W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE. Warszawa, 11 kwietnia 2013 r.
|
|
|
- Jakub Piotrowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE
2 W. Guzicki: Liczby pierwsze 2 Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na ich czynniki pierwsze uchodzi za najważniejszeiodużympraktycznymznaczeniuwarytmetyce...samapowaga nauki zdaje się wymagać, aby dołożyć wszelkich możliwych starań do rozwiązania tak eleganckiego i tak słynnego zagadnienia. Gauss(1801) Cytowane za: Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, WNT Warszawa 1997, tłum. J. Browkin, str. 31
3 W. Guzicki: Liczby pierwsze 3 LICZBY PIERWSZE 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...,2003,2011,2017,... 3,7,31,127,8191,131071,524287, ,5,17,257,
4 W. Guzicki: Liczby pierwsze 4 LICZBYPIERWSZE c.d
5 W. Guzicki: Liczby pierwsze 5 LICZBY ZŁOŻONE 15=3 5 63= = = =5 401, 2007= , 2009= = =
6 W. Guzicki: Liczby pierwsze 6 LICZBYZŁOŻONE c.d = = = = =
7 W. Guzicki: Liczby pierwsze 7 LICZBYZŁOŻONE c.d = = = = =
8 W. Guzicki: Liczby pierwsze 8 OZNACZENIE: a boznacza,żeliczbaajestdzielnikiemliczbyb. WAŻNA WŁASNOŚĆ LICZB PIERWSZYCH Jeślipjestliczbąpierwsząip ab,top alubp b.
9 W. Guzicki: Liczby pierwsze 9 TWIERDZENIE EUKLIDESA Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód. Przypuśćmy, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych. Niechp 1,p 2,...,p m będąwszystkimiliczbamipierwszymi. n=p 1 p 2... p m +1 Jednazliczbp 1,p 2,...,p m jestdzielnikiemliczbyn: p i n oraz p i p 1 p 2... p m p i n p 1 p 2... p m p i 1, sprzeczność.
10 W. Guzicki: Liczby pierwsze 10 NAJMNIEJSZY DZIELNIK LICZBY ZŁOŻONEJ n=p m pjestnajmniejszym(p 1)dzielnikiemliczbyn p m p 2 p m=n p n
11 W. Guzicki: Liczby pierwsze 11 PRZYKŁAD n=83 n<10 liczbypierwszemniejszeod10: 2,3,5,7. 83= = = =
12 W. Guzicki: Liczby pierwsze 12 π(x)=liczbaliczbpierwszychp<x π(10 n ) 10n 2,3 n m m π(10 30 ) ,3 30 =
13 W. Guzicki: Liczby pierwsze 13 Bardzoszybkikomputer:10 9 dzieleńnasekundę rok= sek. 3lata 10 8 sek. 3lata dzieleń 3miliardylat dzieleń 69 :1026 = , 3 145= miliardów lat.
14 W. Guzicki: Liczby pierwsze 14 SITO ERATOSTENESA
15 W. Guzicki: Liczby pierwsze 15 SITO ERATOSTENESA skreślone wielokrotności 2:
16 W. Guzicki: Liczby pierwsze 16 SITO ERATOSTENESA skreślone wielokrotności 3:
17 W. Guzicki: Liczby pierwsze 17 SITO ERATOSTENESA skreślone wielokrotności 5:
18 W. Guzicki: Liczby pierwsze 18 SITO ERATOSTENESA skreślone wielokrotności 7:
19 W. Guzicki: Liczby pierwsze 19 WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA a 2 b 2 =(a b)(a+b), a 3 b 3 =(a b)(a 2 +ab+b 2 ), a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 ab+b 2 ).
20 W. Guzicki: Liczby pierwsze 20 WAŻNY WZÓR a n b n =(a b)(a n 1 +a n 2 b+a n 3 b ab n 2 +b n 1 ) WNIOSKI a b a n b n a m b m a mn b mn
21 W. Guzicki: Liczby pierwsze 21 INNY WAŻNY WZÓR Jeśli liczba n jest nieparzysta, to: a n +b n =(a+b)(a n 1 a n 2 b+a n 3 b 2... ab n 2 +b n 1 ) WNIOSKI Jeśli liczba n jest nieparzysta, to: a+b a n +b n a m +b m a mn +b mn
22 W. Guzicki: Liczby pierwsze 22 LICZBY PIERWSZE SPECJALNEJ POSTACI Pytanie:Dlajakichainliczbapostacia n 1jestpierwsza? a 1 a n 1,więca n 1jestliczbązłożonądlaa>2. Pytanie:Dlajakichnliczbapostaci2 n 1jestpierwsza? Jeślin=k l,toa k 1 a kl 1. Zatem,jeślinjestliczbązłożoną,to2 n 1teżjestliczbązłożoną.
23 W. Guzicki: Liczby pierwsze 23 LICZBY MERSENNE A Pytanie:Dlajakichliczbpierwszychpliczba2 p 1jestpierwsza? Liczby pierwsze: 2 2 1=3, 2 3 1=7, 2 5 1=31, 2 7 1=127, =8191, =131071, =
24 W. Guzicki: Liczby pierwsze 24 Liczby złożone: =2047=23 89, = = , = = =
25 W. Guzicki: Liczby pierwsze 25 LICZBY MERSENNE A Definicja.LiczbęM n =2 n 1nazywamyn-tąliczbąMersenne a.jeśliliczbam n jestpierwsza,tonazywamyjąliczbą pierwszą Mersenne a. Marin Mersenne( ), zakonnik, filozof i matematyk żyjącywparyżu,stwierdziłbezdowodu,żeliczbym p dla p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 sąpierwszeorazżesątojedyneliczbypierwszepostacim p dla p 257.Wciągunastępnych300latstwierdzono,żeMersenne popełnił5błędów:liczbym 67 im 257 sązłożoneorazliczbym 61, M 89 im 107 sąpierwsze.
26 W. Guzicki: Liczby pierwsze 26 Znaneliczbypierwszep,dlaktórychliczbaM p jestpierwsza: kwietnia2013r.godz.19 25
27 W. Guzicki: Liczby pierwsze 27 NAJWIĘKSZA ZNANA LICZBA PIERWSZA LiczbaM = jestnajwiększąznaną liczbą pierwszą. Ma ona cyfr. Została znaleziona 25 stycznia 2013 r. przez Curtisa Coopera University of Central Missouri w ramach projektu GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)
28 W. Guzicki: Liczby pierwsze 28 DEFINICJA amodm=resztazdzieleniaaprzezm. PRZYKŁADY: 17mod3=2, 29mod6=5, 44mod10=4.
29 W. Guzicki: Liczby pierwsze 29 JAK SPRAWDZAMY, ŻE LICZBA MERSENNE A JEST PIERWSZA? TEST LUCASA-LEHMERA Twierdzenie. Niech p będzie liczbą pierwszą. Definiujemy następujący ciąg liczb: r 1 =4, r k =(r 2 k 1 2)modM p dlak 2. WówczasliczbaMersenne am p jestpierwszawtedyitylkowtedy, gdy r p 1 =0.
30 W. Guzicki: Liczby pierwsze 30 PRZYKŁAD. Niechp=5.WtedyM 5 =31.Obliczamykolejno: r 1 =4, r 2 =(4 2 2)mod31=14, r 3 =(14 2 2)mod31=190mod31=8, r 4 =(8 2 2)mod31=62mod31=0.
31 W. Guzicki: Liczby pierwsze 31 INNY PRZYKŁAD. Niechp=11.WtedyM 5 =2047.Obliczamykolejno: r 1 =4, r 2 =(4 2 2)mod2047=14, r 3 =(14 2 2)mod2047=194, r 4 =( )mod2047=788, r 5 =( )mod2047=701, r 6 =( )mod2047=119, r 7 =( )mod2047=1877,
32 W. Guzicki: Liczby pierwsze 32 INNYPRZYKŁAD c.d. Przypominamyp=11.WtedyM 5 =2047.Obliczamydalej: r 8 =( )mod2047=240, r 9 =( )mod2047=282, r 10 =( )mod2047=1736. WNIOSEK r 10 0,więcliczbaM 11 =2047jestzłożona.
33 W. Guzicki: Liczby pierwsze 33 Pytanie:Dlajakichliczbnliczba2 n +1jestpierwsza? Niechn=kl,gdziel>1jestliczbąnieparzystą. Wtedy: 2 k +1 (2 k ) l +1, czyli 2 k +1 2 n +1.
34 W. Guzicki: Liczby pierwsze 34 LICZBY FERMATA Jeśliliczbapostaci2 n +1jestpierwsza,to wykładnik n jest potęgą liczby 2. LiczbyF n =2 2n +1nazywamyliczbamiFermata.
35 W. Guzicki: Liczby pierwsze 35 LICZBYFERMATA c.d. Liczby: F 0 = =2 1 +1=3, F 1 = =2 2 +1=5, F 2 = =2 4 +1=17, F 3 = =2 8 +1=257, F 4 = = =65537 są pierwsze
36 W. Guzicki: Liczby pierwsze 36 LICZBYFERMATA c.d. F 5 = = = = , F 6 = = = = = F 7 = = = =
37 W. Guzicki: Liczby pierwsze 37 DZIELNIKI LICZB FERMATA Jeślid F n,toistniejeliczbanaturalnaktaka,że d=k 2 n Dlan=5mamy: =128+1=129, = =257, = =385, = =513, = =641.
38 W. Guzicki: Liczby pierwsze 38 MAŁE TWIERDZENIE FERMATA Jeślipjestliczbąpierwsząip a,toa p 1 modp=1. Jeślipjestliczbąpierwsząoraz0<a<p,to: a p 1 modp=1. WNIOSEK Jesli0<a<poraza p 1 modp 1,topjestliczbązłożoną.
39 W. Guzicki: Liczby pierwsze 39 PRZYKŁAD 2 6 1= = =2 2 (2 60 1) mod63=4 Liczba 63 jest złożona
40 W. Guzicki: Liczby pierwsze 40 p=2 67 1= p 1= p 1 modp= jestliczbązłożoną = = = F.N.Cole(1903)
41 W. Guzicki: Liczby pierwsze 41 Jakobliczyća n modmdladużychn? a 1 =a a 2 =a 1 a a 3 =a 2 a a n 1 =a n 2 a a n =a n 1 a Wtensposóbwykonamyn 1mnożeń.
42 W. Guzicki: Liczby pierwsze 42 Jakobliczyća 1239 modm? 1239= =
43 W. Guzicki: Liczby pierwsze 43 a 1 = a p:=a 1 p=a 1 0 a 2 = a 1 a1 p:=p a 2 p=a 3 2 a 4 = a 2 a2 p:=p a 4 p=a 7 2 a 8 = a 4 a4 p=a 7 1 a 16 = a 8 a8 p:=p a 16 p=a 23 2 a 32 = a 16 a16 p=a 23 1 a 64 = a 32 a32 p:=p a 64 p=a 87 2 a 128 = a 64 a64 p:=p a 128 p=a a 256 = a 128 a128 p=a a 512 = a 256 a256 p=a a 1024 = a 512 a512 p:=p a 1024 p=a
44 W. Guzicki: Liczby pierwsze 44 DEFINICJA Jeśli 0<a<p oraz a p 1 modp 1, to liczbę a nazywamy świadkiem złożoności liczby p. liczba 2 jest świadkiem złożoności liczby 63. liczba3jestświadkiemzłożonościliczby
45 W. Guzicki: Liczby pierwsze 45 KILKA PRZYKŁADÓW mod341= mod341= mod341= mod341= mod341= =11 31
46 W. Guzicki: Liczby pierwsze 46 KILKA PRZYKŁADÓW mod561= mod561= mod561= mod561= mod561= =
47 W. Guzicki: Liczby pierwsze 47 TWIERDZENIE Jeśli0<a<porazNWD(a,p)>1,toa p 1 modp mod561= mod561= mod561= mod561= mod561= mod561= mod561=34
48 W. Guzicki: Liczby pierwsze 48 Liczba 561 nie ma innych świadków złożoności. JeśliNWD(a,561)=1,to3 a,11 aoraz17 a. 3 a a a = = =16 35 a 2 1 a a 10 1 a a 16 1 a a a a a 560 1
49 W. Guzicki: Liczby pierwsze 49 TWIERDZENIE Załóżmy,żepjestliczbąpierwsząoraza 2 modp=1.wtedy amodp=1 lub amodp=p 1
50 W. Guzicki: Liczby pierwsze 50 ZASTOSOWANIE mod561= =(2 280 ) mod561= =(2 140 ) mod561=67 Wniosek: 561 jest liczbą złożoną.
51 W. Guzicki: Liczby pierwsze = a a 35 a 70 a 140 a 280 a
52 W. Guzicki: Liczby pierwsze =13 37 a a 15 a 30 a 60 a 120 a 240 a
53 W. Guzicki: Liczby pierwsze 53 TEST MILLERA p 1=2 s t, 2 t r 0 =a t modp r 1 =a 2t modp r 2 =a 4t modp r s 1 =a 2s 1t modp r s =a 2st modp=a p 1 modp
54 W. Guzicki: Liczby pierwsze 54 DEFINICJA Liczba a jest świadkiem złożoności liczby p, jeśli: r s =a p 1 modp 1 lubistniejeindeksitaki,że0 i<soraz r i+1 =1, r i 1 i r i p 1 TWIERDZENIE Liczba złożona ma co najmniej 75% świadków złożoności.
55 W. Guzicki: Liczby pierwsze 55 TWIERDZENIE Jeśliliczbapjestpierwszaoraz0<a<p,to (X a) p modp=x p a. WNIOSEK Jeśliliczbapjestpierwsza,0<a<porazr<p,to (X a) p mod(p,x r 1)=X pmodr a.
56 W. Guzicki: Liczby pierwsze 56 TWIERDZENIE Manindra AGRAWAL, Neeraj KAYAL, Nitin SAXENA sierpień 2002 r. Jeśliliczbapjestzłożonaorazp m n dlam,n 2,toistnieją: nieduża liczba r oraz nieduża liczba a takie, że (X a) p mod(p,x r 1) X pmodr a.
57 W. Guzicki: Liczby pierwsze 57 KONIEC
LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.
Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb
Liczby pierwsze wielomianowo - ekstremalnie trudne?
Liczby pierwsze wielomianowo - ekstremalnie trudne? Wojciech Czerwiński Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski 28 sierpnia 2011 Wojciech Czerwiński PRIMES w P 1/12 Problem Wejście:
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji
Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, 19.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata
Liczby dwumianowe N = a n ± b n Tak zwane liczby dwumianowe N = a n ± b n łatwo poddają się faktoryzacji. Wynika to z wzorów (polecam sprawdzenie!) a n b n = (a b) ( a n 1 + a n 2 b +... + ab n 2 + b n
Wybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Elementy teorii liczb. Matematyka dyskretna
Elementy teorii liczb Matematyka dyskretna Teoria liczb dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb (początkowo tylko naturalnych). Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Liczba pierwsza to taka liczba n, która posiada dokładnie dwa dzielniki: 1 i
WSTĘP Definicja Liczba pierwsza to taka liczba n, która posiada dokładnie dwa dzielniki: 1 i n. Uwaga: W myśl powyższej definicji 1 NIE jest liczbą pierwszą ponieważ posiada jeden dzielnik naturalny (a
Badanie pierwszości liczby, klasa NP i test Rabina
Badanie pierwszości liczby, klasa NP i test Rabina Mateusz Chynowski 11 stycznia 2009 Liczby pierwsze są bardzo istotne zarówno w matematyce, jak i informatyce. W tej drugiej nauce istnieje dość poważny
Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 1.0
Liczby pierwsze Jacek Nowicki Wersja 1.0 Wprowadzenie do liczb pierwszych www.liczbypierwsze.com Wiele liczb naturalnych daje się rozłożyć na czynniki mniejsze np. 10=5*2 lub 111=3*37. Jednak istnieją
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne wymyślili ludzie Leopold Kronecker (1823-1891) Liczby
Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI. Temat: Podzielność liczb całkowitych Cel: Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność
SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI Temat: Podzielność liczb całkowitych Cel: Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność Czas: 1 godzina dydaktyczna Cele zajęć: Uczeń po zajęciach: przedstawia
Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 0.92
Jacek Nowicki Wersja 0.92 Wprowadzenie do liczb pierwszych Wiele liczb naturalnych daje się rozłożyć na czynniki mniejsze np. 10=5*2 lub 111=3*37. Jednak istnieją liczby, które nie mogą być rozłożone w
Bezpieczeństwo systemów komputerowych
Bezpieczeństwo systemów komputerowych Szyfry asymetryczne Aleksy Schubert (Marcin Peczarski) Instytut Informatyki Uniwersytetu Warszawskiego 10 listopada 2015 Na podstawie wykładu Anny Kosieradzkiej z
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb
Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice? Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice?
Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice? Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice? Wstęp Liczby pierwsze były tematem rozważań uczonych już od wieków. Pierwsze wzmianki na temat liczb pierwszych
Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych
Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie
Podzielność liczb. Podzielność liczb
Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.
Jeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001
Algorytm Euklidesa Danymi są dwie nieujemne liczby całkowite m i n. Liczba k jest największym wspólnym dzielnikiem m i n, jeśli dzieli m oraz n i jest największą liczbą o tej własności - oznaczamy ją przez
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.
Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna
Jednoznaczność dzielenia. Jednoznaczność dzielenia
Jednoznaczność dzielenia MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k k iloraz
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Pozostała algebra w pigułce
Algebra Pozostała algebra w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1
Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS
Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby
Daniela Spurtacz, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019
Poniższy zbiór zadań został wykonany w ramach projektu Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych - najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 08/09. Tresci rozwiązanych
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Spis treści. Przedmowa... 9
Spis treści Przedmowa... 9 1. Algorytmy podstawowe... 13 1.1. Uwagi wstępne... 13 1.2. Dzielenie liczb całkowitych... 13 1.3. Algorytm Euklidesa... 20 1.4. Najmniejsza wspólna wielokrotność... 23 1.5.
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Matematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań
Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
w. SIERPIŃSKI (Warszawa)
ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MA.TEMATYCZNE IX (1966) w. SIERPIŃSKI (Warszawa) O podzielności liczb Odczyt popularny, wygłoszony w Warszawie 11 listopada 1964 r. Z
Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich
Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Odwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata
Przypomnijmy... a p, a p 1 1 (mod p). Zachodzi naturalne pytanie...... czy z faktu a m 1 1 (mod m) wynika, że m = p? Niekoniecznie. Wprawdzie, jeszcze przed 25 wiekami chińscy matematycy uważali, że podzielność
a)wykaż,żejeżeli2 n 1jestliczbapierwszą,to2 n 1 (2 n 1)jestliczbądoskonałą.
Teoria liczb z elementami kryptografii Lista 1-Rozmaitości Liczby doskonałe, zaprzyjaźnione, trójkątne itp. były przedmiotem zainteresowania matematyków począwszy od Pitagorasa(VI-V w. p.n.e) przynajmniej
Podstawy programowania. Podstawy C# Przykłady algorytmów
Podstawy programowania Podstawy C# Przykłady algorytmów Proces tworzenia programu Sformułowanie problemu funkcje programu zakres i postać danych postać i dokładność wyników Wybór / opracowanie metody rozwiązania
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Podzielność Dowolną liczbę wymierną a można wydzielić przez dowolną niezerową liczbę wymierną b i wynik tego działania jest liczbą
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/15 Podzielność Niech liczba całkowita p>0. Dla każdej liczby całkowitej a mówimy, że a jest podzielne przez p (p jest dzielnikiem
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 5 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i złożone Metody
Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik dla danych dwóch liczb całkowitych to największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich bez reszty.
Algorytm Euklidesa Algorytm ten, jak wskazuje jego nazwa, został zaprezentowany przez greckiego matematyka - Euklidesa, żyjącego w w latach około 300r. p.n.e., w jego podstawowym dziele pt. Elementy. Algorytm
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Sumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6
Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6 Zadanie domowe Wizualizacje do oddania. Przygotuj dwie pary kart Matematyczne skojarzenia,
Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 6a
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 6a Spis treści 10 Trochę matematyki (c.d.) 3 10.19 Reszty kwadratowe w Z p.............. 3 10.20
Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka
Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Podzielność Niech liczba całkowita p>0. Dla każdej liczby całkowitej a mówimy, że a jest podzielna przez p (p jest dzielnikiem
Kongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Podstawowe elementy programu. patrz: następne 2 slajdy. Podstawowe elementy programu. Komendy proste:
Podstawowe elementy programu Zestaw komend stojący do dyspozycji programisty zależy od języka programowania; jest ograniczony; jestnatylebogaty,żedajesięznichzłożyć(jakzklocków)sensowne programy Umiejętność
w Kielcach, 2010 w Kielcach, 2010
Zeszyty Studenckiego Ruchu Materiały 19 Sesji Studenckich Naukowego Uniwersytetu Kół Naukowych Uniwersytetu Humanistyczno- Przyrodniczego Humanistyczno- Przyrodniczego Jana Kochanowskiego Jana Kochanowskiego
Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Wrocław, Wstęp do informatyki i programowania: liczby pierwsze. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej.
Wrocław, 28.11.2017 Wstęp do informatyki i programowania: liczby pierwsze Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Andrzej Giniewicz Dzisiaj na zajęciach... Zajmiemy się liczbami pierwszymi... liczby
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/15 Liczby pierwsze Ze wstępu do ksiązki E. Gracjana: liczby pierwsze to niesforna zgraja. Pojawiają się tam gdzie chcą, bez ostrzeżenia,
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja
Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb
Rozdział 7 Elementy teorii liczb 7.1 Podstawowe własności liczb Zakres teorii liczb to zbiór liczb całkowitych. Tak więc nie będziemy wychodzić poza ten zbiór, a jeśli się pojawi pojęcie,,liczba, oznaczać
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.
Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.
Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11
Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
I) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Algorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie
Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14
Wzory skróconego mnożenia, procenty, postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Szacowanie wyrażeń. W dniu 23/24 października
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5 Zadanie domowe Kolokwium: przeczytaj z [U] o błędach w stosowaniu zasady poglądowości w nauczaniu matematyki
Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =