Zakład Teorii Maszyn i Automatyki, Akademia Rolnicza, ul. Doświadczalna 50 A, Lublin

Transkrypt

1 Acta Agrophysca,, 3(3), ADEKWATNOŚĆ OPISU REAKCJI MATERIAŁU ROŚLINNEGO NA OBCIĄśENIA MECHANICZNE NA GRUNCIE LINIOWEJ TEORII LEPKOSPRĘśYSTOŚCI Krzysztof A. Gołack, Zbgnew Stropek Zakład Teor Maszyn Automatyk, Akadema Rolncza, ul. Dośwadczalna 5 A, -8 Lubln e-mal: golack@faunus.ar.lubln.pl S t r e s z c z e n e. Praca zawera ops wyprowadzana zwązków analtycznych oraz eksperymentów, które pozwolły na wyznaczene zmennych w czase wartośc funkcj relaksacj napręŝeń ścskających, współczynnka Possona oraz modułu odkształcena postacowego objętoścowego opsujących zachowane sę tkank korzena marchw pod obcąŝenem. Wyznaczone przebeg zman wartośc w czase wyŝej wymenonych parametrów w zaleŝnośc od prędkośc deformacj śwadczą o odmennym stane wyjścowym materału po odkształcenu. Na podstawe przeprowadzonych eksperymentów stwerdzono takŝe wpływ prędkośc deformacj wstępnej na parametry charakterystyk lepkospręŝystych. S ł o wa k l u c z o w e : lepkospręŝystość, współczynnk Possona, moduł odkształcena objętoścowego, moduł odkształcena postacowego, marchew WSTĘP Pojęce bomechank zostało zdefnowane w latach sześćdzesątych ubegłego stuleca przez Lssnera jako wykorzystane podstawowych zasad mechank do opsu materałów bologcznych jako Ŝywych organzmów [7]. Obecne chocaŝ chętnej uŝywa sę pojęca bonŝynera problemy pozostają te same. Wszelkego rodzaju uszkodzena mechanczne materałów roślnnych powstające na skutek udarów powodują znaczne straty loścowe jakoścowe. Charakterystyk lepkospręŝyste są uznanym szeroko stosowanym narzędzem dentyfkacj cech mechancznych materałów roślnnych. Dotyczy to badań zajmujących sę określenem przyczyn powstawana uszkodzeń, a takŝe oceny konsumpcyjnej przechowalnczej. Wyznacza sę je równeŝ podczas badań mechanzmów pochłanana energ podczas obcąŝeń udarowych.

2 K. A. GOŁACKI, Z. STROPEK Zwykle w perwszym przyblŝenu opsu reakcj uwodnonego materału roślnnego pod obcąŝenem mechancznym przyjmowano jego neścślwość co oznaczało załoŝene K=. W kolejnym etape badań przyjmowano spręŝystość materału we wszystkch kerunkach, co wązało sę ze stałą wartoścą modułu odkształcena objętoścowego. Ostatnm etapem, który prezentujemy w pracy, jest załoŝene lepkospręŝystośc materału (K zmenne w czase), co pozwala opsać zmenny w czase stan napręŝeń odkształceń w dowolnym punkce wzdłuŝ dowolnego kerunku. METODA BADAWCZA Eksperyment polegał na rejestracj zjawska relaksacj napręŝeń w dwóch walcowych próbkach marchw odmany Perfekcja o średncy wysokośc mm, które ścskano wstępne wzdłuŝ os o wartość 1 mm w warunkach stanu jednoosowego napręŝena stanu jednoosowego odkształcena. Badana przeprowadzono dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej z zakresu od 1, m s -1 do 1,5 m s -1. Do opsu zachowana sę materału roślnnego pod obcąŝenem uŝyto czteroparametrowego modelu Maxwella, który bardzo dobrze opsuje zjawsko relaksacj napręŝeń. W przyjętym modelu na podstawe obserwacj własnych doneseń lteraturowych odrzucono zastosowane w połączenu równoległym dodatkowych gałęz zawerających oddzelne element spręŝysty element lepk. Reakcja badanych próbek na gwałtowne przyłoŝone wymuszene ne mała cech cała sztywnego, co ne przemawało za włączenem elementu lepkego (tłumka). Jednocześne wartość sły reakcj ma tendencję spadku do zera w dłuŝszym czase trwana testu (klka godzn) [3] dlatego zastosowane elementu spręŝystego ne jest wskazane. Newłaścwym jest takŝe załoŝene wymuszena zadawanego próbce jako funkcj skoku gdyŝ ne uwzględna sę wówczas relaksacj napręŝeń mającej mejsce podczas narastana odkształcena [9]. W przyjętym czteroparametrowym modelu Maxwella w postac warunków brzegowych uwzględnono kształt próbk kerunek jej obcąŝena. Wykorzystano wzór podany przez Chena [1] na słę reakcj walcowej próbk ścskanej wzdłuŝ os: F( t) = m t = 1 p l v E e E dt e ( tm t ) ( t tm ) η η gdze: p pole przekroju poprzecznego, v prędkość deformacj, l wysokość próbk, E, η współczynnk spręŝystośc lepkośc zastosowanego modelu, t m czas narastana odkształcena, t czas lczony od chwl rozpoczęca odkształcana próbk. E (1)

3 ADEKWATNOŚĆ OPISU REAKCJI MATERIAŁU ROŚLINNEGO Wzór (1) opsuje drugą fazę testu, w której utrzymywano stałe odkształcene (t>t m ). W tym wzorze uwzględnono takŝe prędkość deformacj, co jest jednoznaczne z uwzględnenem relaksacj napręŝeń mającej mejsce w załoŝonym modelu próbk juŝ w czase narastana odkształcena. Otrzymane w wynku eksperymentu przebeg sły reakcj próbek aproksymowano formułam emprycznym o postac: = 1 α t F ( t ) = A e () gdze: A, α ( = 1,) są neznanym parametram. Do wyznaczena wartośc parametrów A α dwuskładnkowej funkcj wykładnczej wykorzystano metodę mnmalzacj nelnowej quas-newtona. Na podstawe wzoru (1) danych eksperymentalnych oblczono wartośc współczynnków E η dla próbek ścskanych swobodne w cylndrach przy róŝnych prędkoścach deformacj wstępnej. UmoŜlwa to wyznaczene funkcj relaksacj odpowadających stanow jednoosowego napręŝena E(t) stanow jednoosowego odkształcena X(t). ( a t) + B exp( b ) E( t) = A exp t (3) ( c t) + D exp( d ) X ( t) = C exp t () gdze: A, B, C, D, a, b, c, d są stałym o wartoścach dodatnch. Dokonując przekształceń Laplace a funkcj relaksacj E(t) X(t) wylcza sę transformaty Laplace a E(s) X(s): A B E( s) = + s + a s + b (5) C D X ( s) = + s + c s + d (6) gdze: s zmenna zespolona. Korzystając z reguły analog Chrstensena [], moŝna zastosować wzór wyprowadzony przez Hughesa Segerlnda [6] na stały współczynnk Possona do rozwązana problemu w lepkospręŝystośc, zastępując moduł spręŝystośc w rozwązanu spręŝystym przez loczyn zmennej zespolonej s transformaty Laplace a odpowednej funkcj relaksacj napręŝeń. Korzystając z powyŝszych załoŝeń transformata współczynnka Possona wyraŝa sę następującym wzorem: µ ( s ) = E s X 1 ( s ) ( s ) E 1 + X ( s ) ( s ) 1 E 8 X 1 ( s ) 1 ( s ) (7)

4 K. A. GOŁACKI, Z. STROPEK Znając transformatę współczynnka Possona moŝna określć jego przebeg w czase poprzez zastosowane do obu stron równana odwrotnego przekształcena Laplace a. Ostateczny wzór na współczynnk Possona ma postać [,5]: ( t) = ( M ) ν ( t) M ν ( τ ) wm( t t µ τ ) dτ (8) M jest to loraz współczynnków przy najwyŝszej potędze zmennej w welomanach występujących w lcznku manownku funkcj wymernej znajdującej sę pod perwastkem, v1(t) wyraŝene będące sumą trzech funkcj wykładnczych składnka stałego, wm(t) funkcja będąca podwójnym splotem wyraŝeń znajdujących sę pod perwastkem. Znając transformaty Laplace a E(s) X(s) końcowy wzór na transformatę Laplace a modułu odkształcena postacowego ma postać: E( s) 3 X ( s) E( s) 3 X ( s) + ( ) ( ) + X s E s ( ) G s = (9) Aby wyznaczyć orygnał G(t) transformaty G(s) naleŝy zastosować przekształcene odwrotne Laplace a do obu stron równana (9). Wzory końcowe na zmenny w czase moduł odkształcena postacowego moduł odkształcena objętoścowego mają postać [8]: 1 G ( t) p( t) M n( t) M n( τ ) wm( t τ ) dτ = t (1) K ( t) = X ( t ) G( t ) (11) 3 p(t), n(t) wyraŝena będące sumą czterech funkcj wykładnczych. WYNIKI I DYSKUSJA Wyznaczone zaleŝnośc mogą stanowć podstawę do analzy adekwatnośc opsu zachowana sę korzen marchw pod obcąŝenem przy uŝycu teor lnowej lepkospręŝystośc. Ze względu na neodwracalny charakter procesów zachodzących w badanych materałach, szczególne w faze gwałtownego narastana odkształcena, wykorzystane model lepkospręŝystych do opsu perwszej fazy testu wydaje sę obarczone duŝym błędem. Druga faza testu polegająca na stopnowym zanku napręŝeń faktyczne charakteryzuje materał po wstępnej deformacj, a zatem zmenony w stosunku do jego stanu przed testem.

5 ADEKWATNOŚĆ OPISU REAKCJI MATERIAŁU ROŚLINNEGO W tym przypadku model lepkospręŝysty opsuje skutk obcąŝeń, które mogą być zadawane w róŝny sposób, np. w forme udarów. Rysunk przedstawają zmanę w czase modułów odkształcena objętoścowego postacowego oraz współczynnka Possona po 7,5 sekundach od chwl wystąpena najwyŝszej sły reakcj podczas testu relaksacj. Przebeg zman wartośc w czase wyŝej wymenonych parametrów w zaleŝnośc od prędkośc deformacj śwadczy o róŝnym stane zdeformowana próbek, a jednocześne odmennym stane wyjścowym materału po odkształcenu. Wynka to z neodwracalnych procesów zachodzących w tkankach komórkowych, które zwązane są ze zjawskam fltracj przepompowywana soku komórkowego oraz pęknęcam ścan komórkowych rozwarstwenam struktury. Nestety ne opracowano dotychczas loścowej metody oceny pęknęć wewnętrznych znszczeń tkank komórkowej, która pozwolłaby na bardzej wnklwą analzę skutków deformacj. W przypadku, gdy materał roślnny zachowywałby sę jak dealne cało Maxwella uwzględnene prędkośc w modelu charakteryzującym lnowo lepkospręŝyste zachowane cała bologcznego skutkowałoby uzyskanem dentycznych przebegów w czase wartośc modułów odkształcena objętoścowego postacowego oraz współczynnka Possona przy róŝnych prędkoścach deformacj.,5 Współczynnk Possona Posson's rato,9, ,17 m. s -1,83 m. s -1,333 m. s -1 Czas - Tme (s) Rys. 1. Przebeg w czase wartośc współczynnka Possona dla marchw w warunkach obcąŝeń quas-statycznych dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej Fg. 1. Changeablty of Posson s rato n tme for carrot root under quas-statc loadng for dfferent ntal deformaton rates

6 K. A. GOŁACKI, Z. STROPEK Współczynnk Possona Posson's rato,6,,,,38,36,3,3, Czas Tme (s),5 m. s -1 1 m. s -1 1,5 m. s -1 Rys.. Przebeg w czase wartośc współczynnka Possona dla marchw w warunkach obcąŝeń udarowych dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej Fg.. Changeablty of Posson s rato n tme for carrot root under mpact loadng for dfferent ntal deformaton rates Moduł odkształcena postacowego Shear modulus (MPa) 3,,8,, 1, Czas Tme (s),17 m. s -1,83 m. s -1,333 m. s -1 Rys. 3. Zmenność w czase modułu odkształcena postacowego dla marchw w quas-statycznych warunkach obcąŝeń dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej Fg. 3. Changeablty of shear modulus n tme for carrot root under quas-statc loadng for dfferent ntal deformaton rates

7 ADEKWATNOŚĆ OPISU REAKCJI MATERIAŁU ROŚLINNEGO Moduł odkształcena postacowego Shear modulus (MPa) 3,,6, 1,8 1, 1, Czas Tme (s),5 m. s -1 1 m. s -1 1,5 m. s -1 Rys.. Zmenność w czase modułu odkształcena postacowego dla marchw w udarowych warunkach obcąŝeń dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej Fg.. Changeablty of shear modulus n tme for carrot root under mpact loadng for dfferent ntal deformaton rates Moduł odkształcena objętoścowego Bulk modulus (MPa) Czas Tme (s),17 m. s -1,83 m. s -1,333 m. s -1 Rys. 5. Zmenność w czase modułu odkształcena objętoścowego dla marchw w quas-statycznych warunkach obcąŝeń dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej Fg. 5. Changeablty of bulk modulus n tme for carrot root under quas-statc loadng for dfferent ntal deformaton rates

8 K. A. GOŁACKI, Z. STROPEK Moduł odkształcena objętoścowego Bulk modulus (MPa) Czas Tme (s),5 m. s -1 1 m. s -1 1,5 m. s -1 Rys. 6. Zmenność w czase modułu odkształcena objętoścowego dla marchw w udarowych warunkach obcąŝeń dla róŝnych prędkośc deformacj wstępnej Fg. 6. Changeablty of bulk modulus n tme for carrot root under mpact loadng for dfferent ntal deformaton rates PonewaŜ we wyprowadzonych zaleŝnoścach analtycznych uwzględnono prędkość zadawana deformacj we wstępnej faze testu relaksacj napręŝeń, w przypadku cała dealne lnowo lepkospręŝystego naleŝy sę spodzewać dentycznych wartośc badanych welkośc dla róŝnych prędkośc obcąŝena. W wynku przeprowadzonych eksperymentów stwerdzono wpływ prędkośc deformacj wstępnej na parametry charakterystyk lepkospręŝystych. Rozpatrywano 6 prędkośc, z których trzy perwsze wartośc odpowadają quasstatycznym warunkom obcąŝeń, a trzy następne obcąŝenom udarowym. Dla kaŝdego rodzaju przeprowadzanego testu uzyskano wysoką korelację pomędzy parametram modelu, a prędkoścą deformacj wstępnej. Wartośc modułów spręŝystośc lepkośc marchw malały wraz ze wzrostem prędkośc deformacj. Potwerdza to hpotezę o wzrośce lczby uszkodzeń tkank komórkowej wraz ze wzrostem prędkośc zadawanego obcąŝena, w wynku czego materał roślnny częścowo trac początkowe właścwośc lepkospręŝyste. PonŜej zostały przedstawone wykresy pokazujące zaleŝność pomędzy modułam spręŝystośc lepkośc dynamcznej a prędkoścą deformacj dla próbek marchw. Na kaŝdym rysunku podane są wartośc współczynnka korelacj dla prostych regresj. Na os odcętych zastosowano podzałkę logarytmczną ze względu na duŝy zakres zastosowanych prędkośc.

9 ADEKWATNOŚĆ OPISU REAKCJI MATERIAŁU ROŚLINNEGO 1 8 E 1 r= -,8 E r= -,79 E 1, E (MPa) 6,1,1,1,1 1, Prędkość Rate of deformaton (ṁs -1 ) Rys. 7. ZaleŜność parametrów E od prędkośc deformacj dla próbek marchw w stane jednoosowego napręŝena Fg. 7. Dependence of E parameters on deformaton rate for carrot samples n unaxal stress state 1 η 1, η /1 (MPa. s) η 1 r= -,6 η r= -,7,1,1,1,1 1, Prędkość Rate of deformaton (ṁs -1 ) Rys. 8. ZaleŜność parametrów η od prędkośc deformacj dla próbek marchw w stane jednoosowego napręŝena Fg. 8. Dependence of η parameters on deformaton rate for carrot samples n unaxal stress state

10 K. A. GOŁACKI, Z. STROPEK E 1, E (MPa) ,1,1,1,1 1, Prędkość E 1 r= -,69 E r= -,79 Rate of deformaton (ṁs -1 ) Rys. 9. ZaleŜność parametrów E od prędkośc deformacj dla próbek marchw w stane jednoosowego odkształcena Fg. 9. Dependence of E parameters on deformaton rate for carrot samples n unaxal stran state 5 η 1, η /1 (MPa. s) 3 η 1 r= -,53 η r= -,9 1,1,1,1,1 1, Prędkość Rate of deformaton (ṁs -1 ) Rys. 1. ZaleŜność parametrów η od prędkośc deformacj dla próbek marchw w stane jednoosowego odkształcena Fg. 1. Dependence of η parameters on deformaton rate for carrot samples n unaxal stran state

11 ADEKWATNOŚĆ OPISU REAKCJI MATERIAŁU ROŚLINNEGO WNIOSKI 1. Moduły spręŝystośc lepkośc dynamcznej przyjętego modelu Maxwella dla marchw malały wraz ze wzrostem prędkośc deformacj, co dowodz wyŝszej podatnośc na mkrouszkodzena próbek oraz śwadczy o neodwracalnych zmanach zachodzących w materale roślnnym wraz ze wzrostem prędkośc obcąŝena.. Uzyskane wynk ne mogą stanowć dowodu na brak adekwatnośc opsu przebegu relaksacj napręŝeń w badanych próbkach na grunce lnowej teor lepkospręŝystośc, gdyŝ dla róŝnych prędkośc deformacj rejestrowano reakcje materałów o róŝnym stopnu degradacj struktury wewnętrznej. PIŚMIENNICTWO 1. Chen P., Frdley R.B.: Analytcal method of determnng vscoelastc constants of agrcultural materals. Transactons of the ASAE 15(6), , Chrstensen R.M.: Theory of vscoelastcty. An ntroducton. Academc Press, New York, Fnney E.E., Hall C.W., Mase G.E.: Theory of lnear vscoelastcty appled to the potato. Journal of Agr. Eng. Res., 9: 37-31, Gołack K., Stankewcz A.: Algorytm oblczenowy wyznaczana współczynnka Possona lepkospręŝystego materału roślnnego. Acta Agrophysca, 78, 51-61, 5. Gołack K., Stropek Z.: Metoda wyznaczana lepkospręŝystego współczynnka Possona materałów roślnnych w warunkach obcąŝeń udarowych. Acta Agrophysca, 5,79-83, Hughes H., Segerlnd L.J.: A rapd mechancal method for determnng Posson s rato n bologcal materals. ASAE paper No. 7-31, ASAE, St. Joseph, MI 985, Lssner H.R.: Bomechancs- what s t? Mech. Engng., 85(1), 5, Stankewcz A.: Metoda wyznaczana orygnału transformaty Laplace a funkcj wybranych postac. Prace nepublkowane Zakładu Teor Maszyn Automatyk AR Lubln,. 9. Rumsey T.R., Frdley R.B.: A method for determnng the shear relaxaton functon of agrcultural materals. Transacton of the ASAE, (), ,39, ADEQUACY OF THE DESCRIPTION OF THE RESPONSE PLANT MATERIAL UNDER MECHANICAL LOADING ON THE BASIS OF LINEAR VISCOELASTICITY THEORY Krzysztof A. Gołack, Zbgnew Stropek Department of Machne Theory and Automatcs, Unversty of Agrculture ul. Dośwadczalna 5 A, -8 Lubln e-mal: golack@faunus.ar.lubln.pl Ab s t r a c t. Ths paper ncludes descrpton of analytcal relatonshps and experments. Concernng stress relaxaton test of carrot root samples t allowed to determne changeable n tme stress relaxaton functons, bulk modulus, shear modulus and Posson s rato descrbng behavour of plant materal treated as a lnear vscoelastc body. K e y wo r d s : vscoelastcty, Posson s rato, bulk modulus, shear modulus, carrot