Arch. Min. Sci., Vol. 56 (2011), No 3, p

Transkrypt

1 Arch. Min. Sci. Vol. 56 (2011) No 3 p Electronic version (in color) of this paper is available: MAREK CAŁA* MARIAN PALUCH* ANTONI TAJDUŚ* STATIC FORMULATION OF MASS POINTS METHOD FOR CALCULATION OF JOINT DISPLACEMENT AND AXIAL FORCES IN THE MEMBERS OF SPACE TRUSS STATYCZNE UJĘCIE METODY PUNKTÓW MASOWYCH DO OBLICZENIA PRZEMIESZCZEŃ WĘZŁÓW I SIŁ OSIOWYCH W PRĘTACH KRATOWNICY PRZESTRZENNEJ The space trusses are engineering constructions applied in civil engineering and underground construction. In the process of designing of space truss (geometry material member s cross-sections ) the values of joint displacements support reaction forces and axial forces in members must be calculated for assumed load acting on the construction. This paper shows formulation of the static mass point method. The theoretical description was accompanied with working example. The presented method is very comfortable for static space truss calculations both statically determinable and undeterminable. Keywords: truss static space calculations mass point method Kratownice przestrzenne są konstrukcjami inżynierskimi stosowanymi zarówno w budownictwie naziemnym jak i podziemnym. Można tu wymienić kratowe mosty kolejowe maszty słupy energetyczne górnicze klatki wież wyciągowych itp. Przy ich projektowaniu a więc doborze odpowiedniej geometrii konstrukcji materiału przekrojów poprzecznych prętów należy obliczyć wielkości przemieszczeń węzłowych sił reakcji podporowych i sił osiowych w prętach dla zadanego obciążenia działającego na konstrukcję. W pracy omówiono statyczne ujęcie metody punktów masowych. Przedstawiona na rys. 1 kratownica składa się z pięciu węzłów i dziesięciu prętów zaś obciążenie zewnętrzne którym jest siła F 1 i podpory przyłożone są w węzłach kratownicy. Do węzłów A 2 A 3 A 4 A 5 przyłożone są podpory przegubowe. W węźle A 2 jest podpora przegubowa nieprzesuwna łożysko stałe przegubowa nieprzesuwna łożysko stałe w węzłach A 4 i A 5 podpory przegubowo-przesuwne zezwalające na przesuw wzdłuż jednej osi zaś w węźle A 3 podpora przegubowo-przesuwna zezwalająca na przesuw w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta stanowiącego tę podporę. Analizowana kratownica jest układem trzykrotnie statycznie niewyznaczalnym. Podstawowymi niewiadomymi przy wyznaczeniu sił osiowych w prętach kratownicy oraz sił reakcji podporowych (rys. 2b) są przemieszczenia punktów węzłowych kratownicy (rys. 2a). Składowe przemieszczeń kolejnych węzłów i zewnętrznych sił przyłożonych do kratownicy którymi są siła F 1 i reakcje podporowe są zapisane w globalnym układzie odniesienia A 2 xyz (rys. 2). Rozważmy pręt A i A j kratownicy przestrzennej znajdujący się pomiędzy węzłami A i oraz A j (rys. 3). Konfiguracja początkowa pręta A i A j określona jest położeniem węzłów A i A j. Pręt doznaje deformacji na którą składa się translacja (równoległe przesunięcie) rotacja (obrót np. wokół punktu A i ) i właściwe

2 428 odkształcenie (wydłużenie bądź skrócenie). Konfigurację końcową (po deformacji) pręta określają punkty A i A j. Wykorzystując rys. 3 i twierdzenie Pitagorasa możemy dla obu konfiguracji pręta A i A j napisać następujące równanie (7). Po odjęciu stronami równań (7) i podzieleniu tak otrzymanej równości przez 2l ij dochodzimy do równania (8) w którym pomijamy człony nieliniowe. Następnie biorąc pod uwagę prawo Hooke a otrzymujemy (14) wartość siły osiowej N ij w pręcie A i A j. Dla i-tego węzła kratownicy w którym schodzi się k-prętów musi być spełnione równanie równowagi sił (16). Po rozpisaniu równań (16) dla wszystkich węzłów kratownicy i rozwiązaniu ich otrzymujemy wielkości przemieszczeń węzłowych a dalej sił reakcji podporowych i sił osiowych w prętach kratownicy. Następnie przedstawiono przykład liczbowy dla przestrzennej kratownicy obciążonej w węźle A 1 siłą F 1 (rys. 1). Wyznaczono składowe przemieszczeń węzłów siły reakcji podporowych oraz siły osiowe we wszystkich prętach kratownicy. Sformułowano równania równowagi węzłów kratownicy i obliczono elementy diad (15) występujących w równaniach równowagi węzłów. Określono siły zewnętrzne przyłożone do węzłów i wektory przemieszczeń węzłowych. Wyliczone elementy diad wstawiono do równań równowagi węzłów otrzymując układ równań algebraicznych. Równania zapisano w dwóch podgrupach a to: pierwszej zawierającej równania z niewiadomymi przemieszczeniami węzłów i drugiej zawierającej równania w których niewiadomymi są siły reakcji podporowych. Po rozwiązaniu równań i znalezieniu wartości przemieszczeń wstawiono je do drugiej podgrupy uzyskując wartości sił reakcji. Następnie dokonano sprawdzenia poprawności wykonanych obliczeń. Na rys. 4 zaznaczono wszystkie siły zewnętrzne działające na analizowaną kratownicę przestrzenną. Układ tych sił powinien być w równowadze co wiąże się ze spełnieniem równań równowagi układu sił. Ponieważ równania równowagi układu sił są spełnione to układ sił zewnętrznych działający na kratownicę jest w równowadze. Omówiona w pracy metoda służy do wyznaczenia przemieszczeń węzłowych sił osiowych i sił reakcji podporowych w kratownicach przestrzennych niezależnie od stopnia statycznej niewyznaczalności konstrukcji. Można z niej również korzystać w przypadku gdy geodezyjne pomierzone są składowe przemieszczeń węzłów kratownicy a nie znamy odpowiadających im sił osiowych w prętach i sił reakcji podporowych. Zaproponowana do obliczeń metoda jest bardzo prosta i skuteczna. Metoda ta jest bardzo wygodna do obliczeń statycznych kratownic zarówno wyznaczalnych jak i niewyznaczalnych. Słowa kluczowe: kratownice obliczanie przestrzennych kratownic metoda punktów masowych 1. Introduction Let s consider the space truss (Fig. 1) consisted of simple members connected in joints in such a way that member s axis are placed exactly in the joints. We also assume the joints are perfectly smooth. The external load (force F 1) and support are placed exactly in truss joints The space truss presented on fig. 1 consists of five joints and ten trusses. The joints A 2 A 3 A 4 A 5 are pivot bearings. Joint A 2 has fixed pivot bearing joints A 4 i A 5 have fixed-roller bearings allowing movement along one axis. Joint A 3 has a fixed-roller Bering allowing movement in the plane perpendicular to the axis of support member. The analyzed space truss is three-times statically undeterminable system (compare with Paluch 2004) because the condition for the number of members in the statically determinable truss is given as: where: p number of members w number of joints. p = 3w 6 = = 9 The space truss has ten members and the support reaction number is equal eight. For to unknowns we have only six equilibrium equations.

3 429 Fig. 1. The example space truss Than we have: (10 9) + (8 6) = 3 The basic unknowns (compare with Gawędzki 1985) that would be used for estimation of axial forces in truss members and support reaction forces (Fig. 2b) are the displacements of truss joints (Fig. 2a). Fig. 2. a displacements of truss joints; b support reaction forces

4 430 In the global reference system A 2 x y z fig. 2 we may write down the components of joints displacements and external forces acting on the space truss which are force F 1 and support reaction forces. Joint A 1 Joint A 2 Joint A 3 A 1 (0 0 3) [m] u 1 = (u 1 v 1 w 1 ) [m] F 1 = ( ) [kn] A 2 (0 0 0) [m] u 2 = (0 0 0) [m] R 2 = (H 2 V 2 W 2 ) [kn] Joint A 4 Joint A 5 A 4 (4 0 0) [m] A 5 (4 3 0) [m] u 4 = (u 4 0 0) [m] R 4 = (0 V 4 W 4 ) [kn] u 5 = (0 v 5 0) [m] R 5 = (H 5 0 W 5 ) [kn] A 3 (0 3 0) [m] u 3 = (u 3 v 3 0) [m] R 3 = (0 0 W 3 ) [kn] 2. Derivation of equilibrium equations of mass points method Let s consider the member A i A j of space truss placed between joints A i and A j (Fig. 3) Initial configuration (Pietrzak et al. 1986) of member A i A j is given by location of joints A i A j. The member undergoes the deformation consisting from translation (parallel movement) rotation (i.e. turn around point A i ) and strain (elongation of shortage). The final member configuration (after deformation) is given by points A i A j. Fig. 3. The member A i A j of space truss placed between joints A i and A j

5 431 The description for fig. 3: A i A j Joints of member A i A j l ij Length of member before deformation l ij + l ij Length of the member after deformation e x e y e z The base of global reference system e ij Versor of section connecting points A i A j (1) where: (2) Are coordinates of versor e ij in the global reference system A ij = A Cross-section of member A i A j E ij = E Young s moduli of the member A i A j E ij A ij = EA Stiffness of member A i A j (for compression or tension) Stiffness moduli of the member (for compression r tension) N ij The value of axial force in the member A i A j N ij Axial force in the member A i A j (3) u i u j Displacement vectors for joint points A i A j (4) (5) (6)

6 432 With the application of fig. 3 and the Pythagorean theorem the following equations may be presented for both configurations of member A i A j : (7) After diminishing sides of equation (7) and dividing such given equation by 2l ij we have: (8) Due to the fact that we analyse of member for linear elasticity theory and we consider small displacements than in the equation (8) we ignore nonlinear parts. Than the elongation of member A i A j is equal: (9) For linear elasticity theory Hook s low is obligatory: where: σ = Eε (10) (11) Inputing (11) to (10) we have: (12) Comparing the equations (9) and (12) we obtain an equation for the value of axial force N ij in the member A i A j (13)

7 433 Than axial force N ij in the member A i A j may be expressed as; (14) The dyad D ij in the equation (14) is an exterior product of versors e i e j: (15) The equations (14) and (15) ties the force N ij in member A i A j of truss with displacement of joints A i A j. The space truss is in equilibrium because all its joints are in equilibrium. In that case for the i-th joint of the truss where meets k members the equilibrium equation must be fulfilled: (16) In the equation (16) F i is a sum of external forces applied to i-th joint and j is the number of following member starting from that joint. After describing equations (16) for all the joints of space truss and its solution we may obtain joint displacements support reaction forces and axial forces in every member. Thank to the method presented above we may utilise it instead the force method applied for solution of statically undeterminable trusses. The name of the method is taken from Böhm (1992). 3. Example calculation For space truss (Fig. 1) loaded in joint A 1 with force F 1 estimate the components of joint s displacements support reaction forces and axial forces in all truss members. It was assumed for calculation: F 1 = ( ) [kn] Equal stiffness modulus for all the members: Unknown joint s displacements (Fig. 2a) are: u 1 v 1 w 1 u 3 v 3 u 4 v 5 Unknown support reaction forces (Fig. 2b) are: H 2 V 2 W 2 W 3 V 4 W 4 H 5 W 5

8 434 Coordinates of joint points: A 1 (0 0 3) A 2 (0 0 0) A 3 (0 3 0) A 4 (4 0 0) A 5 (4 3 0) The lengths of truss members (Fig. 1): l A1 A 2 = l 12 = 3 [m] l A1 A 3 = l 13 = 3 2 [m] l A1 A 4 = l 14 = 5 [m] l A1 A 5 = l 15 = 34 [m] l A2 A 3 = l 23 = 3 [m] l A2 A 4 = l 24 = 4 [m] l A2 A 5 = l 25 = 5 [m] l A3 A 4 = l 34 = 5 [m] l A3 A 5 = l 35 = 4 [m] l A4 A 5 = l 45 = 3 [m] Coordinates of member s versors in global coordinate system: Member A 1 A 2 e 12 = (0 0 1) Member A 1 A 3 Member A 1 A 4 e 14 = (08; 0; 06) Member A 1 A 5 Member A 2 A 3 e 23 = (0 1 0) Member A 2 A 4 e 24 = (1 0 0) Member A 2 A 5 e 25 = (08; 06; 0) Member A 3 A 4 e 34 = (08; 06; 0) Member A 3 A 5 e 35 = (1 0 0) Member A 4 A 5 e 45 = (0 1 0) Equilibrium equations for truss joints Joint A 1 Joint A 2 Joint A 3 Joint A 4 Joint A 5 Calculation of dyads elements equation 15 for joints in equilibrium equations:

9 435

10 436 External forces applied to joints Joint A 1 F 1 = ( ) [kn] Joint A 2 R 2 = (H 2 V 2 W 2 ) [kn] Joint A 3 R 3 = (0 0 W 3 ) [kn] Joint A 4 R 4 = (0 V 4 W 4 ) [kn] Joint A 5 R 5 = (H 5 0 W 5 ) [kn] Joint displacement vectors Joint A 1 u 1 = (u 1 v 1 w 1 ) [m] Joint A 2 u 2 = (0 0 0) [m] Joint A 3 u 3 = (u 3 v 3 0) [m] Joint A 4 u 4 = (u 4 0 0) [m] Joint A 5 u 5 = (0 v 5 0) [m] Calculated elements of dyad s are implemented to joint equilibrium equations obtaining the following algebraic system of equations a) Joint A 1 b) Joint A 2 c) Joint A 3 d) Joint A 4 e) Joint A 5

11 437 Let s write down this equation into two subgroups: first subgroup covers equations with unknown joint displacements second subgroup covers equations with unknown support reaction forces: The first subgroup of algebraic equations has the following solution: This solution we put to the second subgroup of equations for obtaining the support reaction forces: Fig. 4. shows all the external forces acting on the space truss.

12 438 Verification of correctness of performed calculations. Fig. 4. External forces acting on the space truss The force system should be in equilibrium what follows fulfilment the equations of system equilibrium: Because the system equilibrium equations are fulfilled than the system of external forces acting on the space truss s in equilibrium. Calculation of axal forces in the truss members:

13 Attention! Sign - with the force means that member is under compression. 439

14 440 Fig. 5. shows the axial forces for members of space truss Fig. 5. Axial forces for members of space truss 4. Summary This paper shows a very simple way of solution for statically determinate or statically indeterminate space trusses. The discussed method of mass points is attractive comparing wih finite element method. It may be utilised even in the case when we have measured space joint displacements and we do not know the axial forces produced by these displacements. References Böhm F Fahrzeugdynamik bei Berücksichtigung elastischer und plasticher Deformationen sowie Reibung VDI Berichte Nr 1007 s Jakubowicz A. Orłoś Z Wytrzymałość materiałów. WNT Warszawa (in polish). Gawęcki A Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych. Politechnika Poznańska Poznań (in polish). Paluch M Statyczne ujęcie metody punktów masowych do wyznaczenia sił osiowych w prętach kratownicy płaskiej. Górnictwo i Geoinżynieria AGH z. 3/1 Kraków (in polish). Paluch M Podstawy mechaniki budowli podręcznik akademicki dla studentów wyższych szkół technicznych. Edition. 2. Edited by Katedra Geomechaniki Budownictwa i Geotechniki AGH Kraków (in polish). Pietrzak J. Rakowski G. Wrześniowski K Macierzowa analiza konstrukcji. PWN Warszawa-Poznań (in polish). Received: 24 May 2011