4. Znane metody optymalizacji sieci transportowej wg Steenbrinka (1978) 4. ZNANE METODYY OPTYMALIZACJI SIECI TRANSPORTOWEJ WG STEENBRINKA (1978)

Transkrypt

1 4. ZNANE METODYY OPTYMALIZACJI SIECI TRANSPORTOWEJ WG STEENBRINKA (97) W rozdzae ty oówy najważnejsze etody rozwązana probe optyazacj sec transportowej, jake znaeźć ożna w pśennctwe na teat optyazacj sec. Pewne nowe jęce probe zawerają p Ogóny przegąd ożwych etod rozwązana zagadnena znaeźć ożna na przykład Manhea n. (96) oraz Bergendaha (969). Bardzo szeroke pśennctwo z tego zakres zawerają prace Bhatta (96) oraz Jansena (97). 4.. Postawene probe Oówy najperw zagadnene optyazacj powtarzając w skróce część rozdz. 3. Ogranczyy sę tyko do jednej acerzy podróży, czy oówy sytację statyczną z jedny środke transport, równocześne poając fakt, że rch pojazdów ne jest jednakowy we wszystkch godznach dna b wszystkch dnach w rok. W rozdz. 2 wprowadzśy pojęca syste noratywnego opsowego. Obecne zajey sę say systea. Rch pojazdów w nektórych przypadkach będze, a w nnych ne będze zenną decyzyjną. Najstotnejszą zenną decyzyjną (zob. p. 3.2.) będze seć transportowa. Rozary tej sec ożwe najwększe znay za dane wagę naszą skpy na wyborze rozarów połączeń sec. Jako jeden z ożwych włączyy równeż rozar zerowy. Inny słowy, daną strktrę sec wyberzey ze zbor wszystkch ożwych strktr. Do okreśena fnkcj ce żyjey pojęca nadwyżk społecznej S (p ) tj. różncy poędzy korzyśca społeczny U a koszta społeczny. Da łatwena zakładay, że na koszty społeczne składają sę koszty zwązane z secą transportową: I, powedzy nakłady nwestycyjne, oraz koszty T ponoszone przez podróżnych. Uproszczene to łatw na wyjaśnene stosowanych etod rozwązana. Ne jest to żadne zawężene zagadnena, gdyż etody te ożna prawe zawsze stosować da bardzej złożonych bardzej reastycznych fnkcj kosztów. Często będzey zakładać, że korzyśc U są stałe, co oznacza że przyjjey acerz podróży za stała. Wtedy aksyazacja nadwyżk społecznej zena sę w nazację ponoszonych kosztów społecznych. Ogranczena sec z p..2.3 przyjjey za warnk ogranczające (prawa zachowana, warnk nejenośc addytywnośc). Ponadto przyjjey równeż zaeżnośc behaworane ode popyt z p wyprowadzone da syste opsowego. W przypadk syste noratywnego ogranczene to ne występje. Ponadto do ogranczeń zaczay acerz podróży w przypadk nazacj kosztów. Wreszce, ożey dołączyć pewne ogranczena dodatkowe da potoków w sec b jej rozarów, zgodne z ty co powedześy w p Będzey e do czynena z szerege następjących zagadneń optyazacyjnych: a) aksyazacja nadwyżk, syste opsowy ax S C ( X, C) przy warnkach AX =, X ( C) = ( C) >, =, < G X, H X, (4..) b) aksyazacja nadwyżk, syste noratywny Ost4-49

2 ax S C, X ( X, C) przy warnkach c) nazacja kosztów, syste opsowy AX =, X ( C) >, =, < H X, (4..2) n C ( X, C) przy warnkach AX =, X G( X, C) = ( C) >, =, < H X, (4..3) d) nazacja kosztów, syste noratywny ( X, C) n przy warnkach AX =, X C, X H X, ( C) >, =, < (4..4) gdze: S - nadwyżka całkowta (tota srps), - koszty całkowte, X - potok (rch pojazdów; ab x b pab x ), C - rozary: przepstowość, czba pasów rch, szerokość połączeń sec c, A - acerz zawerająca ogranczena sec w przypadk aksyazacj nadwyżk (rys..2.2) oraz zawerająca dodatkowo daną acerz podróży w przypadk nazacj kosztów, G (X, C) - fnkcje opsjące zachowane sę podróżnych (wybór trasy w przypadk nazacj kosztów), H (X, C) - fnkcje opsjące pozostałe ogranczena. Całkowte koszty społeczne ożey zapsać jako { ( c ) + xt ( x c )} = I + T =, (4..5) L Założyy ttaj, że nwestycje są fnkcja rozarów sec. Oczywśce nwestycje są fnkcją dc zan rozarów (które są fnkcją zanwestowanego kaptał): =. dt Czy = ( c c ),gdze c = rozary obecne. Da łatwena poay wyraz c = c. pszey ( ) Do chw obecnej nazacja kosztów jest stosowana szerzej (łatwej jest take zadane zapsać rozwązać) nż aksyazacja nadwyżk. Datego często będzey oawać jedyne zadane nazacj kosztów, przyjjąc acerz podróży za daną Prograowane ateatyczne Zadane optyazacj sec transportowej jest zadane optyazacyjny z warnka ogranczający, czy do jego rozwązana naeży stosować technk właścwe te typow zadań. Ze wzgęd na dżą czbę zennych warnków ogranczających ne ożna zastosować podejśca kasycznego opartego na nożnkach Lagrange'a. Ost4-5

3 Wszystke ogranczena sec są fnkcja nowy. Ponadto szereg fnkcj ze zbor n ax H będze prawdopodobne równeż nowych (np. c c c, ogranczena nakładów nwestycyjnych L gdze jest nową fnkcją c td.). Czy w przypadk noratywny bardzo często wszystke warnk ogranczające są nowe. Prawdopodobeństwo, że fnkcja ce jest równeż nowa, ne jest dże. Jednakże fnkcję ce ożna aproksyować fnkcją odcnka nową. Wtedy każda zenna decyzyjna fnkcj nenowej rozdzeona jest na szereg zennych spełnających dodatkowe warnk, które w se dają zenną wyjścową. Wyjścowa, nenowa fnkcja ce zastępowana jest przez nową kobnację nowych zennych decyzyjnych oraz pewną stałą. Istracją takej sytacj jest rys. 4.2., gdze nenowa fnkcja ce jednej zennej decyzyjnej zastąpona została nową fnkcją ce trzech zennych decyzyjnych x = = b + I, 3 x = 3 = a x x x x, x2 x2 x; Da rosnących fnkcj wypkłych rozwązane zadana prograowana nowego daje x k = O, jeże ne wszystke x t da < k znajdją sę na górnej grancy tych fnkcj. Jeś wyjścowa fnkcja ce ne jest wypkłą fnkcją rosnącą, to trzeba przeprowadzć dodatkową anazę. Jeś warnk ogranczające są nowe, a fnkcja ce jest odcnka nowa, to zadane ożna sforłować jako zadane prograowana nowego. Może ono zostać rozwązane za poocą etody Speks (zob. na przykład Hadey, 962). Przykładowo Carter Stowers (963) zapsa rozwąza w ten sposób zadane nazacj kosztów. 3 x x 2 x Rys nkcja odcnka nowa Ost4-5

4 Dżą trdność sprawa ogrona czba zennych warnków ogranczających. Paętay z p..2.3, że w SZTH tyko część zadana AX = wyagała wprowadzena 25 n ogranczeń 75 n zennych; poneważ wszystke te zenne szą być nejene, eśy 75 n dodatkowych ogranczeń. Mędzy nny Goory H (964) oraz Ton (966) opracowa etody redkcj rozarów takch zadań prograowana nowego. Wykorzystjąc specyfczną strktrę probe stosje sę etodę jego dekopozycj na szereg podprobeów (zob. równeż p ). Ponadto czasa probe b podprobey ożna przetransponować w tak sposób, aby były łatwejsze do rozwązana, na przykład za poocą etody najkrótszej śceżk (zob. Ton, 966 oraz Godan Nehaser, 967). Zdekoponowane zadana prograowana nowego są, jeś opsją rzeczywstą seć, nada bardzo dże. W daszy cąg wychodząc z założena o nowej postac warnków ogranczających ożey chyć postat nowośc fnkcj ce. Otrzyay wtedy nną grpę standardowych zadań optyazacyjnych, na przykład prograowane kwadratowe (zob. Hadey, 964). Jednakże równeż t rozary zadań są bardzo dże. Oparce sę na ode opsowy, a ne noratywny wydaje sę bardzej ceowe, gdyż ode tak bardzej reastyczne odzwerceda anazowaną sytację. Przy ty jednak zaps ogranczeń typ behaworanego G (X, C) = jest dość skopkowany. Bergendah (969) próbował rozwązać ten probe za poocą prograowana nowego, przyjjąc stan równowag jako rozwązane zadana optyazacyjnego (wedłg sposob sgerowanego w p. 2..3), gdze warnk typ behaworanego wyrażał jako fnkcję ce odcnka nową. Tak postępjąc napotkał on na nny poważny probe, jak były dwe fnkcje ce (jedna opsjąca zachowane sę podróżnych, a drga właścwa zadan aksyazacj nadwyżk społecznej). Zadana tego, tzw. bkryterowego, ne ożna jednak rozwązać za poocą prograowana nowego (zob. p. 6..2), w który badana Bergendaha opsane są bardzej szczegółowo). We wszystkch etodach, o których wsponeśy, wykorzystywane były zenne cągłe. W wększośc przypadków rozary połączena ne będą zenną cągłą tyko dyskretną, na przykład, 2, 4 b 6 pasów rch b dane połączene ne zawsze będze występowało. Otrzyjey zate zadane prograowana w czbach całkowtych, jeś na wszystke zenne nałożyy warnek całkowtoczbowośc, b zadane eszane prograowana całkowtoczbowego, gdy przyjey, że nektóre zenne ogą być zenny cągły (powedzy X cągłe C całkowte). Istneją technk rozwązywana takch zadań, szczegóne jeś fnkcja ce warnk ogranczające ają postać nową (zob. też H, 969). Na przykład Roberts nk (964), Hershdorfer (965), Scott (967) Ventker (97) zapsa rozwąza take zadane nazacj kosztów w systee noratywny, przy czy w ten sposób ożna rozwązywać zadana jedyne da ałych sec transportowych. Zostało jż powedzane, że w systee opsowy warnk ogranczające ają dość skopkowaną postać. Z drgej strony, na nektóre zenne decyzyjne oprócz warnk całkowtoczbowośc oże być nałożony dodatkowy warnek ożwośc przyjowana tyko okreśonych wartośc (np., 2, 4 b 6 pasów rch; stnene b nestnene połączena). Czy w takej sytacj ay do czynena z zadane kobnatoryczny, gdze ożna (b nawet trzeba, jeś warnk ogranczające są bardzo złożone) obczać wartość fnkcj ce w każdej ożwej kobnacj zennych decyzyjnych, a następne poszkwać rozwązana optyanego wśród tych kobnacj. Jeś ay n połączeń w sec, a każde połączene oże eć ożwych rozarów, wtedy. czba wszystkch kobnacj wynos n. Oznacza to, że da ałej sec transportowej o 3 połączenach oraz dwóch ożwoścach, jeś połączene stneje b ne, ay 2 3 b węcej nż n kobnacj. Ta ogrona czba kobnacj stanow zasadnczy kłopot przy rozwązywan Ost4-52

5 probeów tego typ. Aby go pokonać naeży stosować bardzo wydajne agoryty. Jedny z takch agorytów - jednakże ne zawsze wystarczająco wydajny, aby dawał dobre reztaty w przypadk dżych sec transportowych - jest etoda podzał ogranczeń wchodząca w zakres prograowana w czbach całkowtych, w której warnk ogranczające ogą być tak skopkowane, jak np. zagadnene wyznaczana rch b cały ode transportowy. Cały następny pnkt pośwęcy na oówene ożwośc wykorzystana etody podzał ogranczeń do optyazacj sec transportowej. Jeś chodz o etody prograowana ateatycznego, to ne wydaje sę na, aby ożwe było rozwązane zadana optyazacj sec transportowej stosjąc bezpośredno jedną z tych etod. Być oże kobnacja jednej b kk technk prograowana ateatycznego z agregacją, dekopozycja (p. 4.5) oraz/b z podejśce herystyczny (p. 4.4) dałaby epsze reztaty Podzał ogranczena Metoda podzał ogranczeń Metoda podzał ogranczeń jest technką, która słży do badana wszystkch ożwych rozwązań kobnatorycznego zadana optyazacyjnego. Zaast obczana wartośc fnkcj ce da każdej ożwej kobnacj, bada sę jedyne ały ch zbór odrzcając równocześne nne ożwośc na podstawe pewnych zasad ogranczana. We atorów daje dobry ops dzałana etody podzał ogranczeń, np. Land Dog (96), Lawer Wood (966), Mtten (97); o stosowan tej technk w optyazacj sec transportowej pszą ędzy nny Rdey (965, 96), Perret (967), Brea Centra d'etdes por es Eqpeents d'otre-mer (967), Ochoa-Rosso Sva (96), Chan (969), Scott (969a), Pothorst (97), Brynooghe (972) oraz Boyce arh (972). W ce wyjaśnena etody podzał ogranczeń rozpatrzyy zadane nazacj ( C) ze wzgęd na C, gdze C naeży do zbor wszystkch ożwych rozwązań, dopszczanych nedopszczanych. Postępowane rozpoczney od podzał zbor na n podzborów, takch że... = 2 n Da każdego podzbor obczay done ogranczene, to jest wartość, taką że ( ) C C ; (4.3.) Następne obczay ogranczene górne rozwązana optyanego. jest wartoścą rozwązana dopszczanego. Teraz rozpoczyna sę proces ogranczana, poegający na porównywan da każdego podzbor jeś > podzbór ne oże zawerać C (4.3.2) jeś podzbór oże zawerać C Podzborów, które ne ogą zawerać rozwązana optyanego ne bada sę. Nazywa sę je podzbora neaktywny. Pozostałe podzbory, zwane aktywny, są następne szczegółowej anazowane. Jeś ne nteresją nas wszystke ożwe rozwązana optyane (o tej saej wartośc fnkcj ce), ae tyko jedno rozwązane, ożey równeż odrzcać podzbory, da których =,rozważając jedyne podzbory, da których <. Kontynjey badane, okreśając nowe podzbory, które tworzyy dzeąc stnejące podzbory aktywne na 2... =.Następne znow obczay n Ost4-53

6 done ogranczena proces koejnego rozgranczana kontynjey daej. Obczena przeryway przyjjąc, że znaeźśy rozwązane optyane, jeś da wszystkch (4.3.3) C* jest rozwązane optyany a (C * ) =. Wydajność etody w bardzo dży stopn zaeży od sposob czena donych górnych granc. Oczywśce naeży starać sę przyjąć najnejszą z ożwych wekośc da, a najwększą z ożwych da. Często osąga sę to rozwązjąc proste zadane nazacyjne zwązane z zadane wyjścowy. Inny ważny czynnke wpływający na wydajność etody jest żyta technka podzał. Istneją dwa zasadncze sposoby podzał: a) dzeene zbor z naną wartoścą donego ogranczena; b) dzeene ostatnego zbor, do którego dotarśy w anaze. Stosowane perwszej etody podzał pochłana nej czas obczeń, wyaga zaś zaangażowana do nch węcej ejsc paęc EMC, poneważ szą być zapaętywane wszystke podzbory aktywne oraz ch done ogranczena. Natoast drga etoda jest nej wydajna, jeś chodz o czas obczeń, ae z koe bardzej oszczędna z pnkt wdzena paęc EMC. W drgej etodze strategę poszkwana staa sę z góry: dzey zbór tak dłgo, jak to ożwe, zgodne z przyjętą strategą, aż otrzyane podzbory ne będą aktywne, następne powracay do perwszego podzbor ogącego zawerać C* (węzeł w noenkatrze etody) proces dzeena rozpoczynay znow od tego węzła. Ta etoda podzał zwana jest równeż etodą podzał powrotów (branch and backtrack), (zob. Goob Baert, 965). Różncę poędzy ty dwoa etoda podzał ożna zobaczyć na rys Nery węzłów drzewa obrazją koejność przeprowadzana podzał. Na rys przedstawono scheaty bokowe obydw agorytów. a b Rys Drzewa etody podzał ogranczeń a - podzał ogranczena, b - podzał powroty Scott (969b) proponował połączene obydw etod. Proponje on rozpoczęce proces od etody podzał ogranczeń kontynowane go aż do oent wykorzystana dostępnej pojenośc paęc aszyny cyfrowej, a wtedy przejśce do etody podzał powrotów oraz ponowne przejśce do etody podzał ogranczeń, w oence, gdy pojeność paęc aszyny znow na na to pozwo. Ost4-54

7 Istneje jeszcze nna, bardzo pozytywna cecha etody podzał ogranczeń. Przypśćy, że zadowo nas rozwązane różnące sę od optyanego o nej nż %. Możey wtedy zastąpć przez,9, a ty say odrzcać węcej podzborów (Gore, 962). Skraca to oczywśce czas obczeń. Podzał Podzał Test Test Ogranczane Powrót Rys Scheaty bokowe etody podzał ogranczeń oraz podzał powrotów (reprodkcja za zgodą A.J. Scott oraz Pon Lted z Envronent and Pannng, 969) W ce ożwena epszego zrozena stoty dzałana oraz kazana przydatnośc wynkającej ze stosowana etody podzał ogranczeń w optyazacj sec transportowej oówy teraz bardzej szczegółowo agoryty Rdeya, Ochoa-Rosso Svy oraz Chana Metoda Rdeya podzborów ogranczonych Rdey (965) jako jeden z perwszych, o e ne perwszy, zastosował etodę podzał ogranczeń do optyazacj sec transportowej. W etodze jego dobrze opracowana jest jedyne procedra ogranczana, datego też ne naeży ona do najbardzej wydajnych. Zadane poega na nazacj całkowtych kosztów ponoszonych przez podróżnych (czas podróży w zapse Rdeya), co reazowane jest przez nwestowane w nektóre połączena, przy przyjęc jako ogranczena danych nakładów nwestycyjnych. Specjany ogranczene jest fakt, że nakłady nwestycyjne na dane połączene wynoszą zawsze jedną jednostkę, przy czy ogranczene to ożna ponąć, dokonjąc ałych zan w say agoryte. Zaeżność nowa ędzy koszta ponoszony przez podróżnych a nwestycja ne jest warnke koneczny stosowanośc etody. Rdey w swojej etodze opera sę na danej acerzy podróży opsowy wyznaczan rch wedłg zasady najkrótszej drog. Zadane to ożna zapsać następjąco t n = x t (4.3.4) y L = a b y da wszystkch L przy warnkach ogranczenach sec (.2.), (.2.2) oraz (.2.3); staonej acerzy podróży (2.2.2); zasadze najkrótszej drog (2..5); t = a b y da wszystkch L Ost4-55

8 y = da L oraz y = b da L, L y I = da L gdze : y - zenna zero-jedynkowa, okreśająca czy dokonano nwestycj da połączena ; y = - oznacza, że nwestycj ne dokonano; y = - oznacza, że nwestycję dokonano; L - zbór połączeń, w które ożna nwestować; L - zbór połączeń, w które ne ożna nwestować; I - staona wartość nakładów nwestycyjnych. Mnazację fnkcj rozpoczney poając ogranczena w nakładach nwestycyjnych. Łączne nakłady nwestycyjne (równe czbe nwestycj, gdyż = ), są powedzy ax I. L Następne nazjey fnkcję, przy warnk I ax, co oznacza że w jedną drogę nwestować ne ożna. Postępowane to kontynjey aż do oent, gdy osągney wekość ( I rzeczywste nakłady nwestycyjne): ax I ax I I + I Rdey sforłował pewną zasadę ogranczana, słżącą do obczena w prosty sposób, gdy zostało jż obczone +. n Zbór wszystkch ożwych rozwązań z nwestycja dzeony jest na L podzborów wszystkch ożwych kobnacj da nwestycj (gdze n L - czba połączeń, w które ożna nwestować). Oznaczy przez A taką seć, a przez A + seć z jedną nwestycją węcej. Wtedy prawdzwe jest Zapsjey teraz done ogranczena da ( A ) ( A ) ( A ) + ( A ) ( A ) = ax + A + A (Zaps A + A oznacza: A zawarte jest w A + ) Dodatkowo sy obczyć ogranczene górne da fnkcj górne żyway zawsze najnższej z dotychczas obczonych wartośc początkową ( ) da przyjjey. Jako ogranczene. Za wartość Ost4-56

9 ( ) ( ) ( ) A = gdze ( ) A jest zdefnowane następjąco ( ) ( A ) = n ( A ) Wydaje sę, że w ten sposób otrzyay ałą wartość górnego ogranczena. Procedrę obczana przy wykorzystan obczeń da + przedstawono na scheace bokowy, rys Zaast czena ( A ) da wszystkch kobnacj (co oznacza wyznaczane rch da każdej kobnacj), dokładne badane są jedyne nektóre z sec; wększość warantów ożna odrzcć na podstawe regły ogranczana. Zaważy, że do obczena ( A ) koneczna jest znajoość wszystkch ( A + ). Oznaczałoby to, że sebyśy dokonywać tak sao wyznaczana rch, tyko jeden krok daej. Aby tego nknąć posłgjey sę ( A+ ) zaast ( A + ).Ceną, którą za to płacy jest obnżene donych ogranczeń, a ty say osłabene zasady ogranczana.. Datego sy częścej obczać ( ) A A ax = I = Generj wszystke Obcz wszystke Obcz = ( ) Da wszystkch A Ne ( A )? < Tak Obcz Ne ( )? A < ( A ) = Ne = I Tak? Stop Ost4-57

10 Rys Scheat bokowy etody Rdeya podzborów ogranczonych (Reprodkcja za zezwoene Mcrofors Internatona Marketng Corporaton, Transportaton Research, 96, nr 2 s. 42)* zaps: - zapożyczony z ALGOL oznacza staje sę W trakce obczana sec optyanej da nakładów nwestycyjnych I otrzyjey wszystke sec pośredne, optyane da bdżetów I + aż do I ax. Jest to bardzo nteresjący prodkt boczny przeprowadzonych obczeń Agoryt podzał ogranczeń Ochoa-Rosso Svy Ochoa-Rosso Sva (96) opracowa agoryt podzał ogranczeń do optyazacj sec transportowej. Za fnkcję ce przyję on nazację kosztów ponoszonych przez podróżnych, reazowaną poprzez nwestowane w połączena, przy przyjęc ogranczeń nwestycyjnych. Zapsją on zadane bardzej ogóne nż zrobł to Rdey. n = x t (4.3.5) y L przy warnkach ogranczenach sec (.2.). (.2.2) oraz (.2.3) staonej acerzy podróży (2.2.2) ode wybor drog (2..5) t = t ( y ) jest onotonczne aejąca, gdy projekty są reazowane y = da L oraz y = b da L L x Mo, że wydaje sę słszny warnek, aby całkowte koszty ponoszone przez podróżnych były fnkcja onotonczne aejącą reazowanych projektów, ne jest on zawsze prawdzwy (zob. paradoks Braessa, p ). W wynk stosowana agoryt generowane jest drzewo podzał ogranczeń. Na węzły drzewa składają sę podzbory, które są para rozłączne, a ch sa daje zbór wszystkch rozwązań. Na dzałane ogranczana składa sę podzał podzbor podzbory oraz 2 I na dwa. W oence rozpoczynana obczeń wszystke zenne y da L ogą przyjować wartośc b (zbór ). W trakce każdej operacj ogranczana okreśa sę jedna zenną węcej, która a przyjąć wartość (podzbór ) b wartość przyjjąc, że wszystke zenne swobodne równe są, ( 2 ) Da każdego podzbor ożna obczyć ogranczene done rozwązana, które ten podzbór zawera (zgodne z wyoge, aby była onotonczne aejąca). Przyjjąc wszystke zenne swobodne równe, ożna przebadać dany zbór w poszkwan w n dowonego rozwązana dopszczanego. Jeś podzbór ne zawera rozwązana dopszczanego, to jest on swany z daszych rozważań staje sę węzłe neaktywny drzewa. Ponadto ożna równeż okreść wekość ogranczena górnego w rozwązan optyany. Wprawdze ne jest to Ost4-5

11 absotne koneczne z pnkt wdzena agoryt Ochoa-Rosso Svy, ae oże to znaczne zwększyć jego efektywność. Można to zrobć obczając przykładowo da projektów porządkowanych wedłg ch kosztów nwestycyjnych, przyjjąc ch tak dżo, jak na to pozwaa bdżet. Jeś traktjey go wyłączay z rozważań podzbór jako neaktywny. Proces podzał rozpoczynay teraz od najnższej wartośc Przedte jednak sprawdzay czy rozwązane, które daje najnższa wartość, jest rozwązane dopszczany. Jeś tak, jest to rozwązane optyane. Na rys przedstawono scheat bokowy podstawowej operacj podzał ogranczeń wedłg agoryt Ochoa-Rosso Svy (rys ).. 67 :... ( n ) staone 67 dowone... : staone 67 :... ( n 67 ) dowone... 2 staone 67 :... ( n 67 ) I dowone... Obcz dopszczane? Ne? jest aktywny; dokonaj podzał z najnejszy Tak jest neaktywny; dokonaj podzał z węzła aktywnego o najnejszy = Tak 2 jest neaktywny; 2 dokonaj podzał z najnejszy 2 jest aktywny; dokonaj podzał z najnejszy Ne Rys Scheat bokowy podstawowej operacj podzał ogranczeń wedłg agoryt Ochoa-Rosso Svy Da węzła, zbór składa sę z staanych y oraz n L zennych swobodnych. Podczas operacj podzał staa sę wartość jednej zennej węcej bada sę w zwązk z ty dwa podzbory S S 2. Węzły oraz 2 ogą być aktywne b ne, gdyż zbory oraz 2 ogą zawerać b ne zawerać rozwązana dopszczane, da których wartośc fnkcj ce będą nższe od ogranczena górnego. Jest oczywste, że w ce obczena naeży dokonać wyznaczena rch. Jak wadoo (a wykażey to równeż w rozdz. 7) pochłana to bardzo dżo czas obczeń na Ost4-59

12 EMC. Ochoa-Rosso Sva zaważają, że seć z węzłe różn sę od sec z węzłe 2 tyko jedny połączene. W tak przypadk ożna żyć do obczana całkowtych kosztów, ponoszonych przez podróżnych, procedr dających bardzo szybko wynk (w każdy raze jeś żywa sę technk wyznaczana rch, typ wszystko - b nc, za poocą zasady najkrótszej drog), (zob. p. 7.7). Ponadto ne trzeba obczać wartośc w oence rozpoczynana postępowana, gdyż węzeł, da którego najwęcej y a wartość, będze ał najnejszą wartość da. Czy proces podzał rozpoczynay od węzła, z który zwązana jest najwększa czba reazowanych nwestycj (projektów), kontynjey aż osągnęte zostaną ogranczena nwestycyjne. Dopero od tego oent koneczna jest znajoość w ce podjęca decyzj, który węzeł (zbór z n zwązany) naeży podzeć Agoryt podzał ogranczeń Chana Chan (969) stosje agoryt podzał ogranczeń (bardzo podobny do tego, którego żywają Ochoa-Rosso Sva) do znaezena rozwązana o najnższych kosztach nwestycyjnych, które odpowada pewne pozoow efektywnośc erzone przez całkowte koszty ponoszone przez podróżnych. Zaps zadana podobny jest do zaps z p , z ty tyko, że fnkcja ce ogranczena nwestycyjne egają zane n = y (4.3.6) y L przy warnkach ogranczenach sec (.2.), (.2.2) oraz (.2.3), staonej acerzy podróży (2.2.2), ode wybor drog (2..5) T jest onotonczne aejące t t y da reazowanych projektów = ( ) y = da LI oraz y = b da LI ab P x ab W trakce reazacj agoryt generowane jest drzewo anaogczne do tego, jake otrzyje sę w etodze Ochoa-Rosso Svy. W oence rozpoczynana proces badana wszystke zenne są zenny swobodny w koejnych operacjach podzał okreśana jest wartość koejnych zennych (jednej da każdej operacj). Da każdego podzbor obczane jest done ogranczene t ab T wekośc nwestycj, przyjjąc wszystke zenne swobodne za równe zero. W ce sprawdzena czy w są zawarte rozwązana dopszczane, obczay całkowte koszty ponoszone przez podróżnych, przyjjąc, że wszystke zenne swobodne są równe jeden. Jeś podzbór ne zawera żadnego rozwązana dopszczanego, jest on wyłączany z daszych rozważań. Ponadto, gdy stneje ogranczene górne rozwązana, ożey odrzcć wszystke podzbory, da których. Operację podzał rozpoczyna sę teraz od najnejszej wartośc. Na zakończene Chan proponje kontynowane obczeń, aż do oent, gdy wszystke podzbory są podzbora neaktywny b, gdy zawerają tyko jedno rozwązane dopszczane. Wtedy rozwązane optyany jest rozwązane dopszczane Ost4-6

13 z najnejszą wartoścą fnkcj ce. Ze wzgęd na wydajność agoryt, wyaga on dobrego ogranczena górnego (rys ). 67 :... ( n ) staone 67 dowone... : staone 67 :... ( n 67 ) dowone... 2 staone 67 :... ( n 67 ) I dowone... Obcz T (wszystke zenne swobodne = ) 2 = + k (w tej operacj y k staone) T > T? Ne Tak 2? Ne Tak jest neaktywny; dokonaj podzał z najnższy 2 jest neaktywny; dokonaj podzał z najnższy = jest aktywny; dokonaj podzał z najnższy 2 jest aktywny; dokonaj podzał z węzła aktywnego o najnższy Rys Scheat bokowy eeentarnej operacj agoryt podzał ogranczeń Chana Inna zasadą kończena obczeń oże być zasada anaogczna do tej, jaką przyję Ochoa-Rosso Sva: zawsze dokonywać podzał od najnejszej wartośc oraz zawsze sprawdzać czy jest rozwązane dopszczany. Rozwązane optyane otrzyje sę da perwszego dopszczanego. Jednak take postępowane oznaczałoby obczane za każdy raze kosztów ponoszonych przez podróżnych przy przyjęc wszystkch zennych swobodnych równych zer (prawe odgałęzene na rys ). Podobne jak w etodze Ochoa-Rosso Svy sy dosyć często obczać całkowte koszty ponoszone przez podróżnych. W ty ejsc ożey czynć podobną wagę jak w poprzedn pnkce, a anowce, że seć da T różn sę od sec da T tyko Ost4-6

14 jedny połączene. Czy stosnkowo łatwo jest obczyć T ając obczone T gdy stosjey wyznaczane rch typ wszystko abo nc wedłg zasady najkrótszej drog (zob. p. 7.7). Ponadto Chan proponje tzw. aktazację arytetyczną. Mów on, że aby zdecydować czy zawera rozwązane dopszczane wystarczy wykazać, że górne ogranczene da T T. Górne ogranczene da T znajdje sę zakładając, że po przyjęc y = da jednego połączena ne a ejsca zana dróg (tras). Przyjjąc węc, że przechodząc od węzła do węzła, yk jest stałe, ay T T x ( ){ t ( y = ) t ( y ) } k k k k k = Jednakże ne wydaje sę, aby stanowło to dobre ogranczene górne da T, szczegóne, jeś jest żywane kkakrotne, gdyż wtedy ay jedyne wartość górnego ogranczena da T, zaast wartośc T Agoryt podzał powrotów Ochoa-Rosso Svy W pracy z 96 r. Ochoa-Rosso Sva przedstaw oprócz agoryt podzał ogranczeń równeż agoryt podzał powrotów w odnesen do zagadnena opsanego w p (zadane 4.3.5). Agoryt ch jest bardzo podobny do agoryt z p Jedyne scheat dzeena podzborów okreśony jest z góry oraz czy sę dopero wtedy, gdy seć o wszystkch zennych swobodnych równych jeden jest dopszczana. Poneważ czone jest da sec dopszczanej, oże ono dawać równeż nową wartość ogranczena górnego (jeś < ). Proces dokonywana podzał jest teraz następjący: zawsze wychodzć od ostatnego wygenerowanego węzła badać tyko ten węzeł, da którego na pozoe zero staono jedną zenną węcej. Jeś ne ożna kontynować proces dzeena, gdyż węzeł ostatn jest neaktywny b daje nowe ogranczene górne, naeży powrócć. Powrót oznacza poswane sę w tył po węzłach drzewa, aż do napotkana na węzeł jeszcze ne w pełn zbadany, tzn. tak. że węzeł po n następjący, w który dodatkowo jeszcze jedna zenna przyjęła wartość jeden, ne był w ogóe badany. Następne podzbór ten bada sę w ce sprawdzena czy zawera on jakekowek rozwązane dopszczane, staając w ty ce wszystke pozostałe zenne swobodne na pozoe zera. Jeś ne zawera on takego rozwązana naeży poswać sę z powrote w kernk początk drzewa. W przecwny przypadk rozpoczynay operację dzeena od tego węzła. Neożwe jest zakończene proces badana przed przeanazowane wszystkch podzborów. Na rysnk przedstawono scheat bokowy eeentarnej operacj podzał powrotów wedłg agoryt Ochoa-Rosso Svy. Główne różnce poędzy agoryte podzał powrotów a agoryte podzał ogranczeń są następjące: a) scheat dzeena jest okreśony z góry, a ty say ne jest najbardzej efektywny; b) jedyne po przebadan wszystkch podzborów ożna być pewny, że znaezone zostało rozwązane optyane; c) jedyne ostatne rozwązane oraz rozwązane dopszczane z najnższą wartoścą ogranczena górnego szą być przechowywane w; paęc EMC; d) w krótk okrese otrzyje sę dobre oszacowane ; e) prawdopodobne potrzeba nej obczeń da ; z jednej strony trzeba obczać tyko da rozwązań dopszczanych, z drgej natoast trzeba przebadać węcej podzborów S ; Ost4-62

15 f) kedy z różnych powodów naeży przerwać obczena przed otrzyane rozwązana optyanego, zawsze ay rozwązane dopszczane, o który ożey przypszczać, że jest dobry przybżene. staone ( n ) dowone 67 : : staone 67 :... ( n 67 ) dowone... 2 staone 67 :... ( n 67 ) I dowone dopszczane?... dopszczane? Obcz Tak Ne Tak Ne jest aktywny kontynj 2 jest neaktywny; powrót do perwszego nebadanego węzła? Tak 2 jest aktywny; kontynj Ne jest neaktywny; powróć do perwszego nebadanego węzła = Zachowaj rozwązane powróć do perwszego badanego węzła Rys Scheat bokowy eeentarnej operacj podzał powrotów wedłg agoryt Ochoa-Rosso Svy Ochoa-Rosso Sva ważają, że wybor poędzy dwoa rodzaja agoryt dokonać naeży w zaeżnośc od rodzaj sec nnych własnośc zagadnena oraz w zaeżnośc od pojenośc paęc EMC dysponowanego czas obczeń. Jedyne drogą eksperyent ożna okreść właścwy rodzaj stosowanego agoryt Zastosowane agoryt podzał ogranczeń do probe ogónego Oówone wyżej agoryty Rdeya, Ochoa-Rosso Svy oraz Chana są etoda, za poocą których nazje sę tyko jeden eeent ponoszonych kosztów (koszty Ost4-63

16 ponoszone przez podróżnych b koszty nwestycj), przy przyjęc okreśonej acerzy podróży. Jednakże ne przedstawa specjanej trdnośc rozwązane w tak sa sposób zadana ogónego, w który aksyazje sę osąganą nadwyżkę. Zapszey zadane jako Y { U ( Y) T ( Y) I( Y) } ax (4.3.7) przy oawanych jż warnkach, gdze: U - całkowte korzyśc podróżnych; T - całkowte koszty ponoszone przez podróżnych; I - całkowte koszty nwestycj. Jak wadoo z p różncę S = U T ożna oszacować da danej sec jedyne w odnesen do nnej. Okreśy seć, w której wszystke y =, jako seć odnesena. Jeś zadane poega ne na epszen sec, a na okreśen sec zpełne nowej, dobrą secą oże być taka, w której wszystke pnkty nadana odbor są ze sobą połączone da której koszty nwestycyjne są najnższe (zadane nanego drzewa rozpnającego graf). Koszty nwestycyjne da takej sec ożna traktować jako dobre dasze ogranczena kosztów nwestycyjnych wszystkch sec pozostałych. Można węc założyć, że U jest fnkcją dodatna, onotonczne rosnącą, oraz że T jest fnkcją jeną, onotonczne aejąca, czy S jest fnkcją dodatną, onotonczne rosnącą, gdy są reazowane proponowane nwestycje (rys ). Zapszy zadane w postac y = L ( y ) ax y S (4.3.) przy warnkach ogranczenach sec (.2.), (.2.2), (.2.3) S jest ode fnkcją transportowy onotonczne rosnącą, gdy są reazowane t t y proponowane nwestycje = ( ) y = da L I oraz y = b da L I Konstrjey teraz drzewo etody podzał ogranczeń tak jak da etod Ochoa- Rosso Svy oraz Chana. A węc postępowane rozpoczynay od wszystkch y będących zenny swobodny okreśay wartość po jednej zennej da każdej operacj podzał. Done ogranczene da każdego podzbor, okreśay łatwo ze wzor = y S (wszystke zenne y = ) wszystke zenne staone y ają te wartośc oraz zenne swobodne y = Równe ważne jak done ogranczene jest posadane bardzo dobrego (tzn. ożwe ałego) ogranczena górnego. Ty ogranczene jest wartość fnkcj ce w rozwązan dopszczany. Wydaje sę, że najepej jest, jeś rozwązane to, w oence rozpoczynana proces, zwązane jest z dobrą secą w trakce obczeń próbjey poprawć. Rys przedstawa scheat bokowy eeentarnej operacj agoryt podzał ogranczeń. Da łatwena, w scheace bokowy żyto dwóch nowych sybo: I - całkowte koszty nwestycj, przy przyjęc, że zenne swobodne węzła są równe. Ost4-64

17 S - zana wekośc korzyśc podróżnych, przy przyjęc że zenne swobodne węzła są równe. Obczena kończyy, gdy wszystke podzbory są neaktywne b, gdy zawerają tyko jedno rozwązane dopszczane. Rozwązane z najnższa wartoścą fnkcj ce jest rozwązane optyany. 67 :... ( n ) staone 67 dowone... : staone 67 :... ( n 67 ) dowone... 2 staone 67 :... ( n 67 ) I dowone... = I S (wszystke dowone y = ) 2 = I + k S 2 jest aktywny; dokonaj podzał z najnższy jest neaktywny; dokonaj podzał z najnższy 2 jest aktywny; dokonaj podzał z najnższy 2 jest neaktywny; dokonaj podzał z najnższy Rys Scheat bokowy eeentarnej operacj podzał ogranczeń da zadana ogónego Można oczywśce opracować agoryt podzał powrotów da zadana ogónego, podobny do tego. jak opracowa Ochoa-Rosso Sva. Uwag na teat dzałana agorytów da zadana ogónego są anaogczne do wag z poprzednego pnkt. Agoryt podzał ogranczeń, który oówśy wyżej, ne został przetestowany praktyczne. Ae ze wzgęd na jego podobeństwo do agorytów Ochoa-Rosso Svy oraz Chana ożey przypszczać, że będze on tak sao wydajny, w każdy raze jeś będzey dysponowa dobry ogranczene górny Oówene technk podzał ogranczeń Jak wykazaśy poprzedno, stosjąc agoryty podzał ogranczeń ożna rozwązać zadane optyazacj sec transportowej oraz zadana pochodne, take jak na przykład nazacja kosztów ponoszonych przez podróżnych, bez wzgęd na rodzaj zaeżnośc fnkcyjnej poędzy zenny. Za poocą tych etod ożna dać sobe radę nawet z tak złożony zbora fnkcj, jak ode transportowy. Jedyny ogranczena jest koneczność okreśena ogranczeń donych rozwązana dopszczanego w zborze wszystkch rozwązań oraz ogranczena górnego da rozwązana optyanego. Z tego wzgęd zaeżność onotonczna poędzy eeenta fnkcj ce a zenny decyzyjny jest bardzo poocna, przy czy ne jest ona absotne koneczna. Ost4-65

18 Rozwązane optyane znajdje sę zawsze po skończonej czbe kroków (przynajnej jeś podzbory są wzajene rozłączne, tj.: = Φ ). Ponadto z regły po każdej teracj znay rozwązane dopszczane oraz ogranczena done górne rozwązana optyanego. Można równeż powedzeć, że etoda podzał ogranczeń jest jasny eeganck ateatyczne sposobe rozwązana zadana optyazacj sec. Najstotnejszy zagadnene jest oczywśce efektywność etody. Msy z żae przyznać, że zawsze występowała koneczność kkakrotnego czena całkowtych kosztów ponoszonych przez podróżnych. Zwązane z ty jest dokonywane przyporządkowana rch poszczegóny połączeno sec. Jak wykazano w p oraz jak wykażey w rozdz. 7 pochłana to dżo czas obczeń na EMC, nawet, da sec o arkowanych rozarach, szczegóne gdy stosje sę etodę ogranczonych przepstowośc (capacty restrant technqe). Istneje ożwość znacznego proszczena obczeń kosztów ponoszonych przez podróżnych, gdy zastosjey etodę wyznaczana typ wszystko b nc wedłg zasady najkrótszej drog, przy czy probe wyznaczana rch jest stosnkowo często spotykany zagadnene przy posłgwan sę etodą podzał ogranczeń przy optyazacj sec. Ta cecha etod podzał ogranczeń powodje, że ne ożna ch stosować przy anaze dżych sec (zob. równeż Stars, 96). Jak na wadoo, do tej pory etody podzał ogranczeń praktyczne żywano do badana sec o dwdzest b trzydzest węzłach. Mo że etoda ta ne oże być stosowana da dżych sec oże ona przyneść bardzo dobre reztaty w połączen z nny technka, tak jak technk herystyczne (p. 4.4) b dekopozycja agregacja (p. 4.5; zob. równeż Chan, 969). Możey równeż przejąć pewne zasady dzałana etody podzał ogranczeń ne przyjjąc jej jako takej. j Ost4-66