6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów."

Transkrypt

1 Układy równań. Równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego nazywamy układ x 1=f 1 (t,x 1,...,x n ) x 2 (URn) =f 2(t,x 1,...,x n ). x n=f n (t,x 1,...,x n ) Układ(URn) będziemy zwykle zapisywać w postaci wektorowej: oznaczając x:=col(x 1,...,x n ),x :=col(x 1,...,x n ),f:=col(f 1,...,f n )otrzymujemy (URn) x =f(t,x). Definicja.Rozwiązanieukładu(URn)tofunkcjawektorowaϕ:I R n taka,żeϕ (t)=f(t,ϕ(t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla układu(urn) to (WPn) x 1 (t 0 )=x 1,0 x 2 (t 0 )=x 2,0. x n (t 0 )=x n,0 czyli w zapisie wektorowym (WPn) x(t 0 )=x 0, gdziex 0 :=col(x 1,0,...,x n,0 ) Układ(URn) wraz z warunkami początkowymi(wpn) będziemy nazywali zagadnieniem początkowym. Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(urn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i R n układu(urn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0.

2 6 2 Skompilował Janusz Mierczyński 6.2 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i przedłużaniu rozwiązań dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 1,0 ε 1,x 1,0 +ε 1 ] [x n,0 ε n,x n,0 +ε n ],gdzieε 1,...,ε n >0. Definicja.Funkcjawektorowaf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemx(jednostajnie pot),jeżeliistniejel>0takie,że f(t,x 1 ) f(t,x 2 ) L x 1 x 2 dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkichx 1,x 2 P. Fakt6.1.Załóżmy,żepochodnecząstkowe f i / x j istniejąisąciągłena [t 0 δ,t 0 +δ] P.Wówczasfspełniana[t 0 δ,t 0 +δ] Pwarunek Lipschitza względem x, ze stałą L=nsup{ f i x j (t,x) :i,j=1,...,n,t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Twierdzenie 6.2(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzieciągłąfunkcjąwektorowąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemxzestałąLjednostajniepo t.wówczasistniejedokładniejednorozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Dowód twierdzenia Picarda dla układów równań różniczkowych jest niemal wierną kopią dowodu tego twierdzenia dla równań(tw. 3.2; należy tylko w odpowiednich miejscach zastąpić wartości bezwzględne normami). Ciągkolejnychprzybliżeńtociąg(ϕ k ) k=0 ciągłychfunkcjiwektorowychz [t 0 η,t 0 +η]wr n zdefiniowanychrekurencyjnie: ϕ 0 (t)=x 0 ϕ k+1 (t)=x 0 + t t 0 f(s,ϕ k (s))ds t [t 0 η,t 0 +η] t [t 0 η,t 0 +η]

3 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 3 Twierdzenie6.3(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzie ciągłą funkcją wektorową. Wówczas istnieje rozwiązanie ϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnieniapoczątkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Odtąd aż do końca bieżącego podrozdziału zakładamy, że a<b, c i <d i,oraz f:(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n ) R n jestciągłąfunkcjąwektorową. Definicja.Rozwiązanieϕ:(α,β) R n układurównańróżniczkowych x =f(t,x)nazywamynieprzedłużalnymwprawo,gdynieistnieje rozwiązanie ϕ:(α, β) R n układu,takie,że β>βorazϕ ϕna(α,β). Analogicznie,rozwiązanieϕ:(α,β) R n układux =f(t,x)nazywamy nieprzedłużalnymwlewo,gdynieistniejerozwiązanie ϕ:( α,β) R n układu,takie,że α>αorazϕ ϕna(α,β). Rozwiązanie nieprzedłużalne to rozwiązanie równocześnie nieprzedłużalne w prawo i nieprzedłużalne w lewo. Twierdzenie 6.4(Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań). Niech ϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwpraworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)β=b, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot [τ,β). Niechϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwleworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)α=a, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot (α,τ]. Część b) niekiedy formułuje się w następujący sposób:(t, ϕ(t)) dąży, gdy t β,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )(odpowiednio: (t,ϕ(t))dąży,gdyt α +,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )). Dowód twierdzenia o przedłużaniu dla układów jest dość żmudny, choć wykorzystywane są w nim tylko standardowe fakty z rachunku

4 6 4 Skompilował Janusz Mierczyński różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Można go znaleźć np. w książce: A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody metodyczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa, 1999, str , lub: Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, Boston, 1982, str Fakt6.5.Niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ).Wówczasistnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) x(t 0 )=x 0. Fakt 6.6. Załóżmy ponadto, że na każdym prostopadłościanie P (c 1,d 1 ) (c n,d n )funkcjafspełniawaruneklipschitzawzględem xjednostajniepot.niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ). Wówczas istnieje dokładnie jedno nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0. Wykresrozwiązaniaukładux =f(t,x)nazywamykrzywącałkowątego układu. Wykres rozwiązania nieprzedłużalnego będziemy nazywali nieprzedłużalną krzywą całkową. 6.3 Autonomiczne układy równań różniczkowych zwyczajnych Autonomicznym układem n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu nazywamy układ (UAn) x =f(x). Odtąddokońcapodrozdziałuzakładamy,żef:D R n jestciągłafunkcją wektorowąokreślonąnaobszarzed R n. Mamy następujące wnioski z twierdzeń Peano i Picarda: Twierdzenie6.7.Dlakażdegot 0 Rikażdegox 0 Distnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0.

5 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 5 Twierdzenie 6.8. Załóżmy, że f spełnia na każdym prostopadłościanie P DwarunekLipschitzawzględemx.Wówczasdlakażdegot 0 Ri każdegox 0 Distniejedokładniejednonieprzedłużalnerozwiązanie zagadnieniapoczątkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0. Niechϕ:I R n będzierozwiązaniemautonomicznegoukładurównań różniczkowych(uan).obraz{ϕ(t):t I}nazywamykrzywąfazową układu(uan). Rozważmy teraz autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych (UA2) x =f(x,y) y =g(x,y), gdzief,g:d Rsąfunkcjamiciągłymi.Wykonującparę(formalnych) operacji możemy przekształcić układ(ua2) do postaci (6.1) g(x,y)dx f(x,y)dy=0. Załóżmy,żedlakażdego(x,y) Dzachodzi f(x,y) + g(x,y) >0. Wówczas każdy punkt obszaru D jest punktem regularnym dla równania(6.1). Niechγ=(ϕ,ψ):I Dbędzierozwiązaniemukładu(UA2).Wtedy krzywaregularnaγklasyc 1 jestrozwiązaniemrównania(6.1)wpostaci parametrycznej. NiechΦ:D Rbędziecałkąrównania(6.1).Wówczaskażdakrzywa fazowa układu(ua2) jest zawarta w poziomicy całki Φ. Jeśli dla każdej wartości C należącej do obrazu całki Φ równanie Φ(x,y)=C ma dokładnie jedno rozwiązanie y = η(x; C), z pierwszego równania układu otrzymujemy rodzinę równań różniczkowych(sparametryzowanych stałą C) x =f(x,η(x;c)). Niekiedy można otrzymać rozwiązanie ogólne powyższej rodziny równań: x(t)=χ(t;c,d).

6 6 6 Skompilował Janusz Mierczyński Wówczas rozwiązaniem ogólnym wyjściowego układu możemy nazwać wyrażenie x(t)=χ(t;c,d) y(t)=η(χ(t;c,d);c). Przykład. Rozważmy autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych zwyczajnych x =y y = y2 Otrzymujemy zeń równanie różniczkowe w postaci Leibniza x. ydx+xdy=0. Funkcja Φ(x, y) = xy jest całką powyższego równania na zbiorze punktów regularnych R 2 \{0}. Zatem η(x; C) = C/x. Z pierwszego równania układu otrzymujemy x = C x, co można rozwiązać przy pomocy rozdzielenia zmiennych, dostając x=± 2Ct+D, gdziec 0iDjestdowolne,lubC=0iD>0.Ostateczniemamy rozwiązanieogólne x(t)=± 2Ct+D y(t)= ±C 2Ct+D. 6.4 Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu Definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie (RRZn) x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ). Definicja.Rozwiązanierównania(RRZn)tofunkcjaϕ:I Rtaka,że ϕ (n) (t)=f(t,ϕ(t),ϕ (t),...,ϕ (n 1) (t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla równania(rrzn) to (WPn) x(t 0 )=x 0,x (t 0 )=x 1,...,x (n 1) (t 0 )=x n 1.

7 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 7 Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(rrzn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i Rrównania(RRZn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0, ϕ (t 0 )=x 1,...,ϕ (n 1) (t 0 )=x n 1. Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu(rrzn) sprowadza się do układu n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu x 1=x 2 x 2 (6.2) =x 3. x n =f(t,x 1,...,x n ), gdziex 1 :=x,x 2 :=x,...,x n :=x (n 1).Istotnie,jeśliϕ:I Rjest rozwiązaniem równania(rrzn), to funkcja wektorowa (ϕ,ϕ,...,ϕ (n 1) ):I Rjestrozwiązaniemukładu(6.2).Naodwrót,jeśli funkcjawektorowa(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n ):I R n jestrozwiązaniemukładu(6.2), tojejpierwszawspółrzędnaϕ 1 :I Rjestrozwiązaniemrównania(RRZn) Odtąd, przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 0 ε 0,x 0 +ε 0 ] [x 1 ε 1,x 1 +ε 1 ] [x n 1 ε n 1,x n 1 +ε n 1 ],gdzie ε 0,...,ε n 1 >0. Definicja.Funkcjaf=f(t,p 1,...,p n ):[t 0 δ,t 0 +δ] P R,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n ), jeżeliistniejel>0takie,że f(t, p 1,..., p n ) f(t, p 1,..., p n ) L ( p 1,..., p n ) ( p 1,..., p n ) dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkich( p 1,..., p n ),( p 1,..., p n ) P. Twierdzenie 6.9(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P Rbędziefunkcjąciągłąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n )zestałąl. Wówczasistniejejednoznacznerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1 gdzieη (0,δ].

8 6 8 Skompilował Janusz Mierczyński Twierdzenie6.10(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R będziefunkcjąciągłą.wówczasistniejerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1, gdzieη (0,δ]. 6.5 Praktyczne metody rozwiązywania równań drugiego rzędu i układów równań 1) Równanie postaci x =f(t,x ) sprowadzamy do równania rzędu pierwszego przy pomocy podstawienia 2) Rozwiązywanie równania postaci u=x x =f(x,x ) można sprowadzić do rozwiązywania dwóch równań rzędu pierwszego w następujący sposób: traktujemy x jako nową zmienną niezależną, i podstawiamy u(x)=x (x). Mamy x = du dt =du dx dxdt =du dx u. Podstawiamy powyższą równość do wyjściowego równania, otrzymując du dx =f(x,u) u Rozwiązując powyższe równanie pierwszego rzędu, otrzymujemy rozwiązanie ogólne u = g(x; C)(nie zawsze można podać takie rozwiązaniewpostaci gotowego wzoru).leczu=x,zatemmamyteraz rodzinę równań różniczkowych pierwszego rzędu(zależną od parametru C): x =g(x;c),

9 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 9 którą rozwiązujemy(to znów nie zawsze musi się udać). Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe (6.3) x = (x ) 2 x, x>0. Podstawienieu(x)=x (x)dajepoprzekształceniachrównanie Rozdzielając zmienne dostajemy du dx =u x du u =dx x (Na marginesie należy zauważyć, że podczas tych przekształceń podzieliliśmy obie strony równania przez u; trzeba będzie później sprawdzić, czy równość u 0 nie odpowiada czasem jakiemuś rozwiązaniu.) Nakładając na obie strony całkę nieoznaczoną otrzymujemy ln u =lnx+ C, gdzie Cjeststałądowolną.Dalejdostajemy czyli u=cx, x =Cx, gdziec=±e Cjestdowolnąstałąniezerową.Powyższerównanieliniowe można łatwo rozwiązać, otrzymując x=de Ct, gdzie D jest dowolną stałą dodatnią. Przypominamy sobie teraz, że dzieliliśmyobiestronyprzezu.leczu 0oznaczax 0,czylix=const. Łatwo zauważyć, że funkcje stałe(oczywiście przyjmujące wartości dodatnie) są rozwiązaniami równania(6.3). Reasumując, możemy zapisać (6.4) x=de Ct, gdzie C jest stałą dowolną, zaś D jest dowolną stałą dodatnią. Wzór(6.4) nazywa się w klasycznych podręcznikach równań różniczkowych zwyczajnych rozwiązaniem ogólnym równania(6.3). Istotnie, wyczerpuje

10 6 10 Skompilował Janusz Mierczyński on wszystkie możliwe rozwiązania równania(6.3). Aby to udowodnić, weźmydowolnerozwiązanieϕnaszegorównania.ustalmyt 0 zdziedziny funkcjiϕ,ioznaczmyx 0 :=ϕ(t 0 ),x 1 :=ϕ (t 0 ).Funkcjaϕjestrozwiązaniem zagadnienia początkowego x = (x ) 2 x x(t 0 )=x 0 x (t 0 )=x 1. Zdrugiejstrony,łatwosprawdzić,żefunkcjaψ(t)=De Ct,gdzie C= x 1,D=x 0 e t 0 x 1 x 0 x 0 też jest rozwiązaniem(nieprzedłużalnym) tego zagadnienia początkowego. Z twierdzenia Picarda dla równań wyższych rzędów(twierdzenie 6.9) wynika, żeϕjestobcięciemfunkcjiψ. 3) Układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu można spróbować sprowadzić do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu różniczkując jednozrównańwzględemtieliminującjednązezmiennych.jesttotak zwana metoda eliminacji. 6.6 Przykład:równanieróżniczkowex +x 3 =0 Sprowadźmy równanie różniczkowe drugiego rzędu (6.5) x +x 3 =0 do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu (6.6) x =y y = x 3. Dalej, otrzymujemy równanie w postaci Leibniza x 3 dx+ydy=0, któregocałkąjestfunkcjaφ(x,y)= 1 4 x y2. Jak wiadomo z podrozdziału 6.3 każda krzywa całkowa układu(6.6) jest zawarta w poziomicy funkcji Φ.(Formalnie rzecz biorąc, w podrozdziale 6.3 całka jest określona na zbiorze punktów regularnych, podczas gdy w

11 Układy równań. Równania wyższych rzędów naszym przypadku(0, 0) to punkt osobliwy. Rozumowanie tamto zachowuje jednak ważność i tutaj.) Poziomica funkcji Φ odpowiadająca wartości zero to punkt{(0, 0)}. Oczywiście, jedynym rozwiązaniem układu(6.6), którego obraz jest zawarty w{(0,0)},jest(ϕ,ψ) (0,0),coodpowiadarozwiązaniustalerównemu zeru wyjściowego równania(6.5). NiechterazC>0,irozważmypoziomicęH C :={(x,y):φ(x,y)=c}. Poziomica ta jest zbiorem zwartym homeomorficznym z okręgiem. Na powyższym rysunku naszkicowano poziomice całki Φ odpowiadające C = 1/4 (zielona),c=4(czerwona),ic=81/4(niebieska).

12 6 12 Skompilował Janusz Mierczyński Wybierzmyterazchwilępoczątkowąt 0 iwartościpoczątkowe(x 0,y 0 ) położonenatejpoziomicy.niech(ϕ,ψ):(α,β) R 2 będzie nieprzedłużalnym rozwiązaniem układu(6.6) odpowiadającym powyższym warunkom początkowym. Dla każdego t (α, β) punkt(ϕ(t), ψ(t)) należy dozbioruzwartegoh C.Ztwierdzeniaoprzedłużaniurozwiązań(Tw.6.4) wynika,że(α,β)=(, ). Spójrzmy na nasze rozwiązanie jak na parametryczny opis ruchu punktu na płaszczyźnie: czas t to parametr,(ϕ(t), ψ(t)) to położenie punktu w chwili t.torruchuzawartyjestwzbiorzeh C.Dalej,wkażdymmomenciet prędkość(ϕ (t),ψ (t))( 0)jeststycznadoowaluH C.Cowięcej,ruch odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. OwalH C maskończonądługość,zaśszybkość(tzn.długośćwektora prędkości)ruchupunktujestzawszeniezerowa.skoroh C jestzbiorem zwartym, i szybkość zależy w sposób ciągły od położenia, minimalna szybkośćjestdodatnia.zatemistniejetakiet>0,że (ϕ(t 0 +T),ψ(t 0 +T))=(ϕ(t 0 ),ψ(t 0 ))=(x 0,y 0 ).Prostymwnioskiemz jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego jest to, że rozwiązanie jest funkcją okresową, o okresie T. W konsekwencji, każde niezerowe rozwiązanie wyjściowego równania(6.5) jest(nietrywialną) funkcją okresową o okresie T. Interpretacjafizycznarównaniax +x 3 =0toruchcząstkiwpolu potencjalnym.wdefinicjicałkiφ,człon 1 2 y2 toenergiakinetyczna,zaś człon 1 4 x4 toenergiapotencjalna.fakt,żecałkaφzachowujestałąwartość wzdłuż rozwiązań układu, to zasada zachowania energii.

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim WSTĘP DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego... Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

1 Kinetyka reakcji chemicznych

1 Kinetyka reakcji chemicznych Podstawy obliczeń chemicznych 1 1 Kinetyka reakcji chemicznych Szybkość reakcji chemicznej definiuje się jako ubytek stężenia substratu lub wzrost stężenia produktu w jednostce czasu. ν = c [ ] 2 c 1 mol

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczeni a 15 30

Wykład Ćwiczeni a 15 30 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA AiR Nazwa w języku angielskim Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe

Bardziej szczegółowo