6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów."

Transkrypt

1 Układy równań. Równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego nazywamy układ x 1=f 1 (t,x 1,...,x n ) x 2 (URn) =f 2(t,x 1,...,x n ). x n=f n (t,x 1,...,x n ) Układ(URn) będziemy zwykle zapisywać w postaci wektorowej: oznaczając x:=col(x 1,...,x n ),x :=col(x 1,...,x n ),f:=col(f 1,...,f n )otrzymujemy (URn) x =f(t,x). Definicja.Rozwiązanieukładu(URn)tofunkcjawektorowaϕ:I R n taka,żeϕ (t)=f(t,ϕ(t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla układu(urn) to (WPn) x 1 (t 0 )=x 1,0 x 2 (t 0 )=x 2,0. x n (t 0 )=x n,0 czyli w zapisie wektorowym (WPn) x(t 0 )=x 0, gdziex 0 :=col(x 1,0,...,x n,0 ) Układ(URn) wraz z warunkami początkowymi(wpn) będziemy nazywali zagadnieniem początkowym. Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(urn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i R n układu(urn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0.

2 6 2 Skompilował Janusz Mierczyński 6.2 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i przedłużaniu rozwiązań dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 1,0 ε 1,x 1,0 +ε 1 ] [x n,0 ε n,x n,0 +ε n ],gdzieε 1,...,ε n >0. Definicja.Funkcjawektorowaf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemx(jednostajnie pot),jeżeliistniejel>0takie,że f(t,x 1 ) f(t,x 2 ) L x 1 x 2 dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkichx 1,x 2 P. Fakt6.1.Załóżmy,żepochodnecząstkowe f i / x j istniejąisąciągłena [t 0 δ,t 0 +δ] P.Wówczasfspełniana[t 0 δ,t 0 +δ] Pwarunek Lipschitza względem x, ze stałą L=nsup{ f i x j (t,x) :i,j=1,...,n,t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Twierdzenie 6.2(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzieciągłąfunkcjąwektorowąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemxzestałąLjednostajniepo t.wówczasistniejedokładniejednorozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Dowód twierdzenia Picarda dla układów równań różniczkowych jest niemal wierną kopią dowodu tego twierdzenia dla równań(tw. 3.2; należy tylko w odpowiednich miejscach zastąpić wartości bezwzględne normami). Ciągkolejnychprzybliżeńtociąg(ϕ k ) k=0 ciągłychfunkcjiwektorowychz [t 0 η,t 0 +η]wr n zdefiniowanychrekurencyjnie: ϕ 0 (t)=x 0 ϕ k+1 (t)=x 0 + t t 0 f(s,ϕ k (s))ds t [t 0 η,t 0 +η] t [t 0 η,t 0 +η]

3 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 3 Twierdzenie6.3(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzie ciągłą funkcją wektorową. Wówczas istnieje rozwiązanie ϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnieniapoczątkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Odtąd aż do końca bieżącego podrozdziału zakładamy, że a<b, c i <d i,oraz f:(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n ) R n jestciągłąfunkcjąwektorową. Definicja.Rozwiązanieϕ:(α,β) R n układurównańróżniczkowych x =f(t,x)nazywamynieprzedłużalnymwprawo,gdynieistnieje rozwiązanie ϕ:(α, β) R n układu,takie,że β>βorazϕ ϕna(α,β). Analogicznie,rozwiązanieϕ:(α,β) R n układux =f(t,x)nazywamy nieprzedłużalnymwlewo,gdynieistniejerozwiązanie ϕ:( α,β) R n układu,takie,że α>αorazϕ ϕna(α,β). Rozwiązanie nieprzedłużalne to rozwiązanie równocześnie nieprzedłużalne w prawo i nieprzedłużalne w lewo. Twierdzenie 6.4(Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań). Niech ϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwpraworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)β=b, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot [τ,β). Niechϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwleworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)α=a, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot (α,τ]. Część b) niekiedy formułuje się w następujący sposób:(t, ϕ(t)) dąży, gdy t β,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )(odpowiednio: (t,ϕ(t))dąży,gdyt α +,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )). Dowód twierdzenia o przedłużaniu dla układów jest dość żmudny, choć wykorzystywane są w nim tylko standardowe fakty z rachunku

4 6 4 Skompilował Janusz Mierczyński różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Można go znaleźć np. w książce: A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody metodyczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa, 1999, str , lub: Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, Boston, 1982, str Fakt6.5.Niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ).Wówczasistnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) x(t 0 )=x 0. Fakt 6.6. Załóżmy ponadto, że na każdym prostopadłościanie P (c 1,d 1 ) (c n,d n )funkcjafspełniawaruneklipschitzawzględem xjednostajniepot.niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ). Wówczas istnieje dokładnie jedno nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0. Wykresrozwiązaniaukładux =f(t,x)nazywamykrzywącałkowątego układu. Wykres rozwiązania nieprzedłużalnego będziemy nazywali nieprzedłużalną krzywą całkową. 6.3 Autonomiczne układy równań różniczkowych zwyczajnych Autonomicznym układem n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu nazywamy układ (UAn) x =f(x). Odtąddokońcapodrozdziałuzakładamy,żef:D R n jestciągłafunkcją wektorowąokreślonąnaobszarzed R n. Mamy następujące wnioski z twierdzeń Peano i Picarda: Twierdzenie6.7.Dlakażdegot 0 Rikażdegox 0 Distnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0.

5 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 5 Twierdzenie 6.8. Załóżmy, że f spełnia na każdym prostopadłościanie P DwarunekLipschitzawzględemx.Wówczasdlakażdegot 0 Ri każdegox 0 Distniejedokładniejednonieprzedłużalnerozwiązanie zagadnieniapoczątkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0. Niechϕ:I R n będzierozwiązaniemautonomicznegoukładurównań różniczkowych(uan).obraz{ϕ(t):t I}nazywamykrzywąfazową układu(uan). Rozważmy teraz autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych (UA2) x =f(x,y) y =g(x,y), gdzief,g:d Rsąfunkcjamiciągłymi.Wykonującparę(formalnych) operacji możemy przekształcić układ(ua2) do postaci (6.1) g(x,y)dx f(x,y)dy=0. Załóżmy,żedlakażdego(x,y) Dzachodzi f(x,y) + g(x,y) >0. Wówczas każdy punkt obszaru D jest punktem regularnym dla równania(6.1). Niechγ=(ϕ,ψ):I Dbędzierozwiązaniemukładu(UA2).Wtedy krzywaregularnaγklasyc 1 jestrozwiązaniemrównania(6.1)wpostaci parametrycznej. NiechΦ:D Rbędziecałkąrównania(6.1).Wówczaskażdakrzywa fazowa układu(ua2) jest zawarta w poziomicy całki Φ. Jeśli dla każdej wartości C należącej do obrazu całki Φ równanie Φ(x,y)=C ma dokładnie jedno rozwiązanie y = η(x; C), z pierwszego równania układu otrzymujemy rodzinę równań różniczkowych(sparametryzowanych stałą C) x =f(x,η(x;c)). Niekiedy można otrzymać rozwiązanie ogólne powyższej rodziny równań: x(t)=χ(t;c,d).

6 6 6 Skompilował Janusz Mierczyński Wówczas rozwiązaniem ogólnym wyjściowego układu możemy nazwać wyrażenie x(t)=χ(t;c,d) y(t)=η(χ(t;c,d);c). Przykład. Rozważmy autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych zwyczajnych x =y y = y2 Otrzymujemy zeń równanie różniczkowe w postaci Leibniza x. ydx+xdy=0. Funkcja Φ(x, y) = xy jest całką powyższego równania na zbiorze punktów regularnych R 2 \{0}. Zatem η(x; C) = C/x. Z pierwszego równania układu otrzymujemy x = C x, co można rozwiązać przy pomocy rozdzielenia zmiennych, dostając x=± 2Ct+D, gdziec 0iDjestdowolne,lubC=0iD>0.Ostateczniemamy rozwiązanieogólne x(t)=± 2Ct+D y(t)= ±C 2Ct+D. 6.4 Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu Definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie (RRZn) x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ). Definicja.Rozwiązanierównania(RRZn)tofunkcjaϕ:I Rtaka,że ϕ (n) (t)=f(t,ϕ(t),ϕ (t),...,ϕ (n 1) (t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla równania(rrzn) to (WPn) x(t 0 )=x 0,x (t 0 )=x 1,...,x (n 1) (t 0 )=x n 1.

7 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 7 Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(rrzn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i Rrównania(RRZn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0, ϕ (t 0 )=x 1,...,ϕ (n 1) (t 0 )=x n 1. Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu(rrzn) sprowadza się do układu n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu x 1=x 2 x 2 (6.2) =x 3. x n =f(t,x 1,...,x n ), gdziex 1 :=x,x 2 :=x,...,x n :=x (n 1).Istotnie,jeśliϕ:I Rjest rozwiązaniem równania(rrzn), to funkcja wektorowa (ϕ,ϕ,...,ϕ (n 1) ):I Rjestrozwiązaniemukładu(6.2).Naodwrót,jeśli funkcjawektorowa(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n ):I R n jestrozwiązaniemukładu(6.2), tojejpierwszawspółrzędnaϕ 1 :I Rjestrozwiązaniemrównania(RRZn) Odtąd, przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 0 ε 0,x 0 +ε 0 ] [x 1 ε 1,x 1 +ε 1 ] [x n 1 ε n 1,x n 1 +ε n 1 ],gdzie ε 0,...,ε n 1 >0. Definicja.Funkcjaf=f(t,p 1,...,p n ):[t 0 δ,t 0 +δ] P R,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n ), jeżeliistniejel>0takie,że f(t, p 1,..., p n ) f(t, p 1,..., p n ) L ( p 1,..., p n ) ( p 1,..., p n ) dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkich( p 1,..., p n ),( p 1,..., p n ) P. Twierdzenie 6.9(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P Rbędziefunkcjąciągłąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n )zestałąl. Wówczasistniejejednoznacznerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1 gdzieη (0,δ].

8 6 8 Skompilował Janusz Mierczyński Twierdzenie6.10(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R będziefunkcjąciągłą.wówczasistniejerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1, gdzieη (0,δ]. 6.5 Praktyczne metody rozwiązywania równań drugiego rzędu i układów równań 1) Równanie postaci x =f(t,x ) sprowadzamy do równania rzędu pierwszego przy pomocy podstawienia 2) Rozwiązywanie równania postaci u=x x =f(x,x ) można sprowadzić do rozwiązywania dwóch równań rzędu pierwszego w następujący sposób: traktujemy x jako nową zmienną niezależną, i podstawiamy u(x)=x (x). Mamy x = du dt =du dx dxdt =du dx u. Podstawiamy powyższą równość do wyjściowego równania, otrzymując du dx =f(x,u) u Rozwiązując powyższe równanie pierwszego rzędu, otrzymujemy rozwiązanie ogólne u = g(x; C)(nie zawsze można podać takie rozwiązaniewpostaci gotowego wzoru).leczu=x,zatemmamyteraz rodzinę równań różniczkowych pierwszego rzędu(zależną od parametru C): x =g(x;c),

9 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 9 którą rozwiązujemy(to znów nie zawsze musi się udać). Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe (6.3) x = (x ) 2 x, x>0. Podstawienieu(x)=x (x)dajepoprzekształceniachrównanie Rozdzielając zmienne dostajemy du dx =u x du u =dx x (Na marginesie należy zauważyć, że podczas tych przekształceń podzieliliśmy obie strony równania przez u; trzeba będzie później sprawdzić, czy równość u 0 nie odpowiada czasem jakiemuś rozwiązaniu.) Nakładając na obie strony całkę nieoznaczoną otrzymujemy ln u =lnx+ C, gdzie Cjeststałądowolną.Dalejdostajemy czyli u=cx, x =Cx, gdziec=±e Cjestdowolnąstałąniezerową.Powyższerównanieliniowe można łatwo rozwiązać, otrzymując x=de Ct, gdzie D jest dowolną stałą dodatnią. Przypominamy sobie teraz, że dzieliliśmyobiestronyprzezu.leczu 0oznaczax 0,czylix=const. Łatwo zauważyć, że funkcje stałe(oczywiście przyjmujące wartości dodatnie) są rozwiązaniami równania(6.3). Reasumując, możemy zapisać (6.4) x=de Ct, gdzie C jest stałą dowolną, zaś D jest dowolną stałą dodatnią. Wzór(6.4) nazywa się w klasycznych podręcznikach równań różniczkowych zwyczajnych rozwiązaniem ogólnym równania(6.3). Istotnie, wyczerpuje

10 6 10 Skompilował Janusz Mierczyński on wszystkie możliwe rozwiązania równania(6.3). Aby to udowodnić, weźmydowolnerozwiązanieϕnaszegorównania.ustalmyt 0 zdziedziny funkcjiϕ,ioznaczmyx 0 :=ϕ(t 0 ),x 1 :=ϕ (t 0 ).Funkcjaϕjestrozwiązaniem zagadnienia początkowego x = (x ) 2 x x(t 0 )=x 0 x (t 0 )=x 1. Zdrugiejstrony,łatwosprawdzić,żefunkcjaψ(t)=De Ct,gdzie C= x 1,D=x 0 e t 0 x 1 x 0 x 0 też jest rozwiązaniem(nieprzedłużalnym) tego zagadnienia początkowego. Z twierdzenia Picarda dla równań wyższych rzędów(twierdzenie 6.9) wynika, żeϕjestobcięciemfunkcjiψ. 3) Układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu można spróbować sprowadzić do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu różniczkując jednozrównańwzględemtieliminującjednązezmiennych.jesttotak zwana metoda eliminacji. 6.6 Przykład:równanieróżniczkowex +x 3 =0 Sprowadźmy równanie różniczkowe drugiego rzędu (6.5) x +x 3 =0 do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu (6.6) x =y y = x 3. Dalej, otrzymujemy równanie w postaci Leibniza x 3 dx+ydy=0, któregocałkąjestfunkcjaφ(x,y)= 1 4 x y2. Jak wiadomo z podrozdziału 6.3 każda krzywa całkowa układu(6.6) jest zawarta w poziomicy funkcji Φ.(Formalnie rzecz biorąc, w podrozdziale 6.3 całka jest określona na zbiorze punktów regularnych, podczas gdy w

11 Układy równań. Równania wyższych rzędów naszym przypadku(0, 0) to punkt osobliwy. Rozumowanie tamto zachowuje jednak ważność i tutaj.) Poziomica funkcji Φ odpowiadająca wartości zero to punkt{(0, 0)}. Oczywiście, jedynym rozwiązaniem układu(6.6), którego obraz jest zawarty w{(0,0)},jest(ϕ,ψ) (0,0),coodpowiadarozwiązaniustalerównemu zeru wyjściowego równania(6.5). NiechterazC>0,irozważmypoziomicęH C :={(x,y):φ(x,y)=c}. Poziomica ta jest zbiorem zwartym homeomorficznym z okręgiem. Na powyższym rysunku naszkicowano poziomice całki Φ odpowiadające C = 1/4 (zielona),c=4(czerwona),ic=81/4(niebieska).

12 6 12 Skompilował Janusz Mierczyński Wybierzmyterazchwilępoczątkowąt 0 iwartościpoczątkowe(x 0,y 0 ) położonenatejpoziomicy.niech(ϕ,ψ):(α,β) R 2 będzie nieprzedłużalnym rozwiązaniem układu(6.6) odpowiadającym powyższym warunkom początkowym. Dla każdego t (α, β) punkt(ϕ(t), ψ(t)) należy dozbioruzwartegoh C.Ztwierdzeniaoprzedłużaniurozwiązań(Tw.6.4) wynika,że(α,β)=(, ). Spójrzmy na nasze rozwiązanie jak na parametryczny opis ruchu punktu na płaszczyźnie: czas t to parametr,(ϕ(t), ψ(t)) to położenie punktu w chwili t.torruchuzawartyjestwzbiorzeh C.Dalej,wkażdymmomenciet prędkość(ϕ (t),ψ (t))( 0)jeststycznadoowaluH C.Cowięcej,ruch odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. OwalH C maskończonądługość,zaśszybkość(tzn.długośćwektora prędkości)ruchupunktujestzawszeniezerowa.skoroh C jestzbiorem zwartym, i szybkość zależy w sposób ciągły od położenia, minimalna szybkośćjestdodatnia.zatemistniejetakiet>0,że (ϕ(t 0 +T),ψ(t 0 +T))=(ϕ(t 0 ),ψ(t 0 ))=(x 0,y 0 ).Prostymwnioskiemz jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego jest to, że rozwiązanie jest funkcją okresową, o okresie T. W konsekwencji, każde niezerowe rozwiązanie wyjściowego równania(6.5) jest(nietrywialną) funkcją okresową o okresie T. Interpretacjafizycznarównaniax +x 3 =0toruchcząstkiwpolu potencjalnym.wdefinicjicałkiφ,człon 1 2 y2 toenergiakinetyczna,zaś człon 1 4 x4 toenergiapotencjalna.fakt,żecałkaφzachowujestałąwartość wzdłuż rozwiązań układu, to zasada zachowania energii.

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim WSTĘP DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Przykłady i zadania. Andrzej Palczewski

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Przykłady i zadania. Andrzej Palczewski RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Przykłady i zadania Andrzej Palczewski Spis treści Przedmowa 5 1 Podstawowe pojęcia 7 2 Równania skalarne 13 2.1 Równania o zmiennych rozdzielonych................... 13

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia

Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW EKONOMICZNYCH

ZADANIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW EKONOMICZNYCH P I O T R DUDZIŃSKI ZADANIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW EKONOMICZNYCH GDYNIA 2003 Piotr Dudziński, Zadania z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych, Gdynia 2003, s. 84, bibliografia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi . Cele ćwiczenia Laboratorium nr Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi zapoznanie się z metodami symbolicznego i numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych w Matlabie,

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo