Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.
|
|
- Antoni Sobczak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo Ozaczeia i poj cia Zasada wª cze«i wyª cze« Podstawe schematy kombiatorycze Prawdopodobie«stwo geometrycze Prawdopodobie«stwo warukowe Prawdopodobie«stwo caªkowite Prawdopodobie«stwo przyczyy Zmiee losowe Niezale»o± zmieych losowych Zmiee losowe dyskrete Zmiea losowa 0-1 (Beroulli'ego) Zmiea losowa o rozkªadzie dwumiaowym Zmiee losowe o rozkªadzie geometryczym Zmiee losowe o rozkªadzie Poissoa Ci gªe zmiee losowe Rozkªad jedostajy U[a, b] Rozkªad wykªadiczy E(λ) Rozkªad gamma Γ(, λ) Rozkªad ormaly (Gaussa) N (m, σ 2 ) Wektory losowe Rozkªad. Przypadek dyskrety Przypadek ci gªy (z g sto±ci ) Sumy iezale»ych zmieych losowych Warto± oczekiwaa 16 4 Ryzyko i jego pomiar Kowariacja, Cov(X, Y ) Wspóªczyik korelacji Warukowa warto± oczekiwaa 21
2 SPIS TRE CI SPIS TRE CI 6 Nierówo±ci Nierówo± Markowa Nierówo± Czebyszewa Fukcje tworz ce momety Nierówo± Cheroa Prawo wielkich liczb Fukcja charakterystycza Rozkªady a ich fukcje charakterystycze Twierdzeia graicze Cetrale twierdzeie graicze Twierdzeie Poissoa Zagadieia estymacji redia Wariacja Przykªady Tablica dystrybuaty rozkªadu ormalego 32 Niektóre z wykorzystaych w tej pracy obrazków pochodz z Wikipedii i s oe dost pe jako public domai. 2
3 1. Prawdopodobie«stwo 1 Prawdopodobie«stwo 1.1 Ozaczeia i poj cia Ω - przestrze«zdarze«elemetarych. Prawdopodobie«stwo b dzimy liczy tylko dla iektórych podzbiorów Ω. Rodzi tych podzbiorów ozaczamy przez F. Zbiory z tej rodziy speªiaj : 1. A F A F (je»eli zbiór ale»y do rodziy, to jego dopeªieie tak»e) 2. A 1, A 2,... F A i F (je»eli ile± elemetów ale»y do rodziy to ich suma tak»e) Uwaga 1. Je»eli Ω jest zbiorem przeliczalym, to dobrym kadydatem a F jest 2 Ω. Prawdopodobie«stwo - fukcja P : F [0, 1] (Ω, F, P ) - przestrze«probabilistycza. Fukcja P speªia: 1. P (A) [0, 1] 2. P (Ω) = 1 ( ) 3. je±li A 1, A 2,... F i s parami rozª cze to P A i = P (A i ) Fakt 1. Niech daa b dzie przestrze«probabilistycza (Ω, F, P ) oraz A, B, A 1, A 2,..., A F. Wtedy: 1. P ( ) = 0 ( ) 2. je±li A i A j = dla i, j {1, 2,..., }, i j to P A i = P (A i ) 3. P (A ) = 1 P (A) 4. A B P (B \ A) = P (B) P (A) 5. A B P (A) P (B) 6. P (A) 1 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Dowód. ad 7. A B = (A \ (A B)) (B \ (A B)) (A B) P (A B) = P (A \ (A B)) + P (B \ (A B)) + P (A B) = P (A) P (A B) + P (B) P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 3
4 1.2 Zasada wª cze«i wyª cze«1. Prawdopodobie«stwo 1.2 Zasada wª cze«i wyª cze«zasada wª cze«i wyª cze«przydaje si, kiedy ªatwiej i» sum zdarze«jest policzy ich przekrój. P (A 1 A 2... A ) = P (A i ) + P (A i A j ) 1 i<j 1 i<j<k P (A i A j A k ) + ( 1) +1 P (A 1 A 2... A ) (1) 1.3 Podstawe schematy kombiatorycze Przykªad 2. Sie komputerowa skªada si z ró»ych komputerów poª czoych szeregowo. Na ile sposobów mo»emy ustawi komputery? Rozwi zaie 3. ( 1)( 2) 2 1 =! permutacja Przykªad 4. Zaªó»my,»e k z powy»szych komputerów stoi w aszym pokoju, Na ile sposobów mo»emy skogurowa sie, gdy iteresuje as tylko asz pokój? Rozwi zaie 5. ( 1)( 2) ( k + 1) =! ( k)! wariacja Przykªad 6. Sªowo maszyowe skªada si z 32 bitów. Ile ró»ych sªów mo»a z tego uzyska? Rozwi zaie 7. } 2 2 {{ 2 } = 2 32 wariacja z powtórzeiami dwójek Przykªad 8. W jedym cyklu oblicze«program a wyj±ciu podaje zbiór k ró»ych liczb z zakresu 1, 2,...,. Ile jest ró»ych wyików? Rozwi zaie 9. kombiacja kolejo± liczb ma zaczeie! ( k)! kolejo± liczb ie ma zaczeia! k!( k)! = ( ) k 1.4 Prawdopodobie«stwo geometrycze Kiedy trzeba policzy prawdopodobie«stwo dla iesko«czoego zbioru A lub Ω (gdzie oczywi±cie A Ω), wtedy za miar uzajemy pole powierzchi, b d ce geometrycz reprezetacj zdarze«a oraz Ω. Przykªad 10. Ja± i Maªgosia umówili si pomi dzy 12:00 i 13:00. Osoba, która przyjdzie wcze±iej czeka a drug 20 miut. Jaka jest szasa spotkaia si aszych bohaterów? Rozwi zaie 11. Ω = [12, 13] [12, 13] A spotkaie Jasia i Maªgosi 4
5 1.4 Prawdopodobie«stwo geometrycze 1. Prawdopodobie«stwo Rysuek Zakreskowaa cz ± ozacza,»e bohaterowie si spotkaj. pole zakreskowaej gury P (A) = pole kwadratu o boku 1 = 2( ) = Przykªad 12. Rzucamy dwiema ko±ciami do gry. Mamy kilka mo»liwo±ci zdeiowaia przestrzei zdarze«( Ω). 1. je±li iteresuje as co wypadªo a której kostce to Ω = {(i, j): i, j {1, 2,..., 6}} Ω = 6 6 = je»eli iteresuje as co wypadªo a obu ko±ciach (bez rozró»iaia) to Ω = {{i, j}: i, j {1, 2,..., 6}} Ω = = je»eli iteresuje as co wypadªo a której kostce, ale chcemy mie w sy to musimy ozakowa warto±ci a ka»dej z kostek Ω = {{i, j}: i {1, 2,..., 6 }, j {1, 2,..., 6 }} Ω = 6 6 = 36 Przyjmijmy Ω z puktu 1. Nazwijmy asze kostki zieloa i czerwoa Jaka jest szasa,»e a zieloej wypadªa przysta liczba oczek a a czerwoej liczba oczek wi ksza i» 4? (aturale jest zaªo»eie o iezale»o±ci kostek). A = {(2, 5), (2, 6), (4, 5), (4, 6), (6, 5), (6, 6)} A = 6 A 1 a pierwszej kostce wypadªa liczba parzysta A 2 a drugiej kostce wypadªa liczba wi ksza i» 4 P (A 1 ) = A 1 = 3 P (A 2 ) = A 2 = 2 Ω 6 Ω 6 P (A) = A Ω = 6 36 = = P (A 1) P (A 2 ) A = A 1 A 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) Deicja 1. Zdarzeia A 1, A 2,..., A azywamy iezale»ymi, gdy ( ) P A i = P (A i ) dla ka»dego I {1, 2,..., 5} (2) i I Fakt 13. Je»eli zdarzeia A, B s iezale»e oraz rozª cze, to i I P (A) = 0 lub P (B) = 0 5
6 1.5 Prawdopodobie«stwo warukowe 1. Prawdopodobie«stwo Dowód. P (A B) = P (A) P (B) ale A B = wi c P (A B) = P ( ) = 0 Uwaga 2. (ie wystarczy do iezale»o±ci aalizowa tylko pary). W uri s 4 kulki: czerwoa, iebieska,»óªta, czerwoo-iebiesko-»óªta. A wyci gi to kul z kolorem czerwoym B wyci gi to kul z kolorem iebieskim C wyci gi to kul z kolorem zóªtym P (A) = P (B) = P (C) = 2 4 P (A B) = 1 = P (A) P (B) = P (A C) = P (B C) 4 P (A B C) = 1 P (A) P (B) P (C) 4 Fakt 14. Je±li zdarzeia A 1, A 2,..., A B i = A i lub B i = A i. s iezale»e to iezale»e s te» zdarzeia B 1, B 2,..., B, gdzie 1.5 Prawdopodobie«stwo warukowe Przykªad 15. Sie skªada si z dwóch rozró»ialych komputerów. W daej chwili komputer mo»e wykoywa obliczeia/pracowa albo czeka (z prawdopodobie«stwem 1 2 ). Jaka jest szasa tego,»e komputer 1 jest w staie u±pieia, gdy wiemy, ze sie pracuje? Rozwi zaie 16. Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} A pierwszy komputer jest w staie u±pieia A = {(0, 1), (0, 0)} 1. bez dodatkowej wiedzy: P (A) = A Ω = z dodatkow wiedz A B = {(0, 1)} B sie pracuje B = {(0, 1), (1, 0), (1, 1)} B = 3 P (A B) = 1 3 = A B B = A B Ω B Ω = P (A B) P (B) Deicja 2. Prawdopodobie«sto warukowe zaj±cia zdarzeia A pod warukiem zaj±cia zdarzeia B zapisujemy P (A B) P (A B) =, P (B) 0 (3) P (B) Fakt 17. Je±li P (A 1 A 2... A ) > 0 to P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A A 1 A 2... A ). Dowód. prawa stroa: P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) = P (A 1 A 2... A ) P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 )... P (A 1 A 2 A ) P (A 1 A 2... A 1 ) 6
7 1.6 Prawdopodobie«stwo caªkowite 1. Prawdopodobie«stwo 1.6 Prawdopodobie«stwo caªkowite Przykªad 18. W urie mamy b kul biaªych i c kul czarych. Wyci gamy 1 kul i (ie podgl daj c) wyrzucamy j. Jaka jest szasa,»e w ast pym ci gi ciu wylosujemy kul biaª? Rozwi zaie 19. B 1 wyci gi to biaª kul w pierwszym losowaiu B 2 wyci gi to biaª kul w drugim losowaiu P (B 2 ) = P (B 2 B 1 ) + P (B 2 B 1) = P (B 2 B 1 ) P (B 1 ) + P (B 2 B 1) P (B 1) = b 1 b + c 1 b b + c + b b + c 1 c b + c = b c + b Deicja 3. Rozbiciem przestrzei zdarze«elemetarych azywamy rodzi zdarze«{h i } i I, które s oe wzajemie rozª cze oraz i I H i = Ω. Twierdzeie 20. (wzór a prawdopodobie«stwo caªkowite) Je±li {B 1, B 2,..., B } jest rozbiciem Ω oraz P (B i ) > 0, to dla dowolego zdarzeia A zachodzi P (A) = P (A B i ) P (B i ) (4) Dowód. P (A) = P A ( ) B i = P (A B i ) = } {{ } Ω P (A B i ) = P (A B i ) P (B i ) Przykªad 21. Algorytm daje odpowied¹ popraw z prawdopodobie«stwem p, myli si z prawdopodobie«stwem q oraz zawiesza si z prawdopodobie«stwem r (wtedy poowie uruchamiamy komputer). Jaka jest szasa,»e ostateczie uzyskamy popraw odpowied¹? Rozwi zaie 22. W uzyskao popraw odpowied¹ P (W ) = P (W A) P (A) + P (W B) P (B) + P (W C) P (C) } {{ } } {{ } } {{ } 1 p 0 P (W ) r wiemy jeszcze,»e p + q + r = 1 zatem P (W ) = p p + q 1.7 Prawdopodobie«stwo przyczyy Przykªad 23. Zaobserwowae objawy awarii owego komputera mog by wyikiem uszkodzeia pªyty gªówej lub mog by spowodowae iym czyikiem (ie obj tym gwaracj ). Wiadomo,»e awaria pªyty gªówej zdarza si raz a 1000 komputerów oraz powoduje zaobserwowae usterki z prawdopodobie«stwem 4 5. Z iych powodów wyst puj oe przeci tie raz a 100 komputerów. Jaka jest szasa,»e awarii ulegªa pªyta gªówa? 7
8 2. Zmiee losowe Rozwi zaie 24. A awarii ulegªa pªyta gªówa B zaobserwowao objawy awarii P (A) = P (A ) = P (B A) = 4 5 P (B A ) = P (A B) =? P (A B) = = P (A B) P (B) P (B A) P (A) = P ( (B A) (B A ) ) = P (B A) P (A) P (B A) + P (B A } {{ } ) skªadiki s rozª cze P (B A) P (A) P (B A) P (A) + P (B A ) P (A ) Twierdzeie 25. (wzór Bayesa) 1 Je±li {H i } i I jest przeliczalym rozbiciem Ω takim,»e P (H i ) > 0, i I oraz dae jest zdarzeie A takie,»e P (A) > 0, to P (H j A) = P (A H j) P (H j ) P (A H i ) P (H i ) i I = z(4) P (A H j) P (H j ) P (A) (5) 2 Zmiee losowe Deicja 4. Je±li Ω jest przeliczaly to dowol fukcj okre±lo a Ω i o warto±ciach w R azywamy zmie losow. Deicja 5. Niech daa b dzie przestrze«probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcj X : Ω R azywamy zmie losow, je±li dla ka»dego a R {ω : X(ω) a} F. Deicja 6. Niech X b dzie zmie losow okre±lo a (Ω, F, P ). Fukcj F X : R [0, 1],»e F X (x) = P ({ω : X(ω) x}) azywamy dystrybuat zmieej losowej X. Deicja 7. Zmiee losowe ozaczamy ostatimi literami z alfabetu (X, Y, Z) oraz przyjmujemy zapis,»e P ({ω : X(ω) x}) = P (X x). Wªaso±ci dystrybuaty 1. jest fukcj iemalej c 2. prawostroie ci gªa 3. lim x F X(x) = 0, lim F X(x) = 1 x + Przykªad 26. Gramy w ko±ci a piei dze. Zasady s ast puj ce: je±li wyrzucimy 1 lub 2 to przegrywamy 1$. je±li wyrzucimy 3, 4 lub 5 to ikt ikomu ie pªaci. je±li wyrzucimy 6 to wygrywamy 2$. 1 Ciekawy przykªad mo»a zale¹ a Wikipedii 8
9 2.1 Niezale»o± zmieych losowych 2. Zmiee losowe Zapiszmy to matematyczie: Ω = {1, 2,..., 6} Z zysk z jedej kolejki Z : Ω { 1, 0, 2} 1 ω {1, 2} Z(ω) = 0 ω {3, 4, 5} 2 ω = 6 0 x < 1 2 F Z (x) = 6 x [ 1, 0) 5 6 x [0, 2) 1 x [2, ) Rysuek 2 Rysuek 3 Z F Z x Wykres zmieej losowej Z x Wyres dystrybuaty zmieej losowej Z Uwaga 3. Je±li zamy F X (x) to mo»emy liczy tak»e prawdopodobie«stwo ie i» P (X x). Np. P (X (a, b]) = P (X b (X a) ) = P (X b) P (X a) 2.1 Niezale»o± zmieych losowych Przykªad 27. Losujemy pukt z kwadratu [0, 1] 2. W szczególo±ci mo»emy my±le o zmieych losowych. Niech = P (X b) + P (X > a) 1, bo P (X > a) = 1 P (X a) Ω = [0, 1] 2, P (A) = pole(a) pole(ω) = pole(a) X zmiea losowa mówi ca jaka jest warto± pierwszej wspóªrz dej Y zmiea losowa mówi ca jaka jest warto± drugiej wspóªrz dej wtedy Zauwa»my,»e F X (x) = P ({ω Ω: X(ω) x}) = P (ω [0, x] [0, 1]) = x, gdy x [0, 1] F Y (y) = P ({ω Ω: Y (ω) y}) = P (ω [0, 1] [0, y]) = y, gdy y [0, 1] P (X x Y y) = P ({ω Ω: ω [0, x] [0, y]}) = x y, x, y [0, 1] = P (X x) P (Y y) 9
10 2.2 Zmiee losowe dyskrete 2. Zmiee losowe Deicja 8. Niech X 1, X 2,..., X b d zmieymi losowymi okre±loymi we wspólej przestrzei probabilistyczej (Ω, F, P ). Je±li dla dowolych k oraz dowolych x 1, x 2,..., x zachodzi P (X j1 x 1, X j2 x 2,..., X jk x k ) = to zmiee te azywamy wzajemie iezale»ymi. 2.2 Zmiee losowe dyskrete k P (X ji x i ) Deicja 9. Zmie losow X : Ω {x i := 1, 2,...} azywamy dyskret zmie losow. Deicja 10. Rozkªadem zmieej losowej dyskretej X : Ω {x i := 1, 2,...} azywamy ci g par (x i, p i ),2,... gdzie p i = P (X = x i ). Przykªad 28. (kotyuacja przykªadu 26) Mamy: Z zysk a rzucie 1 ko±ci do gry. Z : {1, 2, 3, 4, 5, 6} { 1, 0, 2} dla x 1 = 1 P (Z = 1) = 2 6 = 1 3 =: p 1 dla x 2 = 0 P (Z = 0) = 3 6 = 1 2 =: p 2 dla x 3 = 2 P (Z = 1) = 1 6 =: p 3 Otrzymali±my ast puj cy rozkªad: ( 1, 1 3 ); (0, 1 2 ); (2; 1 6 ) Uwaga 4. F X (t) = P (X t) = P (X = x i ) = p i x i t x i t Zmiea losowa 0-1 (Beroulli'ego) Deicja 11. Je±li P (X = 1) = 1 P (X = 0) = p, dla p (0, 1) to zmie losow azywamy 0-1 lub Beroulli'ego. W skrócie pisa b dziemy X B(1, p) czyt.: zmiea losowa X ma rozkªad Beroulli'ego. Zastosowaie 1. Zaªó»my,»e iteresuje as zdarzeie A Ω o prawdopodobie«stwie P (A) = p. wiedzie czy A zaszªo. Zdeiujmy fukcj { 1 ω A X(ω) := 1 A (ω) 0 ω A Chcemy Zauwa»my,»e P (X = 1) = P ({ω Ω : ω A}) = P (A) = p Zmiea losowa o rozkªadzie dwumiaowym Przykªad 29. Iteresuje as ilo± zaj± zdarzeia A w iezale»ych do±wiadczeiach. X i (ω) = 1 Ai (ω) gdzie A 1, A 2,..., A zdarzeia iezale»e, P (A 1 ) = P (A 2 ) =... = P (A ) = p S (ω) = X i (ω) 10
11 2.2 Zmiee losowe dyskrete 2. Zmiee losowe Zbadajmy rozkªad S : ( P (S = k) = P Xi (ω) = k) = = 1, 2,..., k p k (1 p) = P (X 1 = 1, X 2 = 1,..., X k = 1, X k+1,..., X = 0) 1, 2,..., k ( ) p k (1 p) k k ( Deicja 12. Zmiea losowa S ma rozkªad dwumiaowy z parametrami oraz p je±li P (S = k) = ) k p k (1 p) k dla k = 0, 1,...,. Prawdopodobie«stwo to azywamy te» prawdopodobie«stwem w próbach Beroulli'ego. Ozaczamy te rozkªad S B(, p). Uwaga 5. Musi zachodzi wªaso± : k=0 ( ) p k (1 p) k = 1 k Zmiee losowe o rozkªadzie geometryczym Przykªad 30. Mamy do przesªaia plik za pomoc sieci. Jak to w»yciu bywa, sie czasem ulega awarii. Je±li ast pi awaria, to musimy zacz trasfer od pocz tku. Iteresuje as ile razy wysyªali±my plik a» do mometu, gdy trasfer si udaª. Rozwi zaie 31. Zaªó»my,»e koleje próby s iezale»e od pozostaªych oraz P (X i = 1) = p dla i = 1, 2,.... Niech { 1 trasfer si powiódª X i = 0 trasfer si ie powiódª Y ilo± trasferów Zauwa»my,»e Y mo»e przyjmowa warto±ci 1, 2,.... Poadto Rozkªad Y : iech k N, Y = mi{ N: X = 1} P (Y = k) = P (X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k 1 = 0, X k = 1) = P (X 1 = 0) P (X 2 = 0)... P (X k 1 = 0) P (X k = 1) = (1 p) k 1 p = p k p k = p(1 p) k 1 = 1 k=1 k=1 Deicja 13. Zmiea losowa X ma rozkªad geometryczy z parametrem p (0, 1), gdy P (X = k) = p(1 p) k 1 dla k = 1, 2,.... Ozaczeie: X G(p) - zwi zae z czasem czekaia a pierwszy sukces. Twierdzeie 32. (wªaso± braku pami ci) Zaªó»my,»e X ma rozkªad geometryczy G(p). Wtedy P (X 0 + k X > 0 ) = P (X k) Uwaga 6. T wªaso± maj tylko dwa rodzaje rozkªadów: geometryczy (2.2.3) i wykªadiczy (2.3.2). Dowód. Rozpisuj c lew stro otrzymujemy L = P (X 0 + k X > 0 ) = P (X 0 + k) P (X > 0 ) P (X 0 + 1) = i= 0+k P (X = i) i= P (X = i) = i= 0+k p(1 p)i 1 = 0+1 p(1 p)i 1 = i= 0+1 (1 p)0+k 1 = (1 p)k 1 (1 p)
12 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe gdzie w (*) skorzystali±my z tego,»e p(1 p) i 1 = p(1 p) l 1 (i p) i = (1 p) l 1 i=l i=0 Ale patrz c z prawej stroy, mamy P = P (X k) = P (X = i) = p(1 p) i 1 = (1 p) k 1 i=k i=k Zmiee losowe o rozkªadzie Poissoa Deicja 14. Zmiea losowa X ma rozkªad Poissoa 2 z parametrem λ > 0 je±li P (X = k) = λk k! e λ dla k = 0, 1,.... Uwaga 7. Faktyczie uzyskujemy rozkªad, bo: 2.3 Ci gªe zmiee losowe k=0 λ k k! e λ = 1 B dziemy zajmowa si tylko pew podklas ci gªych zmieych losowych, miaowicie zmieymi losowymi z g sto±ci 3. Przykªad 33. Mamy odciek [0, 1], rzucamy a iego pukt w sposób caªkowicie losowy. Niech X - wspóªrz da traeia. Chcemy za jej rozkªad. Poiewa» puktów jest iesko«czeie wiele, to dla ka»dego puktu prawdopodobie«stwo traeia w iego jest rówe 0. Mo»emy jedak policzy ie prawdopodobie«stwo. Zbadajmy F X (t) = P (X t) czyli dystrybuat. Zastosujmy chwyt z prawdopodobie«stwem geometryczym. Wtedy 0 t < 0 F X (t) = P (X t) = t t [0, 1] 1 t > 1 Zauwa»my,»e F X (t) = W praktyce okazuje si,»e wiele dystrybuat mo»emy zapisa za pomoc caªki. t 1 [0,1] (x)dx (6) Deicja 15. Niech X b dzie zmie losow o dystrybuacie F X. Je±li istieje ieujema fukcja f X taka,»e F X (t) = t f X(s)ds dla ka»dego t R, to f X azywamy g sto±ci rozkªadu zmieej losowej X. Uwaga 8. Od tej pory b dziemy zakªada,»e f X istieje. Uwaga 9. F X(t) = f X (t) (tak jest prawie zawsze) To,»e zachodzi (6) ie ozacza,»e F X jest w ka»dym pukcie ró»iczkowala. Prawd jest jedak,»e jest sko«czeie wiele puktów, w których ie jest ró»iczkowala. Gdyby±my zali g sto± aszego rozkªadu, to zaliby±my prawdopodobie«stwo zaj±cia wielu zdarze«, które mogªyby as iteresowa, p. b a b P (a < x b) = P (X b) P (X a) = f X (s)ds f X (s)ds = f X (s)ds a Ogólie 2 czyt. pªasoa 3 istieje pochoda dystrybuaty P (X A) = A f X (s)ds 12
13 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe Wªaso±ci 1. 1 = P (X (, )) = f X (s)ds (7) 2. P (X = t) = 0, czyli szasa traeia w kokrety pukt wyosi 0. Probabili±ci mówi,»e ie mamy atomów Rozkªad jedostajy U[a, b] Deicja 16. Zmiea losowa X ma rozkªad jedostajy 5 a odciku [a, b], gdy jej fukcja g sto±ci wyosi 0 t < a f X (t) = 0 t > b (8) 1 b a t [a, b] (wyika z (7) oraz poprzedich przypadków) P (X < t) = F X (t) = Uwaga 10. Wa»y przypadek: U[0, 1]. t f X (t)dt = t a f X (t)dt = t a b a (9) Rysuek 4 Rysuek 5 Dystrybuata, F X (t) G sto±, f X (t) Rozkªad wykªadiczy E(λ) Deicja 17. Zmiea losowa ma rozkªad wykªadiczy, gdy jej fukcja g sto±ci wyosi { 0 t < 0 f X (t) = λe λt t 0 (10) sk d P (X < t) = F X (t) = t P (X > t) = f X (t)dt = t 0 t f X (t)dt = 1 e λt (11) λe λs ds = e λt (12) 4 Ciekawe co a to chemicy Rozkªad jedostajy zay jest te» jako jedorody, rówomiery, prostok ty oraz pªaski. 13
14 2.3 Ci gªe zmiee losowe 2. Zmiee losowe Twierdzeie 34. (wªaso± braku pami ci) Dowód. (Przez rozpisaie) P (X > t + s X > s) P (X > s) P (X > t + s X > s) = P (X > t) (13) = P (X > t + s) P (X > s) (12) e λ(t+s) = e λs = e λt = P (X > t) Uwaga 11. To,»e czekamy a przystaku ju» s czasu ie ozacza,»e autobus przyjedzie szybciej. Jest tak dlatego,»e osoba, która dopiero co przyszªa a przystaek dopiero zaczya czekaie Rozkªad gamma Γ(, λ) Deicja 18. Fukcja g sto±ci jest postaci { 0 t < 0 f X (t) = λ ( 1)! t 1 e λt t 0 (14) Rozkªad ormaly (Gaussa) N (m, σ 2 ) N (m, σ 2 ), m R, σ 2 > 0 (15) Deicja 19. Zmiea losowa X ma rozkªad N (m, σ 2 ) je±li jej fukcja g sto±ci jest postaci f X (t) = 1 1 ( ) 2π σ exp (t m)2 2σ 2, t R (16) Rysuek 6 Rysuek 7 Dystrybuata, F X (t) G sto±, f X (t) Uwaga 12. Okazuje si,»e ie ma wzoru a dystrybuat! 6. Nie mo»a jej wyliczy explicite. ( ) t 1 (x m)2 F X (t) = exp 2πσ 2σ 2 dx Ludzko± zdawszy sobie spraw z powagi sytuacji doszªa do wiosku,»e rozkªad Gaussa mo»emy zast pi przez rozkªad stadardowy N(0, 1) to jest stablicowae. Φ(t) = P (N t), N N(0, 1) Deicja 20. N rezerwujemy a ozaczeie zmieej losowej o rozkªadzie stadardowym. 6 Koiec ±wiata jest bliski... 14
15 2.4 Wektory losowe 2. Zmiee losowe Fakt 35. (stadaryzacja) Je±li zmiea losowa X N(m, σ 2 ) (ma rozkªad ormaly z parametrami), to Dowód. f Y (t) = F Y (t) = dp (Y t) dt = Y := X m σ N(0, 1) (17) X m dp ( σ t) dp (X σt + r) = = F dt dt X(σt + m) = 1 1 2π σ exp( t2 2 ) Przykªad 36. Mamy dae,»e X N(2, 4). Chcemy zbada ile wyosi P (X 3). Korzystamy z (17) Reguªa trzech sigm P (X 3) = P ( X ) = P (N 1 2 ) W rozkªadzie ormalym trzeba zwróci uwag a istoty szczegóª. Miaowicie dla dowolej liczby rzeczywistej g sto± jest iezerowa. Reguªa trzech sigm mówi,»e 99, 7% przypadków zajduje si w odlegªo±ci miejszej i» 3σ od warto±ci oczekiwaej. Zobacz Lemat 2.1. Zaªó»my,»e h jest fukcj ±ci±le ros c. Wtedy dla Y = h(x) F Y (t) = F X (h 1 (t)) (18) Dowód. F Y (t) = P (Y t) = P (h(x) t) = P (X h 1 (t)) = F X (h 1 (t)) 2.4 Wektory losowe Przykªad 37. Rzucamy igª w kwadrat [0, 1] 2. Rzut jest losowy. Iteresuje as poªo»eie traoego puktu. X wspóªrz da x-owa Y wspóªrz da y-owa P (X A; Y B) =? Uwaga 13. W przypadku 1-wymiarowym wystarczy za P (X x). Je»eli mamy g sto± to wystarczy j scaªkowa po zbiorze, do którego chcemy,»eby ale»aªa igªa. W przypadku wi kszej liczby wymiarów aalogoem dystrybuaty 1-wymiarowej jest iloczy dystrybuat. W szczególo±ci F (X,Y ) (t 1, t 2 ) := P (X t 1 ; Y t 2 ). Wtedy a przykªad dla 0 a, b, c, d 1 mamy P (X (a, b], Y (c, d]) = F (X,Y ) (b, d) F (X,Y ) (a, d) F (X,Y ) (b, c) + F (X,Y ) (a, c) 15
16 2.4 Wektory losowe 2. Zmiee losowe Rysuek 8 Rysuek 9 1 d t2 c F (X,Y ) (t 1, t 2 ) := P (X t 1 ; Y t 2 ) t1 a b 1 P (X (a, b], Y (c, d]) Rozkªad. Przypadek dyskrety Je±li p ij = P (X = x i ; Y = y j ) dla ka»dego x i, y j to zamy rozkªad Przypadek ci gªy (z g sto±ci ) Uwaga 14. Dla jedego wymiaru byªo: F X (t) = t f X (s)ds G sto± 2-wymiarowa to taka ieujema fukcja f (X,Y ) (s, t),»e F (X,Y ) (t 1, t 2 ) = t1 t2 Przykªad 38. Zaªó»my,»e wektor losowy (X, Y ) ma ast puj cy rozkªad: Pytaie: Jaka jest szasa,»e Y = 1? Y = 2? f (X,Y ) (s, t) ds dt (19) X \ Y P (Y = 1) = P (Y = 1; X = 1) + P (Y = 1; X = 5) + P (Y = 1; X = 7) = = 0.6 zsumowali±my pierwsz kolum P (Y = 2) = 0.4 Deicja 21. Rozkªady X, Y liczoe oddzielie azywamy rozkªadami brzegowymi wektora (X, Y ). Uwaga 15. Rozkªad (X, Y ) wyzacza jedozaczie rozkªady brzegowe, ale rozkªady brzegowe ie wyzaczaj rozkªadu ª czego Sumy iezale»ych zmieych losowych Przykªad 39. Rysuek 10 A B C Sposób trasmisji pliku przez sie. 16
17 3. Warto± oczekiwaa Przesyªamy plik (rysuek) z prawdopodobie«stwem sukcesu p w 1 próbie. Je»eli udaªo si przesªa plik z A do B to przesyªamy dalej, czyli z B do C. Mi dzy fragmetami sieci oraz kolejymi trasmisjami pliku zachodzi iezale»o±. Iteresuje as ª cza ilo± prób a» do skuteczego dostarczeia pliku od C. T = X + Y Zauwa»my,»e X jest iezale»e od Y. Pytamy Poadto zauwa»my,»e X ilo± prób dokoaych a A B Y ilo± prób dokoaych a B C k 1 k 1 P (T = k) = P (X = l; Y = k l) = P (X = l)p (Y = k l) l=1 l=1 k 1 k 1 = (1 p) l 1 p(1 p) k l 1 p = p 2 (1 p) k 2 = (k 1)p 2 (1 p) k 2 l=1 l=1 k 1 P (T = k) = P (X = l) P (Y = k l) (20) = l=1 P (X = l) P (Y = k l) (dla l k P (Y = k l) = 0) l=1 Wiosek 1. Je±li X, Y - dyskrete zmiee losowe, iezale»e oraz I X -zbiór warto±ci X, to P (X + Y = s) = P (X = x i ; Y = s x i ) = P (X = x i ) P (Y = s x i ) x I X x I X Je±li X, Y maj rozkªad z g sto±ci odpowiedio f X, f Y, wtedy g sto± rozkªadu X + Y jest ast puj ca f X+Y (t) = f X (s) f Y (t s) ds Wiosek 2. Je±li X N(m x, σx), 2 Y N(m Y, σy 2 ) oraz X i Y s iezale»e to X + Y N(m X + m Y, σ 2 X + σ 2 Y ) Poadto dla daych a, b zachodzi ax + b N(am X + b, a 2 σ 2 X ). Dowód. Trzeba skorzysta z lematu Warto± oczekiwaa Przykªad 40. (przytoczoa wcze±iej gra) {1, 2} 1 {3, 4, 5} 0 {6} 2 W wygraa w 1 rudzie. Czy ta gra jest sprawiedliwa, czyli czy przy dªugim graiu ka»dy z graczy ±redio ic ie traci i ie zarabia? Zaªó»my,»e mamy 6 rozgrywek. Spodziewamy si,»e 1 tra si 2 razy, ( 1) a 2 razy. redi zysk a rozgrywk wyosi 6 = 0 (zatem gra jest sprawiedliwa) = ( 1) = ( 1) P (W = 1) + 0 P (W = 0) + 2P (W = 2) = E(W ) warto± oczekiwaa zmieej losowej W. 17
18 3. Warto± oczekiwaa Deicja 22. Niech X b dzie dyskret zmie losow o rozkªadzie {(x i, p i ) : i = 1, 2,...}. Je±li i x i p i < to istieje warto± oczekiwaa zmieej losowej X i wyosi E(X) = i parktyce rzadko b dziemy obserwowa,»e to zaªo»eie ie jest speªioe. Deicja 23. Niech X b dzie zmie losow z g sto±ci f X 7. Je±li oczekiwaa E(X) = x f X (x) dx. x i P (X = x i ) = i x i p i. W x f X (x) dx <, to istieje warto± Uwaga 16. Warto± oczekiwaa = warto± ±redia = warto± przeci ta = pierwszy momet zmieej losowej. Fakt 41. Zaªó»my,»e istiej EX, EY. Wtedy 1. E(aX + b) = ae(x) + b liiowo± 2. E(X + Y ) = EX + EY 3. je±li X, Y - iezale»e, to E(XY ) = EX EY Dowód. (ad 1) E(ax + b) = k (ax k + b)p (X = x k ) = a k x k P (X = x k ) + b k P (X = x k ) (ad 3) E(X Y ) = def i = i = i x i y j P (X = x i ; Y = y j ) j x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) j x i P (X = x i ) y j P (Y = y j ) j = x i P (X = x i )E(Y ) = E(X)E(Y ) Przykªad 42. T - dªugo± pliku P (T > t) C t α, α 1.7 Zaªó»my,»e P (T < t) = 1 1 t, dla t 1. Jaka jest ±redia dªugo± pliku, który przesyªamy, E(T ) =?. Wida,»e mamy model ci gªy, wi c 2 skorzystamy ze wzoru EX = R xf X(x)dx. G sto± to ic iego jak pochoda, wi c j wyliczmy i b dzie fajie ;) 2 f T (x) = F T (x) = x 3 x 1 0 x < 1 Zatem ET = xf T (x)dx = R 1 x 2 x 3 dx = 2 x 1 = 2 Przykªady, dla których ie istieje warto± oczekiwaa Podamy teraz kilka przykªadów, dla których ie istieje warto± oczekiwaa. 1. przypadek ci gªy: zmiea losowa o rozkªadzie Cauchy'ego. Jej g sto± wyra»a si jako f X (t) = 1 π(1+t 2 ), t R. 7 g sto± wyzacza am te» rozkªad 18
19 4. Ryzyko i jego pomiar 2. przypadek dyskrety: iech X ma rozkªad P (X = 2 ) = c 2, = 1, 2,.... Wtedy EX = 2 c 2 =. Co zatem ale»y robi,»eby wyliczy warto± oczekiwa g(x), g-skomplikowaa fukcja? Formalie: 1. przypadek dyskrety: Eg(X) = def k g(x k) P (X = x k ). 2. przypadek ci gªy: Eg(X) = R g(x)f X(x)dx. Twierdzeie 43. (Nierówo± Jesea) Niech f b dzie fukcj wypukª dwukrotie ró»iczkowal. Wtedy E (f(x)) f(ex). Dowód. Niech m = E(X). Rozwijamy fukcj f w szereg Taylora w pukcie m: Zatem f(x) = f(m) + (x m)f (m) + (x m)2 f (Θ) f(m) + (x m)f (m) 2 E(f(X)) E(f(m) + (X m)f (m)) =E(f(m)) + E[(X m)f (m)] =f(e(x)) + f (m)[e(x) m] = f(e(x)) Uwaga 17. Je±li X-ieujema zmiea losowa o warto±ciach w N, to E(X) = P (X i) P (X 1) =P (X = 1)+ P (X = 2)+P (X = 3) +... P (X 2) = P (X = 2)+P (X = 3) + P (X = 4) +... P (X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) +... =P (X = 1)+2P (X = 2)+3P (X = 3) + 4P (X = 4) +... = E(X) 4 Ryzyko i jego pomiar Przykªad 44. I) Powraca ie±miertely przykªad 26. E(X) = 0, wi c gra jest sprawiedliwa. X { 1, 0, 2} II) Zmodykujmy gr tak,»e pªacimy ie jedego $, ale 10 4 $ gdy wypadie 1 lub 2; ic si ie dzieje, gdy wypadie 3,4 lub 5; dostajemy $, gdy wypadie 6 oczek. Y - wygrywamy w 1 rozgrywce E(Y ) = = 0. Aby mierzy ryzyko odchyleia warto± ±rediej mo»emy post pi ast puj co: Ryzyko b dziemy mierzy licz c V ar(x) := E(X E(X)) 2 wariacja zmieej losowej X (21) σ X := V ar(x) odchyleie stadardowe. (22) Uwaga 18. Odchyleie stadardowe azywae jest tak»e dyspersj. Ozacza si,»e D 2 (X) := V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (23) D 2 (x) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 2X E(X) + (E(X)) 2 ) = E(X 2 ) 2(EX) 2 + E(X) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 Przykªad 45. (kotyuacja przykªadu 44.) 19
20 4.1 Kowariacja, Cov(X, Y ) 4. Ryzyko i jego pomiar I) E(X 2 ) = = 1. V ar(x) = = 1, σ X = 1 = 1 II) E(Y 2 ) = (2 104 ) = 108. V ar(y ) = = 10 8, σ Y = 10 8 = 10 4 Uwaga 19. E(X 2 ) drugi momet zmieej losowej V ar(x) σ 2 X Wªaso±ci wariacji 1. V ar(ax) = a 2 V ar(x) 2. V ar(x + b) = V ar(x) 3. je±li X, Y s iezale»e, to V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) 4. V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) ± 2 Cov(X, Y ) (przypadek ogóly) Uwaga 20. V ar(x) 0!!! Dowód. (1) V ar(a X) = def E(aX E(aX)) 2 = Ea 2 (X E(X)) 2 = a 2 E(X E(X)) 2 = (21) a 2 V ar(x) (2) V ar(x + b) = def E(X + b E(X + b)) 2 = E(X + b EX b) 2 = def V ar(x) (3) V ar(x ±Y ) = (23) E(X ±Y ) 2 (E(X ± Y )) 2 = EX 2 ±E(2XY )+EY 2 ( (EX) 2 ± 2(EX)(EY ) + (EY ) 2) = EX 2 (EX) 2 + EY 2 (EY ) 2 = (23) V ar(x) + V ar(y ) 4.1 Kowariacja, Cov(X, Y ) Deicja 24. Do mierzeia iezale»o± i zmieych losowych X, Y u»ywamy kowariacji. Cov(X, Y ) = E(X Y ) EX EY (24) je»eli Cov(X, Y ) 0 to zmiee s zale»e je»eli Cov(X, Y ) = 0 to ie ma pewo±ci,»e s iezale»e! Fakt 46. Cov(aX, by ) = abcov(x, Y ) a, b R 4.2 Wspóªczyik korelacji Deicja 25. Wspóªczyik korelacji ρ zmieych losowych X, Y deiujemy jako ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ) (25) Fakt 47. ρ(ax, by ) = ρ(x, Y ) a, b > 0 Dowód. ρ(ax, by ) = ab Cov(X, Y ) a V ar(x) b V ar(y ) = ρ(x, Y ) 20
21 4.2 Wspóªczyik korelacji 4. Ryzyko i jego pomiar Wªaso±ci korelacji 1. je±li zmiee losowe X, Y s iezale»e, to ρ(x, Y ) = 0 2. odwrota implikacja ie zachodzi (chyba,»e zmiee X, Y maj rozkªady ormale) 3. je±li ρ(x, Y ) 0 to X i Y s wzajemie zale»e Przykªad 48. X\ Y Cov(X, Y ) = E(XY ) EX EY, EX = 0 = EY, E(XY ) = ( 1) ( 1) ( 1) = 0.6 V ar(x) = 1 = V ar(y ) trzeba sprawdzi! ρ(x, Y ) = 0.6 Przykªad 49. X\ Y V ar(x) = V ar(y ) = 1 trzeba sprawdzi! EX = 0 = EY, Cov(X, Y ) = E(XY ) 0 0 = 0.6 ρ(x, Y ) = 0.6 Uwaga 21. je±li ρ(x, Y ) > 0, to du»a warto± jedej zmieej implikuje du» warto± drugiej zmieej je±li ρ(x, Y ) < 0, to du»a warto± jedej zmieej implikuje maª warto± drugiej zmieej Fakt ρ(x, Y ) 1 im bli»ej jedyki tym zmiee s bardziej skorelowae/zale»e - zachowuj si podobie. dla ρ(x, Y ) = 1 jest Y = ax + b a > 0 dla ρ(x, Y ) = 1 jest Y = ax + b a < 0 dla ρ(x, Y ) 0 ie mo»emy stwierdzi czy zmiee s zale»e Zastosowaie 2. gdzie V ar(x, Y ) = E [X + Y E(X + Y )] 2 = E [(X EX) + (Y EY )] 2 = E [ (X EX) 2 + (Y + EY ) (X EX)(Y EY ) ] = V ar(x) + V ar(y ) + 2E [(X EX)(Y EY )] = ( ) V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ) ( ) =E(X EX)(Y EY ) = E [XY XEY Y EX + EX EY ] =E(XY ) 2EX EY + EX EY = Cov(X, Y ) 21
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoMarek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa
Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki nansowej
Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?
EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoNieklasyczne modele kolorowania grafów
65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoA.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )
A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoZadania z rachunku prawdopodobie«stwa
STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej
Ja Nawrocki, Adrzej Wiicki MATEMATYKA cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej Politechika Warszawska 00 Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce - du»y skrypt
Fukcje tworz ce - du»y skrypt Mateusz Rapicki, Piotr Suwara 9 sierpia 202 Kombiatoryka ( ) Deicja (dwumia Newtoa). k dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoTablice wzorów z probabilistyki
Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoRozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoPojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.
Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowo