Języki Modelowania i Symulacji

Transkrypt

1 Języki Modelowania i Symulacji Podstawowe Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 8 listopada 2011

2 Literatura: 1. D. Kincaid, W. Cheney: Analiza numeryczna, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, P. Davis, W.: Differential Equations - Modelling with MATLAB, Prentice Hall, Dokumentacja MATLABA i SIMULINKA. 4. B.Mrozek, Z. Mrozek: MATLAB Uniwersalne środowisko do obliczeń naukowo-technicznych, Kraków T.P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów - Od teori do zastosowań, Warszawa 2009.

3 O czym będziemy dziś mówili?

4 cond Wskaźnik (liczba) uwarunkowania c = cond(x); oraz c = cond(x,p); cond(x,p) odpowiada norm(x,p) * norm(inv(x),p) cond(x) odpowiada cond(x,2) inf odnosi się do p=inf fro odnosi się do Frobeniusa

5 rcond Oszacowanie odwrotności wskaźnika uwarunkowania w 1-normie c = rcond(a); Dla dobrze uwarnkowanych c jest bliskie jedności, dla złych - zeru

6 norm Norma lub wektora n = norm(a); oraz n = norm(a,p); Gdy A jest macierza: p=1 max(sum(abs(a))) p=2 max(svd(a)), (Singular Value Decomposition) p=inf max(sum(abs(a ))) p= fro sqrt(sum(diag(a *A))), (norma Frobeniusa) Gdy A jest wektorem: norm(a) norm(a,2) p=inf max(abs(a)), p=-inf min(abs(a))

7 norm x = [ ] %norma euklidesowa sqrt( ) ans = >> norm(x,1) ans = 6 >> norm(x,2) ans = >> norm(x,inf) ans = 3 x = >> norm(x,1) ans = 6 >> norm(x,2) ans = >> norm(x,inf) ans = 7 >> norm(x,fro) ans =

8 normest Oszacowanie 2- S macierz kwadratowa (nie musi być rzadka!) nrm = normest(s); nrm = normest(s,tol); Względny bład oszacowania tol (domyślna wartość tego błędu to 1.e-6) [nrm, iter] = normest(s,...); Informacja o liczbie iter wykonanych mnożeń S*S

9 normest x = >> norm(x,2) ans = >> [nrm,ite] = normest(x) >> nrm = >> ite = 3 >> [nrm,ite] = normest(x,1.e-16) >> nrm = >> ite = 7

10 null Ortonormalna podprzestrzeni zerowej Z = null(a); Podstawa algorytmu jest rozkład svd (Singular Value Decomposition) danej Czy norm(a*z) = 0? A = [ ]; Z = null(a) Z =

11 null Ortonormalna podprzestrzeni zerowej Czy norm(a*z) = 0? A*Z ans = 1.0e-015 * Z'*Z ans = norm(a*z,1) < 1e-12 >> ans = 1

12 null Z = null(a, r ); odpowiada próbie znalezienia całkowitoliczbowej bazy podprzestrzeni zerowej dla małych ZR = null(a,'r') >> ZR = >> A*ZR = >> ZR'*ZR =

13 orth Ortonormalna podprzestrzeni zasięgowej (obrazu) B = orth(a); Podstawa algorytmu jest rozkład svd danej Czy B *B = eye((a))?

14 orth A = >> b = orth(a) >> ans = [ ]' >> b'*b = 1 A = >> B = orth(a) ans = >> B'*B =

15 orth % dwa wektory liniowo niezależne v1 = [1; 2; 3]; v2 = [1; -2; 3]; % wektory nie są ortogonalne v1' * v2 = 6; V = [v1,v2] %Poszukiwanie ortonormlnej bazy dla tej samej przestrzeni W = orth(v) W = w1 = W(:,1); w2 = W(:,2) %wektory są ortogonalne w1' * w2 = e-17 w1' * w1 = 1 w2' * w2 = 1 W' * W =

16 orth x = 2 * v1-3 * v2 x = %obliczam współczynnik otzymany z rzutowania %wektora x na wektor w1 c1 = x' * w1 c1 = %obliczam współczynnik otzymany z rzutowania %wektora x na wektor w1 c2 = x' * w2 c2 = xw = c1 * w1 + c2 * w2 xw = error = x - xw error = 1.0e-14 * [ ]' norm(error) = e-15!!!

17 Rzad k = (A); oraz k = (A,tol); (A,tol) oszacowanie liczby wartości szczególnych danej większych niż tol Algorytm: s = svd(a); tol = max(size(a))*eps*(max(s)); r = sum(s > tol); A = >> s = svd(a) >> ans = [ ] >> tol = max(size(a))*eps*(max(s)) >> ans = e-015 >> r = sum(s > tol) >> ans = 2

18 trace Ślad t=trace(a); Algorytm: t = sum(diag(a)); A = >> trace(a) >> ans = 25

19 rref Algorytm eliminacji krokowej Procedura z częściowym wyborem elementów głównych R = rref(a); R forma A po krokowej eliminacja G-J próg dla pomijalnych elementów kolumnowych (max(size(a))*eps *norm(a,inf))... = rref(a,tol); tol narzucona tolerancja (próg)

20 rref Ax = b A = b = W = rref(w)= >> W\b =

21 rref Ax = b syms a b c A = b = [ a, b, c] 4 [ b, c, a] 8 [ 2*a + b, b + 3*c, a + c] 2 W = [ a, b, c, 4] [ b, c, a, 8] [ 2*a + b, b + 3*c, a + c, 2] R= [1,0,0, -(2*(- 13*c^2 + 4*a*c + 5*a*b))/ [0,1,0, -(2*(- 7*a^2 + 4*c*a + 5*b*c))/ [0,0,1,(2*(4*a*b - 15*a*c + 4*b*c + 5*b^2))/ /(- 2*a^2*c + b*a^2 - a*c^2 + 2*b*c^2)] /(- 2*a^2*c + b*a^2 - a*c^2 + 2*b*c^2)] /(- 2*a^2*c + b*a^2 - a*c^2 + 2*b*c^2)]

22 lu dla układu równań Ax = b Lz = b z = L 1 b Ux = z x = U 1 z Macierz A może być prostokatna [L, U] = lu(a); L permutacja dolnej trójkatnej, U macierz górna trójkatna [L, U, P] = lu(a); A = L*U L dolna trójkatna z jednostkowa diagonala U górna trójkatna, P macierz permutacji L*U = P*A

23 input n, (a ij ) for k = 1 to n do l kk = 1 for j = k to n do k 1 u kj (a kj l ks u sj ) end do s=1 for i = k + 1 to n do k 1 l ik (a ik l is u sk )/u kk end do s=1 end do output (l ij ), (u ij )

24 A = >> b=[1 2 3]' >> [L,U]=lu(A) L = U = x = inv(u)*inv(l)*b ans>> x = x = A\b ans>> x =

25 A = >> [L,U,P]=lu(A) L = U = P =

26 B = >> b=[1 2 3]' >> [L1,U]=lu(B) L1 = U = x = inv(u)*inv(l1)*b ans>> x = x = A\b ans>> x =

27 B = >> [L2,U,P]=lu(B) L2 = U = P =

28 L2 = P*L1 P*L1 ans = P*A - L2*U ans = d = det(a) >> ans d = 27 d = det(l)*det(u) >> ans d = 27

29 prod D = Iloczyn elementów B = prod(a,dim) Algorytm: [L, U] = lu(a); s = det(l); s*prod(diag(u))=??? >> prod(d) ans = 3 8 >> det(l)*prod(diag(u)) ans = -2

30 Wyznacznik det A = d = det(x); Algorytm: [L, U] = lu(a); s = det(l); d = s*prod(diag(u)); >> [L,U]=lu(A) L = U =

31 Wyznacznik det d = det(x); Algorytm: [L, U] = lu(a); s = det(l); d = s*prod(diag(u)); A = >> [L,U]=lu(A) L = U =

32 chol (1) R = chol(a); A dodatnio określona: R górna trójkatna, [R, p] = chol(a); A dodatnio określona: R *R=A R górna trójkatna, R *R=A, p=0 A nie jest dodatnio określona: R górna trójkatna, R *R=A(1:q,1:q), q=p-1

33 chol (2) L = chol(a, lower ); A dodatnio określona: L dolna trójkatna, [L, p] = chol(a, lower ) ; A dodatnio określona: L*L =A L dolna trójkatna, L*L =A, p=0 A nie jest dodatnio określona: L dolna trójkatna, L*L =A(1:q,1:q), q=p-1

34 chol A = >> R = chol(a) = >> R'*R =

35 chol n =3; >> X = pascal(n) X = >> X(n,n) = X(n,n)-1 X = >> chol(x)??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite. >> [R,p]=chol(X) R = p = 3

36 chol X = >> chol(x)??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite. >> [R,p]=chol(X) R = p = 3 >> R'*R =

37 chol A = >> L=chol(A,'lower')= >> L*L'=

38 chol X = >> L=chol(X,'lower')??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite. >> [L,p]=chol(X,'lower') L = p = 3 >> L*L'=

39 chol A = >> L = chol(a,'lower')= >> R = chol(a)= >> L'=

40 chol Ax = b x = A\b >> inv(a)= >> inv(r)*inv(l)= >> inv(l')*inv(l)=

41 dodatnio określona W przypadku, gdy A jest macierza rzeczywista: A jest macierza symetryczna i dla każdego niezerowego wektora x R n zachodzi: x T Ax > 0. Równoważna definicja mówi, że wszystkie wartości własne A sa dodatnie.

42 inv Macierz odwrotna Y = inv(x); Rozwiazanie równania A*x=b: x = A\b czy x=inv(a)*b?

43 inv Ax = b x = A\b n = 500; Q = orth(randn(n,n)); d = logspace(0,-10,n); A = Q*diag(d)*Q'; x = randn(n,1); b = A*x; tic, y = inv(a)*b; toc err = norm(y-x) res = norm(a*y-b) elapsed_time = err = e-006 res = e-007

44 inv Ax = b x = A\b elapsed_time = err = e-006 res = e-007 tic, z = A\b, toc err = norm(z-x) res = norm(a*z-b) elapsed_time = err = e-006 res = e-015

45 linsolve (1) A*X = B, (A - mxn, B - mxk) X - nxk X = linsolve(a,b); A kwadratowa: faktoryzacja A niekwadratowa: faktoryzacja QR [X, R] = linsolve(a,b); A kwadratowa: faktoryzacja, R = 1/cond(A) A niekwadratowa: faktoryzacja QR, R=(A)

46 linsolve (2) X = linsolve(a,b,opts); pole opcji właściwość LT dolna trójkatna UT górna trójkatna UHESS górna Hessenberga SYM symetryczna lub Hermitowska POSDEF dodatnio określona RECT prostokatna TRANSA A*X = B albo A *X = B Ustawianie pola opcji: np. opts.ut = true

47 linsolve A = triu(rand(5,3)); A = x = [ ]'; b = A'*x; b = y1 = (A')\b opts.ut = true; opts.transa = true; y2 = linsolve(a,b,opts) y1 = [ ]' y2 = [ ]'

48 (1) A - mxn, x = lscov(a,b); b - mx1 (mxk) : Ax = b lscov x wektor minimalizujacy (b A x) (b A x) (dla b - mxk: rozwiazania dla każdej kolumny b) gdy (A) < n: wybierany jest x o maksymalnej liczbie zerowych współrzędnych x= lscov(a,b,w); w wektor mx1 nieujemnych rzeczywistych wag x minimalizuje (b A x) diag(w) (b A x)

49 lscov x1 = [ ]'; x2 = [ ]'; X = [ones(size(x1)) x1 x2]; y = [ ]'; a = X\y a = [b,se_b,mse] = lscov(x,y) b = se_b = mse =

50 lscov w = [ ]'; [bw,sew_b,msew] = lscov(x,y,w) bw = sew_b = msew = e-004

51 lscov (2) x = lscov(a,b,v); V macierz mxm rzeczywista, symetryczna i dodatnio określona (kowariancja): x wektor minimalizujacy (b - A*x) *inv(v)*(b - A*x) V dodatnio półokreślona: x wektor minimalizujacy e *e przy ograniczeniu A*x + T*e = b, gdzie T*T = V (b musi należeć do obrazu Im [A T])

52 lscov V =.2*ones(length(x1)) +.8*diag(ones(size(x1))); [bg,sew_b,mseg] = lscov(x,y,v) bg = sew_b = mseg =

53 (3) lscov x = lscov(a,b,v,alg); alg chol orth [x, stdx] = lscov(...); szczegóły algorytmu wyznaczania x rozkład V rozkłady ortogonalne dla osobliwych (źle uwarunkowanych) V stdx oszacowania błędów uzyskanego x (0 - gdy przyjęto zerowa wartość danej współrzędnej x dla A o niepełnym rzędzie) [x, stdx, mse] = lscov(...); mse oszacowanie błędu średniokwadratowego x

54 lsqnonneg Zadanie z ograniczeniami (1) C - mxn, d - mx1 (rzeczywiste): x = lsqnonneg(c,d); min x Cx-d 2 2 przy x 0 x wektor minimalizuje normę reszty (C*x-d), x>=0 x = lsqnonneg(c,d,options); pole opcji Display TolX (funkcja optimset) znaczenie Sposób prezentacji wyników obliczeń: off żadanie braku wyświetlania final tylko wynik końcowy notify tylko w przypadku niezbieżności Kryterium zbieżności (próg)

55 lsqnonneg Zadanie z ograniczeniami (2) [x, resnorm] = lsqnonneg(...); resnorm kwadrat reszty (d-c*x) [x, resnorm, residual] = lsqnonneg(...); residual reszta (d-c*x) [x, resnorm, residual, exitflag] = lsqnonneg(...); exitflag >0 - oznacza zbieżność algorytmu, 0 - brak zbieżności

56 lsqnonneg Zadanie z ograniczeniami (3) [x, resnorm, residual, exitflag, output] = lsqnonneg(...); output struktura (rekord) informacji dodatkowych: pole rekordu algorithm iterations message znaczenie active-set Liczba wykonanych iteracji Komunikat o zakończeniu [x, resnorm, residual, exitflag, output, lambda] = lsqnonneg(...); lambda mnożniki Lagrange a (problem dualny): lambda(i) <= 0, gdy x(i) = 0 lambda(i) = 0, gdy x(i) > 0