Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa
|
|
- Eleonora Pietrzyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog by osi gniete P (A B) = 1, P (A B) = 1, P (A \ B) = P (B \ A). Obliczy P (A) oraz P (A \ B) Litery alfabetu Morse'a utworzone s z ci gów kresek i kropek. Ile liter mo»na utworzy z dziesi ciu lub mniej symboli. 4. Ile jest ró»nych wyników przy rzucie dwoma nierozró»nialnymi kostkami? 5. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e przy rzucie dwoma nierozró»nialnymi kostkami otrzyma si : a) na obywdu kostkach po jednym oczku, b) jedno oczko na jednej z kostek, dwa oczka na drugiej. 6. n kul rozmieszczono losowo w n szuadach. Wyznaczy prawdopodobie«stwo, i» dokªadnie jedna szuada jest pusta. 7. n osób, wsród których jest jeden Bolek i jeden Lolek, ustawia si w szereg. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e miedzy Bolkiem i Lolkiem jest dokªadnie k osób. 8. Dany jest zbiór wszystkich funkcji f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybrana funkcja jest ró»nowarto±ciowa. 9. Wykonujemy cztery rzuty kostk do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo, i» liczby oczek uzyskane w kolejnych rzutach tworz ci g ±ci±le malej cy. 10. Na parterze dziesi ciopi trowego budynku do windy wsiadªo siedem osób. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wszyscy wysi d na ró»nych pi trach. 11. Do poci gu skªadaj cego si z n wagonów wsiada k pasa»erów. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e do ka»dego wagonu wsi dzie przynajmniej jeden pasa»er. 12. Z przedziaªu [0, 1] wybieramy w sposób losowy dwa punkty b oraz c. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e równaie x 2 + bx + c = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych? 13. Pªaszczyzn podzielono prostymi równolegªymi odlegªymi o 2a. Na t pªaszczyzn rzucamy w sposób losowy odcinek o dªugo±ci 2l < 2a. Jakie jest prawdopodobie«stwo, i» odcinek przetnie jedn z prostych? 14. Odcinek o dªugo±ci 10 cm podzielono w sposób losowy na trzy cz ±ci. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e z tych cz ±ci mo»na zbudowa trójk t. 15. W przypadkowych momentach odcinka [0, A] mog nadej± do odbiornika dwa sygnaªy. Odbiornik zostaje popsuty je»eli ró»nica w czasie pomi dzy sygnaªami jest mniejsza ni» a (a < A). Obliczy prawdopodobie«stwo uszkodzenia odbiornika w ci gu czasu A. 16. Rzucamy symetryczn monet a» do momentu, gdy po raz pierwszy wypadnie orzeª. Policzy prawdopodobie«stwo,»e liczba rzutów b dzie: 1
2 a) parzysta, b) podzielna przez m. 17. Obliczy prawdopodobie«stwo, i» przy wielokrotnym rzucaniu par symetrycznych kostek suma oczek 7 wypadnie przed sum oczek 6. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e suma oczek 7 lub suma oczek 6 nie pojawi si nigdy? 18. Prawdopodobie«stwo przekazania sygnaªu przez jeden przeka¹nik jest p = 0.9. Przeka¹niki dziaªaj niezale»nie, tzn. niezadziaªanie jednego z nich nie ma wpªywu na niezadziaªanie drugiego. Obliczy prawdopodobie«stwo przekazania sygnaªu a) przy poª czeniu szeregowym dwu przeka¹ników, b) przy poª czeniu równolegªym. 19. Rzucono 10 razy symetryczna kostk. Jaka jest szansa otrzymania a) sze±ciu oczek conajmniej raz, b) pi ciu oczek dokªadnie trzy razy? 20. Dla pewnego gatunku zwierz t prawdopodobie«stwo urodzenia samicy wynosi 0,4. Obliczy prawdopodobie«stwo, i» w miocie, w którym urodziªo si cztery mªode, b d conajmniej trzy samce. 21. Mamy 4 kosze, a w ka»dym z nich po 4 piªki, przy czym w koszu k-tym jest k piªek czarnych i 4 k piªek niebieskich. Wybieramy losowo (z równym prawdopodobie«stwem wyboru) jeden z czterech koszy. Z wybranego kosza losujemy kolejno bez zwracania dwie piªki. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e druga piªka b dzie niebieska, gdy pierwsza byªa niebieska? 22. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na»adnej kostce nie wypadªa pi tka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? 23. Rzucamy trzema monetami. W±ród nich tylko jedna jest niesymetryczna (orzeª wypada z prawdopodobie«stwem 2 3 ). a) Oblicz prawdopodobie«stweo,»e orzeª wypadnie dwa razy, b) oblicz prawdopodobi«stwo,»e orzeª wypadª na niesymetrycznej monecie, je»eli wiadomo,»e wypadª dokªadnie jeden orzeª. 24. Fabryka wyrabia ±ruby na trzech maszynach A, B i C, których produkcja wynosi odpowiednio 25%, 35% i 40% caªej produkcji. Maszyny daj odpowiednio 5%, 4% i 2% braków. W sposób przypadkowy wybrano ±rub. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e jest ona brakiem oraz prawdopodobie«stwo warunkowe tego,»e wyprodukowaªa j maszyna A, je±li stwierdzono,»e jest ona brakiem. 25. Telegraczne przekazywanie informacji odbywa si metod nadawania sygnaªów kropka, kreska. Statystyczne wªa±ciwo±ci zakªóce«s takie,»e bª dy wyst puj przeci tnie w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnaªu kropka i w 1/3 przypadków przy nadawaniu sygnaªu kreska. Wiadomo,»e ogólny stosunek liczby nadawanych sygnaªów kropka do liczby sygnaªów kreska jest 5:3. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e przy przyjmowaniu sygnaªu kropka w rzeczywisto±ci ten sygnaª zostaª nadany. 2
3 26. Dobra staªe a, b, c tak, aby funkcja 0 dla x 1 F (x) = b(1 c/x) dla x (1, a 1 dla x > a byªa dystrybuant. 27. Dobra staªe a, b tak, aby funkcja 0 dla x 1 F (x) = a + b arcsin x dla x ( 1, 1 1 dla x > 1 byªa dystrybuant. x (, 1 ( 1, 2 (2, 3 (3, ) 28. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma posta : F (x) c 1 Wyznaczy c oraz rozkªad zmiennej losowej X. Obliczy prawdopodobie«stwa: P (X = 3), P (X = 4), P (X > 3), P (X < 2),P (X 4). 29. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkªadzie ci gªym ma posta 0 dla x 0 F (x) = c x 3 dla x (0, 1. 1 dla x > 1 Dobra staª c. Wyznaczy g sto± rozkªadu X. Obliczy prawdopodobie«stwa: P (X = 1 3 ), P (X > 4), P (X < 3), P (X ( 1 3, 1 2 ) ). 30. Poda przykªad ró»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie. 31. Zmienna losowa X ma nast puj cy rozkªad: x i p i c 0.1 a) Wyznaczy staª c, narysowa histogram i wykres dystrybuanty. b) Wyznaczy prawdopodobie«stwa: P (X = 1), P (X = 2), P (X < 3), P (X < 2), P (X 0), P ( 2 X < 3) dwoma sposobami: korzystaj c z danego rozkªadu prawdopodobie«stwa i korzystaj c z dystrybuanty. 32. Zorganizowano nast puj c gr : Gracz wyci ga z talii dwie karty (bez zwracania). Je±li s to dwa asy wygrywa 20zª, je±li dwie gury wygrywa 10 zª, w ka»dym pozostaªym przypadku pªaci 2 zª. Niech X oznacza wygrana gracza. Znale¹ rozkªad zmiennej losowej X. Wyznaczy i narysowa dystrybuant tego rozkªadu. 33. Opakowanie zawiera pi nasion drogich kwiatków. Wiadomo,»e liczba nasion, które wykieªkuj ma rozkªad dwumianowy (Bernoulliego) B(5, 4 5 ). a) Obliczy prawdopodoie«stwo,»e wykieªkuje nie mniej ni» 4 nasiona. b) Obliczy prawdopodoie«stwo,»e nie wykieªkuje ani jedno nasionko. 34. Owad skªada k jaj zgodnie z rozkªadem Poissona z parametrem λ. Potomek wyl ga si z jaja z prawdopodobie«stwem p niezale»nie od innych. Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e liczba potomków b dzie równa l. 3
4 35. Dobra staª c tak, aby funkcja { c ln x dla x (1, 2) 0 dla x (1, 2) byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X. Wyznaczy jej dystrybuant. Obliczy P (X < 3 2 ), P (X ( 1 4, 1 2 )). 36. Dobra staª c tak, aby funkcja { c cos x dla x π 2 0 dla x > π 2 byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa miennej losowej X. Wyznaczy jej dystrybuant. Obliczy P ( X < 1 2 ). 37. Zmienna losowa ma rozkªad jednostajny na odcinku (a, b), tj. dany g sto±ci : { 1 dla x (a, b) b a 0 dla x (a, b) Wyznaczy jej dystrybuant. 38. Niech czas (mierzony w tygodniach) oczekiwania na wizyt do lekarza ma rozkªad jednostajny na odcinku ( 1 2, 6). a) Obliczy prawdopodoie«stwo, i» czas oczekiwania b dzie krótszy ni» 4 tygodnie. b) Obliczy prawdopodoie«stwo, i» czas oczekiwania b dzie nie b dzie dªu»szy ni» 1 tydzie«. 39. Zmienna losowa X ma rozkªad jednostajny na odcinku ( 1, 1). Wyznaczy g sto± rozkªadu zmiennej losowej Y = arcsin X. 40. Zmienna losowa X ma rozkªad jednostajny na odcinku ( 1, 3). Wyznaczy g sto± rozkªadu zmiennej losowej Y = X. 41. Zmienna losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ. Wyznaczy g sto± rozkªadu zmiennej losowej Y = ln X. x 42. Zmienna losowa X ma nast puj cy rozkªad: i p i c 0.3. Wyznaczy staª c oraz wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.25, kwantyl rz du 0.7 zmiennej losowej X. x (, 2 ( 2, 0 (0, 2 (2, ) 43. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma posta :. F (x) Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.2, kwantyl rz du 0.75 zmiennej losowej X. 44. Dobra staª c tak, aby funkcja { c x 2 dla x (0, 1) 0 dla x (0, 1) byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.25 zmiennej losowej X. 4
5 45. Dobra staª c tak, aby funkcja { c sin x dla x (0, π 2 ) 0 dla x (0, π 2 ) byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa miennej losowej X. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median zmiennej losowej X. 46. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkªadzie ci gªym ma posta 0 dla x 0 F (x) = x 2 dla x (0, 1. 1 dla x > 1 Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.8 zmiennej losowej X. 47. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.75 zmiennej losowej X o rozkªadzie wykªadniczym z parametrem λ. 48. Wyznaczy warto± oczekiwan oraz wariancj zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona z parametrem λ. 49. Wyznaczy median oraz kwantyl rz du 1/10 zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona z parametrem λ = Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj oraz median rozkªadu jednostajnego na odcinku (a, b). 51. Wyznaczy warto± oczekiwan rozkªadu dwumianowego B(n, p). 52. Niech czas (mierzony w minutach) oczekiwania na zapiekank w barze na dole ma rozkªad jednostajny na odcinku (0, 15). Oblicz ±redni czas oczekiwania na zapiekank. 53. Wyznaczy przeci tn liczb szóstek w czterech rzutach kostk. 54. Zorganizowano nast puj c gr : Gracz wyci ga z talii dwie karty (bez zwracania). Je±li s to dwa asy wygrywa 20zª, je±li dwie gury wygrywa 10 zª, w ka»dym pozostaªym przypadku pªaci 2 zª. Wyznaczy warto± oczekiwan wygranej gracza. 55. Zmienne losowe X i Y o rozkªadzie ci gªym maj odpowiednio g sto±ci f i g, takie»e f(x) g(x) dla x < a oraz f(x) g(x) dla x > a, gdzie a R. Wykaza,»e EX EY. 56. Przy okr gªym stole zasiadªo w sposób losowy jeden Polak, dwóch Niemców oraz trzech Francuzów. Jaka jest oczekiwana liczba Francuzów siedz cych pomi dzy Niemcami po tej stronie stoªu, po której nie siedzi Polak? 57. Jasio i Stasio graj w ko±ci. Ka»dy z nich rzuca dwiema kostkami do gry. Je±li Stasio wyrzuci wi ksz sum oczek to Ja± pªaci mu 1 zª. Je±li Ja± wyrzuci wi ksz sum oczek, to Sta± pªaci Jasiowi 3 zª. W przypadku równej liczby oczek Ja± pªaci Stasiowi tyle zªorych ile wynosi suma oczek na wszystkich ko±ciach. Czy gra jest sprawiedliwa? (tzn. czy warto±ci oczekiwane wygranych s równe?) 58. Zmiena losowa X ma rozkªad normalny N(m, σ). Wyznaczy warto±ci oczekiwane zmiennych losowych Y = (X a) 2 oraz Z = X 2 2X
6 59. Zmiena losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ = 1. Wyznaczy warto± oczekiwan zmiennej losowej Y = sin X. 60. Stosuj c nierówno± Czebyszewa oszacowano,»e prawdopodobie«stowo tego,»e liczba orªów k w serii rzutów symetryczn monet b dzie si ró»ni od swojej warto± i oczekiwanej o conajmniej 25% tej warto±ci oczekiwanej, nie jest wi ksze ni» 1/160. Z ilu conajmniej rzutów skªada si ta seria? 61. Ci»ar jabªek dostarczanych do skupu ma rozkªad normalny ze srednia 8 dag i wariancja 9. Jaki procent jabªek dostarczanych do skupu nadaje si na eksport, je»eli za jabªka eksportowe uwaza sie tylko te, które wa» wiecej ni» 11 dag. 62. Wydajno± pracy robotników ma rozkªad normalny o parametrach N(7, 3) (wydajno± w szt./godz.). Obliczy prawdopodobie«stwo,»e robotnik wyprodukuje w ci gu godziny a) od 2 do 3 sztuk, b) od 5 do 8 sztuk, c) powy»ej 10 sztuk. 63. Šadunki prochu my±liwskiego wa»y si na wagach, których ±redni bª d kwadratowy pomiaru jest równy 150 mg. Nominalna masa ªadunku jest rz du 2.3 g. Obliczy prawdopodobie«stwo uszkodzenia strzelby, je»eli maksymalna dopuszczalna waga ªadunku wynosi 2.5 g. Wyznaczy ε tak, aby masa 99% ªadunków mie±ciªa si w przedziale (2.3 ε, ε). 64. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma nast puj cy rozkªad: x i \y i Wyznaczy rozkªady brzegowe. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e Y jest nieujemny pod warunkiem,»e X jest dodatni. 65. Niech X i Y b d niezale»nymi zmiennymi losowymi. Zmienna losowa X ma rozkªad N(1, 2), zmienna Y ma rozkªad N( 1, 3). a) Poda funkcj g sto±ci dwuwymiarowej zmiennej (X, Y ) oraz obliczy P ( 2 X 0, 2 Y 0); b) Znale¹ wspóªczynnik korelacji zmiennych losowych U = X + Y i V = X Y. 66. Zmienna losowa (X 1, X 2, X 3 ) N 3 (0, Σ), gdzie 4 1, 5 1 Σ = 1, 5 1 0, 5 1 0, 5 1 Zmienna losowa Y speªniaj ca równanie X 1 = ax 2 +bx 3 +Y jest nieskorelowana ze zmiennymi losowymi X 2, X 3. Wyznaczy a. 67. Zmienna loswa (X 1, X 2, X 3 ) ma rozkªad zdeniowany w poprzednim zadaniu. a) Wyznaczy g sto± ª czn. b) Wyznaczy wspóªczynnik korelacji ρ X1,X 2. c) Wyznaczy warto± oczekiwan i wariancj zmiennej losowej W = 2X 2 X 1 + 2x 3. 6
7 68. Zmienne losowe X i Y s niezale»ne. X ma rozkªad normalny o warto±ci oczekiwanej 0 i wariancji 0, 5. Natomiast Y ma rozkªad wykªadniczy z warto±ci oczekiwan równ 1. Obliczy P (Y > X 2 ). 69. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad jednostajny na kole o promieniu r i ±rodku w pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Sprawdzi czy zmienne losowe X, Y s niezale»ne. Wyznaczy warto± oczekiwan odlegªo±ci punktu (X, Y ) od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. 70. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad ci gªy dany g sto±ci { 9 y dla x (0, 3), y (0, x) f(x, y) = 2 0 w przeciwnym przypadku. Wyznaczy warto± oczekiwan oraz warianj zmiennej losowej Y. Wyznaczy g sto± warunkow f(y x). 71. Niech X, Y, Z niezale»ne zmienne losowe o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym, niech S = X + Y + Z. Obliczy P (X > S/2 Y > S/2 Z > S/2). 72. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad podany w tabelce. Wyliczy wspóªczynnik korelacji. Wyznaczy regresj pierwszego i drugiego rodzaju Y wzgl dem X. X\Y ,1 0,06 0 0,3 0,28 1 0,1 0, Rzucamy 4 razy symetryczna monet. Niech X oznacza ª czn liczb orªów a Y liczb orªów w 2 pierwszych rzutach. Wyznaczy regresj pierwszego rodzaju X wzgl dem Y. 74. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad ci gªy dany g sto±ci { 6xy dla x (0, 1), y (0, x) f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Wyznaczy regresj I-szego rodzaju Y wzgl dem X, wykona rysunek. 75. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkªad dany g sto±ci { c x, dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 f(x, y) = x 0, dla pozostaªych x, y Wyznaczy staª c. Wyznaczy regresj pierwszego i drugiego rodzaju Y wzgl dem X, wykona rysunek. 76. Niech wektor losowy (X, Y ) ma rozkªad dany przez g sto± o wzorze: { c dla x + y < 1 f(x, y) = 0 dla x + y 1 Wyznaczy c oraz lini regresji pierwszego rodzaju Y wzgl dem X. 77. W zbiorze stu monet jedna ma po obu stronach orªy, pozostaªe s prawidªowe. W wyniku n rzutów losowo wybran monet uzyskano same orªy. Jak du»a musi by liczba n, aby prawdopodobie«stwo,»e rzucano monet z samymi orªami byªo wi ksze od
8 78. Wektor losowy (X, Y ) ma g sto± f(x, y) = c exp( 2x 2 y 2 + 4xy). Wyznaczy staª c. Obliczy wariancj zmiennej losowej Z = 4Y X. 79. Wiadomo,»e 60% ludzi woli czekolad mleczn od twardej. Osoba organizuj ca przyj cie dla 100 go±ci, z których ka»dy ma otrzyma jako prezent tabliczk czekoladek, przygotowuje 70 tabliczek czekolady mlecznej i 45 tabliczek czekolady twardej. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e ka»dy z go±ci b dzie mógª sobie wybra taki rodzaj czekoaladek, jaki lubi? 80. Prawdopodobie«stwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi 0, 05. Ile detali powinna wyprodukowa fabryka, aby z prawdopodobie«stwem równym co najmniej 0, 9 przynajmniej 100 spo±ród nich nie byªo wybrakowanych. Podaj oszacowanie w oparciu o a) nierówno± Czebyszewa, b) centralne twierdzenie graniczne. 81. Jak du» liczb posªów w parlamencie licz cym 460 parlamentarzystów musi dysponowa koalicja, aby z prawdopodobie«stwem niemniejszym ni» 90% uchwali ustaw je»eli wiadomo,»e: a) posªowie opozycji myl si przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem 0, 05, a posªowie koalicji si nie myl, b) posªowie koalicji myl si przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem 0, 05, a posªowie opozycji si nie myl? Zakªadamy,»e wszyscy posªowie s obecni(!), a do uchwalenia ustawy potrzeba 231 gªosów. 8
Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo
Bardziej szczegółowoE. Sadowska-Owczorz Statystyka i probabilistyka - zadania kwiecie«2018
1. Jest 50 pyta«egzaminacyjnych. Na ka»dej wylosowanej przez zdaj cego kartce napisane s trzy pytania. (a) Ile mo»e by ró»nych kartek? (b) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e zdajacy odpowie co najmniej na jedno
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoWst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoPROBABILISTYKA - test numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41
1 numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41 (a) Jeśli P (A) = 0.5 oraz P (B) = 0.3 oraz B A, to P (B \ A) = 0.2. (b) Przy jednokrotnym rzucie kostk a prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypad
Bardziej szczegółowoRozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowo1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.
1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoTablice wzorów z probabilistyki
Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Bardziej szczegółowo1.Kombinatoryka. elementom przyporz dkowujemy n elementów rozró»nialnych (ze zwracaniem), kolejno± nie jest istotna Cn k = ( n+k 1 ) = C k k
Statystyka - 1. rok Zarz dzanie i In»ynieria Produkcji, niestacjonarne 1. stopie«przykªadowe zadania na kolokwium nr 1 1.Kombinatoryka Denicja 1 ˆ Permutacje P n - n-elementów, wszystkie elementy wybrane,
Bardziej szczegółowopobrano z (A1) Czas GRUDZIE
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoZadania do jawnej puli
Zadania do jawnej puli Mateusz Šeªyk, Bartosz Wcisªo, Piotr Wilkin 19 stycznia 2015 Przez rozwi», znajd¹ itp. mamy na my±li zapisanie odpowiedzi przy u»yciu sum, iloczynów, ilorazów, symboli Newtona, silni,
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe zadania na sprawdzian
Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Ile róŝnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez moŝna zapisać za pomocą cyfr :,,,4, Na ile sposobów moŝna ustawić na półce sześć ksiąŝek tak, aby dwie wybrane
Bardziej szczegółowoFunkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych Zadania
Podstawy metod probabilistycznych Zadania 25 marca 2009 Zadanie 1 Czy jest możliwe, by P(A B) = 0, 9, P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 3, i zdarzenia A i B były niezależne. Zadanie 2 Zdarzenia A i B są niezależne
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoE2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania
E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowo