HARMO OGRAMOWA IE PROJEKTU ZE ZDEFI IOWA YMI KAMIE IAMI MILOWYMI

Transkrypt

1 Marcn Klmek HARMO OGRAMOWA IE PROJEKTU ZE ZDEFI IOWA YMI KAMIE IAMI MILOWYMI Słowa kluczowe: harmonogramowane projektu, kamene mlowe, ter-mny zakończena. Wstęp W ostatnch latach powstaje wele prac z harmonogramowana projektu. Zanteresowane zagadnenem wynka z szerokego zastosowana praktycznego. Zarządzane projektam (przedsęwzęcam) jest coraz częścej stosowane w planowanu produkcj. W praktyce przemysłowej produkt fnalny, często zależny jest od oczekwań specyfkacj odborcy, wtedy powszechne stosowana metoda sterowana tzw. produkcja na magazyn (ang. MTS Make-To- Stock), zastępowana jest produkcją na zlecene lub konstruowaną na zlecene (ang. MTO Make-To- Order). MTS stosowana jest dla standardowych, znormalzowanych pro-duktów, co do których przewdywalne powtarzalne są wymagana klentów. Natomast MTO dotyczy wyrobów nestandardowych, wytwarzanych dla odborcy ndywdualnego, którego wymagana są zmenne bywają neprzewdywalne. Każde take zlecene produkcyjne pownno być traktowane jako osobny projekt powstający w konsultacj z klentem. Zwłaszcza duże zamówena produkcyjne muszą być realzowane zgodne z zasadam stosowanym przy zarządzanu projektam 1. W nnejszej pracy podjęto, najczęścej rozważany w ostatnch latach, problem harmonogramowana projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów RCPSP (ang. Resource-Constraned Project Schedulng Problem). W artykule zaproponowano matematyczny model RCPSP ze zdefnowanym, neprzekraczalnym termnam realzacj częśc zadań. Sformułowano także funkcje celu harmonogramowana nomnalnego dla rozważanego problemu. Sformułowane problemu Projekt to zbór współzależnych zadań (czynnośc, operacj) realzowany przy użycu zasobów dla osągnęca przyjętych celów 2. W probleme RCPSP zasoby (np. pracowncy, maszyny) są odnawalne tzn. lość zasobu jest stała nezależne od obcążeń w poprzednch okresach. Mędzy czynnoścam występują relacje typu konec-początek bez zwłok 3 (ang. fnsh-start, zero-lag precedence). Problem harmonogramowana projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów polega na znalezenu wektora termnów rozpoczęca (lub zakończena) dla przyjętego kryterum optymalzacyjnego. Dodatkowo zdefnowane są następujące warunk ogranczające 4 : mędzy czynnoścam występują relacje typu konec-początek bez zwłok operacja następna może rozpocząć sę bezzwłoczne po zakończenu operacj poprzednej (ogranczena kolejnoścowe): s + d s ; (, j) E, (1) j w każdym momence czasu t wykorzystane zasobów przez czynnośc ne przekracza welkośc dostępnych (ogranczena zasobowe): 1 A. Kostrubec, Harmonogramowane projektów przegląd model. Inżynera Zarządzana Przedsęwzęcam, Gdańsk 2003, s M. Klmek, Harmonogramowane projektów w dynamcznych środowskach produkcyjnych, Bała Podlaska 2007, t. I, s M. Klmek, P. Łebkowsk, Predctve-Reactve Project Schedulng, Kraków 2007, s S. Van De Vonder, E. Demeulemeester E., W. Herroelen, R. Leus, The trade-off between stablty and makespan n resource-constraned project schedulng, 2006, s. 217

2 S t r k a ; t, k, (2) k gdze: s czas rozpoczęca operacj (zmenna decyzyjna), S t zbór zadań wykonywanych w momence t, d czas wykonywana operacj, a k lczba dostępnych zasobów typu k, r k zapotrzebowane czynnośc na zasób typu k, E zbór łuków opsujących zależnośc kolejnoścowe mędzy czynnoścam. W badanach dotyczących RCPSP najczęścej mnmalzowany jest łączny czas trwana całego projektu (ang. makespan). Podejmowane jest równeż zagadnene termnowej realzacj całego przedsęwzęca. Określony jest wówczas termn zakończena wszystkch zadań δ n, który ne może być przekroczony 5. W nnejszej pracy proponowane jest podejśce, w którym celem jest termnowa realzacja wszystkch etapów projektu. Stosowane tego podejśca ma praktyczne uzasadnene: klenc często ustalają z wykonawcą momenty kontrol przebegu prac tzw. kamene mlowe. Termnowe wykonane kamen mlowych, zmnejsza ryzyko przekroczena termnu ostatecznego zakończena prac. Ewentualne opóźnena pocągają za sobą zwykle kary umowne. Zastosowane systemu kamen mlowych w probleme harmonogramowana produkcj z ogranczoną dostępnoścą zasobów RCPSP można sprowadzć do określena dla częśc zadań neprzekraczalnych termnów ch zakończena 6 : z δ ; (3) gdze: z planowany czas zakończena czynnośc, δ neprzekraczalny termn zakończena czynnośc, określony tylko dla czynnośc zwązanych z kamenam mlowym, w szczególnośc dotyczy to termnu zakończena projektu δ n. Zastosowane systemu kamen mlowych zmena właścwośc optymalnych uszeregowań. Zostane to omówone na przykładze w następnym rozdzale. Reprezentacja problemu RCPSP dla przykładowego projektu Przy reprezentacj problemów harmonogramowana projektu wykorzystuje sę zaps w forme sec (grafów). Dla rozważanego problemu RCPSP stosowana będze seć AON tzw. seć czynnośc 7, która jest odpowednejsza dla problemów harmonogramowana z kryterum optymalzacj czasu. Projekty w sec czynnośc reprezentowane są jako acyklczny, spójny, prosty graf skerowany G(V, E), w którym V to zbór węzłów odpowadający zadanom, a E to zbór łuków opsujących zależnośc kolejnoścowe mędzy zadanam. Zadana ponumerowane są od 1 do n, w tak sposób, że poprzednk ma zawsze nższy numer od następnka (występuje porządek topologczny). Dla proponowanego modelu RCPSP ze zdefnowanym kamenam mlowym, do stosowanej w badanach reprezentacj, dodatkowo dla częśc zadań (węzłów) zdefnowano neprzekraczalny termn realzacj tego zadana (rys. 1). 5 W. Herroelen, R. Leus, Robust and reactve project schedulng: a revew and classfcaton of procedures, 2004, s M. Klmek, P. Łebkowsk, Mary odpornośc harmonogramów, Opole 2008, t. I, s A. Kostrubec A., Harmonogramowane..., s. 37.

3 Rys. 1. Przykładowa seć typu AON dla projektu z jednym zasobem, z określonym termnam realzacj częśc zadań Rozwązana problemu RCPSP prezentowane są w postac wykresu Gantt a. Harmonogram mnmalzujący czas realzacj projektu z Rys. 1 przy ogranczenach zdefnowanych wzoram (1), (2) bez uwzględnana kamen mlowych z rys. 1 przedstawono na rys. 2. Czas realzacj zadań ze śceżk krytycznej wynos 9. Mnmalny czas wykonana projektu można wylczyć na podstawe czasochłonnośc zasobochłonnośc wszystkch zadań w projekce: n = 1 d = = 112. (4) r Na tej podstawe mnmalny czas realzacj wszystkch zadań wynos: n d r 112 = a 10 = 1 = 12. (5) Zatem ZASOBY mnmalny czas wykonana całego projektu wynos 12. Rys. 2. Harmonogram mnmalzujący czas realzacj projektu Dla harmonogramu uwzględnającego termny realzacj kamen mlowych z warunkam ogranczającym określonym wzoram (1), (2), (3), czas wykonana projektu wynos co najmnej 14.

4 Wynka to z konecznośc za-kończena zadana 2 w termne neprzekraczalnym (δ 2 = 10). Ze względu na dostępność zasobów, w trakce realzacj czynnośc 2 ne może być wykonywana nna czynność poza zadanem 9, które z kole może być rozpoczęte najwcześnej w momence (t = 7). Stąd mnmalny czas wykonana projektu jest równy sume czasu trwana zadana 2 czasu trwana zadań ze śceżk krytycznej (5 + 9 = 14). Przykładowy harmonogram o czase realzacj równym 14 przedstawono na rys. 3. Rys. 3. Harmonogram uwzględnający neprzekraczalne czasy realzacj poszczególnych czynnośc Harmonogramy zaprezentowane na rys. 2 rys. 3 pokazują, że koneczne jest zdefnowane nowej funkcj celu dla modelu ze zdefnowanym kamenam mlowym. Propozycje defncj takej funkcj zameszczono w kolejnym rozdzale. Funkcja celu dla harmonogramowana projektu ze zdefnowanym kamenam mlowym Kolejne punkty krytyczne zwązane z zadanam, których wykonane ma określony termn realzacj (δ j 0) oznaczmy km. Nech dla każdego zadana zbór KM zawera wszystke czynnośc, których wykonane jest nezbędne do realzacj danego kamena mlowego km. Łączny czas potrzebny do wykonana wszystkch czynnośc z poszczególnych zborów KM oznaczmy przez tkm. Czas ten określć można wzorem 8 (6): tkm =, (6) d j j KM Nech pb oznacza pozom bezpeczeństwa dla realzacj km. Pozom bezpeczeństwa wyznaczyć można wzorem (7): pb rez + FS j j KM =, (7) tkm gdze: rez różnca mędzy neprzekraczalnym termnem zakończena δ j (określonym dla km ) a najwcześnejszym możlwym termnem realzacj wszystkch zadań ze zboru KM, FS j zapas czasu po czynnośc j. Funkcją celu określającą jakość harmonogramu dla problemu z określonym kamenam mlowym można zdefnować wzorem 9 (8). 8 M. Klmek, P. Łebkowsk, Mary..., s M. Klmek, P. Łebkowsk, Mary..., s max{ mn ( pb )}, (8) = 1.. m

5 gdze: m lczba kamen mlowych. Maksymalzacja mnmalnego pozomu zabezpeczena poszczególnych termnów realzacj etapów projektu prowadz do proporcjonalnego do czasochłonnośc tkm rozłożena buforów czasowych pomędzy poszczególne kamene mlowe. Funkcja celu (8) posada jednak wadę: gdy dla kamena mlowego o mnmalnym pb ne ma już możlwośc dalszego buforowana, zabezpeczane pozostałych kamen mlowych ne poprawa odpornośc uszeregowana określonej tym mernkem. Odpowednejszą funkcją celu, uwzględnającą zabezpeczene termnów wykonana wszystkch etapów projektu, jest ważona suma pozomu zabezpeczena kamen mlowych pb określona wzorem (9). m max{ pb wm}, (9) = 1 gdze: wm waga przypsana kamenow mlowemu km. Wartość wag wm zależy od aktualnego pozomu zabezpeczena kamena mlowego km ustalana jest na podstawe posortowanej rosnąco wg pb lsty kamen mlowych. Dla przykładu wartość ta może być wyznaczona w następujący sposób: dla kamena mlowego o mnmalnym pozome pb przyjmuje sę: wm = m; dla kamena mlowego o k-tym pb : wm = m k; dla kamena mlowego o maksymalnym pb : wm = 1. Wag przypsane kamenom mlowym wm można określć też naczej, przy czym pownen być spełnony warunek: wększa waga wm dla mnej zabezpeczonych kamen km. Stosując funkcję celu określoną wzorem (9) uzyskuje sę: równomerne rozłożene buforów bezpeczeństwa według pozomów pb osągane przez odpowedne ustalene wag wm, proporcjonalne do czasochłonnośc kamena mlowego tkm rozłożene rezerwy czasowej m wększa wartość tkm tym wększe buforowane kamena km. Podsumowane W artykule zaprezentowano model harmonogramowana projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów ze zdefnowanym termnam realzacj częśc zadań zwązanych z kamenam mlowym przedsęwzęca. Zaproponowany model może być bardzo użyteczny przy realzacj dużych zleceń produkcyjnych, konstrukcyjnych czy rozwojowych. Przy realzacj dużego projektu często bowem określa sę punkty kontrol przebegu prac. Termnowa rzetelna realzacja kamen mlowych, zmnejsza ryzyko nepowodzena całego przedsęwzęca. Przedmotem dalszych badań będze m.n. opracowane skutecznych algorytmów dla zdefnowanego problemu, wdrożene proponowanego modelu przy realzacj rzeczywstych przedsęwzęć. Streszczene W artykule przedstawono problem harmonogramowana projektu z ogranczoną dostępnoścą zasobów RCPSP. Zaproponowano model matematyczny problemu, który uwzględna system kamen mlowych umownych punktów kontrolnych realzacj projektu. Dla częśc zadań (zwązanych z kamenam mlowym) określono ne-przekraczalne termny ch zakończena Opracowano funkcję celu, która uwzględna termny realzacj wszystkch tych czynnośc. PROJECT SCHEDULI G WITH MILESTO ES Keywords: project schedulng, mlestones, due dates

6 Summary In artcle s presented Resource-Constraned Project Schedulng Problem (RCPSP) There s proposed mathematcal model whch uses the mlestones system system of crtcal ponts that are decsve for the project comple-ton. For some actvtes (related to the mlestones), unsurpassable term of completon s determned. There s defned objectve functon, takng nto consderaton the observance of the tmes of completon of all these actv-tes. Lteratura 1. Herroelen W., Leus R., Robust and reactve project schedulng: a revew and classfcaton of procedures, Internatonal Journal of Producton Research 42(8), 2004 s Klmek M., Harmonogramowane projektów w dynamcznych środowskach produkcyjnych, Rozprawy Naukowe. Bała Podlaska 2007, t. I, s Klmek M., Łebkowsk P., Mary odpornośc harmonogramów, W: Komputerowo Zntegrowane Zarządzane (red.) R. Knosala, Ofcyna Wydawncza Polskego Towarzystwa Zarządzana Produkcją, Opole 2008, t. I, s Klmek M., Łebkowsk P., Predctve-Reactve Project Schedulng, W: Innovatons technologes n economcs and nnovatve management (ed.) Duda J. Uczelnane Wydawnctwa Naukowo-Dydaktyczne Akadem Górnczo-Hutnczej, Kraków 2007, s Kostrubec A., Harmonogramowane projektów przegląd model. Inżynera Zarządzana Przedsęwzęcam, Wydawnctwo Poltechnk Gdańskej, Gdańsk 2003, s Van De Vonder S, Demeulemeester E., Herroelen W., Leus R., The trade-off between stablty and makespan n resource-constraned project schedulng, Internatonal Journal of Producton Research 44(2). 2006, s