Języki Modelowania i Symulacji

Transkrypt

1 e Języki Modelowania i Symulacji e Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 14 grudnia 2011

2 O czym będziemy mówili? e 1 e

3 e help sparse rzadka zawiera stosunkowo mała liczbę niezerowych elmentów w swoich komórkach. Oszczędność na: czasie obliczeniowym, pamięci do przechowywania. Na przykład macierz jednostkowa n n

4 e help sparse Czy potrzba tyle samo pamięci, aby przechować element zerowy i niezerowy? MATLAB używa trzech, żeby przechować macierz rzadka: wektor z niezerowymi elementami w formacie zmiennoprzecinkowym (nnz - długość wektora), wektor z indeksami wierszy odpowiadajacymi niezerowym elementom(nnz - długość wektora), wektor z ze wskaźnikami do poczatku każdej kolumny (n - długość wektora). Liczba bajtów potrzebna do zapisania j: 8 nnz + 4 (nnz + n)

5 help sparse e A = % konwersja A na macierz rzadką >> S = sparse(a) S = (3,1) 1 (2,2) 2 (3,2) 3 (4,3) 4 (1,4) 5 % powrót do postaci pełnej >> A == full(s);

6 help sparse e A = %bezpośrednie tworzenie rzadkich S = sparse([ ],[ ], [ ],4,4) S = (3,1) 1 (2,2) 2 (3,2) 3 (4,3) 4 (1,4) 5

7 help sparse e n = 5; E = eye(n) E = S = sparse(1:n,1:n,1); S = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 (5,5) 1

8 help sparse e whos Name Size Bytes Class Attributes E 5x5 200 double S 5x5 128 double sparse n 1x1 8 double Name Size Bytes Class Attributes E 100x double S 100x double sparse n 1x1 8 double

9 help sparse e Oczędność czasu obliczeniowego E-czas/S-czas Numer iteracji %Postać klasyczna tic E^2; toc Elapsed time is seconds. %Postać rzadka tic S^2; toc Elapsed time is seconds.

10 help sparse e spy(s) nz = 100

11 e help spy modeluje ósme stadium destylacji chemicznej nz = 1887 load west0479 spy(west0479) whos Name Size Bytes Class Attribute west x double sparse

12 e help sparse nnz(s) - zwraca liczbę niezerowych j nonzeros(s) - zwraca kolumnę niezerowych j nzmax(s) - zwraca liczbę miejsc zarezerwowanych na niezerowe elementy [i,j,s] = find(s) - zwraca indeksy wierszy i kolumn niezerwoych n = 5; S = sparse(1:n,1:n,1); nnz(s)-> ans = 5 nzmax(s)-> ans = 5 nonzeros(s)-> ans = [i,j,s] = find(s) i = [ ]' j = [ ]' s = [ ];

13 help sparse e B=speye(4); % macierz jednostkowa diagonalna [i,j,s]=find(b); [i,j,s] = B(3,1) = 42; ans =

14 e C = help sparse C=4*speye(4); C(1:3,4)=-1; C(4,1:3)=-1; C=4*speye(4); for k=1:3 C(k,4)=-1; C(4,k)=-1; end % to jest dopiero dobre podejście i = [ ]'; j = [ ]'; s = [ ]'; CSP = sparse(i,j,s);

15 e help spdiags Tworzenie j z jej diagonalnych S = spdiags(b, d, m, n) B = d = >> S = spdiags(b,d,7,4); >> full(s) S=

16 e macierz Zapisywanie siatki powiazań przedstawionej za pomoca grafu 1. Kasia Basia Zosia Gosia

17 e Graf połączeń gplot A = %kordynaty węzłów >> xy = [1 3; 2 1; 3 3 ; 2 5] >> gplot(a,xy)

18 e bucky Model czastki C 60, postać czystego węgla z 60 atomami w prawie sferycznej konfiguiracji Graf połączeń - piłka Bucky'ego [B,v]=bucky; gplot(b,v) axis equal

19 bucky e Graf połączeń - piłka Bucky'ego k = 1:30; [B,v] = bucky; gplot(b(k,k),v(k,:)) axis square for j=1:30, text(v(j,1),v(j,2),int2str(j),... 'FontName','Times New Roman','FontSize',16); end

20 bucky e Położenie niezerowych na płaszyźnie XY nz = 180 k = 1:30; [B,v] = bucky; spy(b)

21 bucky e

22 permutacja e p = [ ]; I = eye(5,5); %permutacja wierszowa P = I(p,:) P = %permutacja kolumnowa R = I(:,p) R =

23 permutacja e n=5; I=speye(n); p = [ ]; P = I(p,:) R = I(:,p) p = (1:n)*R I = P = R = (1,1) 1 (1,1) 1 (1,1) 1 (1,1) 1 (4,2) 1 (3,2) 1 (1,1) 1 (2,3) 1 (4,3) 1 (1,1) 1 (3,4) 1 (2,4) 1 (1,1) 1 (5,5) 1 (5,5) 1 p =

24 permutacja e Jak uzyskać wektor permutacji? n=5; S = [ones(1,n); ones(n-1,1) speye(n-1,n-1)]; A = full(s) j = colperm(s) j = p = sort(full(sum(spones(s)) p =

25 e permutacja Jaki wpływ może mieć wstępna permutacja j na wynik algorytmów Cholesky ego i LU? L = lu(s); nnz(l) ans = 23 fill(l) ans =

26 e permutacja Jaki wpływ może mieć wstępna permutacja j na wynik algorytmów Cholesky ego i LU? S = j = S1 = S(j,j); S1 =

27 e permutacja Jaki wpływ może mieć wstępna permutacja j na wynik algorytmów Cholesky ego i LU? S = j = S1 = S(j,:); S1 =

28 e permutacja Jaki wpływ może mieć wstępna permutacja j na wynik algorytmów Cholesky ego i LU? S1 = j = S2 = S1(:,j); S2 =

29 e permutacja Jaki wpływ może mieć wstępna permutacja j na wynik algorytmów Cholesky ego i LU? L = lu(s(j,j)); nnz(l) ans = 13 fill(l) ans =

30 symrcm e Zmiana uporzadkowania (metoda Cuthill-McKee) umieszcza niezerowe elementy w pobliżu głównej diagonali, zachowujac symetrię ich ułożenia nie daje gwarancji znalezienia minimalnej szerokości pasma, nadaje się zarówno dla symetrycznych i niesymetrycznych, użyteczna dla problemów long and thin.

31 symrcm e B nz = 180 B(p,p) nz = 180 B = bucky; p = symrcm(b); R = B(p,p);

32 symamd i colamd e Zmiana uporzadkowania (metoda Minimum Degree Ordering) bazuje na obserwacji zmiany liczby połaczeń węzłów podczas algorytmu eliminacji Gaussa macierz wynikowa jest rzadsza niż w przypadku zastosowania innych uporzadkowań, dla symetrycznych - symamd, dla niesymetrycznych - colamd.

33 symamd i colamd e B nz = 180 B(p,p) nz = 180 B = bucky; p = symamd(b); R = B(p,p);

34 lu e 4 n=length(b); B=B-3*speye(n); r = symrcm(b); p = symamd(b); nnz(lu(b)) ans = 1022 nnz(lu(b(r,r))) ans = 968 nnz(lu(b(p,p))) ans = 636

35 chol e 0 20 chol(b) 0 20 chol(b(r,r)) 0 20 chol(b(p,p)) nz = nz = nz = 348 n=length(b); B=B+4*speye(n); r = symrcm(b); p = symamd(b); nnz(chol(b)) ans = 541 nnz(chol(b(r,r))) ans = 514 nnz(chol(b(p,p))) ans = 348

36 eigs e eigs(a, B, k, sigma, opts) Funkcja ta pozwala na iteracyjne znajdowanie (domyślnie jest 6 największych) dla bardzo dużych i rzadkich. musi być kwadratowa. opts: lm - największe własne opts: sm - najmniejsze własne

37 eigs e 4 %Symetryczna dodatnio określona macierz o rozmiarze %632x632, 18 powtarza się dla 4 A = delsq(numgrid('c',30)); d = eig(full(a)); [dum,ind] = sort(abs(d)); dlm = eigs(a); dsm = eigs(a,6,'sm');

38 e 4 4 eigs(a,18,sigma) eigs eigs(a,18,4.0)??? %1/(lambda - 4.0) gdzie lambda jest estymatą % własnej sigma = 4-1e-6; [V,D] = eigs(a,18,sigma);

39 svds e A - mxn s = svds(a); (nie musi być rzadka!) s wektor sześciu największych A s = svds(a, k); s = svds(a,k, L ); s wektor k największych s = svds(a, k, sigma); s wektor k najbliższych skalarnemu sigma

40 e svds s = svds(a, k, sigma, options); opcja znaczenie domyślnie tol kryterium zbieżności: 1e-10 norm(av-us,1)<=tol*norm(a,1) (A=USV ) maxit ograniczenie liczby iteracji 300 disp liczba 0 wyświetlana w każdej iteracji Zwracane sa tylko te szczególne, dla których osiagnięto wymagana dokładność

41 svds e [U, S, V] = svds(a,...); U macierz mxk o ortonormalnych kolumnach S diagonalna kxk V nxk o ortonormalnych kolumnach U*S*V przybliżenie A (w 1-normie) o rzędzie najbliższym A [U, S, V, flag] = svds(a,...); flag = 0 zbieżność: norm(a*v-u*s,1) <= tol*norm(a,1)) 1 brak zbieżności)

42 svds e load west0479 s = svd(full(west0479)); display(s(1:4)) ans = 1.0e+005 * [ ] Elapsed time is seconds. sl = svds(west0479,4) sl = 1.0e+005 * [ ] Elapsed time is seconds.