GEOMETRIA GEOMETRIA

Transkrypt

1 GEOMETRIA WYKONALI: Jek Dąrwski Kludiusz Dyjs Tmsz Wwrzyński

2 Temt: Widmśi wstęne. AKJOMAT - w, którym zwrt jest ewn nieudwdniln rwd. Jest t ewnik. Aksjmtów nie udwdni się. NAUKA DEDUKCYJNA - nuk ierją się n zirze ksjmtów, ewników. GEOMETRIA - dził mtemtyki, któreg rzedmitem jest dnie figur gemetryzny i zleŝnśi między nimi. FIGURA GEOMETRYCZNA - dwlny ziór unktów. Kwłek istrii gemetrii! Gemetri rzwijł się d njdwniejszy zsów. Istnił głównie jk nuk rktyzn ( miry dległśi, knstrukje udwlne ). Pierwsze róy udwy gemetrii jk nuki djęt w VI wieku.n.e. w Greji, tm teŝ ndn jej nzwę ge - ziemi, metr- mierzę. Grey w myśl kneji rzyzyn wduje skutek dwidli n dw ytni: jk? i dlzeg?. Gemetri sługuje się strkją ( myśleniem strkyjnym ), t jest derwniem d knkretnej mterii niezmiennym w zsie. Złty wiek Greji dł kilku wyitny uzny: Tles z Miletu, Pitgrs, Arystteles, Zenn z Elei, Arimedes. Z zsem gemetri uległ rzwjwi wstwły rz t nwsze jej głęzie. W drdzeniu wstł gemetri rzutw. N rzełmie XVII i XVIII wieku wstł gemetri nlityzn (Krtezjusz ) związn z wstniem nwy linii. W XIX wieku wstł gemetri róŝnizkw ( Riemnn ). Pzwlł n między innymi wyznzyć kąt rzeięi krzywy sługują się runkiem dny. Równlegle nstąił wrót d rzwŝń zyst gemetryzny dją dstwy gemetrii wykreślnej. Pd knie XIX wieku mtemtyy ( Łzewski ) rwli nd zrzezeniem ksjmtów Euklides w efekie drwdził d wstni gemetrii nieeuklideswej ( gemetrii Łzewskieg ). ELEMENTY( mtemtyzne dzieł EUKLIDEA). Euklides wydł swje dzieł w III wieku.n.e. Zwierł n łą ówzesn wiedzę mtemtyzną. Zstł wydne we wszystki język świt. Euklides rzyjął ez dwdu kilk twierdzeń, które nzwł ksjmtmi ( ewnikmi ) i z ni wyrwdził wszystkie zstłe twierdzeni gemetrii. Dwdzą tw. gemetrii włujemy się n ksjmty i twierdzeni rzedni udwdnine. Teri dedukyjn musi yć: - niesrzezn - ksjmty muszą rwdzić d jednznznie rzmiąy zdń - niezleŝn - jeden ksjmt nie mŝe yć wniskiem inneg - zuełn - kŝde twierdzenie musi dć się udwdnić z ukłdu ksjmtów Elementy Euklides skłdją się ze wstęu i XIII ksiąg. We wstęie znjduje się 35 kreśleń, 5 ksjmtów i 5 stultów. KIĘGA I - Twierdzeni trójkąt ( m. in. Twierdzenie Pitgrs ) i rsty. KIĘGA II - Alger rzedstwin w ssó gemetryzny. KIĘGA III,IV - Teri kręgu. Wielkąty wisne i isne n kręgu. KIĘGA V - Teri rrji. KIĘGA VI - Teri dieństw. KIĘGA VII - KIĘGA VIII - X - Arytmetyk liz nturlny. KIĘGA XI - XIII - teremetri ( gemetri rzestrzenn ). ystem gemetrii euklideswej sidł ewne luki, które zstły usunięte rzez Hilert w 899 rku. Hilert głsił wlną d luk gemetrię euklideswą. Gemetri euklidesw wstje z gemetrii slutnej w łązeniu z ksjmtem Euklides.

3 AKJOMAT EUKLIDEA - rzez kŝdy unkt rzedzi dkłdnie jedn równległ d dnej. Pjęimi ierwtnymi gemetrii slutnej są :.Relje: Є - inydenji rzynleŝnśi І - rzdzielni - rzystwni.ziry: { A,B,C,...}- unkty {,,,...} - rste {,β,χ,...} - łszzyzny Oier się n n ztere gru ksjmtów: - inydenji - rzdzielni - rzystwni - iągłśi Przykłdy ksjmtów :.Z kŝdą rstą inydentne są njmniej dw unkty..jeŝeli A B C t unkty ABC są wsółliniwe. 3.Od dwlneg unktu nleŝąeg d rstej mŝn jednznznie u strn dłŝyć dinki O O i OO rzystjąe d dneg dink AB. A B AB O O OO Temt: Pdstwwe jęi gemetrii. I. Def. Odległśią (metryką ) nzywmy funkję d,któr kŝdej rze unktów rzyrządkwuje nieujemną lizę rzezywistą rz sełni wrunki: ) d ( A,B ) 0 AB ) d ( A,B ) d ( B,A ) 3) d ( A,B ) d ( A,C ) d ( C,B ) -nierównść trójkąt Przykłd ) Odległść n łszzyźnie A (, ) B ( 4.4 ) d ( A,B ) ( x x ) ( y y ) 3 3 B A B A )

4 A (, ) B ( 4,4 ) d ( A,B) Def. Odinkiem nzywmy ziór wszystki unktów leŝąy między unktmi A i B rz unkty A i B. AB { P.; A P B AB} Def. Długśią dink AB nzywmy dległść jeg kńów i znzmy AB lu (AB) Def. Punkt O nleŝąy d rstej k dzieli tę rstą n dwie zęśi zwne ół rstymi. JeŜeli dne są dw unkty O i A t ół rstą zątku O i rzedząą rzez unkt A nzywmy ziór wszystki unktów P. tki, Ŝe: O P A lu O A P. Def. Dwie ół rste wsólnym zątku nzywmy kątem. UWAGA: Def. Część łszzyzny wyiętą rzez dwie ół rste wsólnym zątku nzywmy kątem.

5 ) JeŜeli rmin kąt krywją się t kąt nzywmy zerwym. ) JeŜeli rmin kąt uzuełniją się d rstej t kąt nzywmy ółełnym.

6 Def. Okręgiem śrdku O i rmieniu r>o nzywmy ziór unktów łszzyzny, dległść d unktu O jest równ r. O(O,r){ który Def. Okręgiem śrdku O i rmieniu r>o nzywmy ziór unktów łszzyzny, który dległść d unktu O jest równ r. O(O,r){P.;d(O,P.)r} JeŜeli r 0 t krąg nzywmy zdegenerwnym. Def. Kłem śrdku O i rmieniu r>o nzywmy ziór unktów łszzyzny, który dległść d unktu O jest nie większ niŝ r. k(o,r){p.;d(o,p.) r} Figurę nzywmy grnizną jeśli zwier się n w ewnym kle. Figurę nzywmy niegrnizną jeśli nie zwier się n w Ŝdnym kle..odinek jest figurą grnizną..kąt jest figurą niegrnizną. Def. Otzeniem kłwym kt.a rmieniu r nzywmy ziór {P.:d(A,P.)<r}.

7 Def. Punktem rzegwym figury F nzywmy unkt tki, Ŝe w kŝdym jeg tzeniu kłwym znjdują się zrówn unkty nie nleŝąe d niej.ziór wszystki unktów figury nzywmy tzeniem rzegwym figury F. Def. Otzeniem kłwym kt. A rmieniu r nzywmy ziór {P, d (A, P)< r}. Def. Punktem rzegwym figury F nzywmy unkt tki, Ŝe w kŝdym jeg tzeniu kłwym znjdują się zrówn unkty nie nleŝąe d niej. Ziór wszystki unktów figury nzywmy tzeniem rzegwym figury F. Def. Punktem wewnętrznym figury F nzywmy unkt, który m tzenie zwrte w figurze F. Ziór wszystki unktów wewnętrzny nzywmy wnętrzem figury F. Def. Punktem zewnętrznym figury F nzywmy unkt, który m tzenie wlne d unktów figury F. Ziór wszystki unktów zewnętrzny nzywmy zewnętrzem figury F. Def. Figurę F nzywmy wyukłą jeśli kŝdy dinek, któreg kńe nleŝą d figury F zwier się w figurze F. PRZYKŁAD ) Figur wyukł

8 ) Figur niewyukł II. Prst n łszzyźnie. Dwie rste leŝąe n tej smej łszzyźnie mgą -mieć jeden unkt wsólny -mieć wszystkie unkty wsólne -nie mieć unktów wsólny. Def. Dwie rste k i l mjąe jeden unkt wsólny nzywmy rstymi rzeinjąymi się. k l{p} Def. Jeśli rste k i l są identyzne t mówimy, Ŝe rste k i l krywją się.piszemy k l Def. Mówimy, Ŝe rste k i l są równległe, jeśli nie mją unktów wsólny. (k l {k l φ k l} Tw. Relj równległść rsty jest: ) zwrtn ) symetryzn 3) rzedni ( ) ( ) Def. Rdzinę wszystki rsty równległy d ewnej k nzywmy kierunkiem rstej k. Def. Punkty leŝąe n jednej rstej nzywmy wsóliniwymi (klinernymi). Def. Pękiem rsty wierzłku A nzywmy rdzinę wszystki rsty rzedząy rzez unkt A.

9 III. Wielkąty Def. Nie dne ędą unkty A, A,..., A n. umę dinków A A A A3... An An nzywmy łmną, rzy zym kŝde dw dinki l są rzłązne, l mją dkłdnie jeden unkt wsólny. Przykłd: Def. JeŜeli: -dw klejne dinki nie zwierją się w jednej rstej -kŝde dw dinki nie mjąe wsólneg kń są rzłązne -kŝdy wierzłek łmnej jest wsólnym kńem njwyŝej dwó dinków, t łmną nzywmy zwyzjną. Def. JeŜeli A A n t łmną nzywmy zmkniętą. PRZYKŁAD: Def. Wielkątem nzywmy sumę łmnej zmkniętej rz figury grniznej wyiętej z łszzyzny rzez tą łmną. PRZYKŁAD:,,, d - ki wielkąt A,B,C,D - wierzłki wielkąt,, 3, 4 - kąty wewnętrzne wielkąt β, β, β 3, β 4 - kąty zewnętrzne wielkąt IV. Okrąg. Wzjemne łŝenie dwó kręgów.

10 AB>Rr AB<R-r ABRr ABR-r R-r<AB>Rr.Twierdzeni kręgu Tw. ( kąie między styzną ięiwą) Kąt stry między ięiwą i styzną d kręgu rzedząą rzez knie ięiwy jest równy łwie kąt śrdkweg dwidjąeg ięiwie. Tw. ( kąie śrdkwym i kąt wisny ) Wszystkie kąty wisne w krąg i rte n tym smym łuku są równe między są i równe łwie kąt śrdkweg rteg n tym łuku.

11 WNIOEK: JeŜeli kąt rty jest n średniy t jest rsty. Tw.3 JeŜeli siezne kręgu rzeinją się w unkie M t ilzyn długśi dinków kŝdej sieznej zwrty między tym unktem i unktmi rzeięi z kręgiem jest stły. WNIOEK: ) MA MB MC MD ) MA MC MD

12 MA MC MAMC Tw.4 Wrunkiem knieznym i wystrzjąym n t y zwrkąt mŝn ył wisć w krąg jest równść sum rzeiwległy kątów zwrkąt. A D B C D. β B C β ( B C) ( B C) 80 0 B C A D C B C. N. D. Tw.5 Wrunkiem knieznym i wystrzjąym n t y zwrkąt mŝn ył isć n kręgu jest równść sum długśi rzeiwległy ków zwrkąt.

13 D. d Oznzmy unktmi E,F,G,H unkty styznśi kręgu z kmi zwrkąt. Nie BF x n my wnisku d twierdzeni zdzi: BE x nlgiznie CF CG y DG DH z AH AE w BC BF FC x y AB AE EB w x AD AH HD w z CD CG GD y z AD BC x y z w AB CD AD BC d Temt: Przeksztłeni gemetryzne. AB CD x y w z C.N.D. I. WTĘP. Def. Przeksztłeniem gemetryznym nzywmy funkję rzeksztłjąą ziór unktów łszzyzny, n ziór unktów łszzyzny. f: Def. Przeksztłenie gemetryzne jest funkją rzyrządkwująą kŝdemu unktwi A dkłdnie jeden unkt A. Punkt A nzywmy rzem unktu A w rzeksztłeniu f (A) A. Def. Przeksztłeniem tŝsmśiwym nzywmy rzeksztłenie rzyrządkwne kŝdemu unktwi A ten sm unkt. A f(a) A Def. Punkt A nzywmy stłym w rzeksztłeniu f jeśli f (A) A. Def. Przeksztłenie gemetryzne f nzywmy wzjemnie jednznznym jeśli jest róŝnwrtśiwe i n. Jeśli f jest rzeksztłeniem wzjemnie jednznznym t istnieje rzeksztłenie f - dwrtne d dneg. A f (A) A f - ( A ) A

14 Def. Nie dne ędą rzeksztłeni f i g łszzyzny. Weźmy dwlne A, nie f(a) A i g(a) A rzeksztłenie, które unktwi rzyrządkwuje unkt A nzywmy złŝeniem rzeksztłeni f i g. (gf)( A ) g[ f ( A )] A II. Przeksztłeni gemetryzne.. Def. Przesunięiem (trnslją) wektr nzywmy rzeksztłenie gemetryzne rzyrządkwująe kŝdemu unktwi A tki unkt A, Ŝe AA'. Przykłd:. Znjdź rz : - dink - rstkąt - kręgu w trnslji wektr v. - -

15 -. Jeśli unkt A jest unktem ukłdu wsółrzędny t:. Def. ymetrią siwą (symetrię względem rstej k) nzywmy rzeksztłenie gemetryzne rzyrządkwująe, kŝdemu unktwi P unkt P' leŝąy n rstej rstdłej d k rzedząej rzez unkt P w tej smej dległśi d rstej k unkt P lez rzeiwnej strnie. Piszemy: ( P) P' K PRZYKŁAD: Znjdź rz dink, trójkąt w symetrii względnej rstej.

16 Def. Prstą k nzywmy sią symetrii figury f jeśli rzeksztłją tę figurę w symetrii siwej trzymmy tę smą figurę. F F K ( ) ) symetri siw w ukłdzie wsółrzędny

17 ZADANIE: Dny jest zwrkąt wierzłk A(,), B(-,-), C(-,), D(,-). Wyznzyć rz teg zwrkąt względem si ) OX, ) OY i ) rstej k : x y. ) )

18 ) Def. ymetrią śrdkwą ( symetrią względem unktu 0) nzywmy rzeksztłenie rzyrządkwująe kŝdemu unktwi P unkt P, leŝąy n rstej 0P, rzeiwnej strnie niŝ unkt P, unkt 0 i znzmy 0 : ( 0 P ) P ' Def. Punkt 0 nzywmy śrdkiem symetrii figury, jeśli ( 0 F ) F PRZYKŁAD: Znjdź rz zwrkąt ABCD wsółrzędny A(,), B(5,), C(5,4), D(,5).

19 OBRÓT Def. Ortem łszzyzny dkł unktu 0 kąt skierwny nzywmy rzeksztłenie łszzyzny rzyrządkwująe ) unktwi 0 unkt 0 ) unktwi X 0, tki unkt X, Ŝe: 0X 0X rz X0X i iszemy Punkt 0 nzywmy śrdkiem rtu, kąt kątem rtu. UWAGA! JeŜeli jest kątem zerwym lu ełnym t (dwzrwniem zerwym łszzyzny). jest dwzrwniem tŝsmśiwym UWAGA! JeŜeli 80 t jest symetrią śrdkwą. Znjdź rz ) rstej, )rstkąt. PRZYKŁAD: Znjdź rz )rstej w.

20 Tw. ZłŜenie dwó symetrii siwy względem rsty i, rzeinjąy się w unkie 0 d kątem γ ( ), jest rtem łszzyzny dkł unktu 0 kąt γ. )Orót w ukłdzie wsółrzędny. OP OP r>0 Z OAP: sγ x x r sγ r y sinγ y r sinγ x x' r s( γ ) Z 0BP : y' r sin( γ ) (*) sin(β) sinsβssinβ s(β) ssβ-sinsinβ Pdstwimy d wzru: x' r sγ s r sinγ sin (*) y' r sγ sin r sinγ s x xs - ysin y xsin ys PRZYKŁAD: Znjdź rz wierzłków trójkąt ABC. A(,4), B(3,), C(,-) w rie wkł zątku ukłdu wsółrzędny kąt skierwni 90. x' s 90 4sin90 A : y' sin 90 s 90 x' 4 y' A (-4,) x' 3s90 sin90 B : y' 3sin 90 s 90 B (-,3)

21 C : GEOMETRIA x' s 90 sin 90 y' sin90 s 90 C (,) )Jednkłdnść. Def. Jednkłdnśią śrdku 0 i skli 0 nzywmy rzeksztłenie łszzyzny, które dwlnemu unktwi X rzyrządkwuje X tki, Ŝe 0X ' 0X. Def. Nie ędzie dnym unktem, k lizą rzezywistą róŝną d 0.Jednkłdnśią śrdku i skli k nzywmy rzeksztłenie łszzyzny, które unktwi X rzyrządkwuje unkt X tki, Ŝe: X ' k X. Jednkłdnść śrdku i skli k znzmy J k ( X ) X ' X ' k X PRZYKŁAD: ) k3 J 3 ( X ) X ' O ) k- J ( X ) X ' Włsnśi jednkłdnśi.

22 .Przeksztłenie dwrtne d jednkłdnśi sklii jest jednkłdnśią sklii..jednkłdnść zwuje równległść rsty. 3.Jednkłdnść zwuje wsółliniwść i urządkwnie unktów. 4.Jednkłdnść rzeksztł kąt w kąt rzystjąy d dneg rz skierwny w równy mu kąt skierwny w równy mu kąt skierwny. 5.Jednkłdnść zwuje stsunek dinków. 6.Jednkłdnść zwuje stsunek dinków. ZADANIE : Znleźć rz dink w jednkłdnśi śrdek 0 i skli k. ZADANIE : Znleźć rz trójkąt ABC w jednkłdnśi śrdku 0 i skli k. III.KŁADANIE PRZEKZTAŁCEŃ Def. Nie dne ędą rzeksztłeni f i g łszzyzny. Weźmy dwlne A, nie f(a)a i g(a )A rzeksztłenie, które unktwi A rzyrządkwuje unkt A nzywmy złŝeniem rzeksztłeni f i g. ( gf )(A)g[f(A)]A PRZYKŁAD:. T J ( X ). T ( X ) l 3. ( k X )

23 4. J ( A) k 5. T 0 ( Z) 3 B K A 6. J T 0 ( X ) Temt: Twierdzenie Tles. Def. tsunkmi dinków nzywmy lizę równą ilrzwi długśi ty dinków. AB CD AB CD k ; k R Def. Mówimy,Ŝe dinki AB i CD są rrjnlne d dinków A' B' i C' D' gdy : AB A' B' CD C' D' Tw. (Tles) JeŜeli dwie rste l i l rzeinjąe się w unkie 0 zstną rzeięte rstymi, nie rzedząymi rzez unkt 0 i równległymi,t dinki wyznzne rzez unkt 0 i rste, n rstej i są rrjnlne d dwiedni dinków wyznzny rzez unkt 0 i rste, n rstej l. OA OB OA ' OB' Twierdzenie dwrtne d tw Tles. JeŜeli rmin kąt łskieg rzetnie się dwiem rstymi długśi dinków wyznzny rzez te rste n jednym rmieniu kąt są rrjnlne d długśi dwiedni dinków n drugim rmieniu kąt,t rste te są równległe.

24 OA OB OA ' OB' WNIOKI: ) Prst równległ d jedneg ku trójkąt i rzeinją zstłe dw jeg ki,din z teg trójkąt, trójkąt k rrjnlny d ku dneg trójkąt. ) Odinek łąząy śrdki ków trójkąt m długść równą łwie długść trzeieg ku. DE AC 3) W trójkąie dwusiezn kąt wewnętrzneg dzieli k rzeiwległy n dinki rrjnlne d ków rzyległy. AD BD AC BC D.

25 AC AE AD AB GEOMETRIA Trójkąt BCE jest równrmienny,ztem CB EC AC AD EA AB AC AD AC CE AD BD AD( AC CE ) AC(AD DE ) ADAC ADCE ACAD ACDE ADCE ACDE ADBC ACDE AD ACDB /: DB BC AD AC DBAC BC C.N.D. Zdnie. Mją dne dinki długśi,, dj is knrukji rstkąt, któreg jeden z ków m długść, zś jeg le jest równe lu rstkąt k długśi,. Nie ABCD ędzie dnym rstkątem k długśi i, KLMN rstkątem, który mmy sknstuwć. Pszukiwny rstkąt sknstruujemy, jeśli sknstruujemy dinek długśi d tki, Ŝe: d, zyli d Zgdnie z wyŝszym wrunkiem wystrzy sknstruwć dinek długśi d zwrty rrjnlny d trze dinków dny. Knstruują dinek długśi d wykrzystujemy tw. Tles. Knsruujemy dinek długśi d zwrty rrjnlny d dinków długśi s,,. knstruujemy rstkąt k długśi,d.

26 Zdnie. Pdstwy trezu mją długśi i, zś jeg rmin długśi i d.oliz długśi x,y rzedłuŝeń u rmin trezu d i unktu rzeięi. Wyknj lizeni dl,8,,,,5, d,. y x d x d y x y x y d ( x) x x x x x x( ) x x x y d 5,,, 8 x 3 8,, 0, 6 3 y 5,,, 4 x 3 Od: Długśi x i y wynszą dwiedni y 3, 4. Zdnie 3. Wiemy, Ŝe dinki długśi dwiedni,, są rrjnlne d dinków długśi dwiedni,,. Udwdnij, Ŝe. AB CD Z deiniji rrjnlnśi dinków trzymujemy związek: A' B' C' D'

27 , skąd:... i..., GEOMETRIA , 3 3. A wię. Ztem... i i..., zyli i, skąd..n.d. Zdnie 4. W elu zmierzeni w terenie dległśi dwó unktyów A,B ddzieliny rzeszkdą (stw) rn z tą rzeszkdą unkt C, któreg dległść d unktów A i B mŝn zmierzyć. N dink CA i CB rn tkie unkty D i E, Ŝe CD CE.Pndt zmierzn dinek DE 78. Oliz CA CB 5 dległśćunktów A i B. Od:Punkty A i B ddlne są d sieie dinek AB 95. Zdnie 5. W elu zmierzeni w terenie dległśi unktów A i B, z który unkt A jest niedstęny, rn unkt C nie leŝąy n rstej AB. N dinku CB wyznzn unkt D dzieląy ten dinek w stsunku :3. Przez D wytyzn rstą równległą d rstej AB, któr rzeięł rstą AC w unkie E. Okzł się, Ŝe DE 5,4. Oliz AB. Od: Odinek AB 9 lu AB 3,5. Zdnie 6. Pdstwy trezu mją długśi i (>). Znleść długść dink łąząeg śrdki rzekątnyteg trezu. Od: Odinek ten m długść. Zdnie 7. N jednym rmieniu kąt zynją d jeg wierzłk dłŝn klejn dinki długśi,.. W rzuie równległym ty dinków n drugie rmię kąt trzymn dinki klejn długśi,,. C wiesz liz,,? Od: Odinki,, są sie równe ( ). Zdnie 8. W trójkąie ABC rst równległ d ku AB dzieli ten trójkąt n dwie zęśi równy l. W jkim stsunku rst t dzieli wyskść trójkąt? Od: Prst t dzieli wyskść dneg trójkąt. Temt: Pdieństw. Def. Pdieństwem P. w skli ( >0 ) nzywmy,kŝde wzjemne jednznzne rzeksztłenie łszzyzny,tkie,ŝe jeŝeli P.(X) X i P.(Y) Y,t X Y XY.

28 Tw. KŜde dieństw P jest złŝeniem jednkłdnśi J i izmerii P J Włsnśi dieństw: ) Pdieństw zwuje stsunek dinków. ) Przeksztłeniem dwrtnym d dieństw w skli jest dieństw w skli. 3) ZłŜenie dieństw w sklii i jest dieństwem sklii. 4) Przeksztłenie tŝsmśiwe jest dieństwem w sklii. 5) Ziór wszystki dieństw twrzy gruę rzeksztłeń. Def. Figur f jest dn d figury f jeŝeli istnieje tkie dieństw P.,Ŝe P.( f ) f. Piszemy wówzs: f f. I. Pdieństw wielkątów. Dw wielkąty są dne gdy mją wszystkie kąty rzystjąe (dwiednie ) i ki rrjnlne ( dwiednie ). ' β β' γ γ ' δ δ ' A' B' B' C' C' D' A' D' AB BC CD AD Kąty ty wielkątów są równe. II.Cey dieństw trójkątów. )Tw.( e k-kąt-k ) Dne są dw trójkąty ABC i A B C. JeŜeli A ' B ' A' C' A A', t trójkąty ABC i A B C AB AC są dne. )Tw. ( e kąt-kąt-kąt ) JeŜeli A A' B B', t: ABC A' B' C'. 3)Tw. ( e k-k-k ) JeŜeli dne są dw trójkąty ABC i A B C i zdzi: A ' B ' A' C' B' C',t trójkąty ABC i A B C AB AC BC są dne. Tw. (e kąt-k-kąt )Dw trójkąty są rzystjąe jeśli jeden k i dw leŝąe rzy nim kąty w jednym trójkąie są dwiedni rzystjąe d ków i dwó leŝąy rzy nim kątów w drugim trójkąie.

29 Temt: Izmetrie. Przystwnie figur. Cey rzystwni figur. I. Izmetrie. Def. Przeksztłenie figury f zwująe dległśi unktów tej figury (tzn. rzeksztłenie, w którym dległść rzów dwó dwlny unktów figury f jest równ dległśi ty unktów) nzywmy rzeksztłeniem izmetryznym figury f. Izmetri jest t rzeksztłenie łszzyzny n łszzyznę zwująe dległść unktów. Def. Izmetrią nzywmy rzeksztłenie gemetryzne łszzyzny f: sełnijąe wrunki: )f() (funkj jest n ) )j. f(a)a A(B)A ABA B WŁANOŚCI IZOMETRII. )Orzem rstej jest rst. )Orzem dink jest dinek. 3)Orzem figury wyukłej jest figur wyukł. 4)Orzem kł jest kł. 5)Orzem wnętrz i zewnętrz dnej figury jest wnętrze i zewnętrze dnej figury. Izmetrimi są: - trnslj - symetri siw - rót - symetri śrdkw II. Przystwnie figur. Def. Dwie figury f if nzywmy rzystjąymi gdy istnieje izmetri rzeksztłją jedną figurę n drugą. Piszemy: f f ' f f '' WŁANOŚCI FIGUR PRZYTAJĄCYCH: )KŜd figur jest rzystją d sieie smej. f f )Jeśli f rzystje d f, t f rzystje d f. f f ' f ' f 3)Jeśli f rzystje d f i f rzystje d f t f rzystje d f. f f ' f ' f " f f " Tw. (e BBB) Dw trójkąty są rzystjąe jeśli 3 ki jedneg trójkąt są dwiedni równe trzem km drugieg trójkąt.

30 AB A' B BC B' C' CA C' A' Tw. (e BKB) Dw trójkąty są rzystjąe, jeśli dw ki i kąt między tymi kmi w jednym trójkąie są dwiedni rzystjąe d dwó ków i kąt między tymi kmi w drugim trójkąie. AB A' B BC B' C' β β ' Tw.(e KBK) Dw trójkąty są rzystjąe, jeśli jeden k i dw leŝąe rzy nim kąty w jednym trójkąie są dwiedni rzystjąe d ków i dwó leŝąy rzy nim kątów w drugim trójkąie. Temt: Twierdzenie Pitgrs. AB A' B' ' β β ' Tw. W trójkąie rstkątnym kwdrt długśi rzeiwrstkątny jest równy sumie kwdrtów rzyrstkątny. ABC/ ACD/ BCD ( e kkk ) e e e f f f f ef ef e f e e f D. ( )

31 .n.d. Tw. W trójkąie rstkątnym rzyrstkątn jest średnią gemetryzną rzeiwrstkątnej i swjeg rzutu n rzyrstkątną. Tw. W trójkąie rstkątnym wyskść uszzn z wierzłk kąt rsteg n rzeiwrstkątną jest średnią gemetryzną dinków n którą dzieli rzeiwrstkątn. PRZYKłAD: W trójkąie rstkątnym ABC,gdzie kąt ACB jest rstkątny,dne są rzuty 6 9 rzyrstkątny n rzeiwrstkątną e, f.rzwiąŝ dny trójkąt. 5 5 Dne: 6 9 e, f e f ef Zdnie. Wewnątrz kąt mierze 60 dny jest unkt P. Odległść unktu P d rmin kąt wynszą i. Oliz dległść unktu P d wierzłk teg kąt. < DP PE CP ACB x 60 Przez unkt P rwdzimy rstą AB tk, y wstły trójkąt ABC ył równzny: ( AB AC BC ).

32 z ADP wyznzmy : 3 3 AP ; AD 3 3 z BEP wyznzmy : BP 3 3 tąd : 3 CD AP BP AD ( ) Z tw. Pitgrs dl CDP mmy : x CD x ( ) 3 3. Od: Odległść unktu P d wierzłk C wynsi x ( ) 3 3. Zdnie KŜde dw z trze kręgów są styzne zewnętrznie. Prmień jedneg kręgu jest średnią rytmetyzną dwó zstły, śrdki kręgów są wierzłkmi trójkąt rstkątneg. Oliz wrtść sinusów kątów stry teg trójkąt.

33 r' r'' Nie r,r,r ędą rmienimi dny kręgów i r >r >r i r'', wtedy lizy r,r,r w dnej klejnśi twrzą iąg rytmetyzny rsnąy, któreg róŝni x>. tąd: r r ; r r x ; r r x. PniewŜ śrdki dny kręgów są wierzłkmi trójkąt rstkątneg, wię nie: r' r''' r' x r' r'' r' x... i... r'' r''' r' 3x Z tw. Pitgrs trzymujemy równnie: ( ) ( ) ( 3 ) r' x r' x r' x r' x. tąd: 4r' 4 3 r' x 3r'... i...sin... i...sin β r' 4 3 Od: inusy kątów stry wynszą dwiedni sin... i...sin β. 5 5 Zdnie 3. Prst styzn w unkie P d kręgu rmieniu i ółrst wydzą ze śrdk kręgu mją z nim unkt wsólny rzeinją się w unkie A d kątem mierze 60. ZnjdŜ długść r rmieni kręgu styzneg d dinków AP,A,i łuku P. OP ; <PAO 60 Przyjmują znzeni jk n rysunku zuwŝmy, Ŝe: OO r; OL -r; LO PK ; <KAO 30 tsują tw. Pitgrs d OLO mmy: ( ) ( ) PK r r, skd... PK r w OPA : AP 3 3 ; W O KA: AK r 3 Krzystją z równśi: PK AK AP trzymujemy równnie: 3 r 3r, 3 któreg rzwiąznie r (0;) stnwi dwiedz. Od: Prmień kręgu wynsi r ( ) 3 3. Zdnie 4.

34 Długśi ków trójkąt rstkątneg twrzą iąg rytmetyzny. Długść jednej z rzyrstkątny wynsi 6. Oliz długść zstły ków rz długść wyskśi względem rzeiwrstkątnej. Od: Pzstłe ki mją długść dwiedni 8 i 0, wyskść 4,8 (lu 4,5, 7,5 i 3,6) Zdnie 5. W trójkąie rstkątnym ABC rzyrstkątne mją długść 6 i 8. N krótszej rzyrstkątnej AC jk n średniy, zudwn krąg. Olizyć długść dinków, n jkie krąg ten dzielił rzeiwrstkątną. Od: Odinki te wynszą dwiedni 3,6 i 6,4. Zdnie 6. W rstkąie łązn śrdki sąsiedni ków trzymują rm, któreg wód jest równy 0 le 4. Oliz długść ków rstkąt. Od: Bki te mją dwiedni x 6 i y 8. Zdnie 7. N kręgu isn trez rstkątny. Olizyć le trezu jeŝeli widm, Ŝe dległść śrdk kręgu d kńów rmieni yłeg są równe i 4. Od: Ple trezu jest równe P 4,4. Zxdnie 8. W kle rmieniu 5 rwdzn dwie równległe ięiwy ddlne d sieie. Olizyć długść ięiw wiedzą, Ŝe róŝni i długśi wynsi. Od: Cięiwy mją dwiedni 6 i 8. Temt: Trójkąty. Punkty szzególne. PRZYKłAD: Udwdnij,Ŝe w trójkąie rstkątnym unkt styznśi kł wisneg dzieli rzeiwrstkątną n dw dinki tkie,ŝe ilzyn i długśi jest równy lu teg trójkąt. x xr r y yr r x xy y xy r yr xy\: xr r yr xy

35 P ( x r) ( y r) P P ( xy xr yr r ) ( x r) ( y r) ( x r) P xy xy P xy ( ) GEOMETRIA n.d. Punkty szzególne w trójkąie: )Trzy symetrlne ków rzeinją się w jednym unkie,który jest śrdkiem kręgu isneg n tym trójkąie. )Trzy dwusiezne kątów wewnętrzny rzeinją się w jednym unkie,który jest śrdkiem kręgu wisneg w ten trójkąt. 3)Dwie dwusiezne kątów zewnętrzny trójkąt rz dwusiezn kąt wewnętrzneg nie rzylegjąeg d ty kątów,rzeinją się w jednym unkie,który jest śrdkiem kręgu disneg.(kŝdy trójkąt m trzy tkie kręgi) 4)Trzy śrdkwe rzeinją się w jednym unkie zwnym śrdkiem ięŝkśi trójkąt. Punkt ten dzieli je w stsunku :. 5)Trzy wyskśi trójkąt rzeinją się w jednym unkie zwnym rtentrum trójkąt. Tw. um kątów wewnętrzny w trójkąie wynsi 80. βγ 80 < < <β < β γ 80 β γ 80

36 6)um kątów wewnętrzny n-kąt wynsi 360 ( n ) n )Kąt zewnętrzny jest równy sumie kątów wewnętrzny d nieg nie rzylegjąy. Temt: Knstrukje gemetryzne. Rzwiąznie zdni knstrukyjneg skłd się z nstęująy etów: -nliz -knstrukj -dwód -dyskusj. PRZYKŁAD: Dny dinek dzielić n ięć równy zęśi. OPI KONTRUKCJI:.Knstrułujemy dwlną rstą i dmierzmy n niej dny dinek.kreślimy rstą rzedząą rzez jeden z kńów dneg dink i nylną d dwlnym kątem d teg dink. 3.Od unktu rzeięi się rstej z dinkiem dmierzmy yrklem n rstej dwlną długść ięć rzy. 4.Knie sttnieg iąteg dink łązymy z kńem dneg dink

37 i wstje mnizy dinek k. 5.Z kŝdeg kń ięiu sknstruwny wześniej dinków rwdzimy w kierunku dink rste równległe d dink k. PRZYKŁAD: Zudwć dinek długśi x mją dne i. Wskzówk: krzystmy z twierdzeni Pitgrs. OPI KONTRUKCJI:.Rysuję kwdrt ku,rzekątn kwdrtu jest równ.n dwlnej rstej dkłdm dinek EM długśi. 3.Knstrułujemy rste rstdłe, d rzedząe rzez kńe dink EM. 4.W kń dink EM dkłdmy dinki długśi.punkty rzeięi się teg dink z rstymi,d znzmy rzez A,B,C,D. Odinki BM, MC, AE, DE są t szukne dinki długśi x. dne B A M. x x E C D DYKUJA: JeŜeli > 0 -t istnieją ztery rzwiązni, < 0 -nie m rzwiązni 0 -istnieje jedn rzwiąznie. PRZYKŁAD: Dne są trzy dinki długśi., q, r. Znleźć dinek długśi x sełnijąy wrunek: q r x. OPI KONTRUKCJI:.Rysujemy dwie rste rzeinjąe się w unkie O.N jednej z rsty dkłdmy dinek długśi i q u strn unktu O. N drugiej rstej dkłdmy dinek długśi r i zątku w unkie O u strn unktu O. 3.Przez kńe dink i q rwdzimy rstą l. 4.Rysujemy rstą równległą d rstej l w kńu dink q.

38 dne q r x l r q O ZADANIE. Znleźć ziór wszystki unktów łszzyzny, z który dny dinek AB widć d ewnym kątem. ODP: wskzówk-krzystmy z twierdzeni kąt wisny w krąg rty n tym smym łuku. JeŜeli < 0, 90) ( 90, 80) wtedy istnieją dw rzwiązni, jeŝeli 90 t istnieje jedn rzwiąznie. ZADANIE. Zudwć trójkąt ABC mją dne długśi ków AB AC rz długść śrdkwej AD. ODP: wskzówk -szukny trójkąt jest łwą równległku. Istnieją ztery rzwiązni, gdy długść dwlneg dink jest mniejsz d sumy długśi dwó zstły; w rzeiwnym rzie rk rzwiązni. ZADANIE 3. 4 Dny jest dinek jednstkwy. Zudwć dinki długśi, 3,. ZADANIE 4. Dne są dw unkty A, B dległe 5m. Zudwć krąg rmieniu 4m rzedząy rzez te unkty. ZADANIE 5.Mją dne dinki i zudwć dinek długśi Temt: Mir Jrdn.

39 Y 0 X Ziór wszystki kwdrtów numerujemy sieią zerwą i znzmy K 0 Ple jedynzeg kwdrtu jest równe P K -sieć ierwsz P K -sieć drug P 4... K n -sieć n-t P n C t jest mir i jk wstje? 0

40 Mmy dwlną figurę F i nkłdmy n nią sieć K 0, nstęnie wyznzmy lizę W 0 kwdrtów zwrty w figurze F. W 0 0 Wyznzmy lizę kwdrtów Z 0 wyznzjąy figurę F (są t te kwdrty, które mją iŝ jeden unkt wsólny). Z 0 N figurę F nkłdmy sieć K i wtedy W 6, Z 3. Nkłdmy n figurę F klejne siei i lizmy i l. ZuwŜmy, Ŝe dl ól zdzi W0 W W... Wn Z n... Z Z 0 Otrzymujemy dw iągi W }, Z, które są grnizne i mntnizne wię są zieŝne. { n { n } Istnieje ztem grni lim W W( F) lim Z Z( F). n n Lizę W(F) nzywmy mirą wewnętrzną, zś lizę Z(F) - mirą zewnętrzną. Def. Mówimy, Ŝe figur F jest mierzln (m le) jeŝeli mir wewnętrzn jest równ mierze zewnętrznej: W(F)Z(F)m(F).Lizę m.(f) nzywmy mirą (lem) figury F. WŁANOŚCI MIARY : n. Ple figury jest lizą nieujemną m( F) 0.. Figury rzystjąe mją równe l F F m( F ) m( F ). 3. Figur ędą sumą dwó figur nie mjąy wsólny unktów wewnętrzny m le równe sumie ól figur skłdwy: F F F F F m( F) m( F ) m( F ) 4. JeŜeli figury F i F mją l i figur F F t m( F ) m( F ). 5. Ple rstkąt k i jest równe. 6. KŜd figur zwrt w dinku m le równe KŜdy łuk kręgu m le równe 0. Przykłd: Kwdrt - sit t rzykłd figury, któr nie m l (jest niemierzln). n Temt: Pl figur łski. RÓWNOLEGŁOBOK W(F)0 Z(F) W(F) Z(F).

41 D C A. E B F.. AED BFC ( k) z AED : sin sin sin Przykłd: W równległku wyskśi mją długśi,, wód wynsi. Wyznzyć kąt stry równległku i jeg le. D C A E d B.

42 ( ) ( ) ( )., sin.: sin sin sin sin sin ODP BCD ABC TRÓJKĄT A D C B.. sin 3.. A C B O r

43 r r r r COA BOC AOB wód trójkąt: r R A B C O E R R R R 4 5. C A. B x-x Z twierdzeni Pitgrs ADC: x BDC: ( x)

44 x x x x x x x x x x x x ) ( ) ( ) ( Pdstwimy wyznzny x d równni: ( ) -wód trójkąt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) : / 4 4 / 4 ( )( )( ) WZÓR HERONA Przykłd: Trójkąt m ki równe, 0 0.Oliz dległść śrdk kręgu wisneg w ten trójkąt d jeg ku. 0 0

45 48 6 r GEOMETRIA ( )( )( ) ( ) ( 0 0 ) 6 r ( 6 0) ( 6 0) ( 6 ) r 3 6 ODP.: zukn dległść wynsi 3. TRAPEZ 6 D C A B ABD BCD ( ) Przykłd: Oliz le trezu równrmienneg, któreg rmię m długść równą 4, jedn z dstw jest dw rzy większ d drugiej, rzekątn dzieli kąt rzy dstwie n łwę. D C A x x B AB DC ( ) Z trójkąt ADC : wiemy, Ŝe jest t trójkąt równrmienny ztem dw kąty rzy dstwie AC są sie równe i dlteg: 4 8

46 4 8 x x x krzystją z twierdzeni Pitgrs dl trójkąt ADE lizmy : x ( ) 3 ODP.: Ple trezu wynsi 3. ROMB C D B O. ef f e q q q OB AC OD AC f q BD e AC ABC ACD ef Przykłd: Owód rmu jest równy 0m sum jeg rzekątny wynsi 4m. Oliz le rmu. A C D B. e f

47 : 4 0 f e ef m O m O Z ABD mmy: f e e f f e e f f e / ( ) : / e e e e e e f f e f e f e e e e m f e f e ODP.: Ple rmu jest równe 4. m Zdnie Olizyć długść rzekątny rmu lu i kąie strym mierze

48 Przekątne w rmie są wzjemnie rstdłe, i wsólny unkt dzieli je n dinki równy d d długśi. Ple rmu, któreg rzekątne mją długśi d i d wyrŝ wzór ' ''. Zgdnie z rysunkiem: d'' tg d" d' tg d' PniewŜ d d, wię d' tg, stąd d' tg, d'' tg Od: Długśi rzekątny rmu wynszą dwiedni d i d (jk wyŝej). Zdnie. tsunek rzekątny rmu jest rwny :3. Znleść stsunek długśi ku rmu d długśi rmieni kł wisneg w rm. d d Od: tunek ten wynsi ' '' 4 r d' d '' Temt: Twierdzenie sinusów (ynellius). Tw. W kŝdym trójkąie stsunek długśi ków d sinus rzeiwległeg kąt jest stły i równy średniy kręgu isneg n tym trójkąie. C γ A β B sin sin β sinγ R D. ) dl kąt streg:

49 GEOMETRIA C γ A O β D B ADC ABC β jk kąty wisne rte n tym smym łuku AC ACD 90 kąt rty n średniy AC ABC 90 sin β AD AD R sin β R R sin β ) dl kąt rzwrteg A O γ D δ. C β B β > 90 δ 80 β β δ 80 z twierdzeni zwrkąie wisnym w krąg AC ACD 90 sinδ sin( 80 β ) sin β AD R sin β R. R sin β nd. Def. Rzwiązć trójkąt tzn. wyznzyć długśi wszystki jeg ków i miry jeg kątów. Przykłd: Rzwiązć trójkąt jeŝeli 4, 8, β 30.

50 B C β γ krzystmy z twierdzeni sinusów: γ β sin sin sin sin 30 sin sin sin β 45 sin sin sin 4 sin 30 sin 4 sin sin β ( ) ( ) γ β γ ( ) s60 sin 45 s 45 sin sin 8 sin05 4 sin sin γ ( ) ( ) 3 : /

51 ODP.: Bk ( 3 ) GEOMETRIA , zś kąt 45 i γ 05. Temt: Twierdzenie sinusów. Tw. W kŝdym trójkąie kwdrt jedneg ku jest równy sumie kwdrtów dwó zstły ków mniejszny dwójny ilzyn ty ków i sinus kąt między nimi. C γ β B D... < 90 s s β sγ 90 A C γ D β B AD s AD s DB s krzystmy z twierdzeni Pitgrs dl ( AD) s ( DB) ( s ) 3. > 90 s s s s ADC i s DBC

52 C D A B DAC 80 ( 80 ) DA s ( 80 ) DA s DB AD s krzystmy z twierdzeni Pitgrs dl ( AD) ( DB) ( AD) ( DB) ( s ) ( s ) s s s s s CBD i CDA s nd. Przykłd: W trójkąie dne są dw ki 0, 6 i kąt między nimi 60. Oliz trzei k i zstłe kąty. C γ A β B 5 7 sγ 5 7 s

53 Zdnie GEOMETRIA W trójkąie równznym ABC n ku BC wyrn unkt M tki, Ŝe BM MC. Wyznz sinus kąt CAM. CM MB CM... i... MB 3 3 tsują twierdzenie sinusów d trójkąt ABM, trzymujemy: 7 AM 60 AM s tsują twierdzenie sinusów d trójkąt AMC, trzymujemy: 3 AM sin sin sin60 7 Od: inus kąt CAM wynsi 7 Zdnie. N ku BC trójkąt równzneg ABC rn tki unkt D, Ŝe CD : DB :. Oliz stsunek długśi rmieni kręgów isny n trójkąt ACD i ABD. R - rmień krę gu isneg n ACD R - rmień kręgu isneg n ADB. Krzystją z tw. sinusów d trójkątów ACD i ADB trzymujemy: AD AD R'... i... R", sin 60 sin 60 stąd wniskujemy, Ŝe R R, zyli R :R. Od: tsunek rmieni dny kręgów wynsi. Zdnie 3. Wyznz długśi dwusiezny kąt A w trójkąie ABC k długśi,,.

54 Nie d ędzie długśią dwusieznej kąt A w trójkąie ABC. PniewŜ ABC ABD ADC sin d sin d sin, skąd d s. Wykrzystują związki : s ( z tw.sinusów ) i s s ( z wzru n sinus dwjneg kąt i z wrunku, Ŝe 0 π ; ), trzymujemy: ( ) s. Pdstwiją d równśi d s [( ) ] z s d Od: Długść dwusieznej kąt A wynsi d (jk wyŝej). trzymne wyrŝenie trzymujemy Zdnie 4. Bki trójkąt ABC mją długśi AB 4, AC BC 8. Oliz stsunek ól figur, n które symetrln ku AC rzin trójkąt ABC. Od: tsunek ól w/w figur wynsi CDE ABED 5. Zdnie 5. Długść ków ewneg trójkąt są klejnymi lizmi nturlnymi. Kąty wewnętrzne teg trójkąt mją tę włsnść, Ŝe mir kąt njwiększeg jest dwukrtnśią miry kąt njmniejszeg. Wyznz długśi ków teg trójkąt. Od: Bki te mją dwiedni 4, 5 i 6. Zdnie 6. Ple trójkąt ABC sełni równnie ( ) Znjdź sinus teg kąt BAC., gdzie,, są długśimi ków trójkąt.

55 Od: inus teg kąt wynsi 8 7. Zdnie 7. Długśi ków trójkąt są trzem klejnymi wyrzmi iągu rytmetyzneg. Jki wrunek sełni stsunek długśi njkrótszeg z ków d róŝniy iągu, jeŝeli trójkąt jest rzwrtkątny? Od: Wrunkiem tym jest ( ) r ; 3. Zdnie 8. W trezie ABCD, w którym AB CD dne są: AC 6, <DAC <ABC. Wiedzą, Ŝe rste AD i BC są rstdłe liz le teg trezu. ( ) Od: Ple trezu jest równe P tg. Temt: Ilzyn sklrny wektrów. Def.: Ilzynem sklrnym dwó niezerwy wektrów u v u v s u, v u v i nzywmy lizę u 0 lu v 0, t u v 0 Ilzyn sklrny wektrów u v [ ux, u y ] [ v x, v y ] WŁANOŚCI ILOCZYNU KALARNEGO. u v v u. k u v k u v u k v, k R 3. u v w u w v w u v u v wyrŝ się wzrem u v x x y y 4. u u u u u, -długść wektr Dw niezerwe wektry są rstdłe wtedy i tylk wtedy, gdy i ilzyn sklrny jest równy zer. u v u v 0 u v 0 u v s u, v 0 s u, v 0 u v, 90 u v nd Krzystją z ilzynu sklrneg wyznzmy kąt między tymi wektrmi: u v 0 u v s u, v s u, v u v u v

56 Wyznznikiem ry niezerwy wektrów u [ ux uy ] i v [ v x v y ] u u d x y u, v u v u v v v x y x y y x,, nzywmy lizę Krzystją z wyznznik ry wektrów mŝemy lizyć le trójkąt: ABC d AB, AC C A B y C A 0 x B