Modele wielorownaniowe

Transkrypt

1 Część 1. e

2 e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej

3 e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej liczby równań

4 e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej liczby równań Z reguły zmienne w nich występująca są zmiennymi współzależnymi

5 e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej liczby równań Z reguły zmienne w nich występująca są zmiennymi współzależnymi Do matematycznego opisu takich modeli wykorzystuje się modele wielorównaniowe o równaniach współzależnych Simultaneous Equation s

6 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce

7 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AY t = BX t + u t

8 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AY t = BX t + u t gdzie: Y t = [y1,..., y G ] to wektor zmiennych endogenicznych

9 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AY t = BX t + u t gdzie: Y t = [y1,..., y G ] to wektor zmiennych endogenicznych A G G oraz B G G są nieosobliwe

10 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AY t = BX t + u t gdzie: Y t = [y1,..., y G ] to wektor zmiennych endogenicznych A G G oraz B G G są nieosobliwe X t to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze składnikiem losowym u

11 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AY t = BX t + u t gdzie: Y t = [y1,..., y G ] to wektor zmiennych endogenicznych A G G oraz B G G są nieosobliwe X t to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze składnikiem losowym u u t = [u 1,..., u G ]

12 wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AY t = BX t + u t gdzie: Y t = [y1,..., y G ] to wektor zmiennych endogenicznych A G G oraz B G G są nieosobliwe X t to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze składnikiem losowym u u t = [u 1,..., u G ] E(u) = 0, Var(u t ) = Σ, t s E(u t u s ) = 0

13 Zmienne X t nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych

14 Zmienne X t nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna

15 Zmienne X t nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbie równań G

16 Zmienne X t nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbie równań G Przejęto konwencję zapisu modelu według której w każdym równaniu po lewej stronie znajduje się inna zmienna endogeniczna

17 Zmienne X t nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbie równań G Przejęto konwencję zapisu modelu według której w każdym równaniu po lewej stronie znajduje się inna zmienna endogeniczna Jednak wystepują od niej pewne odstępstwa, gdy inny zapis ułatwia interpretację parametrów

18 Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu

19 Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej

20 Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej Celem budowy modelu jest identyfikacja kanałów transmisji polityki gospodarczej

21 Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej Celem budowy modelu jest identyfikacja kanałów transmisji polityki gospodarczej Postać poszczególnych równań, oraz podział zmiennych na endogeniczne i egzogeniczne powinny bezpośrednio wynikać z teorii ekonomicznej

22 Przykład Wprowadzenie Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 q D = q s

23 Przykład Wprowadzenie Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 q D = q s gdzie: q D logarytm popytu; q S logarytm podaży

24 Przykład Wprowadzenie Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 q D = q s gdzie: q D logarytm popytu; q S logarytm podaży p logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentów

25 Przykład Wprowadzenie Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 q D = q s gdzie: q D logarytm popytu; q S logarytm podaży p logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentów p m indeks cen surowców

26 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3)

27 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3) Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta

28 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3) Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta Równanie (2) oparte jest na teorii producenta

29 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3) Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta Równanie (2) oparte jest na teorii producenta Równanie (3) jest warunkiem równowagi. Tego typu równania nazywamy identycznościami

30 Przykład Wprowadzenie Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną

31 Przykład Wprowadzenie Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną α 1 jest cenową elastycznością popytu; α 2 jest dochodową elastycznością popytu

32 Przykład Wprowadzenie Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną α 1 jest cenową elastycznością popytu; α 2 jest dochodową elastycznością popytu β 1 jest cenową elastycznością podaży; β 2 jest elastycznością podaży względem cen surowców

33 Przykład Wprowadzenie Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną α 1 jest cenową elastycznością popytu; α 2 jest dochodową elastycznością popytu β 1 jest cenową elastycznością podaży; β 2 jest elastycznością podaży względem cen surowców Można również sformułować oczekiwania w stosunku do znaków: α 1 < 0, α 2 > 0,β 1 > 0, β 2 < 0

34 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3)

35 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3) Równanie (1) jest równaniem popytu

36 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3) Równanie (1) jest równaniem popytu Równanie (2) jest równaniem podaży

37 Przykład Wprowadzenie W modelu strukturalnym q D = α 0 + α 1 p + α 2 y + u 1 (1) q S = β 1 p + β 2 p m + u 2 (2) q D = q S (3) Równanie (1) jest równaniem popytu Równanie (2) jest równaniem podaży Równanie (3) jest ograniczeniem, lub warunkiem równowagi

38 Rozróżnienie nie wynika z formy modelu

39 Rozróżnienie nie wynika z formy modelu Zmiennych endogenicznych jest tyle, ile jest równań w modelu

40 Rozróżnienie nie wynika z formy modelu Zmiennych endogenicznych jest tyle, ile jest równań w modelu Rozróżnienia dokonujemy na podstawie przesłanek teoretycznych q D α 1 p = α 0 + α 2 y + u 1 (4) q S β 1 p = β 2 y + u 2 (5) q D q S = 0 (6)

41 ma postać AY t = BX t + u t

42 ma postać AY t = BX t + u t wektor zmiennych endogenicznych Y t = [q D, q S, p]

43 ma postać AY t = BX t + u t wektor zmiennych endogenicznych Y t = [q D, q S, p] wektor zmiennych egzogenicznych Y t = [1, y, p m ]

44 ma postać AY t = BX t + u t wektor zmiennych endogenicznych Y t = [q D, q S, p] wektor zmiennych egzogenicznych Y t = [1, y, p m ] wektor błędów losowych u t = [u 1t, u 2t, 0]

45 Macierze A oraz B są macierzami przekształcającymi wektory w odpowiednie równania formy strukturalnej 1 0 α 1 α 0 α 2 0 A = 0 1 β 1 B = 0 0 β

46 Macierze A oraz B są macierzami rzadkimi

47 Macierze A oraz B są macierzami rzadkimi Wynika to z ograniczeń wynikających z teorii ekonomicznej

48 równania strukturalnego powstaje poprzez lewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A 1 AY t = BX t + u t / A 1

49 równania strukturalnego powstaje poprzez lewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A 1 AY t = BX t + u t / A 1 A 1 AY t = A 1 BX t + A 1 u t

50 równania strukturalnego powstaje poprzez lewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A 1 AY t = BX t + u t / A 1 A 1 AY t = A 1 BX t + A 1 u t Y t = A 1 BX t + A 1 u t

51 Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A 1 B, oraz ε t = A 1 u t to Y t = ΠX t + ε t

52 Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A 1 B, oraz ε t = A 1 u t to Y t = ΠX t + ε t Tę postać nazywamy formą zredukowaną modelu

53 Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A 1 B, oraz ε t = A 1 u t to Y t = ΠX t + ε t Tę postać nazywamy formą zredukowaną modelu W każdym jej równaniu występuje tylko jedna zmienna endogeniczna, a po prawej stronie wyłącznie zmienne z góry ustalone

54 Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów

55 Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów

56 Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależności między zmiennymi

57 Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależności między zmiennymi Parametry formy zredukowanej można interpretować mnożnikowo

58 Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależności między zmiennymi Parametry formy zredukowanej można interpretować mnożnikowo Między parametrami istnieje zależność wynikająca z powiązania Π = A 1 B

59 Przykład Wprowadzenie W przypadku modelu popytu i podaży forma zredukowana ma postać q D = q S = Π 11 + Π 12 y + Π 13 p m + ε 1 (7) p = Π 21 + Π 22 y + Π 23 p m + ε 2 (8)

60 Przykład Wprowadzenie W przypadku modelu popytu i podaży forma zredukowana ma postać q D = q S = Π 11 + Π 12 y + Π 13 p m + ε 1 (7) p = Π 21 + Π 22 y + Π 23 p m + ε 2 (8) Rozwiązując formę strukturalną względem p oraz q D uzyskujemy q D, q S = p = β 1 α 0 + β 1α 2 y β 2α 1 p m + β 1 u 1 α 1 u 2 β 1 α 1 β 1 α 1 β 1 α 1 β 1 α 1 β 1 α 1 α 0 β 1 α 1 + α 2 β 1 α 1 y β 2 β 1 α 1 p m + 1 β 1 α 1 u 1 1 β 1 α 1 u 2

61 Przykład Wprowadzenie Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej i zredukowanej są następujące Π 11 = β 1α 0 β 1 α 1 Π 12 = β 1α 2 β 1 α 1 Π 13 = β 2α 1 β 1 α 1 Π 21 = α 0 β 1 α 1 Π 22 = α 2 β 1 α 1 Π 23 = β 2 β 1 α 1

62 Przykład Wprowadzenie Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej i zredukowanej są następujące Π 11 = β 1α 0 β 1 α 1 Π 12 = β 1α 2 β 1 α 1 Π 13 = β 2α 1 β 1 α 1 Π 21 = α 0 β 1 α 1 Π 22 = α 2 β 1 α 1 Π 23 = β 2 β 1 α 1 Parametrom Π nie można nadać interpretacji behawioralnej

63 Przykład Wprowadzenie Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej i zredukowanej są następujące Π 11 = β 1α 0 β 1 α 1 Π 12 = β 1α 2 β 1 α 1 Π 13 = β 2α 1 β 1 α 1 Π 21 = α 0 β 1 α 1 Π 22 = α 2 β 1 α 1 Π 23 = β 2 β 1 α 1 Parametrom Π nie można nadać interpretacji behawioralnej Przy szacowaniu formy zredukowanej wystąpi problem równoczesności