Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu

Transkrypt

1 6. Elementy bwdów prądu snusdalneg 3 Wyład XV. WYKESY WSKAOWE PĄD NAPĘA SNSODANEGO. METODA SYMBONA OWĄYWANA OBWODÓW Wsazy prądu napęca snusdalneg. dea wyresu wsazweg bwdu Przebeg snusdalny mże być reprezentwany przez: a) wrujący wetr neruchmą ś przebegu czasweg, rócej: neruchmą ś czasu (rys. a), b) neruchmy wetr wrującą ś przebegu czasweg, rócej: wrującą ś czasu (rys. b), przy czym rzut teg wetra na tę ś wyraża wartść chwlwą przebegu. a) neruchma b) ś czasu u(t) u(0) ω t mt ψ u m u(0) wrująca ś czasu w płżenu pczątwym 0 ś zerwej fazy 0 ś zerwej fazy pczątwej pczątwej (ψ u = 0) (ψ u = 0) u(t) ω t ψ u wrująca ś czasu w chwl t > 0 m Wetry reprezentujące przebeg czaswe prądu (t) napęca u(t) nazywa sę wsazam znacza pdreślnym welm lteram: wsazy wrujące ja mt, mt ; wsazy neruchme m, m. Wsaz neruchmy danej welśc, tżsamy ja wdać ze wsazem ruchmym tej welśc w chwl pczątwej, nazywa sę wsazem pczątwym tejże welśc. Wartść chwlwa przebegu snusdalneg jest reślna jednznaczne przez czas raz długść płżene reprezentująceg g wsazu pczątweg. Algebracznemu ddawanu wartśc chwlwych prądów lub napęć snusdalnych tej samej pulsacj dpwada gemetryczne ddawane ch wsazów pczątwych. Wyres przedstawający wsazy pczątwe prądów napęć bwdu prądu snusdalneg reślnej pulsacj ns nazwę wyresu wsazweg teg bwdu. azwyczaj na wyrese wsazwym ne rysuje sę s uładu współrzędnych (ne zaznacza sę też s zerwej fazy pczątwej). W pratyce są używane wartśc suteczne prądów napęć, a ne ch wartśc masymalne. Wsazy pczątwe m m długścach m m, równych ampltudm przebegów snusdalnych (t) u(t) zastępuje sę dlateg wsazam, długścach razy rótszych d m m, czyl równych wartścm sutecznym przebegów (t) u(t). reduwane w ta spsób wsazy pczątwe prądów napęć przedstawa sę na wyresach wsazwych, nazywając je p prstu wsazam (bez ddatwych reśleń). Przydatnść wyresów wsazwych wyna z pglądweg przedstawena zwązów czaswych ja zależnśc gemetrycznych, c na gół ułatwa rzwązane bwdu. Wyresy wsazwe wyresy trójątwe dwójnów pasywnych Kąt przesunęca fazweg (przesunęce fazwe) dwójna jest różncą faz pczątwych jeg napęca prądu: = ψ u ψ. Gdy > 0 (X > 0; B < 0), t wsaz późna sę ąt względem wsazu (rys. a); gdy natmast < 0 (X < 0; B > 0), t wsaz późna sę ąt względem wsazu (rys. b). a) > 0 b) < 0 G ψ u X ψ B (ś zerwej fazy pczątwej) B X G ψ ψ u

2 4 Wyład XV Na przedstawnych wyżej wyresach wsazwych dwójna charaterze: a) ndu- G G c) d) X >0 cyjnym, b) pjemnścwym zaznaczn sładwe X wsazu napęca (dla zastępczeg dwójna szeregweg, X ), raz B B<0 X sładwe G B wsazu prądu (dla zastępczeg dwójna równległeg G, B ). Wyres z rys. a dns sę d uładów pazanych na rys. c d (dwójn charaterze nducyjnym). Wyres z rys. b dns sę d analgcznych uładów z pjemnścam na mejscu nducyjnśc, przy czym X < 0 B > 0. Wsazy napęca raz prądu twrzą wraz ze swym sładwym trójąty napęca trójąty prądu, c lepej wdać, gdy te wyresy są naryswane ddzelne, z załżenem zerwej wartśc pczątwej, dpwedn: ąta fazweg ψ prądu w uładze, X (trójąt napęca); ąta fazweg ψ u napęca w uładze G, B (trójąt prądu). Wyresy tae, dla dwójna charaterze nducyjnym ( > 0) ja na rys. a, pazan nżej na rysunach a a. Kątw wartścm sutecznym, G B raz, X dpwadają sładwe czynne berne: - prądu = = cs cz G a ) ψ = 0 b = sn, b = B ; B - napęca cz = = cs b = sn, b = X. Dzeląc raz mnżąc długśc bów trójątów napęca prądu, G dpwedn, przez wartśc suteczne prądu napęca, trzymuje X > 0 S B < 0 sę trójąty: mpedancj, admtancj Y Q > 0 raz mcy pazane b na rysunu dla dwójna charaterze nducyjnym ( > 0). P Przelczene długśc bów z trójątów mpedancj lub admtancj, na trójąt mcy, wyraża sę następując: P = = G ; Q = X = B ; S = = Y. X a ) G ψ u = 0 Przyład. Wyres wsazwy prądów napęć dwójna,, struturze szeregw-równległej, wynany przy załżenu 3 ( t) = 3 snωt, tj. ψ 3 = 0. = 3 3 = = 3 3 = 3

3 6. Elementy bwdów prądu snusdalneg 5 Wynany wyres dpwada danym: X = X = 3 = 00 Ω, = 00 Ω. Ja wdać, uład tych danych jest dwójnem rezystancyjn-pjemnścwym ( < 0), ale przy mnejszej np. trzyrtne wartśc reatancj X byłby t dwójn rezystancyjn-nducyjny ( > 0). waga. Wyres wsazwy wynuje sę w sal, tzn. przyjmuje sę sale długśc wsazów prądu wsazów napęca (sale prądu napęca). Długśc fazy wsazów napęca raz prądu, dtyczących pszczególnych elementów dealnych lub gałęz z nch złżnych, są ze sbą zwązane wartścam mpedancj ąta przesunęca fazweg. Szcując wyres wsazwy ne reśla sę dładne sal prądu napęca, trzeba jedna zachwać przyblżne prprcje dpwadające danym bądź spdzewanym wartścm parametrów bwdu. Prcedura blczena wartśc mpedancj ąta fazweg dwójna (dla pdanych wyżej parametrów uładu): a) mpedancja, ndutancja susceptancja gałęz trzecej - 3 X 3 = 3 + X = 00 Ω; G 3 = = 0, 005 S; 0, B = = S; 3 3 b) ndutancja gałęz drugej - G = = 0,005 S; c) ndutancja, susceptancja admtancja gałęz drugej z trzecą - G = G + G 0,0 S; B = B = 0, 005 S; Y = G + B 0,0, 5 S; 3 3 = 3 3 d) rezystancja reatancja gałęz drugej z trzecą - G3 B3 = 80 Ω; X = 40 Ω; Y Y 3 = 3 3 = 3 e) rezystancja, reatancja, mpedancja ąt fazwy dwójna = = 3 = 80 Ω; X = X + X = 60 Ω; = + X = 00 Ω; 3 X = arc tg 37. Prcedura blczena wartśc sutecznych prądów napęć gałęzwych przy załżnym przebegu 3 ( t) = snωt, [ 3 ] = A, [ω] = s -, [t] = s, tzn. wartścach 3 = A ψ 3 = 0 (na wyrese pzme płżene wsazu 3 ): a) mpedancja wartść suteczna napęca w gałęz trzecej - 3 = 3 = + X 00 Ω; = = V; b) przesunęce fazwe faza pczątwa napęca w gałęz trzecej - X 3 = tg = arc 45 ; ψ u 3 = ψ = 45 ; 3 c) wartść suteczna faza pczątwa napęca w gałęz drugej - = 3 83 V; ψ u = ψ u 3 = 45 ; d) mpedancja, przesunęce fazwe, wartść suteczna faza pczątwa prądu w gałęz drugej - = 00 Ω; 0 ; =, 4 A; ψ = ψ 45 = = e) wartść suteczna faza pczątwa prądu dwójna ( = ) - x = csψ = csψ + 3 csψ 3 = 3 A; y = snψ = snψ + 3 snψ 3 = A; y = x + y = 0 3,6 A; ψ = arc tg 8,4 ; x u = ;

4 6 Wyład XV = 3,6 ψ = ψ 8,4 ; f) wartść suteczna faza pczątwa napęca na pjemnśc - = X = V; ψ u = ψ + 7,6 ; g) wartść suteczna faza pczątwa napęca dwójna - x = csψ u = csψ u + csψ u = 300 V; y = snψ u = snψ u + snψ u = 00 V; = y x + y = V; ψ u = arc tg 8,4 ; x h) mpedancja przesunęce fazwe dwójna - = = 00 Ω; ψ u ψ 37. = Wartśc symblczne prądu napęca snusdalneg Wsazy prądu napęca:, umeszczne na płaszczyźne zesplnej, stają sę lczbam zesplnym (rys. b wsaz jψu ja lczba zesplna = e ). Nszą ne nazwy wartśc sutecznych zesplnych lub wartśc symblcznych prądu napęca. żywając symblu lczby urjnej j =, zapsuje sę wartśc symblczne w pstac wyładnczej, trygnmetrycznej lub algebracznej (artezjańsej): e j ψ = = (cs ψ + j snψ ) = e + j m, (6.48a) e j ψ = u = (cs ψ u+ j snψ u ) = e + j m, (6.48b) gdze: =, = mduły (długśc wsazów) ; ψ, ψ u argumenty ; e, e częśc rzeczywste ; m, m częśc urjne. Przebeg czaswe prądu napęca dpwadają częścm urjnym wsazów zesplnych wrujących mt mt (prądu napęca): jωt t) = m = m( e ) = sn( ωt + ψ ), (6.49a) ( mt jωt ( mt u u t) = m = m( e ) = sn( ωt + ψ ). (6.49b) Własnśc metdy symblcznej rzwązywana bwdów prądu snusdalneg. Ddawanu wartśc chwlwych prądów (w węzłach) raz napęć (na elementach bwdu) dpwada ddawane ch wartśc symblcznych: ( t) ( t) = ; u ( t) = u ( t) =. =. Mędzy wartścam symblcznym prądu napęca elementów dealnych zachdzą następujące zależnśc (wyresy ze wsazam zesplnym są tae same ja ze zwyłym ): a) rezystancja -, G = G = j m 0 =, (6.50a) = G, (6.50b) (ś urjna) ψ e (ś rzeczywsta)

5 6. Elementy bwdów prądu snusdalneg 7 b) pjemnść - X, B = jb = -jx = jx, (6.5a) = jb, (6.5b) c) nducyjnść (własna) - X, B = jx = -jb = jx, (6.5a) = jb, (6.5b) d) nducyjnść wzajemna - X = X M M M = jx M = jx, (6.53a) M M analgczne = jx. (6.53b) M M 3. ładw szeregwemu, X przypsuje sę mpedancję zesplną = + jx = e (6.54a) pstać zesplną dmany mpedancyjnej prawa Ohma j =. (6.54b) 4. ładw równległemu G, B przypsuje sę admtancję zesplną Y = G + jb = Y e (6.55a) pstać zesplną dmany admtancyjnej prawa Ohma j = Y. (6.55b) 5. Dla reślneg dwójna zachdz zwąze Y =, (6.56) z czeg wynają następujące zależnśc mędzy elementam uładów zastępczych, X G, B : G B X =, X =, G =, B =. (6.56a, b, c, d) Y Y 6. Przy płączenu szeregwym dwójnów pasywnych sumuje sę ddzelne rezystancje reatancje alb mpedancje zesplne (ne wln sumwać mdułów mpedancj zesplnych!):, X = X ; =. (6.57a, b, c) = 7. Przy płączenu równległym dwójnów pasywnych sumuje sę ddzelne ndutancje susceptancje alb admtancje zesplne (ne wln sumwać mdułów admtancj zesplnych!): G, B = B, Y = Y. (6.58a, b, c) = G 8. Wszyste twerdzena metdy rzwązywana bwdów, dtyczące ter bwdów prądu stałeg (welśc rzeczywste stałe:,, E, źr,, G), zachwują ważnść w analze stanów ustalnych bwdów prądu snusdalneg przy użycu lczb zesplnych (welśc zesplne:,, E, źr,, Y).

6 8 Wyład XV Przyład. stane przeprwadzny rachune symblczny, dpwadający prcedurm przedstawnym w pprzednm przyładze, dtyczący teg sameg dwójna (rys. b). Dane są, ja pprzedn: X = X = 3 = 00 Ω, = 00 Ω, 3 ( t) = snωt, [ 3 ] = A, [ω] = s -, [t] = s. Prcedura blczena mpedancj ąta fazweg dwójna: = j00 Ω; = 00 Ω; 3 = (00 + j 00) Ω; 3 j37 = + = 80 j60 00 e Ω; = 00 Ω; Prcedura blczena wartśc sutecznych prądów napęć gałęzwych: 3 = j0 = e A; j00 = 00 j45 = e Ω; j45 3 = 3 3 = 00 e = (00 + j00) j0 = 00 = 00 e Ω; j45 = Y = e = ( + j) + 3 = 3 + j 0 V; = 3 ; = 3 83 V; j0 Y = 0,005 = 0, 005 e S; j8,4 A;, 4 A; = e A; 3, 6 A; j90 = j00 = 00 e Ω; j7,6 = 00 0 e (00 j300) + = 300 j j8,4 V; 36 V; = e V; 36 V; j37 = ; = = 80 j60 00 e Ω; = 00 Ω; 37. Wnse (wynający z prównana prcedur blczenwych przedstawnych w tym w pprzednm przyładze): rzyśc blczenwe stswana rachunu symblczneg są czywste. Mc zesplna Trójąt mcy umeszczny na płaszczyźne zesplnej przedstawa trójąt mcy zesplnej (rys. b), tóreg bam są: mc czynna P, mc berna Q pmnżna przez j, raz mc zesplna S : j S = S e = S (cs + j sn) = P + jq Sr = ψ u ψ, t P ; (6.59) P = e S, Q = m S, S = P + Q =. (6.60a, b, c) jψ jψ jψ u u S = e e = ( e ) ( e ) = stąd mc zesplna uładu szeregweg, X raz uładu równległeg G, B wyns: S = = + jx, jψ, (6.6) S = Y = G jb. (6.6a, b) Sprządzając blans mcy bwdu, sumuje sę ddzelne mce czynne berne alb mce zesplne (ne wln sumwać mdułów mcy zesplnych, tj. mcy pzrnych!): P, Q = Q, S = S. (6.63a, b, c) = P = = 3 S jq

7 6. Elementy bwdów prądu snusdalneg 9 Psługwane sę rachunem symblcznym w rzwązywanu bwdów Przyład. użycem rachunu symblczneg, pprzez stswane różnych metd, zstaną wyznaczne wartśc A prądów napęć, reślne wsazana przyrządów pmarwych (ampermerzy wltmerza) raz sprządzny blans mcy w uładze pazanym na rysunu. Przyrządy A są dealne merzą wartśc suteczne. Dane: X = X = 0 Ω; = u = 40 snωt, = csωt, źr [u] = V, [ źr ] = A, [ω] = s, [t] = s. Danym przebegm dpwadają wartśc symblczne napęca prądu: = 40 V; źr = j A. mpedancje zesplne elementów wynszą: = 0 Ω; = j0 Ω; = j0 Ω. e schematu wyna, że wystarcza blczene lub, bwem: = + źr lub = źr ; V = + = + źr. Oblcza sę najperw na różne spsby prąd, a następne,,, V, reśla wsazana przyrządów sprządza blans mcy bwdu. źr źr V V. asada superpzycj a b a + b źr źr źr = = ( ) A; b = = ( j) A; + + a + j = + = ( ) A. a b + j. amana źródła prądweg na napęcwe blczene prądu w czu (z równana czweg dla jedneg cza) źr źr źr źr = = = ( + ) A. + j

8 30 Wyład XV 3. amana źródła napęcweg na prądwe blczene ptencjału w węźle (z równana węzłweg dla jedneg węzła nezależneg) V =0 V źr Y Y Y V =0 V źr Y = 0, S; Y = = j0, S; = źr + Y ( Y + Y ) V = źr + Y ; V = = (30 j0) V; Y + Y = Y ( V ) = ( + ) A. j 4. Twerdzene Thevenna (gałąź, ja zewnętrzna) 0 źr w 0 źr = 0 = źr = 0 V; w = ; = = ( + j) A Wartśc symblczne,,, V, raz wsazana przyrządów = + źr = ( + j3) A; = = (0 + j0) V; = = (30 j0) V; = źr = ( 0) V; V = + = (0 j0) V; A = =,4 A; A = = 0 3, 6 A; V = 0 4, V. 6. Blans mcy bwdu S gen * * V źr j w = V = + = 40 ( j) + (0 j0) ( j) = (0 60) VA; = db = źr P db = = 0 ( + ) 0 W; Q X + X = 0 ( + 3 ) + 0 = 60 var; S db = Pdb + j Qdb, db gen S = S.