TERMODYNAMIKA. Zajęcia 1 ( )

Transkrypt

1 TERMODYNAMIKA Zajęcia 1 ( ) 1.1 Wiadomo że dla gazu doskonałego, molowa energia wewnętrzna u jest jedynie funkcją temperatury u=u(t), oraz że molowe ciepło właściwe c v jest stałe (niezależne od stanu układu). Pokaż że zmiany energii wewnętrznej gazu doskonałego można w pełni opisać jako du=n c V dt, gdzie n to ilość moli gazu, c V to molowe ciepło właściwe zaś T temperatura. Wsk: u=u(t) => du=f(t) dt, c V =const => można całkować, skorzystać z 1 zasady termodynamiki w procesie izochorycznym 1.2 Wiedząc że ciepło właściwe c v gazu doskonałego jest stałe, oblicz wyrażenie na entropię gazu doskonałego S. Odp: S=n c V ln T + nr ln V + const. Wsk: 1 zasada termodynamiki + rownanie stanu 1.3 Dwa podukłady, izolowane od otocznie ale nie między sobą mają początkowe temperatury T 1 i T 2. Objętości układów się nie zmieniają, oba podukłady mają tą samą, stałą pojemność cieplną C V, zaś T 2 >T 1. Oblicz zmianę entropii ΔS całości układu wywołaną wyrównaniem się temperatur (ponieważ układ jest izolowany, jest to produkcja entropii w nieodwracalnym procesie zrównywania się temperatur) Odp: Δ S=C V ln (T +T 1 2 )2 =C 4T 1 T V 2 ln( 1+(T T 1 2 )2 4 T 1 T 2 ) Wsk: rozważ przepływ ciepła i zmianę entropii każdego z podukładów w jego skutek

2 Zajęcia 2 ( ) 2.1 Gaz doskonały wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A, V B ) oblicz jakie ciepło Q IN zostało dostarczone go gazu w tym procesie. Odp: Q IN =n R T 1 ln (V B /V A ) Wsk: dla gazu doskonałego u=u(t), więc du=0 bo T=const. 2.2 Gaz doskonały wykonuje pracę w procesie adiabatycznym A B. Znając molową pojemność cieplną tego gazu c V, oraz temperaturę początkową T A i końcową T B oblicz pracę wykonaną przez gaz W OUT. Odp: W OUT =n c V (T A -T B ) Wsk: dla gazu doskonałego du=nc V dt 2.3 Gaz doskonały pracuje w odwracalnym cyklu Carnota między temperaturami T 1 i T 2. Pokaż że w tym cyklu jest spełniona równość Clausiusa dq T =0, czyli Q 1 + Q 2 =0, gdzie Q 1 i Q 2 to T 1 T 2 ciepła przyjęte przez układ podczas procesów odpowiednio w tempteraturze T 1 i T 2 w każdym cyklu. Wsk: oblicz Q 1 i Q 2 w procesach albo przez zmiany entropii albo przez objętości

3 Zajęcia 3 ( ) Uwaga: opcje a) i b) odnoszą się do wariantów zadań zrobionych w grupie 10:15 i 12: Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A,V B ) oblicz jaką pracę W OUT wykonał. Odp. W OUT =nrt 1 ln( V nb B V A nb ( 1 )+an2 1 V B Wsk. Równanie stanu gazu van der Waalsa to ( V A) an2 p+ V ) 2 (V nb)=nrt 3.2 Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A,V B ) oblicz jakie ciepło Q IN zostało dostarczone do gazu. Odp. Q I N =nr T 1 ln( V B nb V A nb) Wsk. Energia wewnętrzna gazu van der Waalsa wynosi U=nc V T-an 2 /V+U Oblicz sprawność silnika cieplnego działającego w odwracalnym cyklu Carnota, gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Cykl działa między temperaturami T 1 i T 2 (T 2 >T 1 ). Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p, natomiast szukaną sprawność definiujemy jako μ=w OUT /Q IN, gdzie W OUT to całkowita praca wykonywana przez cykl, zaś Q IN ciepło dostarczone do cyklu przy przemianach gdzie cykl ciepło przyjmuje. Odp. μ=1-t 1 /T 2 Wsk. Skorzystaj z zachowania energii i równości Clausiusa 3.4 Oblicz sprawność pompy cieplnej działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p. Sprawność pompy cieplnej zdefiniowana jest jako μ=q OUT /W IN, gdzie Q OUT to ciepło oddane w cyklu, zaś W IN to całkowita dostarczona praca. Pompa cieplna pracuje w cyklu: a) złożonym z dwóch izochor przy objętościach V 1 i V 2 (V 2 >V 1 ) i dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p 2 (p 2 >p 1 ), b) Joule a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p 2 (p 2 >p 1 ) Odp. a) μ= c V p 2 V 2 p 1 V 1 R ( p 2 p 1 )(V 2 V 1 ) + p 2 1, b) μ= p 2 p 1 1 ( p 1 / p 2 ) (γ 1)/ γ Wsk. Skorzystaj z definicji c p a) oblicz pracę i ciepła wymieniane w odpowiednich przemianach, b) z zachowania energii przekształć sprawność na zależną tylko od ciepeł i oblicz ciepła, zależności między temperaturami mogą być policzone z równania adiabat i równania stanu 3.5 (dodatkowe) Oblicz sprawność lodówki działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p. Sprawność lodówki zdefiniowana jest jako μ=q IN /W IN, gdzie Q IN to ciepło odebrane otoczeniu w cyklu, zaś W IN to całkowita dostarczona praca. Lodówka pracuje w cyklu: a) Joule a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p 2 (p 2 >p 1 ) b) Otta, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izochor przy objętościach V 1 i V 2 (V 2 >V 1 ) 1 Odp. a) μ= ( p 2 / p 1 ) (γ 1)/ γ 1, b) μ= 1 (V 2 /V 1 ) γ 1 1

4 Wsk. Z zachowania energii przekształć pracę w ciepła, policz ciepła przyjęte i oddane z def c x, wyraź temperatury przez ciśnienia/objętości na podstawie adiabat

5 Zajęcia 4 ( ) 4.1 Korzystając z tzw. podstawowego równania termodynamiki U=TS-pV+μn i transformacji Legendre a zapisz podstawowe równanie termodynamiki w formie zawierającej inny potencjał termodynamiczny oraz wyprowadź wzór na zmianę tego potencjału: a) entalpia H(S,p,n), b) energia swobodna F(T,V,n), c) energia swobodna Gibbsa G(T,p,n) Odp. a) H=TS+μn, dh=tds+vdp+μdn, b) F=pV+μn, df=-sdt-pdv+μdn, c) G=μn, dg=-sdt+vdp+μdn 4.2 Wyprowadź poniższe relacje Maxwella: a) ( dt dp ) = S, n ( dv ds ), b) p,n ( ds dv ) = T,n ( dp dt ), c) V, n ( dv dn ) = T, p ( dμ dp ) T, n Wsk. Skorzystaj z równości pochodnych mieszanych odpowiednich potencjałów termodynamicznych, odpowiedni potencjał ma te same naturalne parametry które występują w relacji 4.3 Układ termodynamiczny o stałej pojemności cieplnej C i temperaturze T 1 znajduje się w otoczeniu o temperaturze T 0 (otoczenie ma nieskończoną pojemność cieplną). a) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mógłby wykonać silnik używający tego układu jako źródła ciepła a otoczenia jako chłodnicy zakładając T 1 >T 0? b) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mogłby wykonać silnik używający tego układu jako chłodnicy, zaś otoczenia jako źródła ciepła zakładając T 0 >T 1? Odp. W MAX =C(T 1 -T 0 )-C T 0 ln (T 1 /T 0 ) (w obu przypadkach) Wsk. Silnik cieplny pracujący w odwracalnym cyklu Carnota o sprawności μ=1-t O /T I ma najwyższą możliwą sprawność (T I to temperatura grzejnicy a T O temperatura chłodnicy), licząc maksymalną możliwą pracę można rozpatrywać nieskończenie mały cykl 4.5 Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami a) V,n, b) S,n wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U przy ustalonym S,V,n. Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych wielkościach fizycznych.

6 Zajęcia 5 ( ) 5.0 (zostało z poprzednich zajęć, zmodyfikowane) Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami S,M wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U dla magnetyka przy ustalonym S,M,n (M to magnetyzacja, związana z intensywnym polem zewnętrznym H podobną zależnością jak objętość z ciśnieniem dw=hdm). Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych wielkościach fizycznych. Wsk. zapisz drugie pochodne U poprzez pierwsze pochodne innych wartości po obliczeniu wyznacznika, zinterpretuj pamiętając o zależności dq=tds oraz że dx/dy=1/(dy/dx) 5.1 Oblicz molowe ciepło spalania mola propenu C 3 H 6, zakładając swobodny dostęp tlenu oraz znając ciepła uwodorniania propenu C 3 H 6 +H 2 +q A C 3 H 8, spalania propanu C 3 H 8 +5O 2 +q B 3CO 2 +4H 2 O i spalania wodoru 2H 2 +O 2 2H 2 O+q C. Wsk. Dodaj stronami równania reakcji, dobierając współczynniki tak by dostać spalanie propenu C 3 H 6 +9/2 O 2 +q D 3CO 2 + 3H 2 O Odp. q D =q A +q B -q C /2 5.2 Entalpia molowa wody w temperaturze T A i ciśnieniu atmosferycznym p A wynosi h A. Oblicz entalpię wody po tym jak została przepuszczona przez reaktor atomowy (jako chłodziwo) który przeprowadził ją w płyn superkrytyczny o temperaturze T B przy ciśnieniu p B, oraz przez turbinę i chłodnicę które opuściła w postaci ciekłej w temperaturze T C i w ciśnieniu atmosferycznym p A. Załóż że znasz wszelkie własności wody, tzn. molowe ciepła właściwe w dowolnej fazie i w dowolnych warunkach (zakładając że wewnątrz każdej fazy ciepła właściwe są stałe), ciepła przemian fazowych, gęstość, masę molową itp. Wsk. Entalpia to funkcja stanu, skorzystaj z prawa Kirchoffa, nie zawsze wszystkie dane są potrzebne Odp. h C =h A +c p (T C -T A ) 5.3 Sztaba żelaza o masie m i temperaturze T 1 znajduje się pod ciśnieniem p 0. Sztaba jest podgrzewana przy ustalonym ciśnieniu. W temperaturze T 2 sztaba stopiła się. Proces podgrzewania zakończono w temperaturze T 3. Oblicz ciepło dostarczone do żelaza podczas całego procesu oraz zmianę jego entropii, znając wszelkie molowe własności żelaza (ciepła właściwe każdej z faz, molowe ciepła topnienia i wrzenia przy ciśnieniu p 0, masę molową). Wsk. Podziel proces na podgrzewanie i przemianę fazową (odbywającą się w ustalonym T 2,p 0 ) Odp. Q 13 = m [ (s c ) M p (T 2 T 1 )+q sc +c (c) p (T 3 T 1 )], Δ S 13 = m M [ c (s) p ln T 2 + q sc +c (c) T 1 T p ln T 3 2 T 1 ] 5.4 Znając kształt granicy faz woda-para wodna p CG (T) oblicz ciepło przemiany ciecz-gaz w zależności od temperatury, zakładając że para wodna jest gazem doskonałym o objętości o wiele większej niż ta sama ilość cieczy. Wsk. Skorzystaj z równania Clausiusa-Clapeyrona i równania stanu gazu doskonałego, zaniedbaj objętość cieczy Odp. q CG = dp CG dt RT 2 p CG

7 FIZYKA STATYSTYCZNA Zajęcia 6 ( ) 6.1. Rozważ układ N cząstek i, z których każda może mieć skwantowaną energię a) E i =0,1,2,3,, b) E i =1,2,3,. Oblicz liczbę stanów takiego układu jeżeli całkowita energia E jest ustalona. Wsk. Można rozpatrywać że mamy E kwantów, każdy może być przypisany do jednej z N cząstek kombinacja z powtórzeniami daje od razu wynik Odp. a) Δ Γ= ( N 1+E E ) = ( N 1+E N 1 ), b) Δ Γ= ( E N) E 1 = ( E 1 N 1) 6.2. Rozważ klasyczną cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E, narysuj przestrzeń fazową i zaznacz dozwolone stany dla takiej cząstki. Wyznacz gęstość stanów g(e). Naturalną jednostką objętości jednowymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka h. Wsk. Przestrzeń fazowa 1-wymiarowej cząstki ma 2 wymiary: położenie (0,L) i pęd (dodani i ujemny, bo cząstka może poruszać się w obie strony). Energia cząstki to energia kinetyczna. Odp. Γ= 2 L h 2mE, d Γ(E) g(e)= de = L 2 m h E 6.3. Rozważ kwantową cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz liczbę stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E. Wyznacz gęstość stanów g(e). Wsk. Dozwolone stany cząstki wynikają z rozwiązania równania Schrödingera dla 1-wymiarowej studni potencjału i warunków brzegowych (Ψ(0)=Ψ(L)=0): Ψ n (x)= A sin( 2mE n x ħ ) gdzie h2 E n = 8 ml 2 n2 dla n N. Odp. Γ= 2 L h 2mE, d Γ(E) g(e)= de = L 2m h E 6.4. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako ε i =(n i +1/2)ħω,gdzie n=0,1,2,. Rozważ układ N oscylatorów, których całkowita energia jest ustalona i wynosi E. Oblicz entropię i temperaturę tego układu. Wsk. Efektywnie rozkładamy E/ħω-N/2 kwantów energii (wzbudzenia oscylatorów) na N cząstek. Przy E=const. entropia wynika z ilości dostępnych stanów (objętości przestrzeni fazowej). E S =T Odp. S=k[(N+M) ln(n+m) N ln N M ln M], T = ħ ω N +M 1/ln k M stała Boltzmanna, gdzie M=E/ħω-N/2, a k to 6.5. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Naturalną jednostką objętości przestrzeni fazowej jest tu h 3N (dla całego układu). Zakładając że układ ma ustaloną energię E oblicz entropię, temperaturę i ciśnienie w układzie (wyraź przez temperaturę). Wsk. N-wymiarowa kula o promieniu r dla parzystego N ma objętość π N/2 r N /(N/2)!, ΔΓ=dΓ/dE ΔE. Różniczkując entropię po energii i objętości można uzyskać 1/T i p/t (1 zasada termodynamiki). Odp. S Nk[ ln V N ln E N +3 2 ( ln 4 π m 3h )], T = 2 3 E kn, p=nkt/v

8 Zajęcia 7 ( ) 7.1. Rozważ układ składający się z dwóch niezależnych rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię 0 lub ε. Układ jest w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U, swobodną F i entropię S. Wsk. Wszystko bezpośrednio z definicji, zauważyć że Z 2 =Z 1 2 Odp. U=2ε 1/(e -βε +1), F=-2k B T ln (1+e -βε ), S=2k B ln (1+e -βε )+2ε/(T(e βε +1)) 7.2. Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, s i =±1/2 to wartość spinu (dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz średnią energię U i magnetyzację M= i μs i dla układu N niezależnych spinów znajdujących się w polu zewnętrznym H i kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Wsk. Niezależne cząstki Z N =Z 1N, pojedynczy spin ma tylko 2 mikrostany (s i =±1/2), porównaj U wychodzące z definicji i z sumy statystycznej Odp. U=-NμH tgh βμh, M=N tgh βμh 7.3. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako ε i =(n i +1/2)ħω,gdzie n=0,1,2,. Rozważ układ N niezależnych oscylatorów znajdujących się w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz średnią energię U i entropię S układu. N Wsk. Niezależne cząstki Z N =Z 1, U= β ln Z Odp. U=N ħ ω ( e 1) B(, S=Nk β ħ ω βħ ω e βħ ω 1 ln(1 eβ ħ )) ω 7.4. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Zakładając że układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T oblicz entropię S, energię wewnętrzną U i ciśnienie p w układzie. Wsk. Całka Gaussa + exp( x 2 )dx= π objętości można uzyskać S i p (1 zasada termodynamiki). Odp. U= 3 2 Nk B T Różniczkując energię swobodną F po temperaturze i, S=Nk b ( 5 2 +ln V N ln(2 mk B T ) ), p=nkt/v

9 Zajęcia 8 ( ) 8.1. Oblicz wielką sumę statystyczną dla gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Masa każdej cząstki to m. Wsk. Suma po wszystkich stanach w układzie otwartym to suma po N i suma po wszystkich stanach o określonym N (jak w zespole kanonicznym), + x n n=0 n! =e x, dla pojedynczej cząstki klasycznej Z 1 =V (2mk B T ) 3 / 2 Odp. Ż =exp( eβμ V ( 2m β ) 3/2) 8.2. Rozważ gaz doskonały cząstek o masie m w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Oblicz średnia liczbę moli gazu n znajdujących się w objętości układzie, średnią energię wewnętrzną U oraz ciśnienie gazu p. Wsk. Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego wynosi Ż =exp( eβμ V ( 2m β ) 3 /2) (8.1), z własności zespołu wielkiego kanonicznego N = 1 β μ ln Ż Odp. n= 1 N A e βμ V ( 2m β ) 3 /2, U= 3 2 N k B T, p= N k B T V, E = β ln Ż+μ N 8.3. Pokaż że rozkład prawdopodobieństwa ilości cząstek gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V w równowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ jest rozkładem Poissona tzn. P(N )= e N N N N! Wsk. Prawdopodobieństwo N to suma prawdopodobieństw stanów o N cząstkach P(N )= P (Ω)d Ω. Wielka suma statystyczna Ż Δ Γ N =exp( eβμ V ( 2m β ) 3/2) (8.1), suma statystyczna 1 cząstki Z 1 =V (2mk B T ) 3 / 2, z własności zespołu N = 1 β μ ln Ż wynikają zależności między N a Ż i Z 1., z czego 8.4. Rozważ powierzchnię na której adsorbować się mogą cząstki, gdzie energia każdej zaadsorbowanej cząstki to -ε. Powierzchnia jest w równowadze z gazem doskonałym o temperaturze T i potencjale chemicznym μ=k B T ln( β p h 3 (potencjał chemiczny (2 π m k B T ) 2) 3/ gazu doskonałego). Oblicz współczynnik pokrycia powierzchni θ=n/a gdzie N to ilość zaadsorbowanych cząstek a A ilość miejsc gdzie cząsteczki mogą się zaadsorbować. Wyraź wspołczynnik pokrycia przez ciśnienie p gazu doskonałego nad tą powierzchnią. Pamiętaj że cząstki gazu doskonałego są nierozróżnialne. Wsk. Rozważ zaadsorbowane cząstki jako układ w zespole wielkim kanonicznym, ilość stanów dla N cząstek to po prostu ilość możliwych rozłożeń N cząstek na A miejsc (bez powtórzeń), n (x+ y) n = i=0 ( n i) xn 1 y i p Odp. θ= p+ p 0 (T ), gdzie p 0 (T )=e β ϵ (2πm) 3/2 h 3 β 5/ 2 to wielkość zależna od warunków

10 8.5* (dodatkowe). Rozważ gaz N nieoddziaływujących ultrarelatywistycznych (nie-kwantowych) cząstek punktowych, znajdujących się w zamkniętym układzie o objętości V i w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Energia ultrarelatywistycznej cząstki i wyraża się wzorem E i =p i c, gdzie p i to pęd cząstki zaś c to prędkość światła w próżni. Oblicz energię wewnętrzną gazu U oraz jego ciśnienie p. Załóż że cząstki są nierozróżnialne, aby zapobiec paradoksowi Gibbsa. Wsk. Całkowanie po dowolnych współrzędnych kartezjańskich x,y,z można zmienić na całkowanie po współrzędnych biegunowych r,γ,θ : dx dy dz=r 2 dr sinθ dθd ϕ, całka Eulera + 0 x n 1 e x dx=γ(n) = n N (n 1)! Odp. U=3Nk B T, p=nk B T/V

11 Zajęcia 9 ( ) 9.1. Rozważ układ złożony z 3 fermionów z których każdy może przebywać w jednym z 4 stanów kwantowych o energiach ε 1,ε 2,ε 3,ε 4. Układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość fermionów án 1 w stanie o energii ε 1. Wsk. Z zakazu Pauliego wynika że może być max. 1 fermion w każdym stanie łatwo wypisać wzsystkie stany, dowolna średnia áx =Σ Ω P(Ω)x(Ω) Odp. Z =e β(ϵ 2+ϵ 3 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ϵ 3 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ϵ 2 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ ϵ 2 + ϵ 3 ) =e β(ϵ 1+ϵ 2 +ϵ 3 +ϵ 4 ) (e β ϵ 1 +e βϵ 2+e βϵ 3+e β ϵ 4), N 1 =1 e β(ϵ 2+ ϵ 3 + ϵ 4 ) Z 9.2. Rozważ układ złożony z 3 bozonów, z których każdy może przebywać w jednym z 3 stanów kwantowych o energiach 0, ε, 2ε. Układ jest w równowadze terminczej z otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość bozonów án 0 w stanie o energii 0. Wsk. Bozonów może być w danym stanie dowolnie dużo, rozkładamy 3 nierozróżnialne cząstki na 3 stany (z powtórzeniami) Odp. Z =1+e β ϵ +2e 2 βϵ +2e 3 βϵ +2e 4β ϵ +e 5βϵ +e 6βϵ, N 0 = 3+2e βϵ +3 e 3 βϵ +e 3 βϵ 4 βϵ +e Z 9.3. Rozważ pojedynczy stan kwantowy o energii ε. Zakładając równowagę termiczną z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ wyprowadź wzór opisujący średnią liczbę cząstek án (ε) znajdujących się w tym stanie. Rozważ przypadek a) fermionów, b) bozonów. Wsk. n=0 + a n = 1 1 a dla a<1 Odp. a) n (ε)= 1 e β(ε μ) +1, b) n (ε)= 1 e β(ε μ) Rozważ gaz N elektronów swobodnych w objętości V i temperaturze T=0K. Wyznacz potencjał chemiczny μ 0, energię wewnętrzną U 0 i ciśnienie p 0 tego gazu. Funkcja gęstości stanów jest znana i wynosi g(e)= V 2 π ( 2m 3 /2 2 ħ ) E. 2 + Wsk. Warunek stałości ilości cząstek N= n (ε)g (ε)d ε, dla β + rozkład F-D jest 0 rozkładem jednorodnym do progu ε=μ Odp. μ 0 =(3 π 2 ) 2/3 ħ 2 2m ( N V ) 2/ 3, U 0 = 3 5 N μ 0, p 0 = 2 U 0 3 V 9.5. Wyznacz temperaturę T c w której w gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g(e)=(2s+1) V 3/2 2m π 2( ħ ) E 2 dochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina. Wsk. Warunek stałości ilości cząstek + N= n (ε)g (ε)d ε, kondensacja zaczyna zachodzić w 0 punkcie gdzie μ=0, x n dx =Γ(n+1)ζ(n+1) gdzie Γ(n) to funkcja gamma Eulera, zaś ζ(n) to 0 e x 1 funkcja zeta Riemanna Odp. T c = 1 k B ( N V A 1) gdzie A 1=Γ(3/2)ζ (3/2) 1 2 π 2( 2 m 3 /2 ħ ) 2

12 Zajęcia 10 ( ) Wyznacz temperaturę T c w której w 2-wymiarowym gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g(e)=(2s+1) 2 V m dochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina. 2 π ħ Wsk. Warunek stałości ilości cząstek + N= n (ε)g (ε)d ε, kondensacja zaczyna zachodzić w 0 punkcie gdzie μ=0 Odp. Kondensacja w ogóle nie zachodzi (nie istnieje temperatura w której potencjał chemiczny jest zerowy) Rozważ układ składający się z wnętrza zamkniętego pudełka o temperaturze T i objętości V. Oblicz średnią ilość fotonów N(ν) o częstotliwości ν wewnętrz pudełka, oraz średnią gęstość energii u(ν), wiedząc że funkcja gęstości stanów to g(e)= 8 π V c 3 h 3 E2, zaś potencjał chemiczny fotonów jest zawsze równy 0. Wsk. E=hν, N(E)dE=án (E)g(E)dE, N(ν)dν=N(E)dE, u(ν)=u(ν)/v Odp. N (ν)= 8πV c 3 ν 2 e βh ν 1 8πh, u(ν)= ν 3 c 3 e βh ν Rozważ 2-wymiarowy gaz N fermionów zamkniętych w objętości V, o gęstości stanów g(e)= 4 mv = A (const.). Wyznacz potencjał chemiczny (energię fermiego) μ(t) oraz 2 π ħ przybliżone zachowanie energii wewnętrznej U(T) oraz ciepła właściwego c V (T) dla T~0. Wsk. Rozważ warunek stałości ilości cząstek by wyznaczyć μ(n,t), warto wyznaczyć μ 0, + E p T 0 e β( E μ) +1 0 μ p+1 p+1 + π2 6 pμ p 1 (k B T ) 2 Odp. μ(t )=k B T ln (e N /(A k T) B 1), U (T )=U 0( 1+ π 2 3 ( k T B μ 0 )), c V (T )= 2 3 U 0 n π 2 μ k 2 2 B T Oblicz średnią ilość fotonów án w określonej objętości V, znajdującej się w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Wsk. wyznaczyć N(ν) (zad. 10.2), po czym scałkować po częstościach, + x n dx =Γ(n+1)ζ (n+1) gdzie Γ(n) to funkcja gamma Eulera, zaś ζ(n) to funkcja zeta 0 e x 1 Riemanna Odp. N = 4π V c 3 h ζ(3)(k 3 B T ) 3

13 Zajęcia 11 ( ) Rozważ klasyczną cząstkę w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E oraz gęstość stanów g(e). Naturalną jednostką objętości trójwymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka w sześcianie h 3. Wsk. Przestrzeń fazowa 3-wymiarowej cząstki określona jest przez jej położenie i składowe pędu Ω=(x,y,z,p x,p y,p z ). Pamiętaj że pędy mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne bo pęd może być skierowany w dowolną stronę. Odp. Γ= 4 πv 3h 3 (2mE)3/ 2, g(e)= d Γ(E) de = 2πV 2m 3/ 2 E h Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, s i =±1/2 to wartość spinu (dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz entropię S oraz równowagową temperaturę T dla układu N niezależnych spinów o energii całkowitej E znajdujących się w polu zewnętrznym H. Wsk. Wyraź energię układu przez ilość spinów +1/2 (lub -1/2), oblicz obj. przestrzeni fazowej (liczbę stanów) w zależności od N +, temperaturę można policzyć z 1 zasady termodynamiki dla magnetyka du=tds+hdm przy du=0 (bo U=E=const.) Odp. S=k B (N ln N N + ln N + (N N + )ln(n N + )) dla N + = E H μ (N + N /2), T = μ H k B /ln( N N + N + ) Rozważ układ składający się z N magnetycznych spinów całkowitych ( s i {-1,0,+1} ) w zewnętrznym polu magnetycznym H i w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U i średnią magnetyzację M układu. Energia pojedynczego spinu wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu. Ponieważ energia zależy tylko od stanu pojedynczego spinu, tak więc spiny są niezależne od siebie. Magnetyzacja to średni moment magnetyczny całego układu M= áσ i μs i. Wsk. Spiny niezależne więc Z N =Z 1N, pojedynczy spin ma 3 stany (różne wartości s i ), wyrażając energię U jako średnią sumę energii poszczególnych spinów i porównując z definicją M otrzymujemy zależność między U i M sinh (βμ H) sinh(βμ H ) Odp. U= N μ H, M=N μ cosh(βμ H )+1/2 cosh(βμ H )+1/ Rozważ kryształ złożony z N atomów, w którym mogą istnieć defekty Frenkla, czyli przemieszczenia atomów z węzłów sieci krystalicznej do pozycji międzywęzłowych, których w tym krysztale jest R. Energia kryształu jest większa o w na każdy występujący defekt. Kryształ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Zaniedbaj drgania sieci itp., rozpatrujące jedynie defekty jako sposób w jaki układ może zmieniać energię. Oblicz średnią liczbę defektów n występujących w krysztale w podanych warunkach. Wsk. typowe rozwiązanie jest trudne ze względu na sumę statystyczną, w równowagowym n w F zespole kanonicznym minimalizuje się energia swobodna, tzn =0, entropię dla danej liczby n defektów S(n) oblicz traktując n jako dane/stałe, tzn. używając zespołu mikrokanonicznego, mikrostan zależy od tego które n atomów przemieści się do pozycji międzywęzłowych, oraz na jakie pozycje się przemieszczą Odp. n NR e β w/2 dla n<<n,r

14 Zajęcia 12 ( ) Oblicz energię i entropię jednowymiarowego łańcucha Isinga o oddziaływaniach ferromagnetycznych (J ij =J>0 dla sąsiadów) o długości N. Łańcuch jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T=0 i w polu magnetycznym o natężeniu H. Wsk. E= i, j J ij s i s j i s i H gdzie J ij =J dla sąsiadów i J ij =0 dla innych par (efektywnia suma jest tylko po sąsiadujących parach), w T=0 tylko stany o najniższej energii mają niezerowe prawdopodobieństwo Odp. U=-J(N-1)-HN dla H>0, U=-J(N-1)+HN dla H<0, S= Rozważ jednowymiarowy ferromagnetyczny łańcuch Isinga o długości N w równowadze z otoczeniem o temperaturze T bez zewnętrznego pola (H=0). Załóż że łańcuch jest otwarty, tzn. spiny na końcach mają tylko jednego sąsiada. Oblicz średnią energię układu. Wsk. e i x i = i e x i Odp. U=-(N-1)J tgh (J/k B T), e x +e x =2 cosh x, cosh(x)=cosh( x) Rozważ trójwymiarowy układ spinów Isinga w którym każdy spin ma 6 sąsiadów (sieć sześcienna). Stosując przybliżenie średniego pola oblicz temperaturę krytyczną układu przy założeniu że nie ma pola zewnętrznego (H=0). Wsk. przybliżenie średniego pola oznacza że traktujemy każdy spin jak statystycznie taki sam i oddziaływujący nie z konkretnymi sąsiadami tylko statystycznymi sąsiadami (średnim polem) tzn. j s j =z s gdzie z to ilość sąsiadów (liczba koordynacyjna), w ten sposób można rozważyć pojedynczy spin oddziaływujący z średnim polem; równanie x=tgh x ma 1 (dla nachylenia w zerze <1) lub 2 (dla nachylenia >1) stabilne rozwiązania; x tgh ax =a x=0 Odp. T C =6J /k B Oblicz molową energię 2-wymiarowego układu spinów Isinga o oddziaływaniach antyferromagnetycznych (J ij =J<0 dla sąsiadów). Rozważ nieskończony układ z 4 (sieć kwadratowa) i 6 (sieć trójkątna) najbliższymi sąsiadami, będący w równowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T=0 przy braku pola magnetycznego (H=0). Czy entropia w obydwu przypadkach jest taka sama? Wsk. rozważ pojedynczy spin i jego sąsiadów, w sytuacji gdy energia jest minimalna, pamiętaj że każda para powinna być brana pod uwagę tylko raz weź pod uwagę ile jest sąsiadujących par na każdy spin; w sieci trójkątnej rozważ co która para sąsiadów musi mieć takie same stany i ile jest sąsiadujących par na każdy węzeł Odp. u=2jn A dla sieci kwadratowej, u=jn A dla sieci trójkątnej, gdzie N A to liczba Avogadro