Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków."

Transkrypt

1 Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo Ozaczeia i poj cia Zasada wª cze«i wyª cze« Podstawe schematy kombiatorycze Prawdopodobie«stwo geometrycze Prawdopodobie«stwo warukowe Prawdopodobie«stwo caªkowite Prawdopodobie«stwo przyczyy Zmiee losowe Niezale»o± zmieych losowych Zmiee losowe dyskrete Zmiea losowa 0-1 (Beroulli'ego) Zmiea losowa o rozkªadzie dwumiaowym Zmiee losowe o rozkªadzie geometryczym Zmiee losowe o rozkªadzie Poissoa Ci gªe zmiee losowe Rozkªad jedostajy U[a, b] Rozkªad wykªadiczy E(λ) Rozkªad gamma Γ(, λ) Rozkªad ormaly (Gaussa) N (m, σ 2 ) Wektory losowe Rozkªad. Przypadek dyskrety Przypadek ci gªy (z g sto±ci ) Sumy iezale»ych zmieych losowych Warto± oczekiwaa 16 4 Ryzyko i jego pomiar Kowariacja, Cov(X, Y ) Wspóªczyik korelacji Warukowa warto± oczekiwaa 21

2 SPIS TRE CI SPIS TRE CI 6 Nierówo±ci Nierówo± Markowa Nierówo± Czebyszewa Fukcje tworz ce momety Nierówo± Cheroa Prawo wielkich liczb Fukcja charakterystycza Rozkªady a ich fukcje charakterystycze Twierdzeia graicze Cetrale twierdzeie graicze Twierdzeie Poissoa Zagadieia estymacji redia Wariacja Przykªady Tablica dystrybuaty rozkªadu ormalego 32 Niektóre z wykorzystaych w tej pracy obrazków pochodz z Wikipedii i s oe dost pe jako public domai. 2

3 1. Prawdopodobie«stwo 1 Prawdopodobie«stwo 1.1 Ozaczeia i poj cia Ω - przestrze«zdarze«elemetarych. Prawdopodobie«stwo b dzimy liczy tylko dla iektórych podzbiorów Ω. Rodzi tych podzbiorów ozaczamy przez F. Zbiory z tej rodziy speªiaj : 1. A F A F (je»eli zbiór ale»y do rodziy, to jego dopeªieie tak»e) 2. A 1, A 2,... F A i F (je»eli ile± elemetów ale»y do rodziy to ich suma tak»e) Uwaga 1. Je»eli Ω jest zbiorem przeliczalym, to dobrym kadydatem a F jest 2 Ω. Prawdopodobie«stwo - fukcja P : F [0, 1] (Ω, F, P ) - przestrze«probabilistycza. Fukcja P speªia: 1. P (A) [0, 1] 2. P (Ω) = 1 ( ) 3. je±li A 1, A 2,... F i s parami rozª cze to P A i = P (A i ) Fakt 1. Niech daa b dzie przestrze«probabilistycza (Ω, F, P ) oraz A, B, A 1, A 2,..., A F. Wtedy: 1. P ( ) = 0 ( ) 2. je±li A i A j = dla i, j {1, 2,..., }, i j to P A i = P (A i ) 3. P (A ) = 1 P (A) 4. A B P (B \ A) = P (B) P (A) 5. A B P (A) P (B) 6. P (A) 1 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Dowód. ad 7. A B = (A \ (A B)) (B \ (A B)) (A B) P (A B) = P (A \ (A B)) + P (B \ (A B)) + P (A B) = P (A) P (A B) + P (B) P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 3

4 1.2 Zasada wª cze«i wyª cze«1. Prawdopodobie«stwo 1.2 Zasada wª cze«i wyª cze«zasada wª cze«i wyª cze«przydaje si, kiedy ªatwiej i» sum zdarze«jest policzy ich przekrój. P (A 1 A 2... A ) = P (A i ) + P (A i A j ) 1 i<j 1 i<j<k P (A i A j A k ) + ( 1) +1 P (A 1 A 2... A ) (1) 1.3 Podstawe schematy kombiatorycze Przykªad 2. Sie komputerowa skªada si z ró»ych komputerów poª czoych szeregowo. Na ile sposobów mo»emy ustawi komputery? Rozwi zaie 3. ( 1)( 2) 2 1 =! permutacja Przykªad 4. Zaªó»my,»e k z powy»szych komputerów stoi w aszym pokoju, Na ile sposobów mo»emy skogurowa sie, gdy iteresuje as tylko asz pokój? Rozwi zaie 5. ( 1)( 2) ( k + 1) =! ( k)! wariacja Przykªad 6. Sªowo maszyowe skªada si z 32 bitów. Ile ró»ych sªów mo»a z tego uzyska? Rozwi zaie 7. } 2 2 {{ 2 } = 2 32 wariacja z powtórzeiami dwójek Przykªad 8. W jedym cyklu oblicze«program a wyj±ciu podaje zbiór k ró»ych liczb z zakresu 1, 2,...,. Ile jest ró»ych wyików? Rozwi zaie 9. kombiacja kolejo± liczb ma zaczeie! ( k)! kolejo± liczb ie ma zaczeia! k!( k)! = ( ) k 1.4 Prawdopodobie«stwo geometrycze Kiedy trzeba policzy prawdopodobie«stwo dla iesko«czoego zbioru A lub Ω (gdzie oczywi±cie A Ω), wtedy za miar uzajemy pole powierzchi, b d ce geometrycz reprezetacj zdarze«a oraz Ω. Przykªad 10. Ja± i Maªgosia umówili si pomi dzy 12:00 i 13:00. Osoba, która przyjdzie wcze±iej czeka a drug 20 miut. Jaka jest szasa spotkaia si aszych bohaterów? Rozwi zaie 11. Ω = [12, 13] [12, 13] A spotkaie Jasia i Maªgosi 4

5 1.4 Prawdopodobie«stwo geometrycze 1. Prawdopodobie«stwo Rysuek Zakreskowaa cz ± ozacza,»e bohaterowie si spotkaj. pole zakreskowaej gury P (A) = pole kwadratu o boku 1 = 2( ) = Przykªad 12. Rzucamy dwiema ko±ciami do gry. Mamy kilka mo»liwo±ci zdeiowaia przestrzei zdarze«( Ω). 1. je±li iteresuje as co wypadªo a której kostce to Ω = {(i, j): i, j {1, 2,..., 6}} Ω = 6 6 = je»eli iteresuje as co wypadªo a obu ko±ciach (bez rozró»iaia) to Ω = {{i, j}: i, j {1, 2,..., 6}} Ω = = je»eli iteresuje as co wypadªo a której kostce, ale chcemy mie w sy to musimy ozakowa warto±ci a ka»dej z kostek Ω = {{i, j}: i {1, 2,..., 6 }, j {1, 2,..., 6 }} Ω = 6 6 = 36 Przyjmijmy Ω z puktu 1. Nazwijmy asze kostki zieloa i czerwoa Jaka jest szasa,»e a zieloej wypadªa przysta liczba oczek a a czerwoej liczba oczek wi ksza i» 4? (aturale jest zaªo»eie o iezale»o±ci kostek). A = {(2, 5), (2, 6), (4, 5), (4, 6), (6, 5), (6, 6)} A = 6 A 1 a pierwszej kostce wypadªa liczba parzysta A 2 a drugiej kostce wypadªa liczba wi ksza i» 4 P (A 1 ) = A 1 = 3 P (A 2 ) = A 2 = 2 Ω 6 Ω 6 P (A) = A Ω = 6 36 = = P (A 1) P (A 2 ) A = A 1 A 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) Deicja 1. Zdarzeia A 1, A 2,..., A azywamy iezale»ymi, gdy ( ) P A i = P (A i ) dla ka»dego I {1, 2,..., 5} (2) i I Fakt 13. Je»eli zdarzeia A, B s iezale»e oraz rozª cze, to i I P (A) = 0 lub P (B) = 0 5

6 1.5 Prawdopodobie«stwo warukowe 1. Prawdopodobie«stwo Dowód. P (A B) = P (A) P (B) ale A B = wi c P (A B) = P ( ) = 0 Uwaga 2. (ie wystarczy do iezale»o±ci aalizowa tylko pary). W uri s 4 kulki: czerwoa, iebieska,»óªta, czerwoo-iebiesko-»óªta. A wyci gi to kul z kolorem czerwoym B wyci gi to kul z kolorem iebieskim C wyci gi to kul z kolorem zóªtym P (A) = P (B) = P (C) = 2 4 P (A B) = 1 = P (A) P (B) = P (A C) = P (B C) 4 P (A B C) = 1 P (A) P (B) P (C) 4 Fakt 14. Je±li zdarzeia A 1, A 2,..., A B i = A i lub B i = A i. s iezale»e to iezale»e s te» zdarzeia B 1, B 2,..., B, gdzie 1.5 Prawdopodobie«stwo warukowe Przykªad 15. Sie skªada si z dwóch rozró»ialych komputerów. W daej chwili komputer mo»e wykoywa obliczeia/pracowa albo czeka (z prawdopodobie«stwem 1 2 ). Jaka jest szasa tego,»e komputer 1 jest w staie u±pieia, gdy wiemy, ze sie pracuje? Rozwi zaie 16. Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} A pierwszy komputer jest w staie u±pieia A = {(0, 1), (0, 0)} 1. bez dodatkowej wiedzy: P (A) = A Ω = z dodatkow wiedz A B = {(0, 1)} B sie pracuje B = {(0, 1), (1, 0), (1, 1)} B = 3 P (A B) = 1 3 = A B B = A B Ω B Ω = P (A B) P (B) Deicja 2. Prawdopodobie«sto warukowe zaj±cia zdarzeia A pod warukiem zaj±cia zdarzeia B zapisujemy P (A B) P (A B) =, P (B) 0 (3) P (B) Fakt 17. Je±li P (A 1 A 2... A ) > 0 to P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A A 1 A 2... A ). Dowód. prawa stroa: P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) = P (A 1 A 2... A ) P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 )... P (A 1 A 2 A ) P (A 1 A 2... A 1 ) 6

7 1.6 Prawdopodobie«stwo caªkowite 1. Prawdopodobie«stwo 1.6 Prawdopodobie«stwo caªkowite Przykªad 18. W urie mamy b kul biaªych i c kul czarych. Wyci gamy 1 kul i (ie podgl daj c) wyrzucamy j. Jaka jest szasa,»e w ast pym ci gi ciu wylosujemy kul biaª? Rozwi zaie 19. B 1 wyci gi to biaª kul w pierwszym losowaiu B 2 wyci gi to biaª kul w drugim losowaiu P (B 2 ) = P (B 2 B 1 ) + P (B 2 B 1) = P (B 2 B 1 ) P (B 1 ) + P (B 2 B 1) P (B 1) = b 1 b + c 1 b b + c + b b + c 1 c b + c = b c + b Deicja 3. Rozbiciem przestrzei zdarze«elemetarych azywamy rodzi zdarze«{h i } i I, które s oe wzajemie rozª cze oraz i I H i = Ω. Twierdzeie 20. (wzór a prawdopodobie«stwo caªkowite) Je±li {B 1, B 2,..., B } jest rozbiciem Ω oraz P (B i ) > 0, to dla dowolego zdarzeia A zachodzi P (A) = P (A B i ) P (B i ) (4) Dowód. P (A) = P A ( ) B i = P (A B i ) = } {{ } Ω P (A B i ) = P (A B i ) P (B i ) Przykªad 21. Algorytm daje odpowied¹ popraw z prawdopodobie«stwem p, myli si z prawdopodobie«stwem q oraz zawiesza si z prawdopodobie«stwem r (wtedy poowie uruchamiamy komputer). Jaka jest szasa,»e ostateczie uzyskamy popraw odpowied¹? Rozwi zaie 22. W uzyskao popraw odpowied¹ P (W ) = P (W A) P (A) + P (W B) P (B) + P (W C) P (C) } {{ } } {{ } } {{ } 1 p 0 P (W ) r wiemy jeszcze,»e p + q + r = 1 zatem P (W ) = p p + q 1.7 Prawdopodobie«stwo przyczyy Przykªad 23. Zaobserwowae objawy awarii owego komputera mog by wyikiem uszkodzeia pªyty gªówej lub mog by spowodowae iym czyikiem (ie obj tym gwaracj ). Wiadomo,»e awaria pªyty gªówej zdarza si raz a 1000 komputerów oraz powoduje zaobserwowae usterki z prawdopodobie«stwem 4 5. Z iych powodów wyst puj oe przeci tie raz a 100 komputerów. Jaka jest szasa,»e awarii ulegªa pªyta gªówa? 7

8 2. Zmiee losowe Rozwi zaie 24. A awarii ulegªa pªyta gªówa B zaobserwowao objawy awarii P (A) = P (A ) = P (B A) = 4 5 P (B A ) = P (A B) =? P (A B) = = P (A B) P (B) P (B A) P (A) = P ( (B A) (B A ) ) = P (B A) P (A) P (B A) + P (B A } {{ } ) skªadiki s rozª cze P (B A) P (A) P (B A) P (A) + P (B A ) P (A ) Twierdzeie 25. (wzór Bayesa) 1 Je±li {H i } i I jest przeliczalym rozbiciem Ω takim,»e P (H i ) > 0, i I oraz dae jest zdarzeie A takie,»e P (A) > 0, to P (H j A) = P (A H j) P (H j ) P (A H i ) P (H i ) i I = z(4) P (A H j) P (H j ) P (A) (5) 2 Zmiee losowe Deicja 4. Je±li Ω jest przeliczaly to dowol fukcj okre±lo a Ω i o warto±ciach w R azywamy zmie losow. Deicja 5. Niech daa b dzie przestrze«probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcj X : Ω R azywamy zmie losow, je±li dla ka»dego a R {ω : X(ω) a} F. Deicja 6. Niech X b dzie zmie losow okre±lo a (Ω, F, P ). Fukcj F X : R [0, 1],»e F X (x) = P ({ω : X(ω) x}) azywamy dystrybuat zmieej losowej X. Deicja 7. Zmiee losowe ozaczamy ostatimi literami z alfabetu (X, Y, Z) oraz przyjmujemy zapis,»e P ({ω : X(ω) x}) = P (X x). Wªaso±ci dystrybuaty 1. jest fukcj iemalej c 2. prawostroie ci gªa 3. lim x F X(x) = 0, lim F X(x) = 1 x + Przykªad 26. Gramy w ko±ci a piei dze. Zasady s ast puj ce: je±li wyrzucimy 1 lub 2 to przegrywamy 1$. je±li wyrzucimy 3, 4 lub 5 to ikt ikomu ie pªaci. je±li wyrzucimy 6 to wygrywamy 2$. 1 Ciekawy przykªad mo»a zale¹ a Wikipedii 8

9 2.1 Niezale»o± zmieych losowych 2. Zmiee losowe Zapiszmy to matematyczie: Ω = {1, 2,..., 6} Z zysk z jedej kolejki Z : Ω { 1, 0, 2} 1 ω {1, 2} Z(ω) = 0 ω {3, 4, 5} 2 ω = 6 0 x < 1 2 F Z (x) = 6 x [ 1, 0) 5 6 x [0, 2) 1 x [2, ) Rysuek 2 Rysuek 3 Z F Z x Wykres zmieej losowej Z x Wyres dystrybuaty zmieej losowej Z Uwaga 3. Je±li zamy F X (x) to mo»emy liczy tak»e prawdopodobie«stwo ie i» P (X x). Np. P (X (a, b]) = P (X b (X a) ) = P (X b) P (X a) 2.1 Niezale»o± zmieych losowych Przykªad 27. Losujemy pukt z kwadratu [0, 1] 2. W szczególo±ci mo»emy my±le o zmieych losowych. Niech = P (X b) + P (X > a) 1, bo P (X > a) = 1 P (X a) Ω = [0, 1] 2, P (A) = pole(a) pole(ω) = pole(a) X zmiea losowa mówi ca jaka jest warto± pierwszej wspóªrz dej Y zmiea losowa mówi ca jaka jest warto± drugiej wspóªrz dej wtedy Zauwa»my,»e F X (x) = P ({ω Ω: X(ω) x}) = P (ω [0, x] [0, 1]) = x, gdy x [0, 1] F Y (y) = P ({ω Ω: Y (ω) y}) = P (ω [0, 1] [0, y]) = y, gdy y [0, 1] P (X x Y y) = P ({ω Ω: ω [0, x] [0, y]}) = x y, x, y [0, 1] = P (X x) P (Y y) 9

10 2.2 Zmiee losowe dyskrete 2. Zmiee losowe Deicja 8. Niech X 1, X 2,..., X b d zmieymi losowymi okre±loymi we wspólej przestrzei probabilistyczej (Ω, F, P ). Je±li dla dowolych k oraz dowolych x 1, x 2,..., x zachodzi P (X j1 x 1, X j2 x 2,..., X jk x k ) = to zmiee te azywamy wzajemie iezale»ymi. 2.2 Zmiee losowe dyskrete k P (X ji x i ) Deicja 9. Zmie losow X : Ω {x i := 1, 2,...} azywamy dyskret zmie losow. Deicja 10. Rozkªadem zmieej losowej dyskretej X : Ω {x i := 1, 2,...} azywamy ci g par (x i, p i ),2,... gdzie p i = P (X = x i ). Przykªad 28. (kotyuacja przykªadu 26) Mamy: Z zysk a rzucie 1 ko±ci do gry. Z : {1, 2, 3, 4, 5, 6} { 1, 0, 2} dla x 1 = 1 P (Z = 1) = 2 6 = 1 3 =: p 1 dla x 2 = 0 P (Z = 0) = 3 6 = 1 2 =: p 2 dla x 3 = 2 P (Z = 1) = 1 6 =: p 3 Otrzymali±my ast puj cy rozkªad: ( 1, 1 3 ); (0, 1 2 ); (2; 1 6 ) Uwaga 4. F X (t) = P (X t) = P (X = x i ) = p i x i t x i t Zmiea losowa 0-1 (Beroulli'ego) Deicja 11. Je±li P (X = 1) = 1 P (X = 0) = p, dla p (0, 1) to zmie losow azywamy 0-1 lub Beroulli'ego. W skrócie pisa b dziemy X B(1, p) czyt.: zmiea losowa X ma rozkªad Beroulli'ego. Zastosowaie 1. Zaªó»my,»e iteresuje as zdarzeie A Ω o prawdopodobie«stwie P (A) = p. wiedzie czy A zaszªo. Zdeiujmy fukcj { 1 ω A X(ω) := 1 A (ω) 0 ω A Chcemy Zauwa»my,»e P (X = 1) = P ({ω Ω : ω A}) = P (A) = p Zmiea losowa o rozkªadzie dwumiaowym Przykªad 29. Iteresuje as ilo± zaj± zdarzeia A w iezale»ych do±wiadczeiach. X i (ω) = 1 Ai (ω) gdzie A 1, A 2,..., A zdarzeia iezale»e, P (A 1 ) = P (A 2 ) =... = P (A ) = p S (ω) = X i (ω) 10

11 2.2 Zmiee losowe dyskrete 2. Zmiee losowe Zbadajmy rozkªad S : ( P (S = k) = P Xi (ω) = k) = = 1, 2,..., k p k (1 p) = P (X 1 = 1, X 2 = 1,..., X k = 1, X k+1,..., X = 0) 1, 2,..., k ( ) p k (1 p) k k ( Deicja 12. Zmiea losowa S ma rozkªad dwumiaowy z parametrami oraz p je±li P (S = k) = ) k p k (1 p) k dla k = 0, 1,...,. Prawdopodobie«stwo to azywamy te» prawdopodobie«stwem w próbach Beroulli'ego. Ozaczamy te rozkªad S B(, p). Uwaga 5. Musi zachodzi wªaso± : k=0 ( ) p k (1 p) k = 1 k Zmiee losowe o rozkªadzie geometryczym Przykªad 30. Mamy do przesªaia plik za pomoc sieci. Jak to w»yciu bywa, sie czasem ulega awarii. Je±li ast pi awaria, to musimy zacz trasfer od pocz tku. Iteresuje as ile razy wysyªali±my plik a» do mometu, gdy trasfer si udaª. Rozwi zaie 31. Zaªó»my,»e koleje próby s iezale»e od pozostaªych oraz P (X i = 1) = p dla i = 1, 2,.... Niech { 1 trasfer si powiódª X i = 0 trasfer si ie powiódª Y ilo± trasferów Zauwa»my,»e Y mo»e przyjmowa warto±ci 1, 2,.... Poadto Rozkªad Y : iech k N, Y = mi{ N: X = 1} P (Y = k) = P (X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k 1 = 0, X k = 1) = P (X 1 = 0) P (X 2 = 0)... P (X k 1 = 0) P (X k = 1) = (1 p) k 1 p = p k p k = p(1 p) k 1 = 1 k=1 k=1 Deicja 13. Zmiea losowa X ma rozkªad geometryczy z parametrem p (0, 1), gdy P (X = k) = p(1 p) k 1 dla k = 1, 2,.... Ozaczeie: X G(p) - zwi zae z czasem czekaia a pierwszy sukces. Twierdzeie 32. (wªaso± braku pami ci) Zaªó»my,»e X ma rozkªad geometryczy G(p). Wtedy P (X 0 + k X > 0 ) = P (X k) Uwaga 6. T wªaso± maj tylko dwa rodzaje rozkªadów: geometryczy (2.2.3) i wykªadiczy (2.3.2). Dowód. Rozpisuj c lew stro otrzymujemy L = P (X 0 + k X > 0 ) = P (X 0 + k) P (X > 0 ) P (X 0 + 1) = i= 0+k P (X = i) i= P (X = i) = i= 0+k p(1 p)i 1 = 0+1 p(1 p)i 1 = i= 0+1 (1 p)0+k 1 = (1 p)k 1 (1 p)

12 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe gdzie w (*) skorzystali±my z tego,»e p(1 p) i 1 = p(1 p) l 1 (i p) i = (1 p) l 1 i=l i=0 Ale patrz c z prawej stroy, mamy P = P (X k) = P (X = i) = p(1 p) i 1 = (1 p) k 1 i=k i=k Zmiee losowe o rozkªadzie Poissoa Deicja 14. Zmiea losowa X ma rozkªad Poissoa 2 z parametrem λ > 0 je±li P (X = k) = λk k! e λ dla k = 0, 1,.... Uwaga 7. Faktyczie uzyskujemy rozkªad, bo: 2.3 Ci gªe zmiee losowe k=0 λ k k! e λ = 1 B dziemy zajmowa si tylko pew podklas ci gªych zmieych losowych, miaowicie zmieymi losowymi z g sto±ci 3. Przykªad 33. Mamy odciek [0, 1], rzucamy a iego pukt w sposób caªkowicie losowy. Niech X - wspóªrz da traeia. Chcemy za jej rozkªad. Poiewa» puktów jest iesko«czeie wiele, to dla ka»dego puktu prawdopodobie«stwo traeia w iego jest rówe 0. Mo»emy jedak policzy ie prawdopodobie«stwo. Zbadajmy F X (t) = P (X t) czyli dystrybuat. Zastosujmy chwyt z prawdopodobie«stwem geometryczym. Wtedy 0 t < 0 F X (t) = P (X t) = t t [0, 1] 1 t > 1 Zauwa»my,»e F X (t) = W praktyce okazuje si,»e wiele dystrybuat mo»emy zapisa za pomoc caªki. t 1 [0,1] (x)dx (6) Deicja 15. Niech X b dzie zmie losow o dystrybuacie F X. Je±li istieje ieujema fukcja f X taka,»e F X (t) = t f X(s)ds dla ka»dego t R, to f X azywamy g sto±ci rozkªadu zmieej losowej X. Uwaga 8. Od tej pory b dziemy zakªada,»e f X istieje. Uwaga 9. F X(t) = f X (t) (tak jest prawie zawsze) To,»e zachodzi (6) ie ozacza,»e F X jest w ka»dym pukcie ró»iczkowala. Prawd jest jedak,»e jest sko«czeie wiele puktów, w których ie jest ró»iczkowala. Gdyby±my zali g sto± aszego rozkªadu, to zaliby±my prawdopodobie«stwo zaj±cia wielu zdarze«, które mogªyby as iteresowa, p. b a b P (a < x b) = P (X b) P (X a) = f X (s)ds f X (s)ds = f X (s)ds a Ogólie 2 czyt. pªasoa 3 istieje pochoda dystrybuaty P (X A) = A f X (s)ds 12

13 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe Wªaso±ci 1. 1 = P (X (, )) = f X (s)ds (7) 2. P (X = t) = 0, czyli szasa traeia w kokrety pukt wyosi 0. Probabili±ci mówi,»e ie mamy atomów Rozkªad jedostajy U[a, b] Deicja 16. Zmiea losowa X ma rozkªad jedostajy 5 a odciku [a, b], gdy jej fukcja g sto±ci wyosi 0 t < a f X (t) = 0 t > b (8) 1 b a t [a, b] (wyika z (7) oraz poprzedich przypadków) P (X < t) = F X (t) = Uwaga 10. Wa»y przypadek: U[0, 1]. t f X (t)dt = t a f X (t)dt = t a b a (9) Rysuek 4 Rysuek 5 Dystrybuata, F X (t) G sto±, f X (t) Rozkªad wykªadiczy E(λ) Deicja 17. Zmiea losowa ma rozkªad wykªadiczy, gdy jej fukcja g sto±ci wyosi { 0 t < 0 f X (t) = λe λt t 0 (10) sk d P (X < t) = F X (t) = t P (X > t) = f X (t)dt = t 0 t f X (t)dt = 1 e λt (11) λe λs ds = e λt (12) 4 Ciekawe co a to chemicy Rozkªad jedostajy zay jest te» jako jedorody, rówomiery, prostok ty oraz pªaski. 13

14 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe Twierdzeie 34. (wªaso± braku pami ci) Dowód. (Przez rozpisaie) P (X > t + s X > s) P (X > s) P (X > t + s X > s) = P (X > t) (13) = P (X > t + s) P (X > s) (12) e λ(t+s) = e λs = e λt = P (X > t) Uwaga 11. To,»e czekamy a przystaku ju» s czasu ie ozacza,»e autobus przyjedzie szybciej. Jest tak dlatego,»e osoba, która dopiero co przyszªa a przystaek dopiero zaczya czekaie Rozkªad gamma Γ(, λ) Deicja 18. Fukcja g sto±ci jest postaci { 0 t < 0 f X (t) = λ ( 1)! t 1 e λt t 0 (14) Rozkªad ormaly (Gaussa) N (m, σ 2 ) N (m, σ 2 ), m R, σ 2 > 0 (15) Deicja 19. Zmiea losowa X ma rozkªad N (m, σ 2 ) je±li jej fukcja g sto±ci jest postaci f X (t) = 1 1 ( ) 2π σ exp (t m)2 2σ 2, t R (16) Rysuek 6 Rysuek 7 Dystrybuata, F X (t) G sto±, f X (t) Uwaga 12. Okazuje si,»e ie ma wzoru a dystrybuat! 6. Nie mo»a jej wyliczy explicite. ( ) t 1 (x m)2 F X (t) = exp 2πσ 2σ 2 dx Ludzko± zdawszy sobie spraw z powagi sytuacji doszªa do wiosku,»e rozkªad Gaussa mo»emy zast pi przez rozkªad stadardowy N(0, 1) to jest stablicowae. Φ(t) = P (N t), N N(0, 1) Deicja 20. N rezerwujemy a ozaczeie zmieej losowej o rozkªadzie stadardowym. 6 Koiec ±wiata jest bliski... 14

15 2.4 Wektory losowe 2. Zmiee losowe Fakt 35. (stadaryzacja) Je±li zmiea losowa X N(m, σ 2 ) (ma rozkªad ormaly z parametrami), to Dowód. f Y (t) = F Y (t) = dp (Y t) dt = Y := X m σ N(0, 1) (17) X m dp ( σ t) dp (X σt + r) = = F dt dt X(σt + m) = 1 1 2π σ exp( t2 2 ) Przykªad 36. Mamy dae,»e X N(2, 4). Chcemy zbada ile wyosi P (X 3). Korzystamy z (17) Reguªa trzech sigm P (X 3) = P ( X ) = P (N 1 2 ) W rozkªadzie ormalym trzeba zwróci uwag a istoty szczegóª. Miaowicie dla dowolej liczby rzeczywistej g sto± jest iezerowa. Reguªa trzech sigm mówi,»e 99, 7% przypadków zajduje si w odlegªo±ci miejszej i» 3σ od warto±ci oczekiwaej. Zobacz Lemat 2.1. Zaªó»my,»e h jest fukcj ±ci±le ros c. Wtedy dla Y = h(x) F Y (t) = F X (h 1 (t)) (18) Dowód. F Y (t) = P (Y t) = P (h(x) t) = P (X h 1 (t)) = F X (h 1 (t)) 2.4 Wektory losowe Przykªad 37. Rzucamy igª w kwadrat [0, 1] 2. Rzut jest losowy. Iteresuje as poªo»eie traoego puktu. X wspóªrz da x-owa Y wspóªrz da y-owa P (X A; Y B) =? Uwaga 13. W przypadku 1-wymiarowym wystarczy za P (X x). Je»eli mamy g sto± to wystarczy j scaªkowa po zbiorze, do którego chcemy,»eby ale»aªa igªa. W przypadku wi kszej liczby wymiarów aalogoem dystrybuaty 1-wymiarowej jest iloczy dystrybuat. W szczególo±ci F (X,Y ) (t 1, t 2 ) := P (X t 1 ; Y t 2 ). Wtedy a przykªad dla 0 a, b, c, d 1 mamy P (X (a, b], Y (c, d]) = F (X,Y ) (b, d) F (X,Y ) (a, d) F (X,Y ) (b, c) + F (X,Y ) (a, c) 15

16 2.4 Wektory losowe 2. Zmiee losowe Rysuek 8 Rysuek 9 1 d t2 c F (X,Y ) (t 1, t 2 ) := P (X t 1 ; Y t 2 ) t1 a b 1 P (X (a, b], Y (c, d]) Rozkªad. Przypadek dyskrety Je±li p ij = P (X = x i ; Y = y j ) dla ka»dego x i, y j to zamy rozkªad Przypadek ci gªy (z g sto±ci ) Uwaga 14. Dla jedego wymiaru byªo: F X (t) = t f X (s)ds G sto± 2-wymiarowa to taka ieujema fukcja f (X,Y ) (s, t),»e F (X,Y ) (t 1, t 2 ) = t1 t2 Przykªad 38. Zaªó»my,»e wektor losowy (X, Y ) ma ast puj cy rozkªad: Pytaie: Jaka jest szasa,»e Y = 1? Y = 2? f (X,Y ) (s, t) ds dt (19) X \ Y P (Y = 1) = P (Y = 1; X = 1) + P (Y = 1; X = 5) + P (Y = 1; X = 7) = = 0.6 zsumowali±my pierwsz kolum P (Y = 2) = 0.4 Deicja 21. Rozkªady X, Y liczoe oddzielie azywamy rozkªadami brzegowymi wektora (X, Y ). Uwaga 15. Rozkªad (X, Y ) wyzacza jedozaczie rozkªady brzegowe, ale rozkªady brzegowe ie wyzaczaj rozkªadu ª czego Sumy iezale»ych zmieych losowych Przykªad 39. Rysuek 10 A B C Sposób trasmisji pliku przez sie. 16

17 3. Warto± oczekiwaa Przesyªamy plik (rysuek) z prawdopodobie«stwem sukcesu p w 1 próbie. Je»eli udaªo si przesªa plik z A do B to przesyªamy dalej, czyli z B do C. Mi dzy fragmetami sieci oraz kolejymi trasmisjami pliku zachodzi iezale»o±. Iteresuje as ª cza ilo± prób a» do skuteczego dostarczeia pliku od C. T = X + Y Zauwa»my,»e X jest iezale»e od Y. Pytamy Poadto zauwa»my,»e X ilo± prób dokoaych a A B Y ilo± prób dokoaych a B C k 1 k 1 P (T = k) = P (X = l; Y = k l) = P (X = l)p (Y = k l) l=1 l=1 k 1 k 1 = (1 p) l 1 p(1 p) k l 1 p = p 2 (1 p) k 2 = (k 1)p 2 (1 p) k 2 l=1 l=1 k 1 P (T = k) = P (X = l) P (Y = k l) (20) = l=1 P (X = l) P (Y = k l) (dla l k P (Y = k l) = 0) l=1 Wiosek 1. Je±li X, Y - dyskrete zmiee losowe, iezale»e oraz I X -zbiór warto±ci X, to P (X + Y = s) = P (X = x i ; Y = s x i ) = P (X = x i ) P (Y = s x i ) x I X x I X Je±li X, Y maj rozkªad z g sto±ci odpowiedio f X, f Y, wtedy g sto± rozkªadu X + Y jest ast puj ca f X+Y (t) = f X (s) f Y (t s) ds Wiosek 2. Je±li X N(m x, σx), 2 Y N(m Y, σy 2 ) oraz X i Y s iezale»e to X + Y N(m X + m Y, σ 2 X + σ 2 Y ) Poadto dla daych a, b zachodzi ax + b N(am X + b, a 2 σ 2 X ). Dowód. Trzeba skorzysta z lematu Warto± oczekiwaa Przykªad 40. (przytoczoa wcze±iej gra) {1, 2} 1 {3, 4, 5} 0 {6} 2 W wygraa w 1 rudzie. Czy ta gra jest sprawiedliwa, czyli czy przy dªugim graiu ka»dy z graczy ±redio ic ie traci i ie zarabia? Zaªó»my,»e mamy 6 rozgrywek. Spodziewamy si,»e 1 tra si 2 razy, ( 1) a 2 razy. redi zysk a rozgrywk wyosi 6 = 0 (zatem gra jest sprawiedliwa) = ( 1) = ( 1) P (W = 1) + 0 P (W = 0) + 2P (W = 2) = E(W ) warto± oczekiwaa zmieej losowej W. 17

18 3. Warto± oczekiwaa Deicja 22. Niech X b dzie dyskret zmie losow o rozkªadzie {(x i, p i ) : i = 1, 2,...}. Je±li i x i p i < to istieje warto± oczekiwaa zmieej losowej X i wyosi E(X) = i parktyce rzadko b dziemy obserwowa,»e to zaªo»eie ie jest speªioe. Deicja 23. Niech X b dzie zmie losow z g sto±ci f X 7. Je±li oczekiwaa E(X) = x f X (x) dx. x i P (X = x i ) = i x i p i. W x f X (x) dx <, to istieje warto± Uwaga 16. Warto± oczekiwaa = warto± ±redia = warto± przeci ta = pierwszy momet zmieej losowej. Fakt 41. Zaªó»my,»e istiej EX, EY. Wtedy 1. E(aX + b) = ae(x) + b liiowo± 2. E(X + Y ) = EX + EY 3. je±li X, Y - iezale»e, to E(XY ) = EX EY Dowód. (ad 1) E(ax + b) = k (ax k + b)p (X = x k ) = a k x k P (X = x k ) + b k P (X = x k ) (ad 3) E(X Y ) = def i = i = i x i y j P (X = x i ; Y = y j ) j x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) j x i P (X = x i ) y j P (Y = y j ) j = x i P (X = x i )E(Y ) = E(X)E(Y ) Przykªad 42. T - dªugo± pliku P (T > t) C t α, α 1.7 Zaªó»my,»e P (T < t) = 1 1 t, dla t 1. Jaka jest ±redia dªugo± pliku, który przesyªamy, E(T ) =?. Wida,»e mamy model ci gªy, wi c 2 skorzystamy ze wzoru EX = R xf X(x)dx. G sto± to ic iego jak pochoda, wi c j wyliczmy i b dzie fajie ;) 2 f T (x) = F T (x) = x 3 x 1 0 x < 1 Zatem ET = xf T (x)dx = R 1 x 2 x 3 dx = 2 x 1 = 2 Przykªady, dla których ie istieje warto± oczekiwaa Podamy teraz kilka przykªadów, dla których ie istieje warto± oczekiwaa. 1. przypadek ci gªy: zmiea losowa o rozkªadzie Cauchy'ego. Jej g sto± wyra»a si jako f X (t) = 1 π(1+t 2 ), t R. 7 g sto± wyzacza am te» rozkªad 18

19 4. Ryzyko i jego pomiar 2. przypadek dyskrety: iech X ma rozkªad P (X = 2 ) = c 2, = 1, 2,.... Wtedy EX = 2 c 2 =. Co zatem ale»y robi,»eby wyliczy warto± oczekiwa g(x), g-skomplikowaa fukcja? Formalie: 1. przypadek dyskrety: Eg(X) = def k g(x k) P (X = x k ). 2. przypadek ci gªy: Eg(X) = R g(x)f X(x)dx. Twierdzeie 43. (Nierówo± Jesea) Niech f b dzie fukcj wypukª dwukrotie ró»iczkowal. Wtedy E (f(x)) f(ex). Dowód. Niech m = E(X). Rozwijamy fukcj f w szereg Taylora w pukcie m: Zatem f(x) = f(m) + (x m)f (m) + (x m)2 f (Θ) f(m) + (x m)f (m) 2 E(f(X)) E(f(m) + (X m)f (m)) =E(f(m)) + E[(X m)f (m)] =f(e(x)) + f (m)[e(x) m] = f(e(x)) Uwaga 17. Je±li X-ieujema zmiea losowa o warto±ciach w N, to E(X) = P (X i) P (X 1) =P (X = 1)+ P (X = 2)+P (X = 3) +... P (X 2) = P (X = 2)+P (X = 3) + P (X = 4) +... P (X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) +... =P (X = 1)+2P (X = 2)+3P (X = 3) + 4P (X = 4) +... = E(X) 4 Ryzyko i jego pomiar Przykªad 44. I) Powraca ie±miertely przykªad 26. E(X) = 0, wi c gra jest sprawiedliwa. X { 1, 0, 2} II) Zmodykujmy gr tak,»e pªacimy ie jedego $, ale 10 4 $ gdy wypadie 1 lub 2; ic si ie dzieje, gdy wypadie 3,4 lub 5; dostajemy $, gdy wypadie 6 oczek. Y - wygrywamy w 1 rozgrywce E(Y ) = = 0. Aby mierzy ryzyko odchyleia warto± ±rediej mo»emy post pi ast puj co: Ryzyko b dziemy mierzy licz c V ar(x) := E(X E(X)) 2 wariacja zmieej losowej X (21) σ X := V ar(x) odchyleie stadardowe. (22) Uwaga 18. Odchyleie stadardowe azywae jest tak»e dyspersj. Ozacza si,»e D 2 (X) := V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (23) D 2 (x) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 2X E(X) + (E(X)) 2 ) = E(X 2 ) 2(EX) 2 + E(X) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 Przykªad 45. (kotyuacja przykªadu 44.) 19

20 4.1 Kowariacja, Cov(X, Y ) 4. Ryzyko i jego pomiar I) E(X 2 ) = = 1. V ar(x) = = 1, σ X = 1 = 1 II) E(Y 2 ) = (2 104 ) = 108. V ar(y ) = = 10 8, σ Y = 10 8 = 10 4 Uwaga 19. E(X 2 ) drugi momet zmieej losowej V ar(x) σ 2 X Wªaso±ci wariacji 1. V ar(ax) = a 2 V ar(x) 2. V ar(x + b) = V ar(x) 3. je±li X, Y s iezale»e, to V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) 4. V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) ± 2 Cov(X, Y ) (przypadek ogóly) Uwaga 20. V ar(x) 0!!! Dowód. (1) V ar(a X) = def E(aX E(aX)) 2 = Ea 2 (X E(X)) 2 = a 2 E(X E(X)) 2 = (21) a 2 V ar(x) (2) V ar(x + b) = def E(X + b E(X + b)) 2 = E(X + b EX b) 2 = def V ar(x) (3) V ar(x ±Y ) = (23) E(X ±Y ) 2 (E(X ± Y )) 2 = EX 2 ±E(2XY )+EY 2 ( (EX) 2 ± 2(EX)(EY ) + (EY ) 2) = EX 2 (EX) 2 + EY 2 (EY ) 2 = (23) V ar(x) + V ar(y ) 4.1 Kowariacja, Cov(X, Y ) Deicja 24. Do mierzeia iezale»o± i zmieych losowych X, Y u»ywamy kowariacji. Cov(X, Y ) = E(X Y ) EX EY (24) je»eli Cov(X, Y ) 0 to zmiee s zale»e je»eli Cov(X, Y ) = 0 to ie ma pewo±ci,»e s iezale»e! Fakt 46. Cov(aX, by ) = abcov(x, Y ) a, b R 4.2 Wspóªczyik korelacji Deicja 25. Wspóªczyik korelacji ρ zmieych losowych X, Y deiujemy jako ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ) (25) Fakt 47. ρ(ax, by ) = ρ(x, Y ) a, b > 0 Dowód. ρ(ax, by ) = ab Cov(X, Y ) a V ar(x) b V ar(y ) = ρ(x, Y ) 20

21 4.2 Wspóªczyik korelacji 4. Ryzyko i jego pomiar Wªaso±ci korelacji 1. je±li zmiee losowe X, Y s iezale»e, to ρ(x, Y ) = 0 2. odwrota implikacja ie zachodzi (chyba,»e zmiee X, Y maj rozkªady ormale) 3. je±li ρ(x, Y ) 0 to X i Y s wzajemie zale»e Przykªad 48. X\ Y Cov(X, Y ) = E(XY ) EX EY, EX = 0 = EY, E(XY ) = ( 1) ( 1) ( 1) = 0.6 V ar(x) = 1 = V ar(y ) trzeba sprawdzi! ρ(x, Y ) = 0.6 Przykªad 49. X\ Y V ar(x) = V ar(y ) = 1 trzeba sprawdzi! EX = 0 = EY, Cov(X, Y ) = E(XY ) 0 0 = 0.6 ρ(x, Y ) = 0.6 Uwaga 21. je±li ρ(x, Y ) > 0, to du»a warto± jedej zmieej implikuje du» warto± drugiej zmieej je±li ρ(x, Y ) < 0, to du»a warto± jedej zmieej implikuje maª warto± drugiej zmieej Fakt ρ(x, Y ) 1 im bli»ej jedyki tym zmiee s bardziej skorelowae/zale»e - zachowuj si podobie. dla ρ(x, Y ) = 1 jest Y = ax + b a > 0 dla ρ(x, Y ) = 1 jest Y = ax + b a < 0 dla ρ(x, Y ) 0 ie mo»emy stwierdzi czy zmiee s zale»e Zastosowaie 2. gdzie V ar(x, Y ) = E [X + Y E(X + Y )] 2 = E [(X EX) + (Y EY )] 2 = E [ (X EX) 2 + (Y + EY ) (X EX)(Y EY ) ] = V ar(x) + V ar(y ) + 2E [(X EX)(Y EY )] = ( ) V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ) ( ) =E(X EX)(Y EY ) = E [XY XEY Y EX + EX EY ] =E(XY ) 2EX EY + EX EY = Cov(X, Y ) 21

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Funkcje tworz ce skrypt do zada« Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

Marek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa

Marek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki nansowej

Podstawy matematyki nansowej Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Nieklasyczne modele kolorowania grafów 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej

MATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej Ja Nawrocki, Adrzej Wiicki MATEMATYKA cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej Politechika Warszawska 00 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz

Bardziej szczegółowo

Czas trwania obligacji (duration)

Czas trwania obligacji (duration) Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci

Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci Rozkłady tatytyk z próby Metody probabilitycze i tatytyka Wykład : Rozkłady tatytyk z próby. rzedziały ufoci Małgorzata Krtowka Wydział Iformatyki olitechika Białotocka e-mail: mmac@ii.pb.bialytok.pl troa

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

1 Wnioskowanie statystyczne podstawowe poj cia

1 Wnioskowanie statystyczne podstawowe poj cia 1 Wioskowaie statystycze podstawowe poj cia 1.1 arametry rozkªadu, próba losowa We wioskowaiu statystyczym próbujemy a podstawie losowej próbki z pewej populacji wioskowa a temat caªej populacji. Mo»emy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I.1

Analiza Matematyczna I.1 Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych. Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo