Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Transkrypt

1 Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych. Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z rozwojem geometrii związane jest nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki Euklidesowi geometria przedstawiana jest jako nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii dedukcyjnej zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za pomocą aksjomatów i definicji wyprowadza się twierdzenia. Figura geometryczna to dowolny zbiór punktów z przestrzeni euklidesowej. Do podstawowych figur geometrycznych zaliczamy: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń, które są pojęciami pierwotnymi geometrii. Każdy wyobraża sobie jakoś te obiekty i bez trudu potrafi wskazać ich modele. Każda figura geometryczna płaska posiada pewne własności przedstawione poniżej. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Figura wypukła i wklęsła Figurę geometryczną nazywamy wypukłą, jeśli każdy odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w

2 tej figurze. Figurę geometryczną, która nie jest wypukła, nazywamy wklęsłą. Figura ograniczona Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w żadnym kole nazywamy nieograniczoną. Brzeg i wnętrze figury Punkt B nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w każdym kole o środku w punkcie B znajdują się zarówno punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące. Punkt W nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli istnieje koło o środku w punkcie W zawarte w tej figurze. Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych tej figury. Figury przystające Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można nałożyć na drugą. Figury na płaszczyźnie

3 Figury przestrzenne:

4 Najważniejsze wzory i informacje o figurach geometrycznych płaskich: Kwadrat

5 Suma wszystkich kątów wynosi 360º. Kwadrat rysujemy łącząc 4 linie tej samej długości każdą pod kątem 90º Pole można wyliczyć ze wzoru: P = a*a Obwód można obliczyć mnożąc jedną długość boku razy 4: Ob = 4*a Prostokąt Suma miar kątów wynosi 360º. Obwód można wyliczyć ze wzoru: Ob= a*b Pole liczymy ze wzoru: P = a*b Trapez

6 Pole można wyliczyć ze wzoru: Obwód liczymy dodając długości jego boków. Trójkąt Suma miar kątów wynosi 180º. Obwód można wyliczyć dodając długości wszystkich boków. Pole można wyliczyć ze wzoru : Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. a<b+c b<a+c c<a+b

7 Trójkąt równoboczny Każdy z jego kątów ma miarę 60º. Aby obliczyć pole tego trójkąta korzystamy ze wzoru: Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: Zależności w trójkątach prostokątnych Długości boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 45º i 45º: Długości boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30º i 60º:

8 Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej c równa się sumie kwadratów przyprostokątnych a, b. c 2 =a 2 +b 2 Deltoid Pole można wyliczyć ze wzoru:

9 Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków. e, f - przekątne Romb Pole można wyliczyć ze wzoru: Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków. e, f - przekątne Równoległobok Suma kątów wewnętrznych wynosi 360º

10 Pole można wyliczyć ze wzoru: a*h Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków. Koło Obwód koła wyliczyć można ze wzoru: 2Лr Pole liczymy ze wzoru: Лr2 Л 3,14 Długość łuku liczymy ze wzoru: Wzór na pole wycinka koła: r promień

11 Sześciokąt Składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Pole liczymy, korzystając ze wzoru: Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 120º. Kąt środkowy okręgu opisanego, oparty na boku, ma miarę 60º. Promień okręgu opisanego: R=a Promień okręgu wpisanego: Obwód ma długość: 6a Najważniejsze wzory i informacje o figurach geometrycznych przestrzennych:,

12 Graniastosłup Wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych podstawami graniastosłupa i którego wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe. Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = 2Pp + Pb Objętość: V = Pp * H Jeżeli krawędzie są prostopadłe do podstawy, to graniastosłup zwany jest prostym. Prostopadłościan Graniastosłup o ścianach prostopadłych do podstaw. Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = 2(ab + ac +bc) Objętość: V = abc

13 Sześcian Składa się z sześciu kwadratów. Chcąc wyliczyć jego pole, korzystamy ze wzoru: Pc = 6a 2 Objętość: V = a 3 Posiada 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Ostrosłup Podstawą jest wielokąt, a bokami trójkąty o wspólnym wierzchołku. Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = Pp + Pb gdzie: Pc pole całkowite, Pp pole podstawy, Pb pole boczne Objętość: V = 1/3 Pp * H

14 Stożek Pole powierzchni podstawy (koła): Pp = Лr 2 Pole powierzchni bocznej:pb = Лrl Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = Лr2 + Лrl =Лr(r+l) Objętość: V =1/3Лr2 * H Walec Pole powierzchni podstawy (koła): Pp = Лr 2 Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2Pp + Pb = 2Лr 2 + 2ЛrH =2Лr(r+H)

15 Pole powierzchni bocznej: Pb = 2ЛrH Objętość: V = Лr 2 * H Kula Objętość: V = 4/3*Лr 3 Kula o promieniu r ma objętość 4 razy większa niż stożek o promieniu podstawy r i wysokości r. Pole powierzchni: P = 4*Лr 2

16