Języki Modelowania i Symulacji

Transkrypt

1 Języki Modelowania i Symulacji Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 listopada 2011

2 Literatura: 1. D. Kincaid, W. Cheney: Analiza numeryczna, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, P. Davis, W.: Differential Equations - Modelling with MATLAB, Prentice Hall, Dokumentacja MATLABA i SIMULINKA. 4. B.Mrozek, Z. Mrozek: MATLAB Uniwersalne środowisko do obliczeń naukowo-technicznych, Kraków T.P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów - Od teori do zastosowań, Warszawa 2009.

3 O czym będziemy dziś mówili?

4 chol (1) R = chol(a); A dodatnio określona: R górna trójkatna, [R, p] = chol(a); A dodatnio określona: R *R=A R górna trójkatna, R *R=A, p=0 A nie jest dodatnio określona: R górna trójkatna, R *R=A(1:q,1:q), q=p-1

5 dodatnio określona W przypadku, gdy A jest macierza rzeczywista: A jest macierza symetryczna i dla każdego niezerowego wektora x R n zachodzi: x T Ax > 0. Równoważna definicja mówi, że wszystkie wartości własne A sa dodatnie.

6 chol A = >> R = chol(a) = >> R'*R =

7 chol n =3; >> X = pascal(n) X = >> X(n,n) = X(n,n)-1 X = >> chol(x)??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite. >> [R,p]=chol(X) R = p = 3

8 chol X = >> chol(x)??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite. >> [R,p]=chol(X) R = p = 3 >> R'*R =

9 chol (2) L = chol(a, lower ); A dodatnio określona: L dolna trójkatna, [L, p] = chol(a, lower ) ; A dodatnio określona: L*L =A L dolna trójkatna, L*L =A, p=0 A nie jest dodatnio określona: L dolna trójkatna, L*L =A(1:q,1:q), q=p-1

10 chol A = >> L=chol(A,'lower')= >> L*L'=

11 chol X = >> L=chol(X,'lower')??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite. >> [L,p]=chol(X,'lower') L = p = 3 >> L*L'=

12 chol A = >> L = chol(a,'lower')= >> R = chol(a)= >> L'=

13 chol Ax = b x = A\b >> inv(a)= >> inv(r)*inv(l)= >> inv(l')*inv(l)=

14 inv odwrotna Y = inv(x); Rozwiazanie równania A*x=b: x = A\b czy x=inv(a)*b?

15 inv Ax = b x = inv(a)b n = 500; Q = orth(randn(n,n)); d = logspace(0,-10,n); A = Q*diag(d)*Q'; x = randn(n,1); b = A*x; tic, y = inv(a)*b; toc err = norm(y-x) res = norm(a*y-b) elapsed_time = err = e-006 res = e-007

16 inv Ax = b x = A\b elapsed_time = err = e-006 res = e-007 tic, z = A\b, toc err = norm(z-x) res = norm(a*z-b) elapsed_time = err = e-006 res = e-015

17 qr qr (1) A - mxn [Q, R] = qr(a); R - mxn górna trójkatna, [Q, R] = qr(a,0); A = Q*R dla m > n oblicza się: n poczatkowych kolumn Q n poczatkowych wierszy R dla m<=n mamy: [Q, R] = qr(a) Q - mxm unitarna

18 qr qr (2) [Q, R, E] = qr(a); R górna trójkatna, Q unitarna E macierz permutacji kolumnowej A*E = Q*R oraz abs(diag(r)) uporzadkowane malejaco [Q, R, E] = qr(a,0); X = qr(a); E wektor permutujacy: A(:,E) = Q*R X = qr(a,0); X triu(x) jest górnym trójkatnym czynnikiem R

19 qr A = [ ] [Q,R] = qr(a) Q = R = rank(a) = 2 tol = E-014

20 qr Ax = b b = [1;3;5;7]; x = A\b; x = y = Q'*b; x = R\y x =

21 pinv Moore a-penrose a (1) B = pinv(a); B macierz : A*B*A = A, B*A*B = B, A*B = (A*B), B*A = (B*A) B = pinv(a,tol); tol próg zerowości wartości szczególnych A domyślny poziom: max(size(a))*norm(a)*eps Algorytm wykorzystuje rozkład svd

22 pinv Moore a-penrose a (2) A - mxn : m > n oraz rank(a) < n x minimalizujacy norm(a*x-b) nie jest jednoznaczny x = pinv(a)*b rozwiazanie o najmniejszej wartości norm(x) y=a\b rozwiazanie o najmniejszej liczbie niezerowych elementów

23 pinv A = magic(8); A = A(:,1:6); b = 260*ones(8,1); A = b = x1 = pinv(a)*b; x2 = A\b; x3 = inv(a)*b;???????

24 pinv x1 = pinv(a)*b; x2 = A\b; x3 = inv(a)*b; x1 = x2 = ??? Error using ==> inv Matrix must be square norm(x1) = norm(x2) =

25 linsolve (1) A*X = B, (A - mxn, B - mxk) X - nxk X = linsolve(a,b); A kwadratowa: faktoryzacja LU A niekwadratowa: faktoryzacja [X, R] = linsolve(a,b); A kwadratowa: faktoryzacja LU, R = 1/cond(A) A niekwadratowa: faktoryzacja, R=rank(A)

26 linsolve (2) X = linsolve(a,b,opts); pole opcji właściwość LT dolna trójkatna UT górna trójkatna UHESS górna Hessenberga SYM symetryczna lub Hermitowska POSDEF dodatnio określona RECT prostokatna TRANSA A*X = B albo A *X = B Ustawianie pola opcji: np. opts.ut = true

27 linsolve A = triu(rand(5,3)); A = x = [ ]'; b = A'*x; b = y1 = (A')\b opts.ut = true; opts.transa = true; y2 = linsolve(a,b,opts) y1 = [ ]' y2 = [ ]'

28 (1) A - mxn, x = lscov(a,b); b - mx1 (mxk) : Ax = b lscov x wektor minimalizujacy (b A x) (b A x) (dla b - mxk: rozwiazania dla każdej kolumny b) gdy rank(a) < n: wybierany jest x o maksymalnej liczbie zerowych współrzędnych x= lscov(a,b,w); w wektor mx1 nieujemnych rzeczywistych wag x minimalizuje (b A x) diag(w) (b A x)

29 lscov x1 = [ ]'; x2 = [ ]'; X = [ones(size(x1)) x1 x2]; y = [ ]'; a = X\y a = [b,se_b,mse] = lscov(x,y) b = se_b = mse =

30 lscov w = [ ]'; [bw,sew_b,msew] = lscov(x,y,w) bw = sew_b = msew = e-004

31 (1) A nxn λ i - wartości własne v i - w A (λ) = det(a λi) (A λ i I) v i = 0 d = eig(a); d wektor wartości własnych A [V, D] = eig(a); D diagonalna macierz wartości własnych V macierz prawych wektorów własnych AV = VD (V macierz modalna) eig V 1 AV = D

32 eig w A (λ) = det(a λi) = λ 4 34λ 3 64λ λ λ 4 34λ 3 64λ = 0 λ i {34, 8, 0, 8} A = [ ] >> poly(a) ans = >>d = eig(a) d= >> chol(a)??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite.

33 eig >> eig(a) = (A λ i I) v i = 0 >> [V,D]=eig(A) V = D =

34 eig V 1 AV = D >> [V,D]=eig(A) V = D = >> D = inv(v)*a*v D =

35 eig (2) [V, D] = eig(a, nobalance ); Bez wstępnego równoważenia (skalowania) A - zalecane dla A zawierajacej niedokładne (zaokraglone) elementy o b. małej wartości.

36 eig B = [ *eps eps -eps/4 eps/ ]; B = >> [VB,DB] = eig(b) VB = DB =

37 eig B VB VB DB = 0??? VB = DB = >> B*VB - VB*DB ans =

38 eig B VN VN DN = 0??? >> [VN,DN] = eig(b,'nobalance') VN = DN = >> B*VN - VN*DN ans = 1.0e-014 *

39 balance poprawiajace uwarunkowanie zadania własnego (równoważenie) (1) A - macierz kwadratowa [T, B] = balance(a); T macierz podobieństwa, dla którego B macierz podobna B=T\A*T posiada możliwie zrównoważone wiersze i kolumny (ze względu na ich normę) B = balance(a); B zrównoważona macierz podobna do A

40 balance (równoważenie) (2) [S, P, B] = balance(a); S wektor skalujacy (współrzędne to całkowite potęgi 2) P wektor permutujacy T(:,P) = diag(s) oraz B(P,P) = diag(1./s)*a*diag(s) B = balance(a, noperm ); B tylko skalowanie A (bez permutacji)

41 balance (równoważenie) (3) Zadanie własne dla niesymetrycznych często bywa źle uwarunkowane. Miara uwarunkowania modalnej jest cond(v) = norm(v)*norm(inv(v)), gdzie [V,T] = eig(a)

42 balance A = [ ; ; ] A = 1.0e+04 * [T,B] = balance(a) T = 1.0e+03 * B = [V,E] = eig(a); V =

43 balance [V,E] = eig(a); V = cond(v) = e+003 [V,E] = eig(b); V = cond(v) = cond(t) = 8192

44 expm Wykładnicza funkcja A nxn X = expm(a); e A = I + A + A2 2 + A X wykładnicza funkcja e A Jaki będzie wynik działań: [V,D] = eig(x); V*diag(exp(diag(D)))/V? Czy exp(a)=expm(a)?

45 expm A = >> exp(a) = >> expm(a)= E=zeros(size(A)); F=eye(size(A)); k=1; while norm(f,1)>0 E=E+F; F=A*F/k; k=k+1; end E =

46 expm >> [V,D]=eig(A) V = D = >> E = V*diag(exp(diag(D)))/V E =

47 logm Logarytm L = logm(a); L główny logarytm kwadratowej A [L, exitflag] = logm(a); existflag informacja o uzyskanym wyniku: 0 - obliczenia zakończone pomyślnie 1 - uwaga: wynik może być niedokładny Dla osobliwych oraz posiadajacych wartości własne o ujemnej części rzeczywistej funkcja logm jest niezdefiniowana Czy zawsze obowiazuj a równości logm(expm(a)) = A = expm(logm(a))?

48 logm >> A = Y = expm(a) Y = A = logm(y) A = log(a) ans = 0 0 -Inf -Inf -Inf Inf -Inf i

49 sqrtm Pierwiastek kwadratowy (1) X = sqrtm(a); X główny pierwiastek kwadratowej A X*X = A Osobliwa A może nie posiadać pierwiastków. Jako jednoznaczny X wybierany jest ten pierwiastek A, który ma wartości własne o nieujemnch częściach rzeczywistych Dla A z wartościami własnymi o ujemnych częściach rzeczywistych X ma elementy zespolone.

50 sqrtm A jest rzeczywista, sysmetryczna i dodatnio określona A = Y = sqrtm(a) Y =

51 sqrtm A jest zespolona, hermitowska i dodatnio określona A = i i A' = i i sqrtm(a) = i i i i

52 A może posiadać kilka pierwiastków sqrtm A = >> Y11 =sqrtm(a) Y11 = Y12 = Y21 = Y22 = [V,D] = eig(a); S = sqrt(d) S = >> V*S/V

53 svd według wartości szczególnych (1) s = svd(x); s wektor wartości szczególnych A [U, S, V] = svd(x); S uogólniona diag. macierz wartości szczegól. U unitarna macierz lewych wektorów szczegól. V unitarna macierz prawych wektorów szczegól. X = U*S*V (diag (S) nierosnaco)

54 svd X = >> [U,S,V] = svd(x) U = S = V =

55 svd według wartości szczególnych (2) [U, S, V] = svd(x,0); Oszczędny algorytm svd: dla X - mxn oraz m > n wyznacza się pierwsze n kolumn U, zaś S - nxn. [U, S, V] = svd(x, econ ); Oszczędny algorytm svd dla X - mxn: m >= n wykorzystuje się svd(x,0), m < n wyznacza się pierwsze m kolumn V, zaś S - mxm.

56 svd X = >> [U,S,V] = svd(x,0) U = S = V =