Wykorzystanie metod procesów Markowa i semi-markowa w analizie niezawodności

Transkrypt

1 opracował: prof. dr hab. inż. Józef Paska, mgr inż. Piotr Marchel POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Elektroenergetyki, Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetyczne Bezpieczeństwo elektroenergetyczne i niezawodność zasilania laboratorium Ćwiczenie nr 4. Wykorzystanie metod procesów Markowa i semi-markowa w analizie niezawodności elementów i systemów. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia est poznanie metod procesów Markowa i semi-markowa w analizie niezawodności oraz nabycie umieętności ich wykorzystania do obliczeń niezawodności elementów i systemów.. Wprowadzenie a) Podział metod obliczeniowych W przypadku systemów o złożone strukturze niezawodnościowe istniee wiele metod obliczeń wskaźników niezawodności, różniących się pomiędzy sobą dokładnością i czasem obliczeń. Można e podzielić na trzy podstawowe grupy: analityczne, w których zdarzenia lub procesy losowe poddawane są analizie; symulacyne, w których zdarzenia lub procesy losowe są symulowane oraz mieszane, w których wykorzystue się oba wyże wymienione podeścia. Szczegółowy podział metod obliczeń niezawodnościowych został przedstawiony na rys.. Metody obliczeń Analityczne Symulacyne Mieszane Zdarzeń losowych Procesów losowych Dekompozyci: proste, złożone lub zupełne Minimalnych ścieżek i przekroów Ortogonalizaci funkci Tablicowa Łańcuchów Markowa Procesów semi-markowa Procesów Markowa Rys.. Podział metod obliczeń niezawodnościowych str.

2 b) Metody procesów Markowa i semi-markowa Wśród metod analitycznych opartych na analizie procesów losowych (zwanych też metodami przestrzeni stanów) do naczęście stosowanych należą metody łańcuchów i procesów Markowa a ostatnio procesów semi-markowa. Bazuą one na przyęciu za model niezawodnościowy badanego obiektu procesu losowego spełniaącego własność Markowa. Ich stosowanie wymaga ednak spełnienia pewnych założeń. I tak w przypadku metody procesów Markowa rozkłady prawdopodobieństw czasów przebywania w stanach muszą być wykładnicze. Wyątek stanowią obliczenia wartości asymptotycznych wskaźników niezawodności. W niektórych przypadkach istniee również możliwość takiego przekształcenia przestrzeni stanów by niewykładnicze rozkłady prawdopodobieństw zastąpić ciągiem rozkładów wykładniczych. Metoda łańcuchów Markowa może być stosowana przy założeniu, że proces zmiany stanów est pierwszego rzędu. W procesach semi-markowa rozkłady prawdopodobieństw mogą być dowolne, lecz większa uniwersalność metody wymaga zastosowania bardzie złożonego aparatu matematycznego. Proces losowy est to rodzina zmiennych losowych określonych na wspólne przestrzeni probabilistyczne (V, F, P), przyporządkowanych poszczególnym elementom pewnego zbioru T. Zbiór T może być interpretowany ako zbiór chwil i wówczas używa się także dla procesu losowego określenia proces stochastyczny. Można zatem proces losowy określić ako mierzalną ze względu na ciało F funkcę: X : V T S R () Zbiór S wartości przymowanych przez proces nazywa się zbiorem stanów procesu, sam zaś proces zapisue się zwykle w postaci: X (, t T Tablica. Klasyfikaca procesów losowych Zbiór stanów S Zbiór T Przedział Co nawyże przeliczalny (dyskretny) (ciągły) Ciąg (szereg) Co nawyże przeliczalny (dyskretny) Łańcuch losowy losowy Punktowy proces losowy Proces losowy Przedział (ciągły) (o dyskretne przestrzeni stanów) z czasem ciągłym Wyobraźmy sobie, że informaca I, aką mamy o przebiegu procesu X(, składa się z informaci I*, że w chwili t było X(t ) = x, oraz z informaci I** dotyczące tego, co się działo w chwilach wcześnieszych od t. Jeżeli przy posiadaniu informaci I* informace I** są zbędne dla wyznaczenia rozkładu zmienne losowe X(t + ) dla chwil późnieszych ( > ), to proces nazywamy procesem Markowa. Tak więc mamy: X ( t ) yi *i I ** PX ( t ) y I * PX ( t ) y X ( t ) x P () Bardzie sformalizowana definica procesu Markowa est następuąca. Proces losowy X ( t ), t nazywa się procesem Markowa, gdy dla dowolnego skończonego ciągu T str.

3 chwil t < t <... < t n (t, t,..., t n T) i dowolnych liczb rzeczywistych x, x,..., x n zachodzi równość: P[ X ( t n P[ X ( t ) t n n ) x X ( t n n X ( t ) x n n ) x, X ( t n ] n ) x n,..., X ( t ) x ] (3) Zależność powyższa oznacza, że warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmienne losowe X(t n ) zależy wyłącznie od rozkładu prawdopodobieństwa edne ze zmiennych losowych X(t n- ). Właściwości procesu Markowa w chwili t n nie zależą od wartości, akie proces przymował w chwilach t, t,..., t n-. Proces Markowa est więc w pełni scharakteryzowany przez dystrybuantę warunkową: F(s, t, x, y) = P[X( < xx(s) = y], s < t (4) albo też łączną dystrybuantę wektora losowego (X(s), X() wraz z dystrybuantą początkową F(s, y) = P[X(s) < y]. W analizie procesów Markowa zasadniczą rolę odgrywa funkca zwana prawdopodobieństwem prześcia, która est określona dla dowolnych chwil s i t (s < t; s, t T) oraz dla dowolne liczby rzeczywiste y i dowolnego zbioru borelowskiego B, w następuący sposób: P(s, t, B, y) = P[X(BX(s) = y] (5) Proces Markowa X (, t T est ednorodny, gdy dla dowolnych s, t T (s < prawdopodobieństwa prześcia zależą tylko od różnicy t s =, tzn.: P(s, t, B, y) = P(, B, y) (6) W zastosowaniach praktycznych, w szczególności w zagadnieniach niezawodnościowych, naistotnieszą rolę odgrywaą punktowe procesy Markowa określone na przedziale T = [t, ] z przestrzenią stanów S = {,,,...}. Realizace punktowego procesu Markowa są funkcami przedziałami stałymi, a ich wykresy są liniami schodkowymi. Dla punktowego procesu Markowa prawdopodobieństwa prześcia p (s, = P[X( = X(s) = i], t s, i, =,,,... (7) spełniaą związki: k p ( s, pik ( s, t ) pk ( t, t ),( s t (8) zwane równaniami Smoluchowskiego Chapmana Kołmogorowa. Ponao dla każdego i (i =,,,...) zachodzi równość: p ( s, (9) Wprowadzaąc funkce ( zwane intensywnościami prześcia procesu ( lim t t p ( t, t, i,,,,..., i () str. 3

4 uzyskue się układ równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach: dpi ii ( Pi ( i ( P ( () is przy czym: ( t ) ( ii i S i S gdzie: P i ( - prawdopodobieństwo bezwarunkowe przebywania procesu w chwili t w stanie i, ( - intensywność prześcia procesu w chwili t ze stanu i do stanu. Gdy proces Markowa est ednorodny, to intensywności prześcia procesu są niezależne od czasu ( = = const., i i uzyskue się układ równań różniczkowych o stałych współczynnikach: is dpi ( ii Pi ( i S i P ( dla rozwiązania którego est potrzebna znaomość prawdopodobieństw początkowych P i (), is. Układ powyższy można zapisać w postaci wektorowe, ako: () d P( ΛP( (3) przy czym: P( = [P (, P (,..., P m (] m m Λ. m m. m m m. m m gdzie: P( - wektor kolumnowy prawdopodobieństw przebywania procesu w poszczególnych stanach, Λ - macierz intensywności prześć, m = card S liczność zbioru S (liczba stanów procesu). Macierz intensywności prześć est macierzą kwadratową. Nosi ona nazwę macierzy quasi stochastyczne. Dla e każde kolumny est spełniona zależność: λ (4) S i str. 4

5 Układ równań Kołmogorowa ma rozwiązanie w postaci: P( P() exp( Λ (5) gdzie P() est wektorem kolumnowym prawdopodobieństw początkowych stanów procesu, a t exp( Λ Λt Λ... Jeśli obliczenie wartości powyższego rozwinięcia macierzowego est złożone można posłużyć się przekształceniem Laplace a. Wyściowe równanie macierzowe przymue postać: lub sp(s) - P() = P(s) (6) P(s) = [s - ] - ¹P() (7) gdzie: - macierz edynkowa o wymiarach mm. Poszukiwany wektor prawdopodobieństw oblicza się za pomocą odwrotnego przekształcenia Laplace a. P( = L - ¹ [s - ] - ¹P() (8) gdzie: L - ¹ - operator przekształcenia odwrotnego. W wielu zastosowaniach praktycznych maą znaczenie tylko wartości asymptotyczne prawdopodobieństw, t. wartości P( przy t. Jeśli przyąć, że wartości te w ogóle istnieą (proces est ergodyczny) to równania różniczkowe przekształcaą się w równania algebraiczne. Zatem dla procesów o skończone liczbie stanów i niezerowe macierzy intensywności prześć istnieą graniczne (staconarne) prawdopodobieństwa stanów i mogą być one obliczone ako rozwiązania układu równań liniowych: ΠΛ (9) gdzie: - wektor kolumnowy granicznych (staconarnych) prawdopodobieństw stanów procesu. Dla wykluczenia nieoznaczności układu należy wziąć pod uwagę m - równań i uzupełnić e równaniem: m i P () i Na podstawie grafu stanów i prześć tworzy się układ równań różniczkowych, korzystaąc z następuące reguły mnemotechniczne: dp t pochodna i ( ) dla stanu i est równa sumie algebraiczne członów tworzonych przez iloczyn prawdopodobieństwa tego stanu, z którego gałąź (łuk) wychodzi oraz intensywności prześcia odpowiadaące dane gałęzi. Liczba członów sumy est równa liczbie gałęzi skierowanych łączących stan i z innymi węzłami grafu. Jeżeli gałąź (łuk) est skierowana do stanu i to człon ma znak plus, zaś w przypadku odwrotnym znak minus. str. 5

6 c) Przykład Niech S = {,, 3, 4} a graf stanów i prześć przedstawia rys Rys.. Graf stanów i prześć obiektu 4-stanowego Układ równań Kołmogorowa przymie wówczas postać: dp ( 4 P ( P ( 4P4 ( dp ( ( ) P ( 4 3 P ( dp ( 3 ( 34 3 ) P3 ( 43P4 ( ) t 3 4 P ( 4 3 dp4 ( 4 P ( 4 P ( zaś zapis macierzowy est następuący: d P( ΛP( 34 P ( ( ) P ( 43 4 P ( P ( P( t ), Λ P ( ) 3 t P4 ( 4 4 ( 4 4 ) ( ) ( ) str. 6

7 Używaąc przekształcenia Laplace a uzyskuemy układ równań w postaci: sp (s) P () = λ 4 P (s) + λ P (s) + λ 4 P 4 (s) sp (s) P () = (λ + λ 4 )P (s) + λ 3 P 3 (s) + λ 4 P 4 (s) sp 3 (s) P 3 () = (λ 34 + λ 3 )P 3 (s) + λ 43 P 4 (s) sp 4 (s) P 4 () = λ 4 P (s) + λ 4 P (s) + λ 34 P 3 (s) (λ 4 + λ 4 + λ 43 )P 4 (s) Do rozwiązania układu równań różniczkowych można użyć pakietu MatLAB. Przykładowy skrypt przedstawiono poniże. format long %wyswietlanie wynikow z wieksza dokladnoscia L=[-l4 l l4; (l+l4) l3 l4; (l3+l34) l43; l4 l4 l34 (l4+l4+l43)]; % Zdefiniowanie macierzy intensywnosci przesc dp=inline([matstr(l) '*p'],'t','p'); % Definica funkci tspan=[ 5]; % Definiowanie przedzialu czasu dla ktorego szukamy rozwiazan p=[ ]; % Warunki poczatkowe [t,p] = ode45(dp, tspan, p); % uruchomienie obliczen wyniki macierz p figure; % rysowanie wykresu hold on; subplot(4,,);plot(t,p(:,),'r');ylabel('p(');xlabel('t [h]');grid; subplot(4,,);plot(t,p(:,),'g');ylabel('p(');xlabel('t [h]');grid; subplot(4,,3);plot(t,p(:,3),'b');ylabel('p3(');xlabel('t [h]');grid; subplot(4,,4);plot(t,p(:,4),'k');ylabel('p4(');xlabel('t [h]');grid; hold off; Po rozwiązaniu układu równań rysowany est wykres przedstawiaący zależność prawdopodobieństwa przebywania układu w danym stanie od czasu (Rys. 3). Rys. 3. Zależność prawdopodobieństwa stanów p od czasu. d) Metody procesów semi-markowa Coraz szersze zastosowanie w badaniach niezawodności znaduą procesy półmarkowskie (semi-markowa). Stanowią one uogólnienie łańcuchów i ednorodnych procesów Markowa. W procesach półmarkowskich nie est wymagane założenie co do postaci rozkładów prawdo- str. 7

8 podobieństw czasów przebywania w poszczególnych stanach. Jeżeli założyć, że w danym momencie czasu proces znadował się w ednym ze stanów, np. S i, to dalsza ewoluca procesu est następuąca: w losowe chwili układ przechodzi skokowo do nowego stanu, np. S. Czas przebywania w stanie S i do prześcia w stan S est zmienną losową o dowolnym rozkładzie opisanym przez dystrybuantę G (; przeście ze stanu i do stanu zachodzi z prawdopodobieństwem p > (przy czym p ), eżeli ze stanu nastąpi przeście do stanu k to czas przebywania w stanie, est zmienną losową o dowolnym rozkładzie opisanym dystrybuantą G k (, itd. Przeście ze stanu i do stanu w procesie semi-markowa następue zatem akby w dwóch etapach: w pierwszym zostae określony losowy moment prześcia a w drugim skokowe przeście z ednego stanu w drugi (ak w łańcuchu Markowa). Prawdopodobieństwo prześcia ze stanu S i do stanu S (i ) w przedziale t est dla procesu semi-markowa określone zależnością: p ( t, t F ( t Π () gdzie: F = P{ < t}- dystrybuanta czasu przebywania procesu w stanie S i pod warunkiem, że następnym stanem będzie S, - warunkowe prawdopodobieństwo prześcia skokowego do stanu S przy wyściu procesu ze stanu S i. Stosuąc zapis macierzowy można określić proces półmarkowski za pomocą: macierzy stochastyczne prawdopodobieństw prześć: Π [Π ] () i, S macierzy dystrybuant warunkowych F( i, S F ( [ F ( ] (3) wektora prawdopodobieństw początkowych P(). Macierz est nazywana macierzą wewnętrznego łańcucha Markowa. Jeśli wszystkie dystrybuanty warunkowe maą postać F (x) = dla x < oraz F (x) = dla x > to proces stae się łańcuchem Markowa. Jeżeli zaś wszystkie dystrybuanty warunkowe maą postać wykładniczą F ( = - exp(- i to proces stae się ednorodnym łańcuchem Markowa. str. 8

9 3. Zadania do wykonania ) Pewne urządzenie może znadować się w dwóch stanach: zdatności i niezdatności. Intensywność uszkodzeń tego urządzenia wynosi λ. Intensywność naprawy tego urządzenia ma wartość μ. Narysu graf stanów tego urządzenia, wyznacz macierz prześć. Oblicz prawdopodobieństwo przebywania urządzenia w stanie zdatności w dowolne chwili t, eśli w chwili t = urządzenie funkconowało. ) Pewien system chłodzenia składa się z dwóch ednakowych zespołów wentylatorów. Intensywność uszkodzeń wynosi λ. Gdy się zepsue któryś z nich natychmiast do pracy przystępue zespół naprawczy. Średni czas naprawy wynosi T n. Narysu graf stanów systemu zawieraący 3 możliwe stany. Oblicz prawdopodobieństwo przebywania systemu w danym stanie w chwili t przy założeniu, że w chwili początkowe oba zespoły wentylatorów pracowały. Jak zmienią się te prawdopodobieństwa, gdy zostanie zatrudniona dodatkowo drugi zespół pracowników zamuący się naprawami? 3) Warunki pogodowe maą znaczący wpływ na niezawodność linii napowietrznych. Intensywność uszkodzeń pewne linii podczas normalnych warunków atmosferycznych wynosi λ n, zaś intensywność naprawy μ n. Podczas niekorzystnych warunków atmosferycznych intensywność uszkodzeń est większa i wynosi λ a, natomiast intensywność napraw zmniesza się do μ a. Średnie czasy trwania pogody normalne i niekorzystne wynoszą odpowiednio: N i S. Narysu graf stanów tego systemu. Oblicz prawdopodobieństwo graniczne (staconarne) przebywania w stanie zdatności te linii napowietrzne. 4. Sprawozdanie Sprawozdanie powinno zawierać: ) Tabelę tytułową (nazwa i numer ćwiczenia, nazwiska i imiona wykonuących ćwiczenie, data wykonania ćwiczenia oraz data oddania sprawozdania); ) Rozwiązania zadań wraz z opisem i koniecznymi wykresami i schematami; 3) Wnioski i obserwace z wykonanego ćwiczenia. 5. Literatura [] Grabski F., Jaźwiński J.: Funkce o losowych argumentach w zagadnieniach niezawodności, bezpieczeństwa i logistyki. Wydawnictwa Komunikaci i Łączności, Warszawa 9 [] Jakubowski J., Sztencel R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wydanie III. Script, Warszawa 4 [3] Modarres M., Kaminskiy M., Krivtsov V.: Reliability Engeneering and Risk Analysis: A practical Guide. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel 999 [4] Paska J.: Niezawodność systemów elektroenergetycznych. Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 5 [5] Tikhonenko O.: Modele obsługi masowe w systemach informacynych. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 3 str. 9