych: I ap, I ( I -1 cp. ransformacja I ap jest przedstawona wzorem (7), a transformacja I cp jest przedstawona wzorem (8). gdze 0 0 ta y z I, (7) ap y z t t a t t aa1 aa aa1 ) ( Icp c I( Iap a ) (10) f ( Ustalone z uwag na ogranena wartośc zmennych dezyjnych są uryte w macerzach I aa I ca or I ap I cp. Obe funcje opsane wzoram (9) (10) mogą być mnmalzowane metodą Newtona przedstawoną wzorem (11). n H n 1 g (11) Metoda Newtona to metoda terajna omówona przez Bjorc a Dahlqust a w [5], tóra wymaga oblena macerzy gradentu g hesjanu H funcj celu (9) lub (10). Aby rozpoąć oblena, przyjmujemy pewne poątowe wartośc wetora zmennych dezyjnych n oblamy następne przyblżene wetora zmennych dezyjnych n+1. W ażdym rou otrzymujemy wetor zmennych dezyjnych, tóry daje mnejszą wartość funcj celu. Zaletą metody Newtona jest jej stablność szyba zbeżność. 5. Korelacja puntów W przypadu analzy wynów pomarów doładne jeden zmerzony punt mus odpowadać doładne jednemu puntow w modelu lub w sąsednej secj, y blou. Relacja jeden do jeden pomędzy odpowadająm sobe puntam jest podstawowym założenem. Jest to ta ważne, poneważ w odróżnenu od problemu rozpoznawana ształtu, celem ne jest sprawdzene, y zbory puntów są do sebe podobne - co zawsze jest prawdą - le stwerdzene drobnych różnc pomędzy zboram puntów. W przypadu problemu rozpoznawana obrów dealnym dopasowanem jest tae nałożene na sebe zborów puntów, że różnce pomędzy puntam ne przeraają 30 mm przy rozmarze ażdego zboru rzędu 10 m. W przypadu problemu transformacj wynów pomarów ma wele znaene, y uda sę zmnmalzować odległość pomędzy naładanym zboram z 30 mm do 10 mm.

4 600 PAK vol. 56, nr 6/010 Etyety w zborach puntów pozwalają ontrolować orelację puntów w zborach. Przypsywane etyet jest asochłonne, le zapobega lustrzanemu odbcu przy transformacj wynów pomarów. Jeśl onstrucja jest symetryna, asem nawet względem dwóch os, jesze łatwej stracć orentację bez odpowednch etyet. Etyetowane zapobega równeż naładanu na sebe puntów ze zborów, tóre znajdują sę na podobnych w ształce secjach lub bloach, le ne mają być ze sobą łąone. Jasny system etyetowana ułatwa równeż przechowywane dentyfacje pomarów. 6. Esperyment Powyżej opsana metoda została zamplementowana w programe omputerowym, tóry użyto do wzualzacj ontrol wynów pomarów bloów adłuba statu. Jao przyład przedstawono wyn transformacj pomarów fragmentu dna podwójnego statu. Na rys. 1 przedstawono wdo zmerzonego fragmentu dna podwójnego. Etyety lbowe wsują zmerzone punt zelona strzała pouje oś ogranającą, a erwona strzała - wetor normalny płaszyzny ogranającej. porównane, gdze zoptymalzowano transformację wynów pomarów, stosując warune współpłaszyznowośc. ab.. Porównane zmerzonych puntów puntów optymalzacja z warunem współosowośc puntów ab.. Comparson of the measured and model ponts optmsaton wth co-aal ponts constrant etyeta etyeta transformowanego puntu ,5 1,58 0,07 18, ,56-3,93 0,35 3, ,74-5,98-1,68 1, ,36-9,65 -,55 1, ,65-14,07 1,74 14, ,73 1,58 5,44 14, ,61 1,6 0, 1, ,71 10,18 -,33 18, ,5 6,46 1,18 6, ,00 1,58 0,00 1,58 suma odległośc 116,15 ab. 3. Porównane zmerzonych puntów puntów optymalzacja z warunem współpłaszyznowośc puntów ab. 3. Comparson of the measured and model ponts optmsaton wth co-planar ponts constrant Rys. 1. Fg. 1. Fragment dna podwójnego statu ze zmerzonym puntam oznaonym etyetam warunam współosowośc oznaonym strzałam Part of the shp hull double bottom wth measured ponts mared wth labels and constrant aes as arrows W tab. 1 przedstawono porównane zmerzonych puntów puntów dla fragmentu dna podwójnego, gdze zoptymalzowano transformację wynów pomarów bez uwzględnena ograneń. ab. 1. Porównane zmerzonych puntów puntów optymalzacja bez ograneń ab. 1. Comparson of the measured and model ponts optmsaton wthout constrants etyeta etyeta transformowanego puntu ,11 3,66-0,15 17, ,96 0,65 0,14, ,14 0,00-1,90 1, ,95-1,1 -,77 6, ,4-3,11 1,5 4, ,34-9,14 5,6 16, ,03 4,0-0,07 6, ,13 3,3 -,6 16, ,94,10 0,89 3, ,43-0,30-0,9 1,49 suma odległośc 87,11 W tab. przedstawono porównane zmerzonych puntów puntów dla fragmentu dna podwójnego, gdze zoptymalzowano transformację wynów pomarów, stosując warune współosowośc. W tab. 3 przedstawono analogne etyeta etyeta transformowanego puntu ,58 -,75-5,37 18, ,49-5,76-3,55 6, ,67-6,40-4,73 14, ,4-7,61-4,08 10, ,71-9,54 1,75 10, ,87 -,75 0,00 1, ,50 10,44-3,69 1, ,60 9,76-5,38 19, ,41 8,51-0,35 8, ,90 6,11 0,00 6,40 suma odległośc 10,57 Wyn poują, że optymalzacja z ogranenam daje gorsze wartośc funcj celu. Jest to naturalne, gdyż stosowane ograneń ne ma na celu poprawy wynów optymalzacj, a jedyne optymalzację w ogranonej dzedzne zmennych dezyjnych. Poneważ wytyne montażowe muszą być zachowane podas ostatenego montażu adłuba, bardzo ważną wydaje sę być możlwość sprawdzena wpływu różnych ograneń na ońcowy wyn dopasowana. 7. Wnos Optymalzacja transformacj wynów pomarów secj bloów adłuba statu jest stotnym elementem w procese oceny jaośc wyonana prefabryowanych elementów możlwośc ch dalszego montażu na pochyln, y w suchym dou. Zaprezentowana metoda została zamplementowana w programe omputerowym do wzualzacj oceny wynów pomarów elementów adłuba statu. ransformacja wynów pomarów odbywa sę podas wytywana pomarów do trójwymarowego modelu adłuba statu. Poneważ terajna metoda optymalzacj zbega sę szybo, zwyle w ooło pęcu teracjach, wyn jest uzyswany natychmast.

5 PAK vol. 56, nr 6/ Przedstawona metoda ma następujące zalety: łatwa w mplementacj (pochodne funcj trygonometrynych welomanowych), szyba zbeżność, natychmastowe wyn wymaga ooło pęcu teracj do znalezena mnmum, umożlwa przedstawene wytynych montażowych w postac ograneń (współosowość, współlnowość), elmnuje analzę, ja naładać wyn pomarów na model, elmnuje ludze błędy podas transformacj wynów pomarów przenoszena ch do modelu. Wadą przedstawonej metody jest to, że wymaga doładnej orelacj pomędzy merzonym puntam puntam w modelu. Poneważ as potrzebny do uzysana wynu optymalzacj jest bardzo rót, wada ta może zostać usunęta poprzez sprawdzene wszystch możlwych ombnacj odpowadająch sobe puntów. Nestety w przypadu symetrynych onstrucj może to prowadzć do błędnych rozwązań. Kerun przyszłych badań równeż załadają zastosowane przedstawonej metody. ransformacja wynów pomarów jest nezbędna ne zależy od sposobu wyboru puntów pomarowych. Z puntu wdzena użytowna aplacja, tóra doonuje automatyne optymalnego przeształcena wynów pomarów podas ch wytywana do modelu daje oszędność asu ułatwa ocenę wynów pomarów. 8. Lteratura [1] Arun, K.S. et al. (1987). Least-squares fttng of two pont sets. IEEE ransactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, vol. PAMI-9, no 5, pp [] Bard, H. S. (1985). Model-based mage matchng usng locaton. Cambrdge, MA, MI Press. [3] Bertseas, D.P. (1996). Constraned Optmzaton and Lagrange Multpler Methods, Belmont, Massachusetts, Athena Scentfc. [4] Besl, P.J., & McKa N. (199). A method for regstraton of 3-D shapes. IEEE ransactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, vol. 14 (), pp [5] Bjorc, A., & Dahlqust, G. (1974). Numercal methods. New Jerse Prentce-Hall. [6] Brocett, R.W. (1997). Sngular values and least squares matchng. Proceedngs of the 36th IEEE Conference on Decson and Control, vol., pp [7] Ftzgbbon, A.W. (003). Robust regstraton of D and 3D pont sets. Image and Vson Computng, vol. 1, no , pp , Elsever Scence B.V., [8] Flc,. E., & Jones, L. K. (1986). A combnatonal approach for classfcaton of patterns wth mssng nformaton and random orentaton. IEEE ransactons On Pattern Analyss And Machne Intellgence, vol. PAMI-8, pp [9] Gaojn, W., Dengmn, G.Z., Shhong, X., Zhaoq, W. (005). otal least squares fttng of pont sets n m-d, Computer Graphcs Internatonal, pp [10] Goodrch, M.. et al. (1999). Appromate geometrc pattern matchng under rgd moton. IEEE ransactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, vol. PAMI-1, no 4, pp [11] Grffn, P. M., & Aleopoulos, C. (1989). Pont pattern matchng usng centrod boundng. IEEE ransactons on Systems, Man, and Cybernetcs, vol. SMC-19, pp [1] Knat, A. (009). Optmzaton of transformaton of measurements of shp blocs. Polsh Martme Research, vol. 16, no. 4(61), pp [13] Lavne D., Lambrd B. A., & Kanal L. N. (1983). Recognton of spatal pont patterns. Pattern Recognton, vol. 16, pp [14] Mannnen, M., Kasto, I. (1996). 3D measurement and analyss of a shp bloc. Practce report, Oulu/Fnland, A.M.S. Ltd, [15] Morgera, S.D., Cheong, P.L.C. (1995). Rgd body constraned nosy pont pattern matchng, IEEE ransactons on Image Processng, vol. 4, no. 5, pp [16] Ramos, J.A., & Verrest, E.I. (1997). otal least squares fttng of two pont sets n m-d. Proceedngs of the 36th Conference on Decson and Control, pp [17] arnows, W. (1997). Podstawy projetowana technnego, Warszawa, WN. [18] Umeyama, S. (1991). Least-squares estmaton of transformaton parameters between two pont patterns. IEEE ransactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, vol. PAMI-13, no. 4, pp [19] Zhang, Z. (199). On local matchng of free-form curves. Proceedngs of the Brtsh Machne Vson Conferences, pp otrzymano / receved: przyjęto do druu / accepted: artyuł recenzowany INFORMACJE Zapraszamy do prenumeraty asopsma PAK w 010 rou Cena prenumeraty ronej: 19,00 zł netto/1 egz. Prenumeratę olportaż prowadzą: WYDAWNICWO PAK ul. Śwętorzysa 14A, po. 530, Warszawa, tel./fa: REDAKCJA CZASOPISMA POMIARY AUOMAYKA KONROLA ul. Aademca 10, po. 30b, Glwce, tel./fa: , e-mal: wydawnctwo@pa.nfo.pl,