BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE STANU USTALONEGO W MASZYNACH SYNCHRONICZNYCH W PRZYPADKU OKRESOWEJ ZMIENNOŚCI MOMENTU MECHANICZNEGO

Transkrypt

1 MICHAŁ RADZIK* BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE STANU USTALONEGO W MASZYNACH SYNCHRONICZNYCH W PRZYPADKU OKRESOWEJ ZMIENNOŚCI MOMENTU MECHANICZNEGO DIRECT DETERMINATION O THE STEADY STATE IN SYNCHRONOUS MACHINES OR PERIODIC VARIABILITY O MECHANICAL TORQUE Srezczenie Abrc W rykle przedwiono lgorym wykorzyjący meodę biln hrmonicznych do znjdowni rozwiązni n lonego w mzynie ynchronicznej pobdznej momenem mechnicznym z okreową kłdową przemienną zleżną od ką obro wirnik. Problem je komplikowny, gdyż obecność kłdnik okreowego prowdzi do zgdnień nieliniowych. Opin procedr pozwl n bezpośrednie wyzncznie widm orier njwżniejzych wielkości opijących mzynę ynchroniczną. Przykłdowe obliczeni wykonno dl ilnik ynchronicznego prcjącego w nie lonego ynchronizm i obciążonego momenem mechnicznym okreowo zmiennym o zdnym przebieg. Słow klczowe: n lony, mzyn ynchroniczn, widmo orier Thi pper preen n lgorihm h e he hrmonic blnce mehod for finding he edy-e olion in he momen of excied ynchrono mchine wih periodic mechnicl componen of he lerning depending on he ngle of roion of he roor. The problem i compliced bece he preence of periodic componen led o problem of nonliner. Thi procedre llow he direc deerminion of he orier pecr of he mo imporn volme decribing he ynchrono mchine. Smple clclion were performed for ynchrono moor opering in he e of ynchronim nd fixed mechnicl lod orqe vrying periodicly pecifed core. Keyword: edy e, ynchrono mchine, orier pecrm * Dr inż. Michł Rdzik, Zepół Plcówek Kzłceni Zwodowego, Nowy Sącz.

2 66. Węp Specyfik bdowy mzyn ynchronicznych prwi, że ą one wykorzyywne w roli prądnic lb ilników. Przy prcy prądnicowej jko kłdy npędowe oje ię m.in. ilniki plinowe []. Z kolei w roli ilnik mzyn ynchroniczn może być wykorzyn np.: do npęd dżych kompreorów łokowych []. W kich ycjch mogą pojwić ię kołyni (ocylcje) wymzone mzyn ynchronicznych []. Są one powodowne ym, że momen npędowy generor ynchronicznego lbo momen obciążeni ilnik ynchronicznego ą periodycznie zmienne. Przyczyną plowni momen mechnicznego je głównie pljący chrker iły dziłjącej n łoki cylindrów, wynikjącej ze zmiennego ciśnieni medim (plin) w cylindrch. Ocylcje momen mechnicznego, kóre zleżą od ką obro wł mzyny łokowej j, powodją whni prędkości o chrkerze plcyjnym, co w konekwencji prowdzi do whń ką mocy (ką obciążeni) J [4]. Zmienijąc ię w czie wielkość ką J pociąg z obą zminy mplid prądów w pozczególnych zwojenich mzyny ynchronicznej. Oddziływnie ką obro i prędkości kąowej wirnik n prądy i rmienie kojrzone w mzynie wymz, w cel wyznczeni n lonego, konieczność rozwiązywni równni mechnicznego łącznie z równnimi obwodów elekrycznych. W konekwencji orzymje ię kłd co njmniej ześci równń różniczkowych chrkeryzjących ię nieliniowością rkrlną, kórej głównym powodem je wyrżenie n momen elekromgneyczny wyępjące w równni mechnicznym, kóre zleży od prądów mzyny [5]. Wyznczenie w kim przypdk rozwiązni nliycznego nie je możliwe, gdyż nie oprcowno doychcz ogólnej meody rozwiązywni nieliniowych równń różniczkowych zwyczjnych. Wyjściem z ycji je zoownie meod nmerycznych pozwljących n znlezienie rozwiązni przybliżonego. Njbrdziej poplrn z nich prowdz ię do cłkowni równń dynmiki mzyny przy zdnych wrnkch począkowych. Rozwiąznie lone zykje ię kżdorzowo po odpowiednio dłgim czie cłkowni przekrczjącym cz rwni n nielonego, wywołnego pojwieniem ię kłdowej okreowej. Poz ym kie podejście nie pozwl wniknąć w ione włściwości przebiegów okreowych. Możliwość ką dje zoownie opinego w prcy [6] lgorym iercyjnego. Wykorzyje on meodę biln hrmonicznych do precyzyjnego i jednozncznego określni pozczególnych hrmonicznych w przebiegch zmiennych n mzyny. Koncepcj zoowni prezenownego lgorym zoł pokzn n przykłdowych obliczenich ymlcyjnych przeprowdzonych dl ilnik ynchronicznego jwnobiegnowego prcjącego ynchronicznie i obciążonego momenem mechnicznym z okreową kłdową przemienną będącą fnkcją ką obro wirnik. Wybrno ypowe wrnki prcy odpowidjące zilni zwojeń ojn z rójfzowej ieci zywnej, zwojeni wzbdzeni z ieci npięci łego. Pondo złożono liniowość obwod mgneycznego mzyny orz konrkcję ilnik czyniącą zdnym życie opi obwodowego przy dwoiowej reprezencji obwodów łmiących wirnik. Wobec powyżzych ogrniczeń meod biln hrmonicznych może być zoown, gdyż inieje pnk równowgi ycznej kłd, odpowidjący momenowi średniem.

3 67. Dooownie równń opijących mzynę ynchroniczną do meody biln hrmonicznych Rozwiązywnie równń mzyny ynchronicznej zpinych we wpółrzędnych nrlnych prwi dże rdności ze względ n zleżność indkcyjności włnych i wzjemnych mzyny od ką obro wirnik. Ione łwienie obliczeń zykje ię przez zpinie równń w innym kłdzie wpółrzędnych. W zleżności od powionego problem możn korzyć z zmiezczonych w prcy [7] goowych mcierzy rnformcji dl kłdów rójfzowych. Z nlizy przeprowdzonej w prcy [8] wynik, iż ojąc meodę biln hrmonicznych, wygodnie je połgiwć ię zepolonymi zeregmi orier. W związk z ym zdecydowno ię n prowdzenie równń mzyny ynchronicznej do kłd wpółrzędnych wirjących (0,, ). Prądy i npięci fz ojn po rnformcji do wybrnego kłd wpółrzędnych mją poć: i i i j j e e i i i e b c j ; π () j j e e b c (b) Ką obro n płzczyźnie zepolonej dobrno k, by npięci U b c co( ) co( 0 ) co( o 40 o ) w nowym kłdzie wpółrzędnych miły wrości łe. U U 0 0 () Równni mzyny ynchronicznej prowdzone do kłd wpółrzędnych wirjących przyjmją poć (4). Świdomie pominięo w nich zleżność dl kłdowej zerowej, gdyż równnie o m zerowe rozwiąznie i dodkowo prąd i 0 nie wyępje w żdnym z pozołych równń. Komple równń dynmiki mzyny ynchronicznej zykje ię dopiero po zpełnieni zleżności (4) równniem mechnicznym (4b).

4 68 Ri ψ ψ Ri ψ ψ f Ri f d f ψ f j d 0 0 R DD i ψ D 0 0 RQQ i ψq 0 (4) d ϕ dϕ J D Tem Tm( ϕ); Tem jpi ( ψ i ψ ) (4b) d d Pozkiwnymi wielkościmi w kłdzie równń (4, b) ą prądy i, i, i f, id, iq ( ) orz ką obro wirnik j. Ką en z pewnością nie może być przedwiony w poci zereg orier, co je wymgne przy oowni meody biln hrmonicznych, gdyż jego wrość ciągle nr w czie. W ej ycji względnienie przyjęych złożeń odnośnie do prcy ynchronicznej, wrnków zilni i mplidy kłdowej okreowej w momencie mechnicznym niepowodjącej wypdnięci mzyny z ynchronizm pozwl n zpi, j (W / p) Dj; Dj Dj( T ) (5) kóry po podwieni do równni mechnicznego modyfikje je do poci: d ϕ d ϕ J D Tem Tm( ϕ) D( / p) (6) d d Równni obwodów elekrycznych mzyny (4) zpełnione zmodyfikownym równniem rch (6) połżą jko pnk wyjści do dlzych obliczeń.. Równni biln hrmonicznych dl mzyny ynchronicznej W prcy [7] opino korzyny poób przedwini równń memycznych łwijący obliczeni z wykorzyniem meody biln hrmonicznych. Sojąc ię do proponownego zpi zleżności (4) i (6), łączy ię w jedno równnie wekorowe: w kórym: d d d ( x) ( x) 0( x) 0 (7) d T x [ i i i f id iq ϕ] ; ( x) [ J ϕ] ; T

5 69 ψ ( i, i, i f, id, iq, ϕ) ψ ( i, i, i f, id, iq, ϕ) ( x ) ψ f ( i, i, i f, id, iq, ϕ) ; ψ D( i, i, i f, id, iq, ϕ) ψq ( i, i, i f, id, iq, ϕ) D ϕ Ri jψ ( i, i, i f, id, iq, ϕ) U Ri jψ ( i, i, i f, id, iq, ϕ) U 0 ( x ) Ri U f f f RDD i RQQ i Tem ( i, i, i f, id, iq, ϕ) Tm( ϕ) D/ p Wekory x,, i 0 przewidje ię w poci zepolonych zeregów orier o nieznnym okreie T x p/w x /f x : I, k x x X k Ik I I I, φk jk f k ke, k Dk, jk, k e x k k k Qk, k, k, k 4, k 5, k 6, k jk x e ;, k e jkx k jk x e jkx ; 0 0, ke k k k, k, k 4, k 5, k 6, k 0, k 0, k 0, k 4 0, k 5 0, k 6 0, k jk x e (8) jk x e (9) nępnie podwi do równni wekorowego (7), co możliwi orzymnie lgebricznych związków między wpółczynnikmi pozczególnych zeregów. k jk x jk x ( k ) x, k e jkx, k e k 0, e k x k jk 0 (0) Kolejną czynnością je bilnownie zeregów polegjące n porównni do iebie wpółczynników przy ych mych fnkcjch bzowych po obydw ronch równni (0). W rezlcie orzymje ię kłd niekończenie wiel nieliniowych równń lgebricznych o niekończonej liczbie niewidomych (). Wykorzynie zproponownych w prcy [7] mcierzowych i wekorowych reprezencji zeregów orier pozwl n zpi zleżności () w kondenownej poci (), kór łwi zpiy formlne w dlzych epch prcy.

6 70, j dig 0,0 dig 0, j,,0, gdzie: W pf x E; E mcierz jednokow o wymirch [6 6] 0, 0,0 0, (W) (x) j W (x) 0 (x) () () 4. Wyzncznie częoliwości bzowej pozkiwnych rozwiązń W cel wyznczeni nieznnego okre T x przyjęo, że momen obciążeni ilnik ynchronicznego poid kłdową łą T 0 i kłdową monohrmoniczną o mplidzie T : T m (j) T 0 T co(m j) () Okreowość momen T m (j) względem ką dje ię prowdzić do okreowości względem cz. T m T m ( T x ) () Powyżzy zpi ozncz, że po pływie cz T x, powrz ię przebieg momen obciążeni n wle ilnik. W nie lonego ynchronizm i z względnieniem przyjęego we wępie poob zilni prędkość kąow ilnik ynchronicznego będzie ię whć okreowo z częoliwością kłdowej przemiennej momen mechnicznego f x. w W 0 Dw (W / p) Dw (W / p) Dw( T x ) (4) Z wyrżeni (4) i zleżności d ϕ ω wynik, że: d j (W / p) Dj; Dj Dj( T x ) (5) Momen obciążeni () przyjmje po względnieni () i (5) nępjącą poć: Tm ( ϕ) T T M ϕ T T M p p T x ϕ 0 co( ) 0 co T m (6) Aby po czie T x wyrżenie T0 T co M p p T x ϕ( ) było równe wyrżeni T0 T co M ϕ( ), co wynik z okreowości momen T p m (j) względem k j, o mi być pełniony wrnek:

7 7 M M T M ϕ M M ϕ π (7) p p p x Oecznie: T x (p/m) T gdzie: T /f okre zmin npięci w ieci rójfzowej (8) nomi częoliwość bzow pozkiwnych rozwiązń wynoi: f x (M/p) f (9) 5. Rozwiązywnie równń biln hrmonicznych Nieliniow zleżność wpółczynników równni () od pozkiwnego rozwiązni powodje, że do jego rozwiązni nleży zoowć meody nmeryczne, kóre pozwlją jedynie n znlezienie rozwiązni przybliżonego. W rozprywnym przypdk zdecydowno ię n procedrę iercyjną Newon-Rphon o ogólnej poci (0) ze względ n jej zybką zbieżność. gdzie: x i x i J(x i ) (x i ) (0) ( x) ( ) ( x) j ( x) ( x) () ( x) ( x) ( x) J( x) ( ) x x x 0 j x ( ) d, ( x) j d, ( x) d, 0( x) Do wyznczeni mcierzy d, (x), d, (x) i d,0 (x) zoowno poób poępowni opiny w prcy [8]. Zgodnie z nim nleży njpierw zbdowć mcierze (), dl kórych nępnie worzy ię ich zeregi orier (4) orz mcierzowe reprezencje (5). d,n i n ( x) ( x) i x i i i n, n, n, n, n, i i f id iq n, n, n, n, n, i f id iq n, n, n, n, n, n, i f id iq ϕ n,4 n, 4 n, 4 n, 4 n, 4 n, 4 i f id iq ϕ n, 5 n, 5 n, 5 n, 5 n, 5 n, 5 i f id iq ϕ n, 6 n, 6 i n, 6 n, 6 n, 6 6 f D Q n, ϕ n, i ϕ ; n { 0,, } () n, ϕ

8 7 d,n d,n d jk x ( x) n,k e ; n { 0,, } (4) k d d d n, n, n, ( x) d d d n, n, n, d d d n, n, n, dl n { 0,, } (5) Wzykie wekory i mcierze w równni (0) mją wymiry niekończone. Wykorzynie do jego rozwiązni komper nrzc konieczność ogrniczeni pozczególnych elemenów w związk (0) do rozmirów kończonych. Wrościmi począkowymi (rowymi) dl żyej procedry iercyjnej może być rozwiąznie n lonego w mzynie ynchronicznej, obliczone przy złożeni, że momen mechniczny poid ylko kłdową łą. 6. Wyniki bdń dl okreowego momen mechnicznego zleżnego od ką obro wirnik W cel zbdni echnicznej żyeczności opinego lgorym dokonno jego implemencji nmerycznej w progrmie komercyjnym MATLAB. Do obliczeń żyo dnych konrkcyjnych ilnik GAe-48 o dnych znmionowych P N 50 kw, U N 6 kv, coj N 0,9, n N 750 obr/min, J 50 kg m. Bdni ymlcyjne przeprowdzono dl dwóch wybrnych przypdków przebieg okreowego momen obciążeni n wle bdnego ilnik ynchronicznego: ) momen obciążeni opino zleżnością memyczną (6), nomi z wzykie pozołe prmery przyjęo dne znmionowe ilnik: T m (j) T N 0,T N co(j) (6) gdzie: T N momen znmionowy ilnik, b) momen obciążeni zmodelowno w poób pokzny n rynk. Pozołe wielkości żye w ymlcji przyjęo jko znmionowe zwiękzjąc jedynie dwkronie momen bezwłdności ilnik J J i obniżjąc prąd wzbdzeni do poziom I 0,9 I. f fn Ry.. Momen oporowy z okreową kłdową implową dl T z Nm, T Nm,, Dj 0,p ig.. The momen of reince of he periodic componen of he ple T z Nm, T Nm,, Dj 0,p

9 7 Wyniki obliczeń nmerycznych dl dwóch rozprywnych przypdków (, b) zprezenowno n kolejnych rynkch (odpowiednio ry. i ry. ). Przedwiją one widm mplidowe kilk njwżniejzych hrmonicznych prąd ojn fzy, prąd wzbdzeni orz prędkości kąowej ilnik z wykorzyniem kli decybelowej, ze względ n dże różnice w wrościch pozczególnych hrmonicznych. Przejście z prezenownych w dziedzinie częoliwości rozwiązń n przebiegi czowe nie nowi więkzego problem. W ym cel nleży orzymne z lgorym iercyjnego (0) zbiory wrości wpółczynników Ik, Ik, I f, k, IDk,, IQk orz f k o indekch N k N podwić do nępjących zeregów orier: N N j k i Ik e Ik e kn kn N ( x) j( kx) I f k f p k co[ π( ( / )) α k] (7) kn N jk x if I f, k e I f, 0 I f,k co( πk ( f / p) βk ) (8) k N k N jk x ω( ) jk xφk e k co( πk ( f / p ) γk ) p p k 0 kn Chrker prezenownych widm mplidowych wielkości pomirowo doępnych w ilnik ynchronicznym kzje zleżność pomiędzy rodzjem pojwijących ię w pozczególnych przebiegch hrmonicznych wyępjącym n wle mzyny ynchronicznej momenem mechnicznym. Njbogzym źródłem informcji ą w obydw przypdkch widm mplidowe prąd ojn, kóre zwierją bliko dwkronie więcej hrmonicznych niż odpowidjące im widm prąd wzbdzeni i prędkości kąowej. W widmie z rynk dominje hrmoniczn I 0 o częoliwości f 0 50 Hz. Kolejne hrmoniczne o nmerch I i I mjące częoliwości odpowiednio f 7,5 Hz i f 6,5 Hz poidją mplidy bliko kronie mniejze od mplidy kłdowej I 0. Podobnie wygląd ycj z kolejnymi hrmonicznymi I i I, kórym odpowidją częoliwości f 5 Hz i f 75 Hz. Ich mplidy ą jż o pond czery rzędy wielkości mniejze od mplidy kłdowej zerowej. Brk w prezenownym widmie hrmonicznej I 4 wynik z fk, że jej częoliwość powinn wynoić f 4 0 Hz, co odpowid wrości średniej prąd ojn fzy. Dl przyjęych złożeń wrość wynoi zero. W widmie mplidowym prąd wzbdzeni (ry. b) dominje hrmoniczn I f,0 odpowidjąc wrości średniej ego prąd. Kżd z kolejnych hrmonicznych m wrość mniejzą od poprzedniej, różnic między dwom kolejnymi kłdowymi wynoi co njmniej dw rzędy wielkości. Tkie me relcje możn dorzec pomiędzy pozczególnymi hrmonicznymi widm prędkości kąowej wirnik (ry. c). W przypdk momen obciążeni ze kłdową implową w widmie prąd ojn (ry. ) również dominjącą je kłdow I o częoliwości f 0 50 Hz. Amplidy dwóch 0 N N k (9)

10 74 Ry.. Widm orier dl momen obciążeni ze kłdową monohrmoniczną: ) prąd ojn fzy (poziom odnieieni I ), b) prąd wzbdzeni (poziom odnieieni I f, ), c) prędkości kąowej wirnik (poziom odnieieni W ) ig.. orier pecrm for he lod orqe of mono-hrmonic componen of : ) or crren phe (reference level I ), b) roor crren, (reference level I f, ), c) nglr velociy (reference level W ) kolejnych hrmonicznych I i I o częoliwościch odpowiednio 7,5 Hz i 6,5 Hz ą od niej bliko o rzy mniejze. Nomi mplidy kłdowych I i I o odpowidjących im częoliwościch 5 Hz i 75 Hz ą jż około pięćekronie mniejze od mplidy kłdowej I 0. Wrości kolejnych kłdowych widm oiągją corz mniejze mplidy w onk do kłdowej zerowej. Brk obecności n omwinym rynk kłdowej I 4 o częoliwości f (50/4) 0 Hz świdczy o brk różnej od zer wrości średniej prąd ojn. Zdecydownie mniejze od ąiednich kłdników widm mplidy hrmonicznych o nmerch k ±0, ±0, ±0 ą konekwencją jedynie nieliniowości kłd równń opijących mzynę ynchroniczną. Z zleżności f k f k ( f / p) wynik, że w widmie mplidowym prąd ojn kżd częoliwość pojwi ię dwkronie. Hrmoniczne I, I, I, I 0, I, I, I, I 4,, mją częoliwości odpowiednio,5 Hz, 5 Hz, 7,5 Hz, 50 Hz, 6,5 Hz, 75 Hz, 87,5 Hz, 00 Hz,. Tkie me częoliwości przypine ą do kłdowych I 5, I 6, I 7, I 8, I 9, I 0, I, I,, z ą jednk różnicą, że kłdowe e

11 75 wirją w kiernk przeciwnym do kiernk wirowni hrmonicznych I, I, I, I 0, I, I, I, I 4,. Ozncz o, że prądy ojn będą nieymeryczne. Oczywiście dl dżych wrości k odpowiednie hrmoniczne ą brdzo młe, więc wpomnin ymeri prądów będzie prkycznie niezwżln. Niewyklczone, że dl innych dnych nieymeri prądów ojn będzie ię powiękzć i zjwiko ymerii nie ię zwżlne. Ry.. Widm orier dl momen obciążeni ze kłdową implową: ) prąd ojn fzy (poziom odnieieni I ), b) prąd wzbdzeni (poziom odnieieni I f,0 0 7 ), c) prędkości kąowej wirnik (poziom odnieieni W ) ig.. orier pecrm for he lod orqe of he ple componen of : ) or crren phe (reference level I ), b) roor crren (reference level I f,0 0 7 ), c) nglr velociy (reference level W ) W widmie prąd wzbdzeni z rynk b njwyżzą wrość oiąg hrmoniczn I f,0 o częoliwości 0 Hz. Amplid kolejnej hrmonicznej I f, o częoliwości równej,5 Hz

12 76 m wrość pond yiąckronie mniejzą od wrości kłdowej zerowej. Wrz ze wzroem k mleją mplidy kolejnych hrmonicznych. Mniejze wrości kłdników widm o nmerch k 0, 0, ą powodowne brkiem ychże hrmonicznych w momencie obciążeni ilnik. Rozkłd widm orier prędkości kąowej wirnik (ry. c) przypomin rozkłd widm mplidowego prąd wzbdzeni (ry. b). Różnic poleg przede wzykim n ym, że kolejne hrmoniczne w widmie prędkości mleją wolniej niż w przypdk kłdowych I f,k. 7. Wnioki W rykle opino lgorym, kóry pozwl n wyzncznie n lonego w mzynie ynchronicznej prcjącej w nie lonego ynchronizm i wpółprcjącej z mzyną roboczą chrkeryzjącą ię ym, że momen mechniczny n wle mzyny ynchronicznej zwier okreową kłdową przemienną zleżną od ką obro wirnik. Orzymne w wynik zoowni opinej procedry rozwiąznie je wyznczone bezpośrednio w dziedzinie częoliwości, nowią je między innymi widm orier prąd ojn i prąd wzbdzeni orz prędkości kąowej wirnik. Widm e chrkeryzją ię ym, że pozbwione ą ł i zwierją ylko e kłdowe, kóre rzeczywiście ą rozwiązniem powionego zgdnieni. W związk z ym prezenowny lgorym może nowić przydne nrzędzie do nlizy włściwości dynmicznych mzyn ynchronicznych w fzie poznwczej i bdwczej. Lierr [] Pwlik M., Srzelczyk., Elekrownie, wydnie piąe zmienione, WNT, Wrzw 009. [] Lible Th., Die Theorie der Synchronmchine im nichionären Berieb, Springer-Verlg, Berlin/Göingen/Heidelberg 95. [] Pzek W., Dynmik mzyn elekrycznych prąd przemiennego, Wydwnicwo Helion, Gliwice 998. [4] Anzczyk J., Mzyny elekryczne w energeyce. Zgdnieni wybrne, WNT, Wrzw 005. [5] Skwrczyńki J., Teril Z., Mzyny elekryczne, Skryp AGH nr 50, Krków 997. [6] Rdzik M., Algorym bezpośredniego określni nów lonych w mzynch ynchronicznych z względnieniem równni rch, prc dokork, Poliechnik Krkowk, Krków 0. [7] Sobczyk T.J., Meodyczne peky modelowni memycznego mzyn indkcyjnych, WNT, Wrzw 004. [8] Sobczyk T.J., Direc deerminion of wo-periodic olion for nonliner dynmic yem, Compel, Jme & Jme Science Pb. Ld., Vol., No., 994.