6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów."

Transkrypt

1 Układy równań. Równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego nazywamy układ x 1=f 1 (t,x 1,...,x n ) x 2 (URn) =f 2(t,x 1,...,x n ). x n=f n (t,x 1,...,x n ) Układ(URn) będziemy zwykle zapisywać w postaci wektorowej: oznaczając x:=col(x 1,...,x n ),x :=col(x 1,...,x n ),f:=col(f 1,...,f n )otrzymujemy (URn) x =f(t,x). Definicja.Rozwiązanieukładu(URn)tofunkcjawektorowaϕ:I R n taka,żeϕ (t)=f(t,ϕ(t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla układu(urn) to (WPn) x 1 (t 0 )=x 1,0 x 2 (t 0 )=x 2,0. x n (t 0 )=x n,0 czyli w zapisie wektorowym (WPn) x(t 0 )=x 0, gdziex 0 :=col(x 1,0,...,x n,0 ) Układ(URn) wraz z warunkami początkowymi(wpn) będziemy nazywali zagadnieniem początkowym. Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(urn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i R n układu(urn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0.

2 6 2 Skompilował Janusz Mierczyński 6.2 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i przedłużaniu rozwiązań dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 1,0 ε 1,x 1,0 +ε 1 ] [x n,0 ε n,x n,0 +ε n ],gdzieε 1,...,ε n >0. Definicja.Funkcjawektorowaf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemx(jednostajnie pot),jeżeliistniejel>0takie,że f(t,x 1 ) f(t,x 2 ) L x 1 x 2 dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkichx 1,x 2 P. Fakt6.1.Załóżmy,żepochodnecząstkowe f i / x j istniejąisąciągłena [t 0 δ,t 0 +δ] P.Wówczasfspełniana[t 0 δ,t 0 +δ] Pwarunek Lipschitza względem x, ze stałą L=nsup{ f i x j (t,x) :i,j=1,...,n,t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Twierdzenie 6.2(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzieciągłąfunkcjąwektorowąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemxzestałąLjednostajniepo t.wówczasistniejedokładniejednorozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Dowód twierdzenia Picarda dla układów równań różniczkowych jest niemal wierną kopią dowodu tego twierdzenia dla równań(tw. 3.2; należy tylko w odpowiednich miejscach zastąpić wartości bezwzględne normami). Ciągkolejnychprzybliżeńtociąg(ϕ k ) k=0 ciągłychfunkcjiwektorowychz [t 0 η,t 0 +η]wr n zdefiniowanychrekurencyjnie: ϕ 0 (t)=x 0 ϕ k+1 (t)=x 0 + t t 0 f(s,ϕ k (s))ds t [t 0 η,t 0 +η] t [t 0 η,t 0 +η]

3 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 3 Twierdzenie6.3(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzie ciągłą funkcją wektorową. Wówczas istnieje rozwiązanie ϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnieniapoczątkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Odtąd aż do końca bieżącego podrozdziału zakładamy, że a<b, c i <d i,oraz f:(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n ) R n jestciągłąfunkcjąwektorową. Definicja.Rozwiązanieϕ:(α,β) R n układurównańróżniczkowych x =f(t,x)nazywamynieprzedłużalnymwprawo,gdynieistnieje rozwiązanie ϕ:(α, β) R n układu,takie,że β>βorazϕ ϕna(α,β). Analogicznie,rozwiązanieϕ:(α,β) R n układux =f(t,x)nazywamy nieprzedłużalnymwlewo,gdynieistniejerozwiązanie ϕ:( α,β) R n układu,takie,że α>αorazϕ ϕna(α,β). Rozwiązanie nieprzedłużalne to rozwiązanie równocześnie nieprzedłużalne w prawo i nieprzedłużalne w lewo. Twierdzenie 6.4(Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań). Niech ϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwpraworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)β=b, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot [τ,β). Niechϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwleworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)α=a, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot (α,τ]. Część b) niekiedy formułuje się w następujący sposób:(t, ϕ(t)) dąży, gdy t β,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )(odpowiednio: (t,ϕ(t))dąży,gdyt α +,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )). Dowód twierdzenia o przedłużaniu dla układów jest dość żmudny, choć wykorzystywane są w nim tylko standardowe fakty z rachunku

4 6 4 Skompilował Janusz Mierczyński różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Można go znaleźć np. w książce: A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody metodyczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa, 1999, str , lub: Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, Boston, 1982, str Fakt6.5.Niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ).Wówczasistnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) x(t 0 )=x 0. Fakt 6.6. Załóżmy ponadto, że na każdym prostopadłościanie P (c 1,d 1 ) (c n,d n )funkcjafspełniawaruneklipschitzawzględem xjednostajniepot.niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ). Wówczas istnieje dokładnie jedno nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0. Wykresrozwiązaniaukładux =f(t,x)nazywamykrzywącałkowątego układu. Wykres rozwiązania nieprzedłużalnego będziemy nazywali nieprzedłużalną krzywą całkową. 6.3 Autonomiczne układy równań różniczkowych zwyczajnych Autonomicznym układem n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu nazywamy układ (UAn) x =f(x). Odtąddokońcapodrozdziałuzakładamy,żef:D R n jestciągłafunkcją wektorowąokreślonąnaobszarzed R n. Mamy następujące wnioski z twierdzeń Peano i Picarda: Twierdzenie6.7.Dlakażdegot 0 Rikażdegox 0 Distnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0.

5 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 5 Twierdzenie 6.8. Załóżmy, że f spełnia na każdym prostopadłościanie P DwarunekLipschitzawzględemx.Wówczasdlakażdegot 0 Ri każdegox 0 Distniejedokładniejednonieprzedłużalnerozwiązanie zagadnieniapoczątkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0. Niechϕ:I R n będzierozwiązaniemautonomicznegoukładurównań różniczkowych(uan).obraz{ϕ(t):t I}nazywamykrzywąfazową układu(uan). Rozważmy teraz autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych (UA2) x =f(x,y) y =g(x,y), gdzief,g:d Rsąfunkcjamiciągłymi.Wykonującparę(formalnych) operacji możemy przekształcić układ(ua2) do postaci (6.1) g(x,y)dx f(x,y)dy=0. Załóżmy,żedlakażdego(x,y) Dzachodzi f(x,y) + g(x,y) >0. Wówczas każdy punkt obszaru D jest punktem regularnym dla równania(6.1). Niechγ=(ϕ,ψ):I Dbędzierozwiązaniemukładu(UA2).Wtedy krzywaregularnaγklasyc 1 jestrozwiązaniemrównania(6.1)wpostaci parametrycznej. NiechΦ:D Rbędziecałkąrównania(6.1).Wówczaskażdakrzywa fazowa układu(ua2) jest zawarta w poziomicy całki Φ. Jeśli dla każdej wartości C należącej do obrazu całki Φ równanie Φ(x,y)=C ma dokładnie jedno rozwiązanie y = η(x; C), z pierwszego równania układu otrzymujemy rodzinę równań różniczkowych(sparametryzowanych stałą C) x =f(x,η(x;c)). Niekiedy można otrzymać rozwiązanie ogólne powyższej rodziny równań: x(t)=χ(t;c,d).

6 6 6 Skompilował Janusz Mierczyński Wówczas rozwiązaniem ogólnym wyjściowego układu możemy nazwać wyrażenie x(t)=χ(t;c,d) y(t)=η(χ(t;c,d);c). Przykład. Rozważmy autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych zwyczajnych x =y y = y2 Otrzymujemy zeń równanie różniczkowe w postaci Leibniza x. ydx+xdy=0. Funkcja Φ(x, y) = xy jest całką powyższego równania na zbiorze punktów regularnych R 2 \{0}. Zatem η(x; C) = C/x. Z pierwszego równania układu otrzymujemy x = C x, co można rozwiązać przy pomocy rozdzielenia zmiennych, dostając x=± 2Ct+D, gdziec 0iDjestdowolne,lubC=0iD>0.Ostateczniemamy rozwiązanieogólne x(t)=± 2Ct+D y(t)= ±C 2Ct+D. 6.4 Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu Definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie (RRZn) x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ). Definicja.Rozwiązanierównania(RRZn)tofunkcjaϕ:I Rtaka,że ϕ (n) (t)=f(t,ϕ(t),ϕ (t),...,ϕ (n 1) (t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla równania(rrzn) to (WPn) x(t 0 )=x 0,x (t 0 )=x 1,...,x (n 1) (t 0 )=x n 1.

7 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 7 Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(rrzn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i Rrównania(RRZn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0, ϕ (t 0 )=x 1,...,ϕ (n 1) (t 0 )=x n 1. Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu(rrzn) sprowadza się do układu n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu x 1=x 2 x 2 (6.2) =x 3. x n =f(t,x 1,...,x n ), gdziex 1 :=x,x 2 :=x,...,x n :=x (n 1).Istotnie,jeśliϕ:I Rjest rozwiązaniem równania(rrzn), to funkcja wektorowa (ϕ,ϕ,...,ϕ (n 1) ):I Rjestrozwiązaniemukładu(6.2).Naodwrót,jeśli funkcjawektorowa(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n ):I R n jestrozwiązaniemukładu(6.2), tojejpierwszawspółrzędnaϕ 1 :I Rjestrozwiązaniemrównania(RRZn) Odtąd, przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 0 ε 0,x 0 +ε 0 ] [x 1 ε 1,x 1 +ε 1 ] [x n 1 ε n 1,x n 1 +ε n 1 ],gdzie ε 0,...,ε n 1 >0. Definicja.Funkcjaf=f(t,p 1,...,p n ):[t 0 δ,t 0 +δ] P R,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n ), jeżeliistniejel>0takie,że f(t, p 1,..., p n ) f(t, p 1,..., p n ) L ( p 1,..., p n ) ( p 1,..., p n ) dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkich( p 1,..., p n ),( p 1,..., p n ) P. Twierdzenie 6.9(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P Rbędziefunkcjąciągłąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n )zestałąl. Wówczasistniejejednoznacznerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1 gdzieη (0,δ].

8 6 8 Skompilował Janusz Mierczyński Twierdzenie6.10(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R będziefunkcjąciągłą.wówczasistniejerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1, gdzieη (0,δ]. 6.5 Praktyczne metody rozwiązywania równań drugiego rzędu i układów równań 1) Równanie postaci x =f(t,x ) sprowadzamy do równania rzędu pierwszego przy pomocy podstawienia 2) Rozwiązywanie równania postaci u=x x =f(x,x ) można sprowadzić do rozwiązywania dwóch równań rzędu pierwszego w następujący sposób: traktujemy x jako nową zmienną niezależną, i podstawiamy u(x)=x (x). Mamy x = du dt =du dx dxdt =du dx u. Podstawiamy powyższą równość do wyjściowego równania, otrzymując du dx =f(x,u) u Rozwiązując powyższe równanie pierwszego rzędu, otrzymujemy rozwiązanie ogólne u = g(x; C)(nie zawsze można podać takie rozwiązaniewpostaci gotowego wzoru).leczu=x,zatemmamyteraz rodzinę równań różniczkowych pierwszego rzędu(zależną od parametru C): x =g(x;c),

9 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 9 którą rozwiązujemy(to znów nie zawsze musi się udać). Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe (6.3) x = (x ) 2 x, x>0. Podstawienieu(x)=x (x)dajepoprzekształceniachrównanie Rozdzielając zmienne dostajemy du dx =u x du u =dx x (Na marginesie należy zauważyć, że podczas tych przekształceń podzieliliśmy obie strony równania przez u; trzeba będzie później sprawdzić, czy równość u 0 nie odpowiada czasem jakiemuś rozwiązaniu.) Nakładając na obie strony całkę nieoznaczoną otrzymujemy ln u =lnx+ C, gdzie Cjeststałądowolną.Dalejdostajemy czyli u=cx, x =Cx, gdziec=±e Cjestdowolnąstałąniezerową.Powyższerównanieliniowe można łatwo rozwiązać, otrzymując x=de Ct, gdzie D jest dowolną stałą dodatnią. Przypominamy sobie teraz, że dzieliliśmyobiestronyprzezu.leczu 0oznaczax 0,czylix=const. Łatwo zauważyć, że funkcje stałe(oczywiście przyjmujące wartości dodatnie) są rozwiązaniami równania(6.3). Reasumując, możemy zapisać (6.4) x=de Ct, gdzie C jest stałą dowolną, zaś D jest dowolną stałą dodatnią. Wzór(6.4) nazywa się w klasycznych podręcznikach równań różniczkowych zwyczajnych rozwiązaniem ogólnym równania(6.3). Istotnie, wyczerpuje

10 6 10 Skompilował Janusz Mierczyński on wszystkie możliwe rozwiązania równania(6.3). Aby to udowodnić, weźmydowolnerozwiązanieϕnaszegorównania.ustalmyt 0 zdziedziny funkcjiϕ,ioznaczmyx 0 :=ϕ(t 0 ),x 1 :=ϕ (t 0 ).Funkcjaϕjestrozwiązaniem zagadnienia początkowego x = (x ) 2 x x(t 0 )=x 0 x (t 0 )=x 1. Zdrugiejstrony,łatwosprawdzić,żefunkcjaψ(t)=De Ct,gdzie C= x 1,D=x 0 e t 0 x 1 x 0 x 0 też jest rozwiązaniem(nieprzedłużalnym) tego zagadnienia początkowego. Z twierdzenia Picarda dla równań wyższych rzędów(twierdzenie 6.9) wynika, żeϕjestobcięciemfunkcjiψ. 3) Układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu można spróbować sprowadzić do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu różniczkując jednozrównańwzględemtieliminującjednązezmiennych.jesttotak zwana metoda eliminacji. 6.6 Przykład:równanieróżniczkowex +x 3 =0 Sprowadźmy równanie różniczkowe drugiego rzędu (6.5) x +x 3 =0 do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu (6.6) x =y y = x 3. Dalej, otrzymujemy równanie w postaci Leibniza x 3 dx+ydy=0, któregocałkąjestfunkcjaφ(x,y)= 1 4 x y2. Jak wiadomo z podrozdziału 6.3 każda krzywa całkowa układu(6.6) jest zawarta w poziomicy funkcji Φ.(Formalnie rzecz biorąc, w podrozdziale 6.3 całka jest określona na zbiorze punktów regularnych, podczas gdy w

11 Układy równań. Równania wyższych rzędów naszym przypadku(0, 0) to punkt osobliwy. Rozumowanie tamto zachowuje jednak ważność i tutaj.) Poziomica funkcji Φ odpowiadająca wartości zero to punkt{(0, 0)}. Oczywiście, jedynym rozwiązaniem układu(6.6), którego obraz jest zawarty w{(0,0)},jest(ϕ,ψ) (0,0),coodpowiadarozwiązaniustalerównemu zeru wyjściowego równania(6.5). NiechterazC>0,irozważmypoziomicęH C :={(x,y):φ(x,y)=c}. Poziomica ta jest zbiorem zwartym homeomorficznym z okręgiem. Na powyższym rysunku naszkicowano poziomice całki Φ odpowiadające C = 1/4 (zielona),c=4(czerwona),ic=81/4(niebieska).

12 6 12 Skompilował Janusz Mierczyński Wybierzmyterazchwilępoczątkowąt 0 iwartościpoczątkowe(x 0,y 0 ) położonenatejpoziomicy.niech(ϕ,ψ):(α,β) R 2 będzie nieprzedłużalnym rozwiązaniem układu(6.6) odpowiadającym powyższym warunkom początkowym. Dla każdego t (α, β) punkt(ϕ(t), ψ(t)) należy dozbioruzwartegoh C.Ztwierdzeniaoprzedłużaniurozwiązań(Tw.6.4) wynika,że(α,β)=(, ). Spójrzmy na nasze rozwiązanie jak na parametryczny opis ruchu punktu na płaszczyźnie: czas t to parametr,(ϕ(t), ψ(t)) to położenie punktu w chwili t.torruchuzawartyjestwzbiorzeh C.Dalej,wkażdymmomenciet prędkość(ϕ (t),ψ (t))( 0)jeststycznadoowaluH C.Cowięcej,ruch odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. OwalH C maskończonądługość,zaśszybkość(tzn.długośćwektora prędkości)ruchupunktujestzawszeniezerowa.skoroh C jestzbiorem zwartym, i szybkość zależy w sposób ciągły od położenia, minimalna szybkośćjestdodatnia.zatemistniejetakiet>0,że (ϕ(t 0 +T),ψ(t 0 +T))=(ϕ(t 0 ),ψ(t 0 ))=(x 0,y 0 ).Prostymwnioskiemz jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego jest to, że rozwiązanie jest funkcją okresową, o okresie T. W konsekwencji, każde niezerowe rozwiązanie wyjściowego równania(6.5) jest(nietrywialną) funkcją okresową o okresie T. Interpretacjafizycznarównaniax +x 3 =0toruchcząstkiwpolu potencjalnym.wdefinicjicałkiφ,człon 1 2 y2 toenergiakinetyczna,zaś człon 1 4 x4 toenergiapotencjalna.fakt,żecałkaφzachowujestałąwartość wzdłuż rozwiązań układu, to zasada zachowania energii.

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim WSTĘP DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego... Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Jak Arabowie rozwiązywali równania?

Jak Arabowie rozwiązywali równania? Jak Arabowie rozwiązywali równania? Agnieszka Niemczynowicz Katedra Fizyki Relatywistycznej Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Niezwykła Matematyka 2016 Co to jest równanie? Kilka dygresji z logiki.

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej

Bardziej szczegółowo