Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków."

Transkrypt

1 Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo Ozaczeia i poj cia Zasada wª cze«i wyª cze« Podstawe schematy kombiatorycze Prawdopodobie«stwo geometrycze Prawdopodobie«stwo warukowe Prawdopodobie«stwo caªkowite Prawdopodobie«stwo przyczyy Zmiee losowe Niezale»o± zmieych losowych Zmiee losowe dyskrete Zmiea losowa 0-1 (Beroulli'ego) Zmiea losowa o rozkªadzie dwumiaowym Zmiee losowe o rozkªadzie geometryczym Zmiee losowe o rozkªadzie Poissoa Ci gªe zmiee losowe Rozkªad jedostajy U[a, b] Rozkªad wykªadiczy E(λ) Rozkªad gamma Γ(, λ) Rozkªad ormaly (Gaussa) N (m, σ 2 ) Wektory losowe Rozkªad. Przypadek dyskrety Przypadek ci gªy (z g sto±ci ) Sumy iezale»ych zmieych losowych Warto± oczekiwaa 16 4 Ryzyko i jego pomiar Kowariacja, Cov(X, Y ) Wspóªczyik korelacji Warukowa warto± oczekiwaa 21

2 SPIS TRE CI SPIS TRE CI 6 Nierówo±ci Nierówo± Markowa Nierówo± Czebyszewa Fukcje tworz ce momety Nierówo± Cheroa Prawo wielkich liczb Fukcja charakterystycza Rozkªady a ich fukcje charakterystycze Twierdzeia graicze Cetrale twierdzeie graicze Twierdzeie Poissoa Zagadieia estymacji redia Wariacja Przykªady Tablica dystrybuaty rozkªadu ormalego 32 Niektóre z wykorzystaych w tej pracy obrazków pochodz z Wikipedii i s oe dost pe jako public domai. 2

3 1. Prawdopodobie«stwo 1 Prawdopodobie«stwo 1.1 Ozaczeia i poj cia Ω - przestrze«zdarze«elemetarych. Prawdopodobie«stwo b dzimy liczy tylko dla iektórych podzbiorów Ω. Rodzi tych podzbiorów ozaczamy przez F. Zbiory z tej rodziy speªiaj : 1. A F A F (je»eli zbiór ale»y do rodziy, to jego dopeªieie tak»e) 2. A 1, A 2,... F A i F (je»eli ile± elemetów ale»y do rodziy to ich suma tak»e) Uwaga 1. Je»eli Ω jest zbiorem przeliczalym, to dobrym kadydatem a F jest 2 Ω. Prawdopodobie«stwo - fukcja P : F [0, 1] (Ω, F, P ) - przestrze«probabilistycza. Fukcja P speªia: 1. P (A) [0, 1] 2. P (Ω) = 1 ( ) 3. je±li A 1, A 2,... F i s parami rozª cze to P A i = P (A i ) Fakt 1. Niech daa b dzie przestrze«probabilistycza (Ω, F, P ) oraz A, B, A 1, A 2,..., A F. Wtedy: 1. P ( ) = 0 ( ) 2. je±li A i A j = dla i, j {1, 2,..., }, i j to P A i = P (A i ) 3. P (A ) = 1 P (A) 4. A B P (B \ A) = P (B) P (A) 5. A B P (A) P (B) 6. P (A) 1 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Dowód. ad 7. A B = (A \ (A B)) (B \ (A B)) (A B) P (A B) = P (A \ (A B)) + P (B \ (A B)) + P (A B) = P (A) P (A B) + P (B) P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 3

4 1.2 Zasada wª cze«i wyª cze«1. Prawdopodobie«stwo 1.2 Zasada wª cze«i wyª cze«zasada wª cze«i wyª cze«przydaje si, kiedy ªatwiej i» sum zdarze«jest policzy ich przekrój. P (A 1 A 2... A ) = P (A i ) + P (A i A j ) 1 i<j 1 i<j<k P (A i A j A k ) + ( 1) +1 P (A 1 A 2... A ) (1) 1.3 Podstawe schematy kombiatorycze Przykªad 2. Sie komputerowa skªada si z ró»ych komputerów poª czoych szeregowo. Na ile sposobów mo»emy ustawi komputery? Rozwi zaie 3. ( 1)( 2) 2 1 =! permutacja Przykªad 4. Zaªó»my,»e k z powy»szych komputerów stoi w aszym pokoju, Na ile sposobów mo»emy skogurowa sie, gdy iteresuje as tylko asz pokój? Rozwi zaie 5. ( 1)( 2) ( k + 1) =! ( k)! wariacja Przykªad 6. Sªowo maszyowe skªada si z 32 bitów. Ile ró»ych sªów mo»a z tego uzyska? Rozwi zaie 7. } 2 2 {{ 2 } = 2 32 wariacja z powtórzeiami dwójek Przykªad 8. W jedym cyklu oblicze«program a wyj±ciu podaje zbiór k ró»ych liczb z zakresu 1, 2,...,. Ile jest ró»ych wyików? Rozwi zaie 9. kombiacja kolejo± liczb ma zaczeie! ( k)! kolejo± liczb ie ma zaczeia! k!( k)! = ( ) k 1.4 Prawdopodobie«stwo geometrycze Kiedy trzeba policzy prawdopodobie«stwo dla iesko«czoego zbioru A lub Ω (gdzie oczywi±cie A Ω), wtedy za miar uzajemy pole powierzchi, b d ce geometrycz reprezetacj zdarze«a oraz Ω. Przykªad 10. Ja± i Maªgosia umówili si pomi dzy 12:00 i 13:00. Osoba, która przyjdzie wcze±iej czeka a drug 20 miut. Jaka jest szasa spotkaia si aszych bohaterów? Rozwi zaie 11. Ω = [12, 13] [12, 13] A spotkaie Jasia i Maªgosi 4

5 1.4 Prawdopodobie«stwo geometrycze 1. Prawdopodobie«stwo Rysuek Zakreskowaa cz ± ozacza,»e bohaterowie si spotkaj. pole zakreskowaej gury P (A) = pole kwadratu o boku 1 = 2( ) = Przykªad 12. Rzucamy dwiema ko±ciami do gry. Mamy kilka mo»liwo±ci zdeiowaia przestrzei zdarze«( Ω). 1. je±li iteresuje as co wypadªo a której kostce to Ω = {(i, j): i, j {1, 2,..., 6}} Ω = 6 6 = je»eli iteresuje as co wypadªo a obu ko±ciach (bez rozró»iaia) to Ω = {{i, j}: i, j {1, 2,..., 6}} Ω = = je»eli iteresuje as co wypadªo a której kostce, ale chcemy mie w sy to musimy ozakowa warto±ci a ka»dej z kostek Ω = {{i, j}: i {1, 2,..., 6 }, j {1, 2,..., 6 }} Ω = 6 6 = 36 Przyjmijmy Ω z puktu 1. Nazwijmy asze kostki zieloa i czerwoa Jaka jest szasa,»e a zieloej wypadªa przysta liczba oczek a a czerwoej liczba oczek wi ksza i» 4? (aturale jest zaªo»eie o iezale»o±ci kostek). A = {(2, 5), (2, 6), (4, 5), (4, 6), (6, 5), (6, 6)} A = 6 A 1 a pierwszej kostce wypadªa liczba parzysta A 2 a drugiej kostce wypadªa liczba wi ksza i» 4 P (A 1 ) = A 1 = 3 P (A 2 ) = A 2 = 2 Ω 6 Ω 6 P (A) = A Ω = 6 36 = = P (A 1) P (A 2 ) A = A 1 A 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) Deicja 1. Zdarzeia A 1, A 2,..., A azywamy iezale»ymi, gdy ( ) P A i = P (A i ) dla ka»dego I {1, 2,..., 5} (2) i I Fakt 13. Je»eli zdarzeia A, B s iezale»e oraz rozª cze, to i I P (A) = 0 lub P (B) = 0 5

6 1.5 Prawdopodobie«stwo warukowe 1. Prawdopodobie«stwo Dowód. P (A B) = P (A) P (B) ale A B = wi c P (A B) = P ( ) = 0 Uwaga 2. (ie wystarczy do iezale»o±ci aalizowa tylko pary). W uri s 4 kulki: czerwoa, iebieska,»óªta, czerwoo-iebiesko-»óªta. A wyci gi to kul z kolorem czerwoym B wyci gi to kul z kolorem iebieskim C wyci gi to kul z kolorem zóªtym P (A) = P (B) = P (C) = 2 4 P (A B) = 1 = P (A) P (B) = P (A C) = P (B C) 4 P (A B C) = 1 P (A) P (B) P (C) 4 Fakt 14. Je±li zdarzeia A 1, A 2,..., A B i = A i lub B i = A i. s iezale»e to iezale»e s te» zdarzeia B 1, B 2,..., B, gdzie 1.5 Prawdopodobie«stwo warukowe Przykªad 15. Sie skªada si z dwóch rozró»ialych komputerów. W daej chwili komputer mo»e wykoywa obliczeia/pracowa albo czeka (z prawdopodobie«stwem 1 2 ). Jaka jest szasa tego,»e komputer 1 jest w staie u±pieia, gdy wiemy, ze sie pracuje? Rozwi zaie 16. Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} A pierwszy komputer jest w staie u±pieia A = {(0, 1), (0, 0)} 1. bez dodatkowej wiedzy: P (A) = A Ω = z dodatkow wiedz A B = {(0, 1)} B sie pracuje B = {(0, 1), (1, 0), (1, 1)} B = 3 P (A B) = 1 3 = A B B = A B Ω B Ω = P (A B) P (B) Deicja 2. Prawdopodobie«sto warukowe zaj±cia zdarzeia A pod warukiem zaj±cia zdarzeia B zapisujemy P (A B) P (A B) =, P (B) 0 (3) P (B) Fakt 17. Je±li P (A 1 A 2... A ) > 0 to P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A A 1 A 2... A ). Dowód. prawa stroa: P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) = P (A 1 A 2... A ) P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 )... P (A 1 A 2 A ) P (A 1 A 2... A 1 ) 6

7 1.6 Prawdopodobie«stwo caªkowite 1. Prawdopodobie«stwo 1.6 Prawdopodobie«stwo caªkowite Przykªad 18. W urie mamy b kul biaªych i c kul czarych. Wyci gamy 1 kul i (ie podgl daj c) wyrzucamy j. Jaka jest szasa,»e w ast pym ci gi ciu wylosujemy kul biaª? Rozwi zaie 19. B 1 wyci gi to biaª kul w pierwszym losowaiu B 2 wyci gi to biaª kul w drugim losowaiu P (B 2 ) = P (B 2 B 1 ) + P (B 2 B 1) = P (B 2 B 1 ) P (B 1 ) + P (B 2 B 1) P (B 1) = b 1 b + c 1 b b + c + b b + c 1 c b + c = b c + b Deicja 3. Rozbiciem przestrzei zdarze«elemetarych azywamy rodzi zdarze«{h i } i I, które s oe wzajemie rozª cze oraz i I H i = Ω. Twierdzeie 20. (wzór a prawdopodobie«stwo caªkowite) Je±li {B 1, B 2,..., B } jest rozbiciem Ω oraz P (B i ) > 0, to dla dowolego zdarzeia A zachodzi P (A) = P (A B i ) P (B i ) (4) Dowód. P (A) = P A ( ) B i = P (A B i ) = } {{ } Ω P (A B i ) = P (A B i ) P (B i ) Przykªad 21. Algorytm daje odpowied¹ popraw z prawdopodobie«stwem p, myli si z prawdopodobie«stwem q oraz zawiesza si z prawdopodobie«stwem r (wtedy poowie uruchamiamy komputer). Jaka jest szasa,»e ostateczie uzyskamy popraw odpowied¹? Rozwi zaie 22. W uzyskao popraw odpowied¹ P (W ) = P (W A) P (A) + P (W B) P (B) + P (W C) P (C) } {{ } } {{ } } {{ } 1 p 0 P (W ) r wiemy jeszcze,»e p + q + r = 1 zatem P (W ) = p p + q 1.7 Prawdopodobie«stwo przyczyy Przykªad 23. Zaobserwowae objawy awarii owego komputera mog by wyikiem uszkodzeia pªyty gªówej lub mog by spowodowae iym czyikiem (ie obj tym gwaracj ). Wiadomo,»e awaria pªyty gªówej zdarza si raz a 1000 komputerów oraz powoduje zaobserwowae usterki z prawdopodobie«stwem 4 5. Z iych powodów wyst puj oe przeci tie raz a 100 komputerów. Jaka jest szasa,»e awarii ulegªa pªyta gªówa? 7

8 2. Zmiee losowe Rozwi zaie 24. A awarii ulegªa pªyta gªówa B zaobserwowao objawy awarii P (A) = P (A ) = P (B A) = 4 5 P (B A ) = P (A B) =? P (A B) = = P (A B) P (B) P (B A) P (A) = P ( (B A) (B A ) ) = P (B A) P (A) P (B A) + P (B A } {{ } ) skªadiki s rozª cze P (B A) P (A) P (B A) P (A) + P (B A ) P (A ) Twierdzeie 25. (wzór Bayesa) 1 Je±li {H i } i I jest przeliczalym rozbiciem Ω takim,»e P (H i ) > 0, i I oraz dae jest zdarzeie A takie,»e P (A) > 0, to P (H j A) = P (A H j) P (H j ) P (A H i ) P (H i ) i I = z(4) P (A H j) P (H j ) P (A) (5) 2 Zmiee losowe Deicja 4. Je±li Ω jest przeliczaly to dowol fukcj okre±lo a Ω i o warto±ciach w R azywamy zmie losow. Deicja 5. Niech daa b dzie przestrze«probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcj X : Ω R azywamy zmie losow, je±li dla ka»dego a R {ω : X(ω) a} F. Deicja 6. Niech X b dzie zmie losow okre±lo a (Ω, F, P ). Fukcj F X : R [0, 1],»e F X (x) = P ({ω : X(ω) x}) azywamy dystrybuat zmieej losowej X. Deicja 7. Zmiee losowe ozaczamy ostatimi literami z alfabetu (X, Y, Z) oraz przyjmujemy zapis,»e P ({ω : X(ω) x}) = P (X x). Wªaso±ci dystrybuaty 1. jest fukcj iemalej c 2. prawostroie ci gªa 3. lim x F X(x) = 0, lim F X(x) = 1 x + Przykªad 26. Gramy w ko±ci a piei dze. Zasady s ast puj ce: je±li wyrzucimy 1 lub 2 to przegrywamy 1$. je±li wyrzucimy 3, 4 lub 5 to ikt ikomu ie pªaci. je±li wyrzucimy 6 to wygrywamy 2$. 1 Ciekawy przykªad mo»a zale¹ a Wikipedii 8

9 2.1 Niezale»o± zmieych losowych 2. Zmiee losowe Zapiszmy to matematyczie: Ω = {1, 2,..., 6} Z zysk z jedej kolejki Z : Ω { 1, 0, 2} 1 ω {1, 2} Z(ω) = 0 ω {3, 4, 5} 2 ω = 6 0 x < 1 2 F Z (x) = 6 x [ 1, 0) 5 6 x [0, 2) 1 x [2, ) Rysuek 2 Rysuek 3 Z F Z x Wykres zmieej losowej Z x Wyres dystrybuaty zmieej losowej Z Uwaga 3. Je±li zamy F X (x) to mo»emy liczy tak»e prawdopodobie«stwo ie i» P (X x). Np. P (X (a, b]) = P (X b (X a) ) = P (X b) P (X a) 2.1 Niezale»o± zmieych losowych Przykªad 27. Losujemy pukt z kwadratu [0, 1] 2. W szczególo±ci mo»emy my±le o zmieych losowych. Niech = P (X b) + P (X > a) 1, bo P (X > a) = 1 P (X a) Ω = [0, 1] 2, P (A) = pole(a) pole(ω) = pole(a) X zmiea losowa mówi ca jaka jest warto± pierwszej wspóªrz dej Y zmiea losowa mówi ca jaka jest warto± drugiej wspóªrz dej wtedy Zauwa»my,»e F X (x) = P ({ω Ω: X(ω) x}) = P (ω [0, x] [0, 1]) = x, gdy x [0, 1] F Y (y) = P ({ω Ω: Y (ω) y}) = P (ω [0, 1] [0, y]) = y, gdy y [0, 1] P (X x Y y) = P ({ω Ω: ω [0, x] [0, y]}) = x y, x, y [0, 1] = P (X x) P (Y y) 9

10 2.2 Zmiee losowe dyskrete 2. Zmiee losowe Deicja 8. Niech X 1, X 2,..., X b d zmieymi losowymi okre±loymi we wspólej przestrzei probabilistyczej (Ω, F, P ). Je±li dla dowolych k oraz dowolych x 1, x 2,..., x zachodzi P (X j1 x 1, X j2 x 2,..., X jk x k ) = to zmiee te azywamy wzajemie iezale»ymi. 2.2 Zmiee losowe dyskrete k P (X ji x i ) Deicja 9. Zmie losow X : Ω {x i := 1, 2,...} azywamy dyskret zmie losow. Deicja 10. Rozkªadem zmieej losowej dyskretej X : Ω {x i := 1, 2,...} azywamy ci g par (x i, p i ),2,... gdzie p i = P (X = x i ). Przykªad 28. (kotyuacja przykªadu 26) Mamy: Z zysk a rzucie 1 ko±ci do gry. Z : {1, 2, 3, 4, 5, 6} { 1, 0, 2} dla x 1 = 1 P (Z = 1) = 2 6 = 1 3 =: p 1 dla x 2 = 0 P (Z = 0) = 3 6 = 1 2 =: p 2 dla x 3 = 2 P (Z = 1) = 1 6 =: p 3 Otrzymali±my ast puj cy rozkªad: ( 1, 1 3 ); (0, 1 2 ); (2; 1 6 ) Uwaga 4. F X (t) = P (X t) = P (X = x i ) = p i x i t x i t Zmiea losowa 0-1 (Beroulli'ego) Deicja 11. Je±li P (X = 1) = 1 P (X = 0) = p, dla p (0, 1) to zmie losow azywamy 0-1 lub Beroulli'ego. W skrócie pisa b dziemy X B(1, p) czyt.: zmiea losowa X ma rozkªad Beroulli'ego. Zastosowaie 1. Zaªó»my,»e iteresuje as zdarzeie A Ω o prawdopodobie«stwie P (A) = p. wiedzie czy A zaszªo. Zdeiujmy fukcj { 1 ω A X(ω) := 1 A (ω) 0 ω A Chcemy Zauwa»my,»e P (X = 1) = P ({ω Ω : ω A}) = P (A) = p Zmiea losowa o rozkªadzie dwumiaowym Przykªad 29. Iteresuje as ilo± zaj± zdarzeia A w iezale»ych do±wiadczeiach. X i (ω) = 1 Ai (ω) gdzie A 1, A 2,..., A zdarzeia iezale»e, P (A 1 ) = P (A 2 ) =... = P (A ) = p S (ω) = X i (ω) 10

11 2.2 Zmiee losowe dyskrete 2. Zmiee losowe Zbadajmy rozkªad S : ( P (S = k) = P Xi (ω) = k) = = 1, 2,..., k p k (1 p) = P (X 1 = 1, X 2 = 1,..., X k = 1, X k+1,..., X = 0) 1, 2,..., k ( ) p k (1 p) k k ( Deicja 12. Zmiea losowa S ma rozkªad dwumiaowy z parametrami oraz p je±li P (S = k) = ) k p k (1 p) k dla k = 0, 1,...,. Prawdopodobie«stwo to azywamy te» prawdopodobie«stwem w próbach Beroulli'ego. Ozaczamy te rozkªad S B(, p). Uwaga 5. Musi zachodzi wªaso± : k=0 ( ) p k (1 p) k = 1 k Zmiee losowe o rozkªadzie geometryczym Przykªad 30. Mamy do przesªaia plik za pomoc sieci. Jak to w»yciu bywa, sie czasem ulega awarii. Je±li ast pi awaria, to musimy zacz trasfer od pocz tku. Iteresuje as ile razy wysyªali±my plik a» do mometu, gdy trasfer si udaª. Rozwi zaie 31. Zaªó»my,»e koleje próby s iezale»e od pozostaªych oraz P (X i = 1) = p dla i = 1, 2,.... Niech { 1 trasfer si powiódª X i = 0 trasfer si ie powiódª Y ilo± trasferów Zauwa»my,»e Y mo»e przyjmowa warto±ci 1, 2,.... Poadto Rozkªad Y : iech k N, Y = mi{ N: X = 1} P (Y = k) = P (X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k 1 = 0, X k = 1) = P (X 1 = 0) P (X 2 = 0)... P (X k 1 = 0) P (X k = 1) = (1 p) k 1 p = p k p k = p(1 p) k 1 = 1 k=1 k=1 Deicja 13. Zmiea losowa X ma rozkªad geometryczy z parametrem p (0, 1), gdy P (X = k) = p(1 p) k 1 dla k = 1, 2,.... Ozaczeie: X G(p) - zwi zae z czasem czekaia a pierwszy sukces. Twierdzeie 32. (wªaso± braku pami ci) Zaªó»my,»e X ma rozkªad geometryczy G(p). Wtedy P (X 0 + k X > 0 ) = P (X k) Uwaga 6. T wªaso± maj tylko dwa rodzaje rozkªadów: geometryczy (2.2.3) i wykªadiczy (2.3.2). Dowód. Rozpisuj c lew stro otrzymujemy L = P (X 0 + k X > 0 ) = P (X 0 + k) P (X > 0 ) P (X 0 + 1) = i= 0+k P (X = i) i= P (X = i) = i= 0+k p(1 p)i 1 = 0+1 p(1 p)i 1 = i= 0+1 (1 p)0+k 1 = (1 p)k 1 (1 p)

12 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe gdzie w (*) skorzystali±my z tego,»e p(1 p) i 1 = p(1 p) l 1 (i p) i = (1 p) l 1 i=l i=0 Ale patrz c z prawej stroy, mamy P = P (X k) = P (X = i) = p(1 p) i 1 = (1 p) k 1 i=k i=k Zmiee losowe o rozkªadzie Poissoa Deicja 14. Zmiea losowa X ma rozkªad Poissoa 2 z parametrem λ > 0 je±li P (X = k) = λk k! e λ dla k = 0, 1,.... Uwaga 7. Faktyczie uzyskujemy rozkªad, bo: 2.3 Ci gªe zmiee losowe k=0 λ k k! e λ = 1 B dziemy zajmowa si tylko pew podklas ci gªych zmieych losowych, miaowicie zmieymi losowymi z g sto±ci 3. Przykªad 33. Mamy odciek [0, 1], rzucamy a iego pukt w sposób caªkowicie losowy. Niech X - wspóªrz da traeia. Chcemy za jej rozkªad. Poiewa» puktów jest iesko«czeie wiele, to dla ka»dego puktu prawdopodobie«stwo traeia w iego jest rówe 0. Mo»emy jedak policzy ie prawdopodobie«stwo. Zbadajmy F X (t) = P (X t) czyli dystrybuat. Zastosujmy chwyt z prawdopodobie«stwem geometryczym. Wtedy 0 t < 0 F X (t) = P (X t) = t t [0, 1] 1 t > 1 Zauwa»my,»e F X (t) = W praktyce okazuje si,»e wiele dystrybuat mo»emy zapisa za pomoc caªki. t 1 [0,1] (x)dx (6) Deicja 15. Niech X b dzie zmie losow o dystrybuacie F X. Je±li istieje ieujema fukcja f X taka,»e F X (t) = t f X(s)ds dla ka»dego t R, to f X azywamy g sto±ci rozkªadu zmieej losowej X. Uwaga 8. Od tej pory b dziemy zakªada,»e f X istieje. Uwaga 9. F X(t) = f X (t) (tak jest prawie zawsze) To,»e zachodzi (6) ie ozacza,»e F X jest w ka»dym pukcie ró»iczkowala. Prawd jest jedak,»e jest sko«czeie wiele puktów, w których ie jest ró»iczkowala. Gdyby±my zali g sto± aszego rozkªadu, to zaliby±my prawdopodobie«stwo zaj±cia wielu zdarze«, które mogªyby as iteresowa, p. b a b P (a < x b) = P (X b) P (X a) = f X (s)ds f X (s)ds = f X (s)ds a Ogólie 2 czyt. pªasoa 3 istieje pochoda dystrybuaty P (X A) = A f X (s)ds 12

13 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe Wªaso±ci 1. 1 = P (X (, )) = f X (s)ds (7) 2. P (X = t) = 0, czyli szasa traeia w kokrety pukt wyosi 0. Probabili±ci mówi,»e ie mamy atomów Rozkªad jedostajy U[a, b] Deicja 16. Zmiea losowa X ma rozkªad jedostajy 5 a odciku [a, b], gdy jej fukcja g sto±ci wyosi 0 t < a f X (t) = 0 t > b (8) 1 b a t [a, b] (wyika z (7) oraz poprzedich przypadków) P (X < t) = F X (t) = Uwaga 10. Wa»y przypadek: U[0, 1]. t f X (t)dt = t a f X (t)dt = t a b a (9) Rysuek 4 Rysuek 5 Dystrybuata, F X (t) G sto±, f X (t) Rozkªad wykªadiczy E(λ) Deicja 17. Zmiea losowa ma rozkªad wykªadiczy, gdy jej fukcja g sto±ci wyosi { 0 t < 0 f X (t) = λe λt t 0 (10) sk d P (X < t) = F X (t) = t P (X > t) = f X (t)dt = t 0 t f X (t)dt = 1 e λt (11) λe λs ds = e λt (12) 4 Ciekawe co a to chemicy Rozkªad jedostajy zay jest te» jako jedorody, rówomiery, prostok ty oraz pªaski. 13

14 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe Twierdzeie 34. (wªaso± braku pami ci) Dowód. (Przez rozpisaie) P (X > t + s X > s) P (X > s) P (X > t + s X > s) = P (X > t) (13) = P (X > t + s) P (X > s) (12) e λ(t+s) = e λs = e λt = P (X > t) Uwaga 11. To,»e czekamy a przystaku ju» s czasu ie ozacza,»e autobus przyjedzie szybciej. Jest tak dlatego,»e osoba, która dopiero co przyszªa a przystaek dopiero zaczya czekaie Rozkªad gamma Γ(, λ) Deicja 18. Fukcja g sto±ci jest postaci { 0 t < 0 f X (t) = λ ( 1)! t 1 e λt t 0 (14) Rozkªad ormaly (Gaussa) N (m, σ 2 ) N (m, σ 2 ), m R, σ 2 > 0 (15) Deicja 19. Zmiea losowa X ma rozkªad N (m, σ 2 ) je±li jej fukcja g sto±ci jest postaci f X (t) = 1 1 ( ) 2π σ exp (t m)2 2σ 2, t R (16) Rysuek 6 Rysuek 7 Dystrybuata, F X (t) G sto±, f X (t) Uwaga 12. Okazuje si,»e ie ma wzoru a dystrybuat! 6. Nie mo»a jej wyliczy explicite. ( ) t 1 (x m)2 F X (t) = exp 2πσ 2σ 2 dx Ludzko± zdawszy sobie spraw z powagi sytuacji doszªa do wiosku,»e rozkªad Gaussa mo»emy zast pi przez rozkªad stadardowy N(0, 1) to jest stablicowae. Φ(t) = P (N t), N N(0, 1) Deicja 20. N rezerwujemy a ozaczeie zmieej losowej o rozkªadzie stadardowym. 6 Koiec ±wiata jest bliski... 14

15 2.4 Wektory losowe 2. Zmiee losowe Fakt 35. (stadaryzacja) Je±li zmiea losowa X N(m, σ 2 ) (ma rozkªad ormaly z parametrami), to Dowód. f Y (t) = F Y (t) = dp (Y t) dt = Y := X m σ N(0, 1) (17) X m dp ( σ t) dp (X σt + r) = = F dt dt X(σt + m) = 1 1 2π σ exp( t2 2 ) Przykªad 36. Mamy dae,»e X N(2, 4). Chcemy zbada ile wyosi P (X 3). Korzystamy z (17) Reguªa trzech sigm P (X 3) = P ( X ) = P (N 1 2 ) W rozkªadzie ormalym trzeba zwróci uwag a istoty szczegóª. Miaowicie dla dowolej liczby rzeczywistej g sto± jest iezerowa. Reguªa trzech sigm mówi,»e 99, 7% przypadków zajduje si w odlegªo±ci miejszej i» 3σ od warto±ci oczekiwaej. Zobacz Lemat 2.1. Zaªó»my,»e h jest fukcj ±ci±le ros c. Wtedy dla Y = h(x) F Y (t) = F X (h 1 (t)) (18) Dowód. F Y (t) = P (Y t) = P (h(x) t) = P (X h 1 (t)) = F X (h 1 (t)) 2.4 Wektory losowe Przykªad 37. Rzucamy igª w kwadrat [0, 1] 2. Rzut jest losowy. Iteresuje as poªo»eie traoego puktu. X wspóªrz da x-owa Y wspóªrz da y-owa P (X A; Y B) =? Uwaga 13. W przypadku 1-wymiarowym wystarczy za P (X x). Je»eli mamy g sto± to wystarczy j scaªkowa po zbiorze, do którego chcemy,»eby ale»aªa igªa. W przypadku wi kszej liczby wymiarów aalogoem dystrybuaty 1-wymiarowej jest iloczy dystrybuat. W szczególo±ci F (X,Y ) (t 1, t 2 ) := P (X t 1 ; Y t 2 ). Wtedy a przykªad dla 0 a, b, c, d 1 mamy P (X (a, b], Y (c, d]) = F (X,Y ) (b, d) F (X,Y ) (a, d) F (X,Y ) (b, c) + F (X,Y ) (a, c) 15

16 2.4 Wektory losowe 2. Zmiee losowe Rysuek 8 Rysuek 9 1 d t2 c F (X,Y ) (t 1, t 2 ) := P (X t 1 ; Y t 2 ) t1 a b 1 P (X (a, b], Y (c, d]) Rozkªad. Przypadek dyskrety Je±li p ij = P (X = x i ; Y = y j ) dla ka»dego x i, y j to zamy rozkªad Przypadek ci gªy (z g sto±ci ) Uwaga 14. Dla jedego wymiaru byªo: F X (t) = t f X (s)ds G sto± 2-wymiarowa to taka ieujema fukcja f (X,Y ) (s, t),»e F (X,Y ) (t 1, t 2 ) = t1 t2 Przykªad 38. Zaªó»my,»e wektor losowy (X, Y ) ma ast puj cy rozkªad: Pytaie: Jaka jest szasa,»e Y = 1? Y = 2? f (X,Y ) (s, t) ds dt (19) X \ Y P (Y = 1) = P (Y = 1; X = 1) + P (Y = 1; X = 5) + P (Y = 1; X = 7) = = 0.6 zsumowali±my pierwsz kolum P (Y = 2) = 0.4 Deicja 21. Rozkªady X, Y liczoe oddzielie azywamy rozkªadami brzegowymi wektora (X, Y ). Uwaga 15. Rozkªad (X, Y ) wyzacza jedozaczie rozkªady brzegowe, ale rozkªady brzegowe ie wyzaczaj rozkªadu ª czego Sumy iezale»ych zmieych losowych Przykªad 39. Rysuek 10 A B C Sposób trasmisji pliku przez sie. 16

17 3. Warto± oczekiwaa Przesyªamy plik (rysuek) z prawdopodobie«stwem sukcesu p w 1 próbie. Je»eli udaªo si przesªa plik z A do B to przesyªamy dalej, czyli z B do C. Mi dzy fragmetami sieci oraz kolejymi trasmisjami pliku zachodzi iezale»o±. Iteresuje as ª cza ilo± prób a» do skuteczego dostarczeia pliku od C. T = X + Y Zauwa»my,»e X jest iezale»e od Y. Pytamy Poadto zauwa»my,»e X ilo± prób dokoaych a A B Y ilo± prób dokoaych a B C k 1 k 1 P (T = k) = P (X = l; Y = k l) = P (X = l)p (Y = k l) l=1 l=1 k 1 k 1 = (1 p) l 1 p(1 p) k l 1 p = p 2 (1 p) k 2 = (k 1)p 2 (1 p) k 2 l=1 l=1 k 1 P (T = k) = P (X = l) P (Y = k l) (20) = l=1 P (X = l) P (Y = k l) (dla l k P (Y = k l) = 0) l=1 Wiosek 1. Je±li X, Y - dyskrete zmiee losowe, iezale»e oraz I X -zbiór warto±ci X, to P (X + Y = s) = P (X = x i ; Y = s x i ) = P (X = x i ) P (Y = s x i ) x I X x I X Je±li X, Y maj rozkªad z g sto±ci odpowiedio f X, f Y, wtedy g sto± rozkªadu X + Y jest ast puj ca f X+Y (t) = f X (s) f Y (t s) ds Wiosek 2. Je±li X N(m x, σx), 2 Y N(m Y, σy 2 ) oraz X i Y s iezale»e to X + Y N(m X + m Y, σ 2 X + σ 2 Y ) Poadto dla daych a, b zachodzi ax + b N(am X + b, a 2 σ 2 X ). Dowód. Trzeba skorzysta z lematu Warto± oczekiwaa Przykªad 40. (przytoczoa wcze±iej gra) {1, 2} 1 {3, 4, 5} 0 {6} 2 W wygraa w 1 rudzie. Czy ta gra jest sprawiedliwa, czyli czy przy dªugim graiu ka»dy z graczy ±redio ic ie traci i ie zarabia? Zaªó»my,»e mamy 6 rozgrywek. Spodziewamy si,»e 1 tra si 2 razy, ( 1) a 2 razy. redi zysk a rozgrywk wyosi 6 = 0 (zatem gra jest sprawiedliwa) = ( 1) = ( 1) P (W = 1) + 0 P (W = 0) + 2P (W = 2) = E(W ) warto± oczekiwaa zmieej losowej W. 17

18 3. Warto± oczekiwaa Deicja 22. Niech X b dzie dyskret zmie losow o rozkªadzie {(x i, p i ) : i = 1, 2,...}. Je±li i x i p i < to istieje warto± oczekiwaa zmieej losowej X i wyosi E(X) = i parktyce rzadko b dziemy obserwowa,»e to zaªo»eie ie jest speªioe. Deicja 23. Niech X b dzie zmie losow z g sto±ci f X 7. Je±li oczekiwaa E(X) = x f X (x) dx. x i P (X = x i ) = i x i p i. W x f X (x) dx <, to istieje warto± Uwaga 16. Warto± oczekiwaa = warto± ±redia = warto± przeci ta = pierwszy momet zmieej losowej. Fakt 41. Zaªó»my,»e istiej EX, EY. Wtedy 1. E(aX + b) = ae(x) + b liiowo± 2. E(X + Y ) = EX + EY 3. je±li X, Y - iezale»e, to E(XY ) = EX EY Dowód. (ad 1) E(ax + b) = k (ax k + b)p (X = x k ) = a k x k P (X = x k ) + b k P (X = x k ) (ad 3) E(X Y ) = def i = i = i x i y j P (X = x i ; Y = y j ) j x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) j x i P (X = x i ) y j P (Y = y j ) j = x i P (X = x i )E(Y ) = E(X)E(Y ) Przykªad 42. T - dªugo± pliku P (T > t) C t α, α 1.7 Zaªó»my,»e P (T < t) = 1 1 t, dla t 1. Jaka jest ±redia dªugo± pliku, który przesyªamy, E(T ) =?. Wida,»e mamy model ci gªy, wi c 2 skorzystamy ze wzoru EX = R xf X(x)dx. G sto± to ic iego jak pochoda, wi c j wyliczmy i b dzie fajie ;) 2 f T (x) = F T (x) = x 3 x 1 0 x < 1 Zatem ET = xf T (x)dx = R 1 x 2 x 3 dx = 2 x 1 = 2 Przykªady, dla których ie istieje warto± oczekiwaa Podamy teraz kilka przykªadów, dla których ie istieje warto± oczekiwaa. 1. przypadek ci gªy: zmiea losowa o rozkªadzie Cauchy'ego. Jej g sto± wyra»a si jako f X (t) = 1 π(1+t 2 ), t R. 7 g sto± wyzacza am te» rozkªad 18

19 4. Ryzyko i jego pomiar 2. przypadek dyskrety: iech X ma rozkªad P (X = 2 ) = c 2, = 1, 2,.... Wtedy EX = 2 c 2 =. Co zatem ale»y robi,»eby wyliczy warto± oczekiwa g(x), g-skomplikowaa fukcja? Formalie: 1. przypadek dyskrety: Eg(X) = def k g(x k) P (X = x k ). 2. przypadek ci gªy: Eg(X) = R g(x)f X(x)dx. Twierdzeie 43. (Nierówo± Jesea) Niech f b dzie fukcj wypukª dwukrotie ró»iczkowal. Wtedy E (f(x)) f(ex). Dowód. Niech m = E(X). Rozwijamy fukcj f w szereg Taylora w pukcie m: Zatem f(x) = f(m) + (x m)f (m) + (x m)2 f (Θ) f(m) + (x m)f (m) 2 E(f(X)) E(f(m) + (X m)f (m)) =E(f(m)) + E[(X m)f (m)] =f(e(x)) + f (m)[e(x) m] = f(e(x)) Uwaga 17. Je±li X-ieujema zmiea losowa o warto±ciach w N, to E(X) = P (X i) P (X 1) =P (X = 1)+ P (X = 2)+P (X = 3) +... P (X 2) = P (X = 2)+P (X = 3) + P (X = 4) +... P (X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) +... =P (X = 1)+2P (X = 2)+3P (X = 3) + 4P (X = 4) +... = E(X) 4 Ryzyko i jego pomiar Przykªad 44. I) Powraca ie±miertely przykªad 26. E(X) = 0, wi c gra jest sprawiedliwa. X { 1, 0, 2} II) Zmodykujmy gr tak,»e pªacimy ie jedego $, ale 10 4 $ gdy wypadie 1 lub 2; ic si ie dzieje, gdy wypadie 3,4 lub 5; dostajemy $, gdy wypadie 6 oczek. Y - wygrywamy w 1 rozgrywce E(Y ) = = 0. Aby mierzy ryzyko odchyleia warto± ±rediej mo»emy post pi ast puj co: Ryzyko b dziemy mierzy licz c V ar(x) := E(X E(X)) 2 wariacja zmieej losowej X (21) σ X := V ar(x) odchyleie stadardowe. (22) Uwaga 18. Odchyleie stadardowe azywae jest tak»e dyspersj. Ozacza si,»e D 2 (X) := V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (23) D 2 (x) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 2X E(X) + (E(X)) 2 ) = E(X 2 ) 2(EX) 2 + E(X) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 Przykªad 45. (kotyuacja przykªadu 44.) 19

20 4.1 Kowariacja, Cov(X, Y ) 4. Ryzyko i jego pomiar I) E(X 2 ) = = 1. V ar(x) = = 1, σ X = 1 = 1 II) E(Y 2 ) = (2 104 ) = 108. V ar(y ) = = 10 8, σ Y = 10 8 = 10 4 Uwaga 19. E(X 2 ) drugi momet zmieej losowej V ar(x) σ 2 X Wªaso±ci wariacji 1. V ar(ax) = a 2 V ar(x) 2. V ar(x + b) = V ar(x) 3. je±li X, Y s iezale»e, to V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) 4. V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) ± 2 Cov(X, Y ) (przypadek ogóly) Uwaga 20. V ar(x) 0!!! Dowód. (1) V ar(a X) = def E(aX E(aX)) 2 = Ea 2 (X E(X)) 2 = a 2 E(X E(X)) 2 = (21) a 2 V ar(x) (2) V ar(x + b) = def E(X + b E(X + b)) 2 = E(X + b EX b) 2 = def V ar(x) (3) V ar(x ±Y ) = (23) E(X ±Y ) 2 (E(X ± Y )) 2 = EX 2 ±E(2XY )+EY 2 ( (EX) 2 ± 2(EX)(EY ) + (EY ) 2) = EX 2 (EX) 2 + EY 2 (EY ) 2 = (23) V ar(x) + V ar(y ) 4.1 Kowariacja, Cov(X, Y ) Deicja 24. Do mierzeia iezale»o± i zmieych losowych X, Y u»ywamy kowariacji. Cov(X, Y ) = E(X Y ) EX EY (24) je»eli Cov(X, Y ) 0 to zmiee s zale»e je»eli Cov(X, Y ) = 0 to ie ma pewo±ci,»e s iezale»e! Fakt 46. Cov(aX, by ) = abcov(x, Y ) a, b R 4.2 Wspóªczyik korelacji Deicja 25. Wspóªczyik korelacji ρ zmieych losowych X, Y deiujemy jako ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ) (25) Fakt 47. ρ(ax, by ) = ρ(x, Y ) a, b > 0 Dowód. ρ(ax, by ) = ab Cov(X, Y ) a V ar(x) b V ar(y ) = ρ(x, Y ) 20

21 4.2 Wspóªczyik korelacji 4. Ryzyko i jego pomiar Wªaso±ci korelacji 1. je±li zmiee losowe X, Y s iezale»e, to ρ(x, Y ) = 0 2. odwrota implikacja ie zachodzi (chyba,»e zmiee X, Y maj rozkªady ormale) 3. je±li ρ(x, Y ) 0 to X i Y s wzajemie zale»e Przykªad 48. X\ Y Cov(X, Y ) = E(XY ) EX EY, EX = 0 = EY, E(XY ) = ( 1) ( 1) ( 1) = 0.6 V ar(x) = 1 = V ar(y ) trzeba sprawdzi! ρ(x, Y ) = 0.6 Przykªad 49. X\ Y V ar(x) = V ar(y ) = 1 trzeba sprawdzi! EX = 0 = EY, Cov(X, Y ) = E(XY ) 0 0 = 0.6 ρ(x, Y ) = 0.6 Uwaga 21. je±li ρ(x, Y ) > 0, to du»a warto± jedej zmieej implikuje du» warto± drugiej zmieej je±li ρ(x, Y ) < 0, to du»a warto± jedej zmieej implikuje maª warto± drugiej zmieej Fakt ρ(x, Y ) 1 im bli»ej jedyki tym zmiee s bardziej skorelowae/zale»e - zachowuj si podobie. dla ρ(x, Y ) = 1 jest Y = ax + b a > 0 dla ρ(x, Y ) = 1 jest Y = ax + b a < 0 dla ρ(x, Y ) 0 ie mo»emy stwierdzi czy zmiee s zale»e Zastosowaie 2. gdzie V ar(x, Y ) = E [X + Y E(X + Y )] 2 = E [(X EX) + (Y EY )] 2 = E [ (X EX) 2 + (Y + EY ) (X EX)(Y EY ) ] = V ar(x) + V ar(y ) + 2E [(X EX)(Y EY )] = ( ) V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ) ( ) =E(X EX)(Y EY ) = E [XY XEY Y EX + EX EY ] =E(XY ) 2EX EY + EX EY = Cov(X, Y ) 21

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki nansowej

Podstawy matematyki nansowej Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Nieklasyczne modele kolorowania grafów 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej

MATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej Ja Nawrocki, Adrzej Wiicki MATEMATYKA cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej Politechika Warszawska 00 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci

Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci Rozkłady tatytyk z próby Metody probabilitycze i tatytyka Wykład : Rozkłady tatytyk z próby. rzedziały ufoci Małgorzata Krtowka Wydział Iformatyki olitechika Białotocka e-mail: mmac@ii.pb.bialytok.pl troa

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Czas trwania obligacji (duration)

Czas trwania obligacji (duration) Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Teoria Kolejek. dr inż. Piotr Gajowniczek. Instutut Telekomunikacji Politechnika Warszawska

Teoria Kolejek. dr inż. Piotr Gajowniczek. Instutut Telekomunikacji Politechnika Warszawska Teoria Kolejek dr iż. Piotr Gajowiczek Istutut Telekomuikacji Politechika Warszawska WPROWADZENIE Wprowadzeie Systemy masowej obsługi obsługa dużej ilości klietów przez system o ograiczoych zasobach Modele

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa II. Zadania

Rachunek prawdopodobieństwa II. Zadania Leszek Słomiński Rachuek prawdopodobieństwa II. Zadaia Materiały dydaktycze dla studetów matematyki przygotowae w ramach projektu IKS - Iwestycja w Kieruki Strategicze a Wydziale Matematyki i Iformatyki

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Wrocław, 2 lutego 205 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp 2 Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak

Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INSTRUMENTALNA. Instrukcja laboratoryjna 6

ANALIZA INSTRUMENTALNA. Instrukcja laboratoryjna 6 Politechika Wrocławska Wydział Iżyierii Środowiska Studia stacjoare drugiego stopia we Wrocławiu, SOWiG ANALIZA INSTRUMENTALNA Istrukcja laboratoryja 6 Ozaczaie ilościowe rtęci w próbce stałej i ciekłej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Programowanie i struktury danych 1 / 44

Programowanie i struktury danych 1 / 44 Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010 Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo