AUTOMATYZACJA PROCESÓW DYSKRETNYCH 2014 PROBLEM PRZEPŁYWOWY: PERMUTACYJNY, BEZ CZEKANIA, BEZ PRZESTOJÓW

Transkrypt

1 AUTOMATYZACJA PROCESÓW DYSKRETNYCH 2014 Mariusz MAKUCHOWSKI Politechnika Wrocławska PROBLEM PRZEPŁYWOWY: PERMUTACYJNY, BEZ CZEKANIA, BEZ PRZESTOJÓW Streszczenie W pracy porównuje się harmonogramy różnych wariantów problemu przepływowego; problemu permutacyjnego, bez czekania i bez przestojów Ocenia się wpływ danego ograniczenia na wydłużenie harmonogramu oraz korelację długości harmonogramów dla wymienionych wariantów Bada się również efektywność zestawu algorytmów typu wstaw Do eksperymentów numerycznych wykorzystuje się znane z literatury przykłady testowe FLOW SHOP PROBLEM: PERMUTATION, NO-WAIT, NO-IDLE 1 Wstęp Summary The paper compares the schedules of different variants of the flow shop problem, namely permutation, no waiting and no idle flow shop problems It assesses the impact of the constraints on the extension of the schedules and on correlations of the length of the schedules for these variants It also examines the effectiveness of a set of insert type algorithms The efficiency of the algorithms is tested on well known literature benchmarks Problem przepływowy jest sztandarowym problemem w teorii szeregowania zadań Od kilkudziesięciu lat cieszy się on dużym zainteresowaniem zarówno ze strony teoretyków jak i praktyków Modeluje on wiele rzeczywistych systemów przemysłowych np taśmowe linie produkcyjne W ogólnym problemie przepływowym należy wykonać określoną liczbę zadań produkcyjnych Maszyny ustawione są w tzw ciągu technologicznym a każda maszyna odpowiedzialna jest za wykonanie określonego etapu produkcyjnego Zadania wykonywane są na wszystkich maszynach, przy czym marszruta technologiczna (kolejność odwiedzania maszyn przez zadanie) jest identyczna dla wszystkich zadań Harmonogramowanie zadań w systemie przepływowym polega na wyznaczeniu dopuszczalnych momentów rozpoczęcia i zakończenia wykonywania wszystkich z zadań na poszczególnych maszynach Celem optymalizacji jest wybranie takiego harmonogramu aby był on najlepszy w sensie zadanego kryterium Spośród istniejących kryteriów jednym z najczęściej badanych jest kryterium minimalizacji długości harmonogramu, czyli minimalizacji czasu zakończenia realizacji wszystkich zadań Harmonogram w którym kolejność wykonywania zadań na każdej z maszyn jest jednakowa, nazywany jest harmonogramem permutacyjnym Czasami pomimo, iż produkcja pozwala na wykonywanie harmonogramów niepermutracyjnych, to nakłada się sztuczne ograniczenie aby rozwiązanie było rozwiązaniem permutacyjnym Postępowa-

2 MMakuchowski nie takie posiada zalety w postaci zmniejszenia przestrzeni rozwiązań oraz zwiększenia efektywności pracy algorytmów Niestety w niektórych przypadkach instancji założenie te pozbawia nas możliwości znalezienia rozwiązania optymalnego 2 Model matematyczny Dany jest zbiór n zadań J = {1, 2,, n} oraz zbiór m maszyn M = {1, 2,, m} Każde zadanie j J ma być wykonane kolejno na maszynie, w kolejności zgodnej z numeracją maszyn Proces wykonywania zadania j J na maszynie l M nazywamy operacją i notujemy jako parę (j, l) Dla każdej operacji (j, l) dany jest p j,l > 0 czas jej realizacji Podstawowe założenia dotyczące produkcji to: (i) operacje wykonuje się bez przerw, (ii) maszyna może wykonywać co najwyżej jedną operację w danym momencie, (iii) nie można równocześnie wykonywać kilku operacji tego samego zadania Harmonogramem dopuszczalnym nazywamy S(j, l) momenty rozpoczęcia i/lub C(j, l) momenty zakończenia wykonywania operacji (j, l), l M, j J spełniającą wszystkie wymienione powyżej ograniczenia Pomiędzy momentami rozpoczęcia i zakończenia każdej z operacji zachodzi: C(j, l) = S(j, l) + p j,l Dla każdego dopuszczalnego harmonogramu można wyznaczyć funkcję jego oceny W niniejszej pracy rozpatrywane kryterium to C max moment wykonania wszystkich operacji; C max = max j J C(j, m) Problem polega na znalezieniu harmonogramu dopuszczalnego minimalizującego wybrane kryterium 21 Przypadki szczególne problemu przepływowego Uwzględnienie dodatkowych założeń odnośnie produkcji, powoduje nałożenie dodatkowych wymagań (ograniczeń) względem poszukiwanego harmonogramu Ze względu na dodatkowe ograniczenia problem przepływowy tworzy nowe szczególne przypadki W niniejszej pracy porównywać będziemy ze sobą trzy przypadki szczególne: permutacyjny problem przepływowym (ang permutation flow shop problem) - w którym wymaga się aby kolejność wykonywania zadań na wszystkich maszynach była jednakowa, [4, 5]; problem przepływowy bez czekania (ang no-wait flow shop problem) - w którym żąda się aby rozpoczęcie wykonywania danego zadania na kolejnej maszynie rozpoczynało się bezzwłocznie po zakończeniu obróbki na maszynie wcześniejszej, [6, 9]; (permutacyjny) problem przepływowym bez przestojów (ang no-idle flow shop problem) - żąda się, aby każda z maszyn pracowała bez przestoju, [2, 8] Kolejne wymienione problemy w notacji Grahama [3] oznacza się jako F C max, F no wait C max i F no idle C max Własności problemu bez czekania wymuszają, iż rozwiązanie dopuszczalne jest z definicji rozwiązaniem permutacyjnym Przeciwnie, samo ograniczenie bez przestojów nie wymusza permutacyjnego charakteru harmonogramu Jednakże, w dalszej części pracy odnosząc się do rozwiązań bez przestojów, będziemy mieli na uwadze wyłącznie permutacyjne harmonogramy bez przestojów Najczęściej dodatkowe ograniczenia bez czekania i bez przestojów wydłużają harmonogram, lecz nie jest to regułą Inne bardzo ciekawe własności powyższych problemów opisane

3 Problem przepływowy: permutacyjny, bez czekania, bez przestojów Harmonogram permutacyjny maszyna 1 J 1 J 2 J 3 maszyna 2 J 1 J 2 J 3 maszyna 3 J 1 J 2 J 3 Harmonogram z ograniczeniem bez czekania maszyna 1 J 1 J 2 J 3 maszyna 2 J 1 J 2 J 3 maszyna 3 J 1 J 2 J 3 Harmonogram z ograniczeniem bez przestojów maszyna 1 J 1 J 2 J 3 maszyna 2 J 1 J 2 J 3 maszyna 3 J 1 J 2 J 3 Rys 1 Harmonogramy problemu przepływowego z dodatkowymi ograniczeniami są w pracy [1] Przykładowe harmonogramy analizowanych problemów przedstawione zostały na rys 1 22 Model perutacyjno grafowy W każdym z wymienionych powyżej przypadków, dopuszczalny harmonogram może być jednoznacznie zdefiniowany przez sekwencję wykonywania zadań Dlatego wygodnie jest stosować model permutacyjno grafowy, w którym zmienną decyzyjną jest permutacja π zbioru zdań J; π = (π(1), π(2),, π(n)) Zbiór wszystkich możliwych permutacji oznaczamy przez Π Wartością kryterium jest długość najdłuższej ścieżki w skierowanym grafie: G(π) = (J M, E T E K (π)) (1) Wierzchołek (j, l), j J, l M reprezentuje operację (j, l) i ma obciążenie p j,l Zbiór nieobciążonych łuków E T reprezentuje zbiór ograniczeń technologicznych; E T = m j J l=2 {( (j, l 1), (j, l) )} (2)

4 MMakuchowski a) zadanie π(1) zadanie π(n) maszyna 1 π(1), 1 π(2), 1 π(n),1 maszyna 2 π(1), 2 π(2), 2 π(n),2 maszyna m π(1), m π(2), m π(n), m b) c) NI 1 π(1), 1 π(2), 1 π(n),1 π(1), 1 π(2), 1 π(n),1 π(1), 2 π(2), 2 π(n),2 π(1), 2 π(2), 2 π(n),2 NW π(1) NW π(n) NI m π(1), m π(2), m π(n), m π(1), m π(2), m π(n), m Rys 2 Modele grafowe harmonogramów: a) permutacyjny, b) z ograniczeniem bez czekania, c) permutacyjny z ograniczeniem bez postojów Zbiór nieobciążonych łuków E K (π) reprezentuje ograniczenia kolejnościowe wynikające z przyjętej kolejności wykonywania zadań; E K (π) = n i=2 l M {( (π(i 1), l), (π(i), l) )} (3) Graf G(π) dla permutacyjnego problemu przepływowego przedstawiony jest na rys 2a Ponieważ długość najdłuższej ścieżki w grafie G(π) oznaczonej przez C max (π) równa się momentowi wykonania wszystkich zadań, analizowany problem sprowadza się do znalezienia π arg min π Π C max(π) (4) W przypadku uwzględniania dodatkowego ograniczenia bez-czekania, najwygodniej jest transformować analizowany problem do asymetrycznego problemu komiwojażera [10] Jednakże można także uwzględnić ograniczenie bez czekania dodając do

5 Problem przepływowy: permutacyjny, bez czekania, bez przestojów grafu G(π) zbiór obciążonych łuków E NW = j J {( (j, m), (j, 1) )} (5) Łuk łączący ostatnią i pierwszą operację zadania j J jest obciążony ujemną sumą trwania wszystkich operacji tego zadania; NW j = p j,l (6) Graf reprezentujący rozwiązanie π problemu z ograniczeniem bez czekania przedstawiony jest na rys2b W przypadku gdy uwzględni się ograniczenie bez przestojów, model grafowy należy rozbudować o zbiór obciążonych łuków: E NI = {( )} (π(n), l), (π(1), l) (7) l M Graf reprezentujący sekwencje zadań π z ograniczeniem bez przestojów przedstawiony jest narys2c Łuk łączący ostatnią i pierwszą operacje wykonywaną na maszynie l M obciążony jest sumą czasów trwania operacji wykonywanych na tej maszynie; l M NI l = j J p j,l (8) W modelach permutacyjno grafowych analizowanych problemów występują pewne podobieństwa Struktura grafu prezentującego harmonogram z ograniczeniem bez czekania jest taka sama jak struktura grafu harmonogramu permutacyjnego z ograniczeniem bez przestojów; rys2 Mając tylko sam graf reprezentujący jedno z wymienionych uszeregowań, (przy niewidocznych nazwach wierzchołków) nie w sposób jest rozpoznać, który z harmonogramów jest modelowany Mimo podobieństwa grafów modelujących rozwiązania, właściwości omawianych problemów są różne Różnica wynika w zmianach jakie następują w grafach dla różnych permutacji zadań π Π Problem z ograniczeniem bez czekania byłby równoważny permutacyjnemu problemowi bez przestojów gdyby była ustalona kolejność wykonywania zadań, a zmienną decyzyjną była by sekwencja maszyn Podobnie, gdyby w permutacyjnym problemie bez przestojów należało wybrać sekwencję maszyn a kolejności zadań była by ustalona to odpowiadało by to dokładnie zagadnieniu bez czekania Różnica w omawianych problemach widoczna jest także w akceleracji obliczania wartości funkcji celu dla kolejności zadań π Π W przypadku ograniczenia bez czekania można dokonać wstępnych obliczeń (o złożoności obliczeniowej O(mn 2 )) wyznaczając przyrost długości harmonogramu dla każdej pary zadań Następnie wyznaczenie długości harmonogramu polega na wyznaczeniu sumy przyrostów odpowiednich wartości każdej pary sąsiednich zadań w permutacji π Złożoność obliczenia wyznaczenia długości harmonogramu (nie uwzględniając jednorazowych obliczeń wstępnych) wynosi w tym przypadku O(n) Podobnej akceleracji nie można zastosować w przypadku ograniczenia bez postoju, dla którego złożoność wyznaczenia długości harmonogramu wynosi O(nm) 3 Badania eksperymentalne W niniejszej części przebadany zostanie wpływ dodatkowych ograniczeń typu bez czekania, oraz bez przestoju na długość harmonogramu Badania podzielone zostały na trzy części w których porównywano kolejno:

6 MMakuchowski Średnia długość względna losowych harmonogramów Tabela 1 Grupa Typ harmonogramu instancji Permutacyjny Bez czekania Bez przestojów n m F min F avg F max F dev F min F avg F max F dev F min F avg F max F dev Wszystko wpływ dodatkowych ograniczeń na średnią długości harmonogramu; korelacja długości rozwiązań problemów przepływowych z dodatkowymi ograniczeniami; jakość generowanych rozwiązań generowanych dedykowanymi algorytmami typu wstaw Badania przeprowadzone zostały na znanych literaturowych 120 przykładach zaproponowanych w pracy [7] Przykłady te podzielone są na 12 grup po 10 instancji Grupy różnią się rozmiarem instancji, tj liczbą zadań n i/lub liczbą maszyn m Każda grupa identyfikowana jest parą n m 31 Średnia długość harmonogramów Badaniu poddany został wpływ dodatkowych ograniczeń w problemie przepływowym na średnie długości harmonogramów w poszczególnych grupach instancji Dla każdej z instancji problemu wyznaczono zestaw k = pseudolosowych sekwencji wykonywania zadań Następnie na ich podstawie wyznaczono 3 zestawy harmonogramów dla problemów przepływowych: permutacyjnego, z ograniczeniem bez czekania i ograniczeniem bez przestojów Dokładniej, dla każdej sekwencji stworzono odpowiednio po jednym harmonogramie danego typu Sekwencję długości harmonogramów permutacyjnych oznaczyliśmy przez X = (x 1, x 2,, x k ),sekwencję długości harmonogramów z ograniczeniem bez czekania jako ciąg Y = (y 1, y 2,, y k ),a sekwencję długości harmonogramów z ograniczeniem bez przestojów jako ciąg Z = (z 1, z 2,, z k ) Następnie wyznaczono referencyjną długość jako długość najkrótszego wygenerowanego harmonogramu permutacyjnego; ref = min i=1,,k x i Dla każdego z harmonogramów wyznaczono F względną długość harmonogramu w stosunku do wartości referencyjnej ref Dla każdej z instancji i każdego ograniczenia, dysponując zestawem względ-

7 Problem przepływowy: permutacyjny, bez czekania, bez przestojów Korelacje względnych długości harmonogramów Tabela 2 Typ harmonogramu: X - prermutacyjny; Y - bez czekania; Z -bez postoju n m CorrXY CorrXZ CorrY Z n m CorrXY CorrXZ CorrY Z Wszystko y z z x x y Rys 3 Wizualizacja korelacji przeskalowanych długości: x harmonogramów permutacyjnych, y harmonogramów bez czekania i z harmonogramów bez przestojów nych długości, wyznaczono kolejno: F min minimalną, F avg średnią, F max maksymalną względną długość, oraz F dev jej odchylenie standardowe Uśrednione, dla każdej grupy, wartości powyższych parametrów zawarte zostały w tabeli 1 32 Korelacja długości harmonogramów Badaniu poddana została korelacja pomiędzy długościami harmonogramów permutacyjnych, bez czekania i bez postojów W tej części testu wykorzystano zestawy względnych długości harmonogramów uzyskanych w wcześniejszym eksperymencie Dla każdej instancji, na podstawie ciągów X, Y i Z względnych długości harmonogramów wyliczono korelacje pomiędzy nimi Uśrednione wyniki dla każdej z grup przedstawiono w tabeli 2 Długości harmonogramów z dwoma różnymi ograniczeniami stworzonymi dla tej samej sekwencji zadań tworzą parę liczb którą można zaznaczyć na wykresie punktem Uwzględnienie całej serii punktów, generuje zbiór punktów w postaci chmury W artykule zostały zamieszczone wykresy korelacji dla jednej instancji Instancja ta(62-instancja Taillarda) z grupy charakteryzuje się największą wartością korelacji powyżej 07, uzyskaną pomiędzy Z długościami harmonogramów bez przestojów a X długościami harmonogramów permutacyjnych W przypadku pozostałych instancji, korelacje mają mniejsze wartości, a wykresy przybierają podobny charakter, lecz są bardziej rozmyte

8 MMakuchowski Tabela 3 Średnia długość względna harmonogramów otrzymanych algorytmami klasy NEH Grupa Typ harmonogramu instancji Permutacyjny Bez czekania Bez przestojów n m NEH NEH NW NEH NI NEH NEH NW NEH NI NEH NEH NW NEH NI Wszystko Algorytmy typu wstaw Algorytm typu wstaw, N EH [4] jest dedykowanym algorytmem konstrukcyjnym dla permutacyjnego problemu przepływowego z kryterium będącym momentem zakończenia wykonywana wszystkich zadań Ogólnie pisząc algorytm N EH działa iteracyjnie, tzn w każdym kroku iteracji umieszcza w budowanym harmonogramie kolejne zadanie Posługując się modelem permutacyjno grafowymdo, można powiedzieć, że do częściowej sekwencji zadań dodawany jest numer kolejno szeregowanego zadania Dokładny opis algorytmu bazujący na wymienionym modelu przedstawiony jest w pracy [5] Miejsce dokładanego zadania wybierane jest jako najlepsze z dostępnych pozycji Kryterium oceny jakości miejsca jest takie same jak kryterium rozwiązywanego problemu Dokładniej, w k-tym kroku kolejne zadanie można umieścić w k pozycjach Tworzonych jest więc k próbnych harmonogramów analizujących każde możliwe włożenie zadania Najlepszy z tych harmonogramów wyznacza szukaną pozycję dla dodawanego zadania Ponieważ, analizujemy trzy przypadki problemu przepływowego z różnymi ograniczeniami, automatycznie generuje to trzy wersje algorytmu NEH, NEH NW i NEH NI Poszczególne wersje różnią się między sobą tworzonymi częściowymi harmonogramami Klasyczny algorytm NEH ocenia częściowe sekwencje na podstawie długości permutacyjnego harmonogramu Analogicznie algorytmy NEH NW i NEH NI oceniają częściowe sekwencje zadań na podstawie długości harmonogramów z ograniczeniami bez czekania i bez przestojów Załóżmy, iż ostatecznym wynikiem działania każdego z omówionych algorytmów nie jest harmonogram lecz sekwencja wykonywania zadań Wtedy, dla każdej sekwencji odpowiadają harmonogramy z narzuconymi ograniczeniami (harmonogram permutacyjny, bez czekania i permutacyjny bez przestojów) Oznacza to iż, dla każdego z analizowanych problemów można zastosowań każdy z wariantów algorytmu NEH Badania polegały na wygenerowaniu dla każdej instancji 3 sekwencji

9 Problem przepływowy: permutacyjny, bez czekania, bez przestojów wykonywania zadań, przy pomocy algorytmów NEH, NEH NW i NEH NI Następnie wyznaczono po 3 harmonogramy dla każdego z analizowanych problemów (łącznie 9 harmonogramów dla danej instancji) Wyznaczono długości względne (względem rozwiązania referencyjnego z pierwszego testu) każdego z otrzymanych rozwiązań Uśrednione długości harmonogramów z analizowanymi ograniczeniami otrzymane każdą z wersji algorytmu zawarte są w tabeli 3 4 Podsumowanie Porównując modele grafowe ograniczenia bez czekania i bez przestojów, można spodziewać się iż, każde z tych ograniczeń w podobny sposób będzie wydłużać harmonogram produkcji Badania numeryczne potwierdzają przypuszczenia Widoczne jest to na przykładach w których liczba maszyn jest taka sama jak liczba zadań Przy braku symetrii, gdy liczba zadań przewyższa liczbę maszyn ograniczenie bez czekania powoduje znacznie większy wzrost długości harmonogramu w stosunku wzrostu długości wywołanego ograniczeniem bez przestojów Badania wykazały, znaczącą różnicę w przypadku analizy korelacji długości harmonogramów różnych typów Jedyna istotna korelacja długości uszeregowania występuje pomiędzy długością rozwiązania bez ograniczenia i z ograniczeniem bez przestojów Nawet w przypadku instancji o rozmiarze istotna korelacja występuje tylko pomiędzy tymi typami harmonogramów Ograniczenie typu bez przestojów bardzo utrudnia konstrukcję efektywnego algorytmu typu wstaw Dzieje się tak dlatego, iż dodanie kolejnego zadania w dowolne miejsce częściowego rozwiązania zaburza cały harmonogram Nawet w przypadku dodania zadania na końcu uszeregowania następują zmiany momentów rozpoczęcia operacji od początkowych fragmentów harmonogramu W przypadku pozostałych analizowanych problemów takie zjawisko nie występuje W przypadku problemu z ograniczeniem bez przestojów badania numeryczne potwierdziły niską efektywność algorytmu typy wstaw Dla tego problemu algorytm NEH NI daje rozwiązania średnio o 10% gorsze niż algorytm wybierający najlepsze rozwiązanie z 10 tysięcy losowych harmonogramów Analogiczne algorytmy w przypadku problemu permutacyjnego i problemu z ograniczenim bez czekania dostarczają rozwiązania odpowiednio o 7% i o 28% lepsze niż analogiczny algorytm losowy Wykorzystując istnienie istotnej korelacji pomiędzy jakością rozwiązania permutacyjnego i bez przestojów, proponuje się aby drugi z problemów rozwiązać algorytmem dedykowanym dla problemu pierwszego Następnie na otrzymane rozwiązanie nałożyć ograniczenia problemu drugiego W ten sposób uzyskano rozwiązania problemu bez przestojów klasycznym algorytmem N EH Jakość otrzymanych rozwiązań jest lepsza o około 10% lepsza niż w przypadku zastosowania algorytm dedykowanego NEH NW i jest na poziomie najlepszego z 10 tysięcy rozwiązań losowych LITERATURA 1 Frits CR Spieksma, Gerhard J Woeginger, The no-wait flow-shop paradox, Operations Research Letters, vol 33(6), 2005, str

10 MMakuchowski 2 Goncharov Y, Sevastyanov S, The flow shop problem with no-idle constraints: A review and approximation, European Journal of Operational Research, vol 196(2), 2009, str Graham R, Lawler E, Lenstra J, Rinnooy Kan A: Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling: a survey, Annals of Discrete Mathematics, vol 5, 1979, str Nawaz M, Enscore Jr EE, Ham I A heuristic algorithm for the m-machine, n-job flow-shop sequencing problem The International Journal of Management Science, vol 11, 1983, str Nowicki E, Makuchowski M, Metoda wstawień w klasycznych problemach szeregowania Cześć I Problem przepływowy Komputerowo Zintegrowane Zarządzanie, Tom II, WNT Warszawa 2001, str Röck, H, The Three-Machine No-Wait Flow Shop is NP-Complete, Journal of Association for Computing Machinery, vol 31(2), 1984, str Taillard E: Benchmarks for basic scheduling problems, European Journal of Operational Research, vol 64, 1993, str Saadani N, Guinet A, Moalla M, 2005 A travelling salesman approach to solve the F/no-idle/Cmax problem, European Journal of Operational Research, Elsevier, vol 161(1), str Sviridenko, M, Makespan Minimization in No-Wait Flow Shops: A Polynomial Time Approximation Scheme, Journal on Discrete Mathematics, vol 16(2), 2003, str Wismer DA, Solution of the flow shop scheduling problem with no intermediate queues, Operational Research, vol 20, 1972, str