LINIOWE MODELE WYBORU WIELOOKRESOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH

Transkrypt

1 ZESZYY AUKOWE POLIECHIKI ŚLĄSKIEJ 5 Seia: ORGAIZACJA I ZARZĄDZAIE z. 86 ol. 946 Agaa GLUZICKA Uniwesye Eonomiczny w Kaowicach Wydział Infomayi i Komuniaci agaa.gluzica@ue.aowice.l LIIOWE MODELE WYBORU WIELOOKRESOWYCH SRAEGII IWESYCYJYCH Seszczenie. Poblem wybou ofela dla zyadu inwesyci wielooesowych naczęście związany es z wyozysaniem meod sochasycznych i heuysycznych. Poces onsuci ofeli wielooesowych można edna uościć sosuąc aie miay yzya óe są sowadzalne do osaci liniowe. W ayule zedsawione zosały modele onsuci wielooesowych saegii inwesycynych óe można zasosować wyozysuąc algoymy ogamowania liniowego. Zaoonowane modele zasosowane zosały do wybanych danych z Giełdy Paieów Waościowych w Waszawie. Słowa luczowe: wielooesowe ofele inwesycyne liniowe miay yzya inwesycynego. LIEAR MODELS OF SELECIO MULIPERIOD IVESME SRAEGIES Summay. he oblem of muli-eiod ofolio selecion usually is conneced wih using he sochasic o heuisic mehods. his ocess can be simlified by alicaion hese measue of is which we can ansfom o he linea fom. In he aicle he models o consucion he muli-eiod invesmen decision wih linea measue of is wee esened. Poosed models wee alied o seleced daa of he Wasaw Soc Echange. Keywods: muli-eiod invesmen ofolio linea measue of invesmen is.

2 96 A. Gluzica. Wowadzenie W lasycznym odeściu do onsuci ofeli inwesycynych naczęście sosowany es model Maowiza óego założeniem es minimalizaca yzya całe inwesyci zy usalonym oziomie zysu. Model en zazwycza sosowany es dla zyadu ednooesowego czyli syuaci iedy inweso decydue się na uloowanie swoego aiału na ewien oeślony czas. W ym lasycznym odeściu nie uwzględniono edna możliwości onowne aloaci aiału co niewąliwie es isonym elemenem ażde inwesyci. Wziąwszy od uwagę niesabilność ynów finansowych oaz ich wysoą zmienność doonywanie zmian w ofelach w acie wania inwesyci wydae się być oniecznością. aie zmiany w ofelu inwesycynym mogą być doonywane na ila óżnych sosobów. Poszczególne saegie mogą óżnić się wysoością aiału loowanego w olenych odoesach. Możemy n. założyć że inwesuemy całość aiału uzysaną w ozednim oesie lub eż ego część. Pofele wielooesowe odobnie a w zyadu ednooesowym mogą być wyznaczane za ażdym azem zy założeniu minimalizaci yzya a ównież można masymalizować zys w ocząowych odoesach a doieo w oesie ońcowym minimalizować yzyo inwesyci. W lieauze zedmiou można odnaleźć liczne zyłady odemowania wielooesowych decyzi inwesycynych. aczęście ezenowane modele wymagaą użycia wysoce wysecalizowanych nazędzi i meod obliczeniowych n. meod sochasycznych czy heuysycznych. W analizie ofelowe możliwe es edna sosowanie modeli oymalizacynych do ozwiązania óych wysaczaą meody ogamowania liniowego. Możliwość aa zachodzi w zyadu gdy do omiau yzya inwesycynego wyozysuemy miay sowadzalne do osaci liniowe. Pzyładem aich mia są: śednie odchylenie bezwzględne (mean absolue deviaion) śednia óżnica Giniego (Gini s mean diffeence) czy waunowa waość zagożona (condiional value a is). W iewsze części ayułu oóce omówione zosały miay yzya óe można zasosować w liniowych modelach wybou ofeli inwesycynych. W olene części ayułu zedsawione zosały dwie óżne saegie wybou wielooesowych ofeli inwesycynych. asęnie zaoonowane modele wybou wielooesowych saegii inwesycynych zosały zasosowane dla wybane guy danych z Giełdy Paieów Waościowych w Waszawie. Wynii sosowania zaezenowanych saegii inwesycynych omówione zosały w osanie części ayułu.

3 Liniowe modele wybou wielooesowych saegii 97. Wybane liniowe miay yzya Do mia yzya inwesycynego óe można sowadzić do osaci liniowe zaliczamy m.in. śednie odchylenie bezwzględne śednią óżnicę Giniego oaz waunową waość zagożoną. Doychczas naczęście miay e sosowane były do wyznaczania ednooesowych ofeli inwesycynych. Zazwycza analizy doyczyły ofeli onsuowanych za omocą sandadowego modelu czyli minimalizaci yzya ofela zy waunach oganiczaących doyczących soy zwou ofela oaz sumy udziałów oszczególnych sółe w ofelu. Pzyładem miay yzya inwesycynego sowadzalne do osaci liniowe es śednie odchylenie bezwzględne (MAD). Śednie odchylenie bezwzględne dla oedyncze sółi obliczane es ao suma iloczynów awdoodobieńswa wysąienia oesu () i waości bezwzględnych óżnic soy zwou sółi -e w oesie () oaz śednie soy zwou sółi -e () [Konno H. Yamazai H. 99]: MAD Śednie odchylenie bezwzględne dla ofela złożonego z sółe o udziałach (dla = ) definiowane es nasęuąco: MAD E E Aby śednie odchylenie bezwzględne sowadzić do osaci liniowe w obliczeniach należy zasosować odeście scenaiuszowe i wówczas yzyo ofela oeśla się wzoem: MAD W modelu oymalizacynym do wyznaczania udziałów ofela w owyższym wzoze w miesce waości bezwzględne wowadza się nieuemne zmienne dodaowe w o óych załada się że sełniaą wauni: w oaz w () () (3). Liniowy model oymalizacyny sosowany do wyznaczania ofeli dla óych yzyo miezone es śednim odchyleniem bezwzględnym es nasęuące osaci [Ogycza W. 3]:

4 98 A. Gluzica... dla oaz R w w w min (4) W owyższym modelu R oznacza założony oziom soy zwou ofela. Dugą z mia óą można zasosować w liniowym modelu oymalizacynym es śednia óżnica Giniego (GMD). Miaa a miezy soień oncenaci ozładu só zwou. Dla dowolne -e sółi śednia óżnica Giniego es ówna ołowie waości oczeiwane bezwzględnych óżnic liczonych omiędzy możliwymi obsewacami soy zwou (zmienne losowe) [Yizhai S. 98; Shali Yizhai S. 5]: (5) Śednia óżnica Giniego dla ofela naomias obliczana es według oniższego wzou: P (6) W celu uoszczenia obliczeń waość bezwzględna zasęowana es zmiennymi dodaowymi d oeślonymi wzoem: d. Liniowa osać modelu óy sosuemy do wyznaczania udziałów ofela inwesycynego ze śednią óżnicą Giniego ao miaą yzya es nasęuąca [Ogycza W. 3]:... dla oaz R... dla d d min (7) Kolena miaa yzya waunowa waość zagożona (CVaR) es zyładem wanylowe miay yzya sełniaące wauni oheenności. Jes ona definiowana ao

5 Liniowe modele wybou wielooesowych saegii 99 waunowa waość oczeiwana só zwou z ofela (R) zy założeniu że soy e są mniesze niż -wayl ozładu só zwou co symbolicznie zaisuemy wzoem [Pflug G.C. ]: CVaR E R R VaR (8) gdzie VaR oznacza waość zagożoną (naażoną na yzyo) czyli masymalną waość aą można sacić w wyniu inwesyci dla danego oesu zy założonym oziomie oleanci. Model oymalizacyny za omocą óego wyznaczamy ofel o minimalne waunowe waości zagożone es osaci [Rocaffela R.. Uyasev S. ]: mins oaz R y s dla... gdzie: s o zmienna decyzyna oznaczaąca oziom say óego nie można zeoczyć naomias y o oszczególne scenaiusze ealizaci só zwou dla oesów =. (9) 3. Modele wybou wielooesowych saegii inwesycynych Jednym ze sosobów onsuci wielooesowych saegii inwesycynych es zyęcie założenia że celem inwesoa es wyznaczenie saegii masymalizuące ego bogacwo ońcowe zy ównoczesne minimalizaci yzya w oesie. W ozednich - oesach suiamy się ylo na masymalizowaniu bogacwa naomias oziom yzya onolowany es zez wowadzenie w oszczególnych oesach góne ganicy yzya na aie może zgodzić się inweso (weo aameów = [ -]). W en sosób zabezieczamy inwesoa zed banucwem. Wyznaczanie saegii zy owyższych założeniach odbywa się za omocą dwóch nasęuących zadań oymalizacynych: - dla oesów = - - dla oesu Ev ma E v n v dla... dla... dla......n gdzie E v Ev dla... min z z n v gdzie E v Ev dla...n Ev ()

6 3 A. Gluzica W owyższych modelach oznacza yzyo ofela dla danego oesu aame ( ) oznacza efeence inwesoa względem yzya w oesie a z o dodaowa zmienna decyzyna. Ponado w odeściu ym załadamy że cała inwesyca es ocesem samofinansowanym co oznacza że woa aloowana we wszysie sółi w oesie es ówna oczeiwanemu aiałowi na oniec oesu (-). Zachodzą zaem zależności: R oaz dla = () gdzie: v oznacza waość aiału aą inweso ma na ońcu oesu a v o waość aiału ocząowego inwesoa na ocząu całe inwesyci (zymue się że v = ). aie odeście wyznaczania ofeli wielooesowych zaoonowane zosało dla śedniego odchylenia bezwzględnego [Yu M. aahashi S. Inoue H. Wang S. ]. Oyginalnie do ozwiązania aiego oblemu sosowane są meody ogamowania dynamicznego edna (a wyazali auozy) możliwe es sowadzenie oblemu do osaci liniowe. Innym sosobem wyznaczania saegii wielooesowych es zasosowanie w ażdym odoesie sandadowego odeścia czyli minimalizaci yzya zy założonym oziomie soy zwou ofela. Zmiany w ofelu doonywane są zgodnie z założeniem że w oesie inwesuemy aiał ai inweso ma na oniec oesu -. Zaem wielooesową saegię inwesycyną możemy wyznaczyć sosuąc dla oszczególnych oesów = nasęuący model oymalizacyny: min R R v dla... W owyższych modelach () () w miesce można wowadzić edną z mia yzya omówionych w ozednie części. Uwzględniaąc wauni na dodaowe zmienne decyzyne dosaemy liniowe modele wybou wielooesowych saegii inwesycynych. () 4. Analiza modeli wybou wielooesowych ofeli inwesycynych Payczne zasosowanie omówionych w ozednie części saegii wyznaczania wielooesowych ofeli inwesycynych oównane zosało w badaniach emiycznych zeowadzonych dla ygodniowych sóy zwou 35 sółe wchodzących w sład indesu WIG4 óe były noowane bez zawieszeń w oesie syczeń 3 sieień 5.

7 Liniowe modele wybou wielooesowych saegii 3 Momeny doonywania onowne inwesyci wyznaczone zosały na odsawie noowań indesu WIG dla analizowanego oesu (ys. ). Rys.. oowania indesu giełdowego WIG w oesie Fig.. Quoaions of inde WIG in he eiod Źódło: na odsawie danych z bossa.l. Dla analizowanego oesu wyznaczono (w zybliżeniu) momeny iedy noowania indesu zymowały loalnie naniższe lub nawyższe waości. W en sosób w oesie syczeń 3 sieień 5 ozymano odoesów wyznaczonych zez nasęuące day: 3.4.3;.6.3;.7.3; 5..3; 3..4; 5..4; 8.8.4; 9.9.4; 6..5; 9.4.5; W analizowanym oesie dla ażde miay yzya (MAD GMD CVaR) wyznaczone zosały dwie óżne saegie: saegia A masymalizaca bogacwa zy onoli yzya w oesach = - oaz masymalizaca bogacwa zy ównoczesne minimalizaci yzya w oesie ; saegia B minimalizaca yzya we wszysich odoesach. W celach oównawczych dla oszczególnych mia yzya wyznaczone zosały ównież ofele ednooesowe (saegia C). Ozymano dziewięć óżnych saegii inwesycynych óe oównano od względem yzya oaz zyszłych możliwych zysów ze szedaży ofela. a wsęie wao zauważyć że sosuąc owyższe meody wyznaczania ofeli inwesycynych w ażdym zyadu ozymano całiem inny od względem sładu ofel ońcowy. Wysaczy zeanalizować soień zdywesyfiowania ofeli (abela ) aby swiedzić a badzo óżnią się e saegie. a odsawie ozymanych wyniów widać wyaźnie że nasłabie zdywesyfiowane są ofele wyznaczane zgodnie ze saegią A. Również znacznie mnie sółe maą w swoich sładach ofele wielooesowe wyznaczane zy założeniu minimalne waości yzya w oównaniu z odowiadaącymi im ofelami

8 3 A. Gluzica ednooesowymi. Własność a zachodzi dla ofeli w óych yzyo miezone było śednim odchyleniem bezwzględnym lub śednią óżnicą Giniego. Liczba sółe w ofelach ońcowych Miaa Saegia yzya A B C MAD GMD 4 CVaR 6 Źódło: oacowanie własne. abela Aby oównać ozymane saegie od względem yzya dla ażdego wyznaczonego ofela ońcowego obliczone zosały waości odchylenia sandadowego. Wynii zedsawione zosały w abeli. abela Waości odchylenia sandadowego ofeli ońcowych w analizowanych saegiach Miaa Saegia yzya A B C MAD GMD CVaR Źódło: oacowanie własne. Poównuąc dla oszczególnych saegii ofele ońcowe od względem yzya swiedzono że w zyadu śedniego odchylenia bezwzględnego oaz śednie óżnicy Giniego nie ma więszego znaczenia czy zasosuemy saegię A czy B. Zaówno zy minimalizaci yzya a i zy masymalizaci bogacwa dla obu mia yzya ozymano odobne waości odchylenia sandadowego. Z olei sosuąc waunową waość zagożoną zdecydowanie mnie yzyowną oazała się inwesyca dla óe minimalizowano waość yzya ofela zez cały oes inwesycyny. Jeśli w oszczególnych oesach założono masymalizacę bogacwa inwesoa ozymany ofel ońcowy chaaeyzował się znacznie wyższym odchyleniem sandadowym niż ofel ońcowy ozymany zgodnie ze saegią B. Wao zauważyć że w zyadu saegii A odobnie a dla ofeli ednooesowych dla śedniego odchylenia bezwzględnego oaz śednie óżnicy Giniego ozymano ofele o zbliżone waości odchylenia sandadowego. Zaem w ym zyadu można sosować obie miay zamiennie. W zyadu naomias saegii B w odóżnieniu od dwóch ozosałych namnie yzyownym oazał się ofel dla óego yzyo miezone było waunową waością zagożoną. W dalsze części ofele oównane zosały od względem zyszłych zysów aich można było się sodziewać o szedaży ofeli ońcowych w olenych dniach wześnia 5. W ym celu obliczone zosały waości ofeli ońcowych na odsawie waości

9 Liniowe modele wybou wielooesowych saegii 33 udziałów oszczególnych ofeli oaz noowań w olenych dniach o zaończeniu inwesyci. Waości ofeli zedsawiono w abeli 3. abela 3 Waości ofeli ońcowych w olenych dniach wześnia 5 (w ys.) Daa Saegia A B C MAD GMD CVaR MAD GMD CVaR MAD GMD CVaR Źódło: oacowanie własne. Analizuąc zys z oszczególnych ofeli zauważono że minimalizuąc yzyo zez cały oes inwesycyny ao miaę yzya naozysnie było zyąć śednie odchylenie bezwzględne. o w ym zyadu saegia B zynosiła nawyższe zysi. Z olei dla saegii A nawyższe waości ofela ozymano dla śednie óżnicy Giniego. ależy zauważyć że óżnice w olenych dniach w zyadu saegii B dla óżnych mia yzya są zdecydowanie niższe niż w zyadu saegii A. Dla ofeli wyznaczanych według saegii B óżnice wahaą się od 3 do o. ys. naomias między ofelami saegii A óżnice e wynoszą od 4 do awie 33 ys. Zaem możemy wniosować że decyduąc się na sosowanie saegii A należy dużą wagę zywiązywać do ego aą miaą yzya się osługuemy. Poównuąc wszysie ozymane ofele ońcowe od względem zysów aich można się było sodziewać w oszczególnych dniach wześnia naleszą saegią oazała się masymalizaca bogacwa (saegia A) zy yzyu miezonym śednią óżnicą Giniego. W ażdym dniu wześnia dla ego ofela ozymano nawyższe waości zysu. Z olei naniższe waości ofela odnoowano dla ofeli ednooesowych dla óych miaą yzya było śednie odchylenie bezwzględne. Waości ych ofeli w oszczególnych dniach były zdecydowanie niższe niż waości ofeli wyznaczanych według saegii A dla śednie óżnicy Giniego.

10 34 A. Gluzica 5. Podsumowanie W ayule zedsawione zosały dwie saegie wybou wielooesowych ofeli inwesycynych w óych można zasosować liniowe miay yzya inwesycynego. Payczne zasosowanie omówionych modeli oazało że zaówno od względem yzya a i zyszłych zysów ważne es aą miaę yzya zasosuemy. amnie yzyowną saegią oazała się minimalizaca waunowe waości zagożone ofela w oszczególnych oesach inwesyci. aomias nawyższe waości ze szedaży ofela ozymano dla ofela dla óego masymalizowano bogacwo a yzyo miezone było śednią óżnicą Giniego. Bibliogafia. Konno H. Yamazai H.: Mean-absolue deviaion ofolio oimizaion model and is alicaions o oyo soc mae Managemen Science o Ogycza W.: Modele ogamowania liniowego w oymalizaci ofela inwesyci [w:]. zasali (ed.): Modelowanie Pefeenci a Ryzyo 3 Wydawnicwo Aademii Eonomiczne w Kaowicach Kaowice 3 s Pflug G.C.: Some emas on he value-a-is and condiional value-a-is [in:] S. Uyasev (ed.): Pobabilisic Consained Oimizaion: Mehodology and Alicaions Kluwe Academic Publishes owell. 4. Rocafella R.. Uyasev S.: Oimizaion of condiional value-a-is Jounal of Ris o Shali H. Yizhai S.: he Mean - Gini Efficien Pofolio Fonie he Jounal of Financial Reseach Vol. XXVII Yizhai S.: Sochasic dominance mean vaiance and Gini s mean diffeence Ameican Economic Review o Yu M. aahashi S. Inoue H. Wang S.: Dynamic ofolio oimizaion wih is conol fo absolue deviaion model. Euoean Jounal of Oeaional Reseach o Absac In he aicle wo saegies of muli-eiod ofolio selecion wee esened. In boh aoach he linea measue of is such as mean absolue deviaion Gini s mean diffeence and condiional value a is wee used. he emiical eseach indicaed ha he less isy

11 Liniowe modele wybou wielooesowych saegii 35 saegy is o minimize he condiional value a is of ofolio in he subsequen eiods of invesmen. While he highes ofis fom ofolios sales wee eceived fo ofolio of maimum wealh and he Gini s mean diffeence as a measue of is.