Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Transkrypt

1 Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ mod 4 1 *dzi kuj za pomoc w opracowaniu wybranych zada«wszystkim zanga»owanym

2 1 Zmienne losowe X i Y przyjmuj warto±ci ze zbioru {1,, 3}. losowych jest dany macierz Rozkªad ª czny zmiennych x 1 x x 3 y 1 y y (wiersze numeruj warto±ci zmiennej losowej X, a kolumny numeruj warto±ci zmiennej losowej Y od 1 do 3). Oblicz prawdopodobie«stwo P {X 1 + κ Y }. P {X Y } P (X Y ) P (Y ) Zmienna losowa X ma rozkªad χ o 331 stopniach swobody. Korzystaj c z centralnego twierdzenia granicznego obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e P ( X κ). X χ 331 z CT G mamy X (EX, ), gdzie EX n, D X n X (n, n) standaryzacja X (m, ), Y X m (0, 1) Y X n n Y n + n X, n 331 P ( X ) P ( Y ) P ( Y 34.1) P ( 1.33 Y 1.33) Φ(1.33)

3 3 Ogrzewanie i gwaªtowne schªadzanie metalu zwi ksza jego twardo±. W celu zbadania tego efektu, 11 + κ pr tów mosi»nych przekrojono na dwie cz ±ci i jedn z nich poddano takiej obróbce, podczas gdy druga nie byªa poddawana»adnym dziaªaniom i stanowiªa odniesienie (grup kontroln ). ast pnie zbadano twardo± obu cz ±ci. (...) rednia ró»nic wyniosªa d 0.111, a odchylenie standardowe byªo równe SD 1.6. Wyznaczy 90.0% przedziaª ufno±ci dla ±redniej ró»nic mi dzy modykowanym i kontrolnym pr tem. n 1, SD 1.6, d 0.111, m m t 1 t 0.95, [ d t 1 SD n 1, d + t 1 ] SD n 1 [ , ] Producent twierdzi,»e produkowane przez niego elementy konstrukcyjne odznaczaj si wytrzymaªo±ci 30 [kg/cm ]. Przeprowadzono badania, polegaj ce na wykonaniu 9 pomiarów, w wyniku których otrzymano prób (31.715, 9.7, 30.64, 31.54, 30.03, 9.685, , 8.77, ). Wiadomo,»e dyspersja pomiarów wynosi. Czy badana partia powinna by odrzucona, gdy przyjmiemy poziom istotno±ci 0.1? 0.1, n 9, SD 1, X , H 0 : m m 0, H 1 : m m 0 P (U Q), Q [, U 1 ] [U 1, ] U X m 0 SD U 1 t 0.95, , Q [, ] [1.8595, ] U Q wi c odrzucamy hipotez na rzecz hipotezy alternatywnej, jednak - wyj tkowo - nie odrzucamy partii poniwa» jej wytrzymaªo± jest wi ksza, a nie mniejsza, ni» oczekiwana.

4 5 iech ξ 1, ξ, ξ 3,... b dzie ci gniem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie normalnym (0, 1) o g sto±ci iech X 7+κ i0 f(x) 1 e x π ξ i. Wyznaczy rozkªad zmiennej losowej X oraz obliczy X > 3EX. Zmienna X b dzie miaªa rozkªad χ o 8 stopniach swobody, poniewa» rozkªad χ jest deniowany jako suma kwadratów zmiennych o rozkªadzie standardowym normalnym. Z tego wiemy,»e EX n 8, D X n 16. P (X > 3EX) P (X > 4) 1 P (X 4) Zmienna losowa X ma rozkªad Poissona ze ±redni 33. Korzystaj c z centralnego twierdzenia granicznego obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e P ( X κ). λ 33 z CT G mamy X (EX, ), gdzie EX λ, D X λ X (λ, λ) standaryzacja X (m, ), Y X m (0, 1) Y X λ λ Y λ + λ X, λ 33 P ( X 33 34) P ( Y 33 34) P ( Y 34) P ( 5.9 Y 5.9) Φ(5.9)

5 7 W celu oceny wadliwo±ci produkcji p pobrano próbk 73 elementow. W próbie tej byªo Y 6 braków. Skonstruowa κ przedziaª ufno±ci dla p. 73, Y 6, Z 1 Z p Y Z 1 Y (1 ) Y, p (1 ) , 73 Y Y + Z 1 (1 Y (1 ) ) p [ , ] 8 W fabryce produkuj cej nakr tki wylosowano 10 + κ nakr tek i zmierzono ich grubo±. Otrzymano S [mm ] i X [mm]. Czy na tej podstawie mo»na uzna,»e maszyna prodkuje nakr tki o rozmiarze nominalnym µ 6 [mm], je»eli przyjmiemy poziom istotno±ci 0.05? 11, S , X , 0.05, µ 0 6, H 0 : µ 0 µ, H 1 : µ 0 µ U X µ 0 S U t 1 t 0.975,10.81 Q (,.81) (.81, ) U / Q - ie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy,»e maszyna produkuje nakr tki o rozmiarze nominalnym µ 6 [mm].

6 9 Z populacji o rozkªadzie normalnym (µ, 0.) pobrano próbk czteroelementow : 1.14, 1.06, 1.13, a poziomie istotno±ci 0.05 zwerkowa hipotez,»e µ , 0., X 1.15, 0.05, µ , H 0 : µ 1.05, H 1 : µ > 1.05 U X µ U Z 1 Z Q (1.645, ) U / Q - ie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy,»e µ iezale»ne zmienne losowe X i Y maj rozkªad normalny X (, ), Y (, ). Obliczy Z X + Y. X (, ), Y (, ), Z X + Y P (X x) f X (x) 1 π e (x µ) z denicji: P (Z x) P (X + Y x) P (X t, Y x t) dt

7 1 π e 1 8π 1 8π z niezale»no±ci: P (X t) P (Y x t) dt 1 8π (x 4) 1 8π (x 4) (t ) 8 1 π e e (t ) +(x t ) 8 dt e (t ) +(x t ) 8 1 8π (x 4) (x 4) e (x 4) 16 (x t ) 8 dt dt e (t ) +(x t ) (x 4) 16 dt e t 8t+8+(x t) 8(x t)+8 x +8x dt 1 8π (x 4) y t x, 8 8π (x 4) e 4t 4xt+x 16 dt e ( t x ) 8 dt dy dx 1 8 e y dy y e dy jest znane (funkcja bª du Gaussa) i wynosi π: π 8π e (x 4) 16 1 e (x 4) 8 8 π Wynikiem jest funkcja gestosci zmiennej o rozkªadzie normalnym z parametrami (4, 8). Z ( +, + ) (4, 8)

8 11 Przeprowadzono eksperyment, w którym studenci generowali liczby losowe z pomoc pewnej procedury na komputerach osobistych. Rozkªad generowanej wielko±ci miaª rozkªad µ 58 i odchylenie standardowe 11. Ka»da wylosowana próba miaªa t sam wielko± (studenci umówili si w tej sprawie i wielko± próby nie byªa publicznie znana) i obliczyli ±redni ze swojej próby. Profesor stwierdziª,»e 73.16% próbek uzyskanych w eksperymencie le»y w przedziale mi dzy 1149 a Oszacowa (zakªadamy,»e jest tak du»e,»e mo»na 0 0 stosowa CTG do analizy ±redniej). µ 58, 11, z CTG: X (µ, ) Y X µ (0, 1) zakªadamy,»e [ 1149, ] jest naszym 73.16% przedziaªem ufno±ci: P m ( [ ]) 1149 x 0, [ X z 1, X + z 1 ] X z , z ( z1 ) 1149 X 0 ( ) 488

9 1 Wyst puj ce w ukªadach scalonych klasyczne tranzystory domieszkowane zªotem maj tzw. czas magazynowania ªadunku rz du 7ns. Producent ma nadziej,»e pewna zmianna technologiczna doprowadziªa do zmiejszednia czasu magazynowania w nowych tranzystorach i chciaªby oceni ró»nice mi dzy ±redni czasu magazynowania µ 1 przy starej technologii oraz czasie magazynowania µ po zmianie technologii. W tym celu pobraª dwie niezale»ne próby losowe po 75 tranzystorów ka»da, pierwsza skªadaj ca si z tranzystorów produkowanych zgodnie ze star technologi i drug skªadaj c si z nowych tranzystorów. Z pomiarów czasu magazynowania otrzymaª: x 1 7.8ns, x 7.4ns, oraz warto±ci nieobci»onych estymatorów wariancji s oraz s Wyznaczy przedziaª ufno±ci na poziomie ufno±ci κ dla ró»nicy µ 1 µ zakªadaj c,»e wariancje w obu próbach statystycznych nie ró»ni si istotnie. n 1 n 75, x 1 7.8ns, x 7.4ns, , s , s 0.44 s p (n 1 1)s 1 + (n 1)s n 1 + n s p 74( ) SE p SE p 7.7 s p ( 1 n n ) ( ) t 0.905,74 z m ( (x 1 x ) t 1 SE p, (x 1 x ) + t 1 SE ) p m ( , ) m ( 0.06, 1.006)

10 13 Dokonano 10 pomiarów pewnej wielko±ci i otrzymano wyniki: 4.98, 4.9, 4.88, 4.98, 5.0, 4.99, 5.08, 5.03, 4.86, Dane pochodz z próby o rozkªadzie (5, 0.1). Sprawdzi,»e wariancja jest nie wi ksza ni» 0.05 przyjmuj c poziom istotno±ci równy , X (5, 0.1), X 4.967, n 10, , H 0 : 0.05, H 1 : > 0.05 S 1 n n (X i X) i1 χ n S Z tablicy rozkªadu odczytujemy warto± χ χ > χ zatem odrzucamy hipotez H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej.

11 Wzory Funkcja rozkªadu prawdopodobie«stwa, warto± oczekiwana (warto± ±rednia), wariancja. P (X k) Rozkªad dwumianowy ( ) n p k (1 p) n k, EX n p, D X n p (1 p) k Rozkªad Poissona P (X k) e λ λk k!, EX λ n p, D X λ P (X k) Rozkªad hipergeometryczny ( m )( m ) k n k (, EX n n) ( m ), D X n m ( 1 m ) ( n) ( 1) Rozkªad geometryczny P (X k) 1 (1 p) k, EX 1 p, D X 1 p p Rozkªad Pascala ( ) k + r 1 P (r + k) p k (1 p) k, EX r 1 Rozkªad wykªadniczy r(1 p), D X r 1 p p p f(x) λ e λx, EX 1 λ, D X 1 λ Rozkªad normalny f(x) 1 π (x m) e, EX µ, D X