6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów."

Transkrypt

1 Układy równań. Równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego nazywamy układ x 1=f 1 (t,x 1,...,x n ) x 2 (URn) =f 2(t,x 1,...,x n ). x n=f n (t,x 1,...,x n ) Układ(URn) będziemy zwykle zapisywać w postaci wektorowej: oznaczając x:=col(x 1,...,x n ),x :=col(x 1,...,x n ),f:=col(f 1,...,f n )otrzymujemy (URn) x =f(t,x). Definicja.Rozwiązanieukładu(URn)tofunkcjawektorowaϕ:I R n taka,żeϕ (t)=f(t,ϕ(t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla układu(urn) to (WPn) x 1 (t 0 )=x 1,0 x 2 (t 0 )=x 2,0. x n (t 0 )=x n,0 czyli w zapisie wektorowym (WPn) x(t 0 )=x 0, gdziex 0 :=col(x 1,0,...,x n,0 ) Układ(URn) wraz z warunkami początkowymi(wpn) będziemy nazywali zagadnieniem początkowym. Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(urn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i R n układu(urn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0.

2 6 2 Skompilował Janusz Mierczyński 6.2 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i przedłużaniu rozwiązań dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 1,0 ε 1,x 1,0 +ε 1 ] [x n,0 ε n,x n,0 +ε n ],gdzieε 1,...,ε n >0. Definicja.Funkcjawektorowaf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemx(jednostajnie pot),jeżeliistniejel>0takie,że f(t,x 1 ) f(t,x 2 ) L x 1 x 2 dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkichx 1,x 2 P. Fakt6.1.Załóżmy,żepochodnecząstkowe f i / x j istniejąisąciągłena [t 0 δ,t 0 +δ] P.Wówczasfspełniana[t 0 δ,t 0 +δ] Pwarunek Lipschitza względem x, ze stałą L=nsup{ f i x j (t,x) :i,j=1,...,n,t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Twierdzenie 6.2(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzieciągłąfunkcjąwektorowąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględemxzestałąLjednostajniepo t.wówczasistniejedokładniejednorozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Dowód twierdzenia Picarda dla układów równań różniczkowych jest niemal wierną kopią dowodu tego twierdzenia dla równań(tw. 3.2; należy tylko w odpowiednich miejscach zastąpić wartości bezwzględne normami). Ciągkolejnychprzybliżeńtociąg(ϕ k ) k=0 ciągłychfunkcjiwektorowychz [t 0 η,t 0 +η]wr n zdefiniowanychrekurencyjnie: ϕ 0 (t)=x 0 ϕ k+1 (t)=x 0 + t t 0 f(s,ϕ k (s))ds t [t 0 η,t 0 +η] t [t 0 η,t 0 +η]

3 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 3 Twierdzenie6.3(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R n będzie ciągłą funkcją wektorową. Wówczas istnieje rozwiązanie ϕ:[t 0 η,t 0 +η] R n zagadnieniapoczątkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0, gdzieη=min{δ, ε 1 M 1,..., εn M n }, M i =sup{ f i (t,x) :t [t 0 δ,t 0 +δ],x P}. Odtąd aż do końca bieżącego podrozdziału zakładamy, że a<b, c i <d i,oraz f:(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n ) R n jestciągłąfunkcjąwektorową. Definicja.Rozwiązanieϕ:(α,β) R n układurównańróżniczkowych x =f(t,x)nazywamynieprzedłużalnymwprawo,gdynieistnieje rozwiązanie ϕ:(α, β) R n układu,takie,że β>βorazϕ ϕna(α,β). Analogicznie,rozwiązanieϕ:(α,β) R n układux =f(t,x)nazywamy nieprzedłużalnymwlewo,gdynieistniejerozwiązanie ϕ:( α,β) R n układu,takie,że α>αorazϕ ϕna(α,β). Rozwiązanie nieprzedłużalne to rozwiązanie równocześnie nieprzedłużalne w prawo i nieprzedłużalne w lewo. Twierdzenie 6.4(Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań). Niech ϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwpraworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)β=b, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot [τ,β). Niechϕ:(α,β) R n będzienieprzedłużalnymwleworozwiązaniemukładu równańróżniczkowychx =f(t,x).wówczas a)α=a, lub b)dlakażdegozbioruzwartegokzawartegow(c 1,d 1 ) (c n,d n ) istniejeτ (α,β)takie,żeϕ(t)/ Kdlakażdegot (α,τ]. Część b) niekiedy formułuje się w następujący sposób:(t, ϕ(t)) dąży, gdy t β,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )(odpowiednio: (t,ϕ(t))dąży,gdyt α +,dobrzeguzbioru(a,b) (c 1,d 1 ) (c n,d n )). Dowód twierdzenia o przedłużaniu dla układów jest dość żmudny, choć wykorzystywane są w nim tylko standardowe fakty z rachunku

4 6 4 Skompilował Janusz Mierczyński różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Można go znaleźć np. w książce: A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody metodyczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa, 1999, str , lub: Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, Boston, 1982, str Fakt6.5.Niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ).Wówczasistnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) x(t 0 )=x 0. Fakt 6.6. Załóżmy ponadto, że na każdym prostopadłościanie P (c 1,d 1 ) (c n,d n )funkcjafspełniawaruneklipschitzawzględem xjednostajniepot.niecht 0 (a,b)ix 0 (c 1,d 1 ) (c n,d n ). Wówczas istnieje dokładnie jedno nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x) (URn-ZP) x(t 0 )=x 0. Wykresrozwiązaniaukładux =f(t,x)nazywamykrzywącałkowątego układu. Wykres rozwiązania nieprzedłużalnego będziemy nazywali nieprzedłużalną krzywą całkową. 6.3 Autonomiczne układy równań różniczkowych zwyczajnych Autonomicznym układem n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu nazywamy układ (UAn) x =f(x). Odtąddokońcapodrozdziałuzakładamy,żef:D R n jestciągłafunkcją wektorowąokreślonąnaobszarzed R n. Mamy następujące wnioski z twierdzeń Peano i Picarda: Twierdzenie6.7.Dlakażdegot 0 Rikażdegox 0 Distnieje nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0.

5 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 5 Twierdzenie 6.8. Załóżmy, że f spełnia na każdym prostopadłościanie P DwarunekLipschitzawzględemx.Wówczasdlakażdegot 0 Ri każdegox 0 Distniejedokładniejednonieprzedłużalnerozwiązanie zagadnieniapoczątkowego x =f(x) x(t 0 )=x 0. Niechϕ:I R n będzierozwiązaniemautonomicznegoukładurównań różniczkowych(uan).obraz{ϕ(t):t I}nazywamykrzywąfazową układu(uan). Rozważmy teraz autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych (UA2) x =f(x,y) y =g(x,y), gdzief,g:d Rsąfunkcjamiciągłymi.Wykonującparę(formalnych) operacji możemy przekształcić układ(ua2) do postaci (6.1) g(x,y)dx f(x,y)dy=0. Załóżmy,żedlakażdego(x,y) Dzachodzi f(x,y) + g(x,y) >0. Wówczas każdy punkt obszaru D jest punktem regularnym dla równania(6.1). Niechγ=(ϕ,ψ):I Dbędzierozwiązaniemukładu(UA2).Wtedy krzywaregularnaγklasyc 1 jestrozwiązaniemrównania(6.1)wpostaci parametrycznej. NiechΦ:D Rbędziecałkąrównania(6.1).Wówczaskażdakrzywa fazowa układu(ua2) jest zawarta w poziomicy całki Φ. Jeśli dla każdej wartości C należącej do obrazu całki Φ równanie Φ(x,y)=C ma dokładnie jedno rozwiązanie y = η(x; C), z pierwszego równania układu otrzymujemy rodzinę równań różniczkowych(sparametryzowanych stałą C) x =f(x,η(x;c)). Niekiedy można otrzymać rozwiązanie ogólne powyższej rodziny równań: x(t)=χ(t;c,d).

6 6 6 Skompilował Janusz Mierczyński Wówczas rozwiązaniem ogólnym wyjściowego układu możemy nazwać wyrażenie x(t)=χ(t;c,d) y(t)=η(χ(t;c,d);c). Przykład. Rozważmy autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych zwyczajnych x =y y = y2 Otrzymujemy zeń równanie różniczkowe w postaci Leibniza x. ydx+xdy=0. Funkcja Φ(x, y) = xy jest całką powyższego równania na zbiorze punktów regularnych R 2 \{0}. Zatem η(x; C) = C/x. Z pierwszego równania układu otrzymujemy x = C x, co można rozwiązać przy pomocy rozdzielenia zmiennych, dostając x=± 2Ct+D, gdziec 0iDjestdowolne,lubC=0iD>0.Ostateczniemamy rozwiązanieogólne x(t)=± 2Ct+D y(t)= ±C 2Ct+D. 6.4 Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu Definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie (RRZn) x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ). Definicja.Rozwiązanierównania(RRZn)tofunkcjaϕ:I Rtaka,że ϕ (n) (t)=f(t,ϕ(t),ϕ (t),...,ϕ (n 1) (t))dlakażdegot I. Definicja. Warunki początkowe dla równania(rrzn) to (WPn) x(t 0 )=x 0,x (t 0 )=x 1,...,x (n 1) (t 0 )=x n 1.

7 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 7 Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego(rrzn)+(wpn) jest to rozwiązanieϕ:i Rrównania(RRZn)takie,żet 0 Iorazϕ(t 0 )=x 0, ϕ (t 0 )=x 1,...,ϕ (n 1) (t 0 )=x n 1. Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu(rrzn) sprowadza się do układu n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu x 1=x 2 x 2 (6.2) =x 3. x n =f(t,x 1,...,x n ), gdziex 1 :=x,x 2 :=x,...,x n :=x (n 1).Istotnie,jeśliϕ:I Rjest rozwiązaniem równania(rrzn), to funkcja wektorowa (ϕ,ϕ,...,ϕ (n 1) ):I Rjestrozwiązaniemukładu(6.2).Naodwrót,jeśli funkcjawektorowa(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n ):I R n jestrozwiązaniemukładu(6.2), tojejpierwszawspółrzędnaϕ 1 :I Rjestrozwiązaniemrównania(RRZn) Odtąd, przez P będziemy(w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x 0 ε 0,x 0 +ε 0 ] [x 1 ε 1,x 1 +ε 1 ] [x n 1 ε n 1,x n 1 +ε n 1 ],gdzie ε 0,...,ε n 1 >0. Definicja.Funkcjaf=f(t,p 1,...,p n ):[t 0 δ,t 0 +δ] P R,gdzieδ>0, spełniana[t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n ), jeżeliistniejel>0takie,że f(t, p 1,..., p n ) f(t, p 1,..., p n ) L ( p 1,..., p n ) ( p 1,..., p n ) dlawszystkicht [t 0 δ,t 0 +δ]iwszystkich( p 1,..., p n ),( p 1,..., p n ) P. Twierdzenie 6.9(Twierdzenie Picarda( Lindelöfa)). Niech f:[t 0 δ,t 0 +δ] P Rbędziefunkcjąciągłąspełniającąna [t 0 δ,t 0 +δ] PwarunekLipschitzawzględem(p 1,...,p n )zestałąl. Wówczasistniejejednoznacznerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1 gdzieη (0,δ].

8 6 8 Skompilował Janusz Mierczyński Twierdzenie6.10(TwierdzeniePeano).Niechf:[t 0 δ,t 0 +δ] P R będziefunkcjąciągłą.wówczasistniejerozwiązanieϕ:[t 0 η,t 0 +η] R zagadnienia początkowego x (n) =f(t,x,x,...,x (n 1) ), x(t 0 )=x 0, (RRZn-ZP). x (n 1) (t 0 )=x n 1, gdzieη (0,δ]. 6.5 Praktyczne metody rozwiązywania równań drugiego rzędu i układów równań 1) Równanie postaci x =f(t,x ) sprowadzamy do równania rzędu pierwszego przy pomocy podstawienia 2) Rozwiązywanie równania postaci u=x x =f(x,x ) można sprowadzić do rozwiązywania dwóch równań rzędu pierwszego w następujący sposób: traktujemy x jako nową zmienną niezależną, i podstawiamy u(x)=x (x). Mamy x = du dt =du dx dxdt =du dx u. Podstawiamy powyższą równość do wyjściowego równania, otrzymując du dx =f(x,u) u Rozwiązując powyższe równanie pierwszego rzędu, otrzymujemy rozwiązanie ogólne u = g(x; C)(nie zawsze można podać takie rozwiązaniewpostaci gotowego wzoru).leczu=x,zatemmamyteraz rodzinę równań różniczkowych pierwszego rzędu(zależną od parametru C): x =g(x;c),

9 Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 9 którą rozwiązujemy(to znów nie zawsze musi się udać). Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe (6.3) x = (x ) 2 x, x>0. Podstawienieu(x)=x (x)dajepoprzekształceniachrównanie Rozdzielając zmienne dostajemy du dx =u x du u =dx x (Na marginesie należy zauważyć, że podczas tych przekształceń podzieliliśmy obie strony równania przez u; trzeba będzie później sprawdzić, czy równość u 0 nie odpowiada czasem jakiemuś rozwiązaniu.) Nakładając na obie strony całkę nieoznaczoną otrzymujemy ln u =lnx+ C, gdzie Cjeststałądowolną.Dalejdostajemy czyli u=cx, x =Cx, gdziec=±e Cjestdowolnąstałąniezerową.Powyższerównanieliniowe można łatwo rozwiązać, otrzymując x=de Ct, gdzie D jest dowolną stałą dodatnią. Przypominamy sobie teraz, że dzieliliśmyobiestronyprzezu.leczu 0oznaczax 0,czylix=const. Łatwo zauważyć, że funkcje stałe(oczywiście przyjmujące wartości dodatnie) są rozwiązaniami równania(6.3). Reasumując, możemy zapisać (6.4) x=de Ct, gdzie C jest stałą dowolną, zaś D jest dowolną stałą dodatnią. Wzór(6.4) nazywa się w klasycznych podręcznikach równań różniczkowych zwyczajnych rozwiązaniem ogólnym równania(6.3). Istotnie, wyczerpuje

10 6 10 Skompilował Janusz Mierczyński on wszystkie możliwe rozwiązania równania(6.3). Aby to udowodnić, weźmydowolnerozwiązanieϕnaszegorównania.ustalmyt 0 zdziedziny funkcjiϕ,ioznaczmyx 0 :=ϕ(t 0 ),x 1 :=ϕ (t 0 ).Funkcjaϕjestrozwiązaniem zagadnienia początkowego x = (x ) 2 x x(t 0 )=x 0 x (t 0 )=x 1. Zdrugiejstrony,łatwosprawdzić,żefunkcjaψ(t)=De Ct,gdzie C= x 1,D=x 0 e t 0 x 1 x 0 x 0 też jest rozwiązaniem(nieprzedłużalnym) tego zagadnienia początkowego. Z twierdzenia Picarda dla równań wyższych rzędów(twierdzenie 6.9) wynika, żeϕjestobcięciemfunkcjiψ. 3) Układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu można spróbować sprowadzić do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu różniczkując jednozrównańwzględemtieliminującjednązezmiennych.jesttotak zwana metoda eliminacji. 6.6 Przykład:równanieróżniczkowex +x 3 =0 Sprowadźmy równanie różniczkowe drugiego rzędu (6.5) x +x 3 =0 do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu (6.6) x =y y = x 3. Dalej, otrzymujemy równanie w postaci Leibniza x 3 dx+ydy=0, któregocałkąjestfunkcjaφ(x,y)= 1 4 x y2. Jak wiadomo z podrozdziału 6.3 każda krzywa całkowa układu(6.6) jest zawarta w poziomicy funkcji Φ.(Formalnie rzecz biorąc, w podrozdziale 6.3 całka jest określona na zbiorze punktów regularnych, podczas gdy w

11 Układy równań. Równania wyższych rzędów naszym przypadku(0, 0) to punkt osobliwy. Rozumowanie tamto zachowuje jednak ważność i tutaj.) Poziomica funkcji Φ odpowiadająca wartości zero to punkt{(0, 0)}. Oczywiście, jedynym rozwiązaniem układu(6.6), którego obraz jest zawarty w{(0,0)},jest(ϕ,ψ) (0,0),coodpowiadarozwiązaniustalerównemu zeru wyjściowego równania(6.5). NiechterazC>0,irozważmypoziomicęH C :={(x,y):φ(x,y)=c}. Poziomica ta jest zbiorem zwartym homeomorficznym z okręgiem. Na powyższym rysunku naszkicowano poziomice całki Φ odpowiadające C = 1/4 (zielona),c=4(czerwona),ic=81/4(niebieska).

12 6 12 Skompilował Janusz Mierczyński Wybierzmyterazchwilępoczątkowąt 0 iwartościpoczątkowe(x 0,y 0 ) położonenatejpoziomicy.niech(ϕ,ψ):(α,β) R 2 będzie nieprzedłużalnym rozwiązaniem układu(6.6) odpowiadającym powyższym warunkom początkowym. Dla każdego t (α, β) punkt(ϕ(t), ψ(t)) należy dozbioruzwartegoh C.Ztwierdzeniaoprzedłużaniurozwiązań(Tw.6.4) wynika,że(α,β)=(, ). Spójrzmy na nasze rozwiązanie jak na parametryczny opis ruchu punktu na płaszczyźnie: czas t to parametr,(ϕ(t), ψ(t)) to położenie punktu w chwili t.torruchuzawartyjestwzbiorzeh C.Dalej,wkażdymmomenciet prędkość(ϕ (t),ψ (t))( 0)jeststycznadoowaluH C.Cowięcej,ruch odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. OwalH C maskończonądługość,zaśszybkość(tzn.długośćwektora prędkości)ruchupunktujestzawszeniezerowa.skoroh C jestzbiorem zwartym, i szybkość zależy w sposób ciągły od położenia, minimalna szybkośćjestdodatnia.zatemistniejetakiet>0,że (ϕ(t 0 +T),ψ(t 0 +T))=(ϕ(t 0 ),ψ(t 0 ))=(x 0,y 0 ).Prostymwnioskiemz jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego jest to, że rozwiązanie jest funkcją okresową, o okresie T. W konsekwencji, każde niezerowe rozwiązanie wyjściowego równania(6.5) jest(nietrywialną) funkcją okresową o okresie T. Interpretacjafizycznarównaniax +x 3 =0toruchcząstkiwpolu potencjalnym.wdefinicjicałkiφ,człon 1 2 y2 toenergiakinetyczna,zaś człon 1 4 x4 toenergiapotencjalna.fakt,żecałkaφzachowujestałąwartość wzdłuż rozwiązań układu, to zasada zachowania energii.

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych

Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych Poniższy tekst stanowi treść jednego z moich wykładów dla studentów mechaniki. Postanowiłem go udostępnić szerszemu gronu, dotychczas korzystali z niego wyłącznie

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 (1) Nazwa Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

Modele cyklu ekonomicznego

Modele cyklu ekonomicznego Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013 Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 03 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod (4) Studia

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych.. Układy równań o macierzach trójkątnych.. Metoda eliminacji Gaussa.3. Metoda Gaussa-Jordana.4.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO MMA-PGP-0 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut ARKUSZ I MAJ ROK 00 Instrukcja dla zdającego.

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Leszczyński Nr albumu: 320155 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis

Bardziej szczegółowo