Modele hybrydowe MSV-MGARCH. zmienności cen na różnych rynkach

Transkrypt

1 F O L I A O E C O N O M I C A C R A C O V I E N S I A Vol. LII 0 PL ISSN X Modele hybydowe MSV-MGARCH z zema ocesami ukyymi w badaniu zmienności cen na óżnych ynkach Jacek Osiewalski Kaeda Ekonomeii i Badań Oeacynych Uniwesyeu Ekonomiczneo w Kakowie eeosiewa@cyf-k.edu.l Kzyszof Osiewalski sudia dokoanckie Wydziału Finansów Uniwesyeu Ekonomiczneo w Kakowie kzyszof@osiewalski.eu Paca zosała zedsawiona zez auoów na osiedzeniu Komisi Nauk Ekonomicznych i Saysyki Oddziału PAN w Kakowie 4 aździenika 0 oku. ABSRAC J. Osiewalski K. Osiewalski Hybid MSV MGARCH models wih hee laen ocesses in examinin ice volailiy on diffeen makes Folia Oeconomica Cacoviensia J. Osiewalski and A.Pao and J. Osiewalski 009 inoduced hybid mulivaiae sochasic vaiance GARCH MSV MGARCH models whee he condiional covaiance maix is he oduc of a univaiae laen ocess and a maix wih a simle MGARCH sucue Enle s DCC o scala BEKK. he aim was o asimoniously descibe volailiy of a lae ou of asses. he oosed hybid secificaions similaly as ohe models fom he MSV class equie he Bayesian aoach equied wih MCMC simulaion ools. In ode o oinly descibe volailiy on wo diffeen makes o of wo diffeen ous of asses J. Osiewalski and K.Osiewalski 0 conside moe comlicaed hybid models wih wo laen ocesses. hese new secificaions seem vey omisin due o hei ood fi and modeae comuaional equiemens. his ae is devoed o hybid secificaions wih hee laen ocesses even moe comlicaed and locaed on he ede of ossibiliies of conducin exac Bayesian analysis. We esen full Bayesian infeence fo such models and oose efficien MCMC simulaion saey. Ou aoach is used o oinly model volailiy of six daily ime seies eesenin hee diffeen ous: wo sock indices ices of old and silve ices of oil and naual as. We fomally comae oin modellin o individual bivaiae volailiy modellin fo each of hee ous. KEY WORDS SŁOWA KLUCZOWE Quaniaive finance Volailiy analysis mulivaiae SV ocesses Bayesian infeence Ilościowe finanse Analiza zmienności wielowymiaowe ocesy SV wnioskowanie bayesowskie

2 7. Wsę Osiewalski 009 oaz Osiewalski i Pao wowadzili hybydowe wielowymiaowe modele sochasyczne zmienności lub waianci hybid mulivaiae sochasic volailiy o vaiance MSV models. Ich maciez waunkowych kowaianci es iloczynem oedynczeo ocesu ukyeo i maciezy o sukuze zaczenięe z osych ocesów MGARCH DCC SBEKK. Zaoonowane modele hybydowe zwłaszcza model MSF SBEKK yu I są zydane zaówno ze wzlędu na wysoką zdolność oisu zmienności só zwou ak i możliwość zasosowania do wielu cen łącznie; Osiewalski i Pao 00 0 wykozysuą ę secyfikacę w analizie yzyka ofela inwesycyneo złożoneo z akci kilkudziesięciu sółek. Jednak oedynczy oces ukyy wydae się oaniczać zasadność sosowania modeli hybydowych ylko do ednoodnych danych n. zmian cen na ednym ynku. Dlaeo Osiewalski i Osiewalski 0 zaoonowali uoólniony model hybydowy MSF SBEKK wykozysuący dwa ocesy ukye. Pzedsawili eo ełną bayesowską analizę saysyczną oaz zasosowanie w zyadku czeowymiaowym: cen złoa i seba oaz dwóch indeksów iełdowych. Pzykład en uzasadnił użycie odębnych ocesów ukyych w łącznym oisie zmienności na ynkach akci i meali a akże ukazał owiązania między ymi odębnymi ynkami zachodzące nawe zed osanim kyzysem dane ochodziły z okesu W e acy oonuemy oólnieszą sukuę hybydową wykozysuącą zy ocesy ukye. akie modele MSV są eszcze dość oszczędne od wzlędem liczby aameów i ocesów ukyych a owinny leie niż model MSF SBEKK oisywać zmienność cen na zech odębnych ynkach czy składowych ofela zawieaąceo zy odębne uy akywów. Aby emiycznie sawdzić czy łączne uęcie zmienności es wciąż zasadne ozważamy en sam okes ale sześć szeeów czasowych. Pzeście od modelu hybydoweo z dwoma ocesami ukyymi do modelu o zech ocesach wydae się wae uwai. Głównym oblemem nie es sona eoeyczna akieo uoólnienia lecz konsekwence obliczeniowe dyż ze wzosem liczby zmiennych ukyych o wielkość ówną liczbie obsewaci znacząco ośnie czas niezbędny do zeowadzenia symulaci MCMC z ozkładu a oseioi. Celem cząskowym acy es więc sawdzenie możliwości owadzenia dokładne analizy bayesowskie w nowym zyadku oaz oównanie analizy dokładne z zybliżoną oleaącą na zasąieniu łównych maciezy aameów waościami oaymi na ocenach MNK. Nasęna dua część acy oświęcona es nowemu modelowi i eo uęciu bayesowskiemu zaówno dokładnemu ak i zybliżonemu. W części zecie zasosowano nowy model do łączneo oisu zmienności dwóch indeksów iełdowych cen złoa i seba oaz oy nafowe i azu ziemneo. Podsumowanie wskazuące kieunki dalszych badań sanowi część czwaą osanią.

3 7. Posać modelu i eo analiza bayesowska Rozważamy n synchonicznych szeeów czasowych o obsewaci kóe zawieaą loaymiczne soy zwou zmian cen n = n + n + n akywów finansowych należących do zech odębnych u. Dane z okesu zawae w wieszu = n oisuemy sandadowo ocesem VAR wekoowe auoeesi zędu : = d 0 + D + f = chaakeyzowanym zez n n+-wymiaowy wiesz aameów d = d 0 vec D kóy o zais uzyskuemy dzięki wekoyzaci maciezy wsółczynników D. Dla f. wiesza n składników losowych w ównaniu VAR zymuemy waunkowy wzlędem zeszłości oznaczane } i bieżących zmiennych ukyych n-wymiaowy ozkład nomalny o zeowe waości oczekiwane i maciezy kowaianci Skalay i w są dodanimi zmiennymi nieobsewowalnymi ukyymi zaś H i i = są blokami n i n maciezy kwadaowe sonia n osaci H = b ca + b f f + c H dzie b i c są dodanimi aameami skalanymi sełniaącymi waunek b+c< zaś A es maciezą symeyczną i dodanio okeśloną zawieaącą n n + / swobodnych aameów. Maciez H es samoisną maciezą waunkowych kowaianci w zw. skalanym modelu BEKK SBEKK ose secyfikaci z klasy wielowymiaowych modeli GARCH MGARCH kóe omawiaą Bauwens Lauen i Rombous 006. Gdyby zyąć i = i = f byłby oisany modelem SBEKK z waunkowym ozkładem nomalnym. Jednak w nasze secyfikaci zakładamy że o cią zmiennych ukyych ln i Z usalone i wozy aussowski oces AR a o cią waunkowych maciezy kowaianci X zależy od zech ocesów ukyych ak że waiance n i akywów z uy i zawieaą czynnik i. Waunkowe kowaiance zależą od i ednak sosób wowadzenia zmiennych ukyych do maciezy X sawia że waunkowe wsółczynniki koelaci zależą nie od i lecz od elemenów maciezy H i maą aką samą osać k l =...n ak w modelu SBEKK. W odsawowe wesi naszeo hybydoweo modelu MSV ukye ocesy AR maą odębne aamey i są niezależne: 4

4 74 zy czym x i > 0 oaz < { i <. Założenie iż ocesy ukye są idenyczne = = sowadziłoby nasz nowy model do modelu MSF SBEKK yu I czyli secyfikaci hybydowe z ednym ocesem ukyym kóą zaoonował Osiewalski 009. Jedynym eoeycznie uzasadnionym i akycznie ealizowalnym odeściem do wnioskowania saysyczneo es w zyadku modelu 4 odeście bayesowskie umożliwiaące inuicyną obabilisyczną ineeacę wyników sosunkową ławą analizę dla modeli ze zmiennymi ukyymi i fomalne oównanie mocy obaśniaące konkuencynych secyfikaci niezanieżdżonych. Bayesowska wesa oonowaneo modelu MSV-MGARCH zdefiniowana es zez ozkład awdoodobieńswa obsewaci zmiennych ukyych i aameów. Jeo funkca ęsości ma osać dzie ~ uue aamey suku VAR i SBEKK i wszyskie aamey zaś n / n / de H f N ln / ex ln ' es ęsością waunkoweo wzlędem zeszłości ozkładu obsewaci i zmiennych ukyych z okesu. Gęsości a ioi ~ { x odzwieciedlaą założenia o możliwych waościach aameów i są idenyczne ak w modelu MSF-SBEKK Osiewalski i Pao 009. Weko aameów waunkowe waości oczekiwane dla d ma n n + -wymiaowy sandadowy ozkład nomalny ucięy zez waunek zwykle niewiążący a oseioi by waości własne maciezy D były wewnąz koła ednoskoweo w zeszeni liczb zesolonych. Paame { i ocesu ukyeo { i Z} ma ozkład nomalny ze śednią 0 i waiancą 00 ucięy do zedziału ; aame x i ma ozkład wykładniczy o śednie 00. Waości ocząkowe ocesów ukyych usalamy na oziomie 0 = 0 = 0 =. Maciez odwona do A w sukuze SBEKK ma ozkład Wishaa o n soniach swobody i śednie I n ; b i c maą łączny ozkład ednosany na ókącie zdefiniowanym waunkami: b > 0 c > 0 b + c <. Waunek ocząkowy dla H ma osać H 0 = h 0 I n dzie h 0 es aameem o wykładniczym ozkładzie a ioi ze śednią. Łącznie es 5n n aameów. Wiedza o wielkościach nieobsewowalnych uzyskana o wlądzie w dane zawaa es w łącznym ozkładzie a oseioi o ęsości ooconalne do 5: 6

5 75 ; ozkład en es [ + 5n n + + 9]-wymiaowy niesandadowy. Sosobem uzyskania eo chaakeysyk es meoda MCMC. symulaca Mone Calo za omocą łańcucha Makowa o ozkładzie saconanym z ęsością 7. Wykozysuemy łańcuch Gibbsa zbudowany zez sekwencyne losowania z waunkowych ozkładów a oseioi o ęsościach osaci noaca zakłada że indeksy h i są óżnymi liczbami ze zbiou { }: H ' / 0 ex de ęsość ozkładu [5nn++]-wymiaoweo niesandadoweo losowania wymaaą sosowania aloymu Meoolisa i Hasinsa; N i i h h f 0 ln ln ęsość sandadowa nomalna-amma ucięa zez esykce - < { < ; i h ln ex ' / N n f ęsość niesandadowa dzie dla = - ln ln a dla = : ln ; doby omocniczy mechanizm losowania w aloymie Meoolisa i Hasinsa es zaewniony zez ozkład o ęsości ' G H b n a f q

6 76 dzie a [ex ] b a ex / ; ęsość wykozysue infomacę o zawaą ylko w e części wekoa f kóa odowiada akywom z uy =. Sekwencyne losowanie z owyższych ozkładów waunkowych czyli óbnik Gibbsa owadzi o dosaeczne liczbie losowań wsęnych do óby zależne z łączneo ozkładu a oseioi o niesandadowe ęsości 7. Na odsawie e óby uzyskuemy dowolne chaakeysyki eo ozkładu czyli ealizuemy wnioskowanie bayesowskie w sosób dokładny. Jednak wymia wekoa ~ ośnie z kwadaem liczby szeeów czasowych czyniąc losowanie Meoolisa i Hasinsa z ozkładu o ęsości 8 zadaniem zby udnym uż zy umiakowanych waościach n. Zaem Osiewalski 009 oonue a Osiewalski i Pao 009 akycznie sosuą zasąienie esymaci aameów maciezowych: d ocenami MNK z modelu VAR A emiyczną maciezą kowaianci esz MNK. Ze wzlędu na udności z doboem właściweo mechanizmu omocniczych losowań i szybko osnący czas obliczeń akie zybliżone odeście bayesowskie sae się niezbędne dy modeluemy łącznie więce niż 5 lub 6 szeeów czasowych. Będzie ono w e acy oównane z dokładnym wnioskowaniem dla noweo modelu z zema ocesami ukyymi.. Łączne modelowanie zmienności sześciu szeeów czasowych W e części zedsawiamy wyniki bayesowskieo modelowania dziennych ocenowych loaymicznych só zwou só zmian sześciu szeeów czasowych łącznie. Dwa szeei eezenuą indeksy iełdowe WIG i S&P500 ynki akci i en sam okes co w ozednich acach w celu zachowania oównywalności części wyników zob. Osiewalski Pao Piień 007; Osiewalski i Pao 009; Osiewalski i Osiewalski 0. Dwa szeei ochodzą z ynków meali szlachenych doyczą cen złoa i seba w amym okesie London Fix USD/oz; zob. Osiewalski i Osiewalski 0. Dwa szeei zedsawiaą ceny oy nafowe Ben So Pice USD/Bael i azu ziemneo Heny Hub Gulf Coas Naual Gas So Pice USD/MMBU. Synchonizaca n = 6 szeeów ozosawiła =656 obsewaci dla só zmian kóe zedsawiono na Rys.. Pzyęo model hybydowy 5 z ocesami ukyymi n = n = n =. W abelach i zebano saysyki oisowe danych. Zmienność indeksów iełdowych cen meali i cen suowców aliwowych es wyaźnie inna. W sosunku do só zmian cen meali soy zmian indeksów z ynku akci chaakeyzuą się zdecydowanie mnieszą co do modułu skośnością i kuozą są eż słabo między sobą skoelowane. Słaba koelaca só zmian doyczy eż cen oy i azu ednak ozoszenie obu ych só es

7 77 WIG S&P500 GOLD SILVER OIL GAS Źódło: oacowanie własne. Rysunek. Modelowane dzienne ocenowe soy zmian

8 78 duże a kuoza w zyadku azu es oomna. Wao wyaśnić że wielkość kuozy w zyadku azu ziemneo wynika ze skoku cenoweo z 8 do USD/MMBU a nasęnie owou do wielkości o ozedzaące w dniach 7 lueo 00. Wedłu aou Saff Invesiain eam Fedeal Eney Reulaoy Commission czewca 00 było o odykowane sloem wielu czynników desabilizuących ównowaę oyu i odaży na ynku azu. Z edne sony zimny fon okalaący wschodnią część USA o badzo moźne zimie sowodował znacznie większe zużycie azu niż zewidywano na ę oę oku. Z duie nie dość że ezewy azu zosały zez ową zimę w duże mieze skonsumowane o zimny fon sowodował zamaznięcie części sudni wydobywczych zez co uniemożliwił wydobycie azu w ołudniowo-wschodnie części USA. abela Saysyki oisowe dziennych ocenowych só zmian n = 6 = 656 szee soy zmian śednia odch. s. skośność kuoza WIG S&P GOLD SILVER OIL NA.GAS Źódło: oacowanie własne. abela Wsółczynniki koelaci dziennych ocenowych só zmian n = 6 = 656 WIG S&P500 GOLD SILVER OIL NA.GAS WIG S&P GOLD SILVER OIL NA.GAS Źódło: oacowanie własne. Aby zobazować odobieńswo dynamiki só zmian osłużono się analizą skuień dokonaną na odsawie wsółczynników koelaci odanych w abeli. Nawiększe odobieńswo wykazywały w badanym okesie soy zmian cen

9 złoa i seba zob. Rys. ; znacząco mniesze cechowało soy zmian indeksów iełdowych wozących duie skuienie oaz zmian cen oy i azu wozących skuienie zecie. Wysęowanie ych zech skuień w sosób niefomalny owiedza zasadność użycia modelu z zema ocesami ukyymi o ednym dla ay o odobne dynamice zmian. 79 GOLD SILVER OIL GAS WIG SP Źódło: oacowanie własne. Rysunek. Podobieńswo dziennych ocenowych só zmian meoda Wada W abeli okazuemy loaymy dziesięne czynnika Bayesa uzyskane zez zasąienie waości bzeowych ęsości maciezy obsewaci ich symulacynymi ocenami Newona i Rafey eo. Wyniki wskazuą że oedynczy oces ukyy o w ozważanym zyadku za mało bo model MSF SBEKK na nim oay es ok. 0 8 azy mnie awdoodobny a oseioi zy ównych szansach a ioi niż model obecnie oonowany. Jeśli do noweo modelu wowadzamy ad hoc oceny MNK aameów maciezowych nie owadzimy dla nich fomalneo wnioskowania o i ak nowy model z aką silną i niezby afną esykcą na większość aameów es ok azy badzie awdoodobny a oseioi niż dokładnie szacowany model MSF SBEKK. Cena ełne bayesowskie esymaci modelu z ocesami ukyymi es duża bo czas obliczeń sięa anicy akyczne sosowalności akie secyfikaci i o zy ylko 6 szeeach czasowych i liczbie obsewaci niewielkie ak na dane dzienne. Nawe wsęne zasosowanie MNK dla większości aameów nie skaca dosaecznie czasu obliczeń co może swazać isone oaniczenia dla wykozysania modelu z ocesami ukyymi. udno wyobazić sobie eo użycie w analizie ofela 50 akci kóy ozważali Osiewalski i Pao 00 0 oisuąc zmienność za omocą modelu MSF SBEKK z ocenami MNK. Nasz nowy model może być ednak zydany w badaniu efeku zaażania na niewielu ynkach eezenowanych zez łówne ceny lub indeksy cenowe ak w obecnym zykładzie.

10 80 abela Bayesowskie oównanie hybydowych modeli MSV dla 6 szeeów danych Model VAR + M i Liczba swobodnych aameów i zm. ukyych lo 0 B NOWYi czas obliczeń NOWY dokładnie h min NOWY z MNK MSF SBEKK y I dokładnie MSF SBEKK y I z MNK Źódło: oacowanie własne h 4 min h 5 min h min Należy zwócić uwaę na waości oczekiwane i w nawiasach odchylenia sandadowe a oseioi aameów noweo modelu: E ' E ' E ' E A E [ ' ] E[ ' ] E E 0.94 E h.8 ;

11 oubioną czcionką zaisano waości oczekiwane ych aameów w zyadku kóych waość zeowa nie mieści się w zedziale między kwanylami a oseioi na oziomie 0.05 i w ym sensie są o aamey isonie óżne od zea. Skuianie się isonych aameów maciezy A w osobne bloki odowiadaące ynkom akci meali i suowców aliwowych może nasuwać zyuszczenie że łączne modelowanie wybanych sześciu szeeów es zbędne. Z duie sony elemeny maciezy D nie owiedzaą eo zyuszczenia wływ oóźnione soy zmian ceny oy nafowe na bieżącą soę zmian indeksu S&P500 wydae się isony. W celu fomalne weyfikaci eo zyuszczenia oszacowano zy odębne modele MSF SBEKK; w ym zyadku zakłada się całkowią niezależność. Okazue się że łączny model hybydowy z zema ocesami ukyymi dla sześciu szeeów es ok azy badzie awdoodobny a oseioi niż zy odębne modele. Poównuąc o z wynikami w abeli swiedzamy z kolei że zy odębne modele są ok. 0.5 azy badzie awdoodobne niż łączny model z ednym ocesem ukyym. Okazue się zaem że odębne ocesy ukye są ważniesze dla wyaśnienia zmienności ych szeeów niż łączne modelowanie z ednym ylko ocesem ukyym. Model naleszy wśód ozważanych zaewnia i łączny ois i ewną odębność. Jeo adekwaność wyaśniaą zebiei waunkowych wsółczynników koelaci między dziennymi soami zmian indeksu S&P500 i cen złoa lub oy nafowe; na Rys. i 4 odano waości oczekiwane ± dwa odchylenia sandadowe a oseioi. Waunkowe koelace ozosaą niezeowe dodanie lub częście uemne zez dłuie okesy więc zmienność na óżnych ynkach nie es niezależna. Naomias śednia waość oczekiwana a oseioi waunkowych wsółczynników koelaci z S&P500 es ówna dla cen złoa zy śednim odchyleniu Źódło: oacowanie własne. Rys.. Waości oczekiwane a oseioi waunkoweo wsółczynnika koelaci só zmian: indeksu S&P500 oaz ceny złoa

12 Źódło: oacowanie własne. Rys. 4. Waości oczekiwane a oseioi waunkoweo wsółczynnika koelaci só zmian: indeksu S&P500 oaz ceny oy nafowe sandadowym a oseioi ównym 0.00 więc nie óżni się znacząco od emiyczne koelaci obu szeeów ; w zyadku oy mamy wobec badzo odobne bliskie zeu emiyczne koelaci Wnioskowanie o waunkowych wsółczynnikach koelaci między soami zmian cen na ozważanych ynkach owiedza że są między nimi zwykle dość słabe ale ednak isone zależności. Znaczące uemne skoelowanie między indeksem S&P500 oaz cenami złoa i oy zachodziło w II ołowie 00 oku świadcząc o isnieące wedy możliwości dywesyfikaci yzyka inwesyci. Na Rys. 5 okazano waości oczekiwane a oseioi waunkowych odchyleń sandadowych a na Rys. 6 ich składowe ukye i i=. Zmienność indeksów iełdowych miezona waunkowym odchyleniem sandadowym es znacznie mnie wahliwa niż zmienność cen meali. Badzie nieeulany es zebie duieo ocesu ukyeo z wałownymi wybuchami owyże wyścioweo oziomu. Duże óżnice w zebieu ocesów ukyych są zodne z waościami oczekiwanymi a oseioi ich aameów badzo od siebie odlełymi. Dla { mamy silną auokoelacę ocesu ln o bezwaunkowe waianci ok. 0.0/ = Dla { mamy 0.50 co oznacza słabą auokoelacę ln zy waianci ok czyli elaywnie duże. Dla { mamy 0.6 umiakowaną auokoelacę ln zy waianci ok czyli eż umiakowane. Pocesy ukye maą isony udział w oisie zmienności sześciu szeeów czasowych a odmienność ich zebieu wyaśnia oomną zewaę noweo modelu hybydoweo nad modelem MSF SBEKK z ednym ocesem ukyym dla wszyskich szeeów.

13 8 WIG S&P GOLD SILVER OI L G AS Źódło: oacowanie własne. Rys. 5. Waości oczekiwane + dwa odchylenia sandadowe a oseioi waunkowych odchyleń sandadowych Źódło: oacowanie własne. Rys. 6. Waości oczekiwane + odchylenie sandadowe a oseioi iewiasków zmiennych ukyych

14 84 4. Uwai końcowe Celem acy była ezenaca noweo wielowymiaoweo hybydoweo modelu sochasyczne zmienności lub waianci eo bayesowskie analizy saysyczne i akyczne zydaności w łącznym oisie zmienności cen na óżnych ynkach. Nowy model wykozysuący waunkową sukuę koelacyną SBEKK i zy ocesy ukye ozwala na adekwane i oszczędne uęcie dynamiki só zwou dla wielu akywów kóe można odzielić w sosób naualny na zy uy. Dalsze badania owinny mieć na celu uoólnienie modelu na dowolną choć w akyce niewielką liczbę odębnych u akywów a akże do sawdzenia eo zydaności w zyadku duże łączne liczby akywów. W szczeólności ważny es wsęny odział ofela na kilka u akywów o odobne dynamice cen a nasęnie oównanie analizy yzyka dużeo ofela zeowadzane za omocą modelu z ednym ocesem ukyym zob. Osiewalski i Pao 00 0 oaz za omocą secyfikaci o kilku ocesach ukyych. Innym kieunkiem możliwych zasosowań es analiza owiązań zmienności na wielu ynkach finansowych meali suowców eneeycznych i innych w okesie osanieo kyzysu o chaakeze lobalnym. Odmiennym olem badań meodycznych i emiycznych es bayesowskie oównanie nanowszych secyfikaci MSV: naszych hybydowych zawieaących elemeny suku MGARCH oaz ych kóe zaoonowali Philiov i Glickman 006 oaz Gouieoux Jasiak i Sufana 009. Podziękowania Auozy wyażaą szczeólną wdzięczność Annie Pao za wowadzanie w nieławą emaykę modeli MSV oaz Błażeowi Mazuowi za zwócenie uwai na oaniczenia modelu MSF SBEKK w oisie zmienności nieednoodnych ofeli. Lieaua Bauwens L. Lauen S. Rombous J.V.K Mulivaiae GARCH models: A suvey Jounal of Alied Economeics Gouieoux C. Jasiak J. Sufana R he Wisha Auoeessive ocess of mulivaiae sochasic volailiy Jounal of Economeics Osiewalski J New hybid models of mulivaiae volailiy a Bayesian esecive Pzeląd Saysyczny Saisical Review Osiewalski J. Osiewalski K. 0. Modele hybydowe MSV-MGARCH z dwoma ocesami ukyymi Zeszyy Naukowe Uniwesyeu Ekonomiczneo w Kakowie seia Finanse w duku.

15 Osiewalski J. Pao A Flexibiliy and asimony in mulivaiae financial modellin: a hybid bivaiae DCC SV model [w:] Financial Makes. Pinciles of Modelin Foecasin and Decision- Makin FindEcon Monoah Seies No. edied by W.Milo and P.Wdowiński Łódź Univesiy Pess Łódź 6. Osiewalski J. Pao A Bayesian analysis fo hybid MSF SBEKK models of mulivaiae volailiy Cenal Euoean Jounal of Economic Modellin and Economeics Osiewalski J. Pao A. 00. Bayesian Value-a-Risk fo a ofolio: muli- and univaiae aoaches usin MSF-SBEKK models Cenal Euoean Jounal of Economic Modellin and Economeics Osiewalski J. Pao A. 0. Bayesian Value-a-Risk and Execed Shofall fo a lae ofolio muli- and univaiae aoaches Aca Physica Polonica A w duku. Osiewalski J. Pao A. Piień M Bayesian comaison of bivaiae GARCH SV and hybid models [w:] MACROMODELS 006 Poceedins of he d Inenaional Confeence edied by W.Welfe and A.Welfe Absolwen Łódź Pao A. 00. Wielowymiaowe ocesy waianci sochasyczne w ekonomeii finansowe uęcie bayesowskie Wydawnicwo Uniwesyeu Ekonomiczneo w Kakowie Kaków. Philiov A. Glickman M Mulivaiae Sochasic Volailiy Via Wisha Pocesses Jounal of Business and Economic Saisics