Tomasz Grbski. Liczby zespolone

Transkrypt

1 Tomas Grbsk Lcby espolone Krank 00

2 Sps Trec: Wstp. Podstawowe wadomoc o lcbe espolonej.. Interpretacja geometrycna lcby espolonej... Moduł lcby espolonej. Lcby sprone.. 5 Posta trygonometrycna lcby espolonej.. 7 Wór de Movre a.. 9 Perwastek stopna n lcby espolonej. 0 Rowywane równa kwadratowych w bore lcb espolonych.. Perwastek perwotny n-tego stopna jednoc... Zadana... Odpowed do ada. 8 Bblografa....

3 Wstp Jestem naucycelem matematyk nformatyk w Zespole Skół Nr m. Mkołaja Reja w Kranku. Pragn predstaw Pastwu referat dotyccy lcb espolonych. Zamerenem mom było ebrane najwanejsych wadomoc o tych lcbach omówene ch własnoc ora predstawene prykładowych ada ch astosowanem. Jako uupełnene podałem klkadest ada wra odpowedam. Omówone w referace agadnena osobce stosuj podcas kółka matematycnego ora jako dodatkowe lekcje w klasach o proflu matematycno fycnym nformatycnym. Ces s one duym anteresowanem rowjaj wyobran ucnów s pomocne w prygotowanu s do egamnu na wyse ucelne. Mam nadej e Pastwo wykorystaj ten referat w swojej pracy jak równe Pastwa ucnowe. Referat dostpny jest równe w forme elektroncnej na mojej strone nternetowej pod adresem: Tomas Grbsk

4 Podstawowe wadomoc o lcbe espolonej Lcb espolon naywamy wyraene a + b gde a b s lcbam recywstym - Dla dowolnych lcb espolonych (a + b) (c + d) mamy:. (a + b) (c + d) a c b d.. (a + b) + (c + d) (a + c) + (b + d). (a + b) (c + d) (a c) + (b d). (a + b) (c + d) ac + ad + bc + bd (ac - bd) + (ad + bc) gdy - (ac + bd) + (bc - ad) 5. (a + b) : (c + d) c + d Wór 5 otrymamy mnoc deln delnk pre c d a c + + b (a d (c + + pryjmujc - b)(c - d) d)(c - d) ac + bd + (bc - ad) c + d ac + bd + c + d bc - ad c + d + W bore lcb espolonych ne mona okrel nerównoc. Pojce potg o wykładnku naturalnym erowym ujemnym lcby espolonej okrelamy tak samo jak potg lcby recywstej. Jel jest lcb espolon n p q lcb naturaln to: n + n 0 - n n p q p + q p : q p q ( p ) q pq Interpretacja geometrycna lcby espolonej a + b rys..

5 Mdy punktam płascyny a lcbam espolonym achod odpowedno na mocy której punktow M o współrdnych (ab) psemy M (ab) odpowada lcba espolona a + b lcbe a + b gde a b s lcbam recywstym odpowada punkt o współrdnych (a b) rys.. Dla dowolnej lcby espolonej a + b lcby a b naywamy odpowedno jej cc recywst cc urojon. Onacamy je re ora m atem re a m b Lcb espolon naywamy jednostk urojon. Lcby postac b gde b jest lcb recywst naywamy lcbam urojonym. O OX naywa s os recywst o OY os urojon. Moduł lcby espolonej. Lcby sprone. Włacwoc modułu lcb spronych. rys.. Defncja Modułem lcby espolonej a + b naywamy lcb recywst neujemn onacamy j a + b a + Moduł lcby równa s odległoc punktu od poctku układu współrdnych. Wnosek: Dla kadego jest Prykład re Oblc moduł lcby espolonej b m

6 Nech a + b Pryjmjmy onacene Defncja a b () Lcb okrelon worem () naywamy lcb spron do danej lcby. rys.. Lcby s symetrycne wgldem os recywstej. Własnoc: Dla kadej lcby espolonej : Twerdene Dla dowolnych lcb espolonych jest ± ± ; ; 0 Twerdene Dla dowolnych lcb espolonych a) b) c) + + d)

7 Defncja Posta trygonometrycna lcby espolonej Argumentem lcby espolonej a + b 0 naywamy kad lcb recywst okrelon równanam: a b cos sn Argument lcby espolonej onacamy arg. Jest ona mar kta jak twory wektor O os recywst. rys.. Kada lcba 0 ma neskocene wele argumentów jeel ϕ jest jednym nch to kady nny wyraa s worem arg ϕ + kπ k0 ± ± Sporód argumentów tej samej lcby dokładne jeden spełna warunek π < ϕ π ; naywamy go argumentem głównym onacamy Arg. π < Arg. π ϕ (0 π Jel lcba jest recywsta to 0 Arg. jeel π > 0 < 0 Argumentem lcby 0 naywamy kad lcb recywst. Prykład. Dla lcby mamy + cos ϕ snϕ std π arg ( ) + kπ k CArg( ) Prykład. 7 π π Argkπ arg(-)(k+)π arg + kπ k C

8 Twerdene Kada lcba espolona daje s predstaw w postac nastpujcej: ( cosϕ snϕ) + Zwanej postac trygonometrycn lcby. Dowód: Jel 0 to twerdene jest ocywste. Nech a+b 0 wtedy a b a + b + a + b a + b a + b Prykład. (cos0+sn0) π π cos + sn c.n.d. π π π π cos + sn cos sn π π π π cos + sn cos sn Prykład. Predstaw w postac trygonometrycnej lcb cosα + sn α gde 0 < α < π ( cosα ) ( cosα ) + sn α cosα + cos α + sn α sn re cosα α cosϕ sn α sn π α std ϕ + kπ k C α m snα α snϕ cos α sn α π α π α cosα + snα sn cos + sn Dwe lcby espolone róne od era s równe wtedy tylko wtedy gdy maj równe moduły ch argumenty rón s o całkowt welokrotno π. Twerdene Dla dowolnych lcb espolonych arg arg + arg ) ( ) 8

9 ) arg arg arg ) arg arg ) arg k k arg k C. Wór de Movre a Dla kadej lcby recywstej ϕ kadej lcby całkowtej n n ( cos ϕ snϕ) cos nϕ + sn nϕ + () Wór de Movre a dla n naturalnego jest równowany worom: cos n ϕ cos n sn n ϕ cos n n ϕ cos n n ϕ sn n ϕ snϕ cos n ϕ + cos n ϕ sn n ϕ + ϕ sn ϕ + które otrymujemy stosujc do lewej strony wór Newtona na potg dwumanu ora porównujc cc recywste urojone obu stron równoc (). Stosujc wór () moemy w prosty sposób otryma nane nam wory ( cosϕ + snϕ) cos ϕ + sn ϕ cos ϕ + snϕ cosϕ + sn ϕ std cos ϕ cos ϕ sn ϕ bo sn ϕ snϕ cosϕ analogcne cosϕ cos sn ϕ cos ϕ cosϕ sn ϕ snϕ sn Prykład. Korystajc e woru Movre a oblc ϕ ϕ + 0 Lcb + predstawamy w postac trygonometrycnej π + cos ϕ snϕ std ϕ 9

10 π π cos + sn 0 π π cos + sn 0 0π 0π cos sn π π π cos6π + π + sn6π + cos + sn + Prykład. Oblcy ( + ) 0 π π π π cos π + + snπ + cos + sn ( 0 + ). Prykład. π π cos + sn 0 5 0π 0π cos + sn Oblcy Nech + cos sn std π π π cos + sn cos π + sn π Perwastek stopna n lcby espolonej Defncja Kad lcb espolon w spełnajc równane w n n N naywamy perwastkem stopna n lcby espolonej onacamy n. Twerdene Istneje dokładne n rónych perwastków n-tego stopna lcby espolonej 0 które onacamy pre w k gde k 0... k. jeel Z (cos+sn) to (A) W k n ϕ + kπ ϕ + kπ cos + sn k 0... (n-) n n gde n onaca perwastek arytmetycny. 0

11 Prykład. Oblcy. π Moduł lcby równa s l a jednym jej argumentów jest lcba ϕ. W myl woru (A) mamy W W W π π cos + sn + 0 5π 5π cos + sn π π cos + sn. Prykład. Oblcy Ponewa - a jednym argumentów jest wc π π W0 cos + sn W π π cos + sn. Prykład. Oblcy Ponewa argument spełna równana π cos ϕ snϕ : wc ϕ 6 atem sukanym perwastkam s lcby W W W 0 π π cos sn 8 8 π π cos + sn 8 8 π cos + sn 8 π 8 Perwastk drugego stopna dowolnej lcby espolonej a + b mona równe predstaw w nnej postac tw. kartejaskej.

12 Posta kartejaska perwastków drugego stopna W 0 a + b + a + E a + b jeel b>0 W - W 0 gde E - jeel b<0 a Rowywane równa kwadratowych w bore lcb espolonych Zajmemy s równanem kwadratowym o współcynnkach espolonych ax bx + c 0 a 0 Jeel współcynnk równana s lcbam recywstym < 0 to pryjmujc otrymujemy x b a x b + a w tym prypadku perwastk x x s lcbam spronym. Prykład. Rowa równane x + x + 0 ( ) 6 x + x. Prykład. Rowa równane x + x + 0 ( ) wc x x + + x + +

13 x + + Prykład. Rowa równane x -x+0 Ponewa 6 wc pryjmujc 6 mamy x - x + Defncja Perwastek perwotny n-tego stopna jednoc Lcb espolon naywamy perwastkem perwotnym n-tego stopna jednoc jeel Z n Z n dla s... n- np. lcby ora s perwastkam perwotnym jednoc cwartego stopna bo ora (-) ale natomast (-) ne s perwastkam perwotnym jednoc cwartego stopna bo te jest równy. (-). Perwastk n-tego stopna jednoc wyraaj s worem E k kπ kπ cos + sn k 0... n n n Perwastk perwotne jednoc maj nteresujce własnoc. We my pod uwag E. Ze woru de Movre a wynka e E Tym samym cg skocony E... n E E E E Zawera wsystke róne perwastk n-tego stopna. Nasuwa s pytane cy cg E E... E k k dla dowolnego k n dowolnego n awera wsystke perwastk E E E.... Odpowed jest precca bowem nech n wówcas E 0 E E E n k E n cg E E E E awera wsystke perwastk ale cg E E ne ma tej E E własnoc gdy E E E E Dla ustalonego k lcba E k kπ kπ cos + sn jest perwastkem perwotnym n-tego n n stopna jednoc wtedy tylko wtedy gdy k n s wgldne perwse tn. gdy najwksy wspólny delnk lcb k n równa s. Twerdene Jeel E k jest perwastkem perwotnym n-tego stopna jednoc to lcby E E E... E k k k n k

14 s wsystkm rónym perwastkam n-tego stopna jednoc. Prykład Znale wsystke perwastk perwotne równana 6 0 Sporód lcb 5 6 tylko lcby 5 s lcbam perwsym wgldem 6. Zatem perwastkam perwotnym równana s lcby π π E cos + sn π 0π E5 cos + sn 6 6 Zadane. Wykonaj dałana a) ( 5 ) + ( ) + ( 5 + ) b) ( + )( 5 + 6) + ( )( ) c) ( ) ( ) Zadana Zadane. Oblc 0 6 a) b) c) + +. Zadane. Nastpujce wyraena aps w postac a + b + a) + b) + c) + d) + 5 e) + + f). + Zadane. Oblc warto wyraena a) + b) + c) + + Zadane 5. Podaj wartoc recywste x y spełnajce równane a) ( + ) x + ( 5) y b) ( ) x + ( + ) y 0 c) ( + ) x + ( ) y 5 + 7

15 d) x + y x + y + e) ( ) ( ) 5 Zadane 6. Row układ równa newadomym espolonym: a) ( + ) + ( )t 6 ( + ) + ( )t 8 b) ( + ) (+)t 5 + ( ) + (+)t + 6 c) w + t 0 w + (+)t 0 w + t 0 Zadane 7. Row równana a) + b) + + c) + ( ) + d) ( + ) + ( ). Zadane 8. Oblc perwastk espolone welomanów stopna drugego rołó te welomany na cynnk lnowe a) x x + b) x + x + c) x + x + d) x x + 0 e) x + x + f) x + x + g) x x + h) x + x + ) x x 6 +. Zadane 9. Oblc perwastk espolone welomanów rołó te welomany na cynnk. Skorystaj wynków poprednego adana. a) x + b) x c) x 8 d) x 6 + 6x + 0 e) x + x + x + f) x x + x g) x + x h) x + x + ) x + x +. Zadane 0. Naps równana cwartego stopna którego perwastkam s lcby: a) + +. b) 0. c) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 0 0 ; 5

16 Zadane. Predstaw w postac trygonometrycnej nastpujce lcby espolone: a) b) + c) + + d) + snα cosα + cosα + snα e). + cosα snα Zadane. Oblc na podstawe woru de Movre a: 5 + a) ( + ) f) ( ). b) 7 + c) e) d) ( ) Zadane. Zaps w postac: a) trygonometrycnej b) a + b perwastk stopna n lcby dla n 568. Zadane Rowa rownane : a) ² + 0 b) ² + 0 c) ² + (+) ++ 0 d) ² e) ² - ( + ) + 0 f) ² - ( + ) + (- + 7) 0 Zadane 5 Rowa równane : a) x (- ) b) x - ( + ) 0 c) x + 0 d) x 5 ( + ) 0 e) x

17 Zadane 6 Zanac na plascyne mennej espolonej nastepujace bory punktow. a) : < 5 b) : - 5 c) : 5 + d) : + e) : ( + )-( - ) f) : 5 g) : - h) : m ) : + re j) : k) : m l) :re m) : m n) : arg π Zadane 7 Naps rownane okregu O(Z 0 r) jeel a) Z r b) Z + r Zadane 8 Wynacyc srodek promen okregu o rownanu: a) + ( + ) + ( ) 0 b) ( ) ( + ) 0 c) ( ) ( ) + 0 7

18 Zadane a) b) 5 c) + Zadane a) b) c) Zadane a) b) c) + c d) e) f) Zadane a) b) c) Zadane 5 5 a) x y b) x - y Odpowed do ada c) x y x y - x - y x - y - d) x y -5 e) x y - Zadane 6 a) + t b) + t 8

19 c) w t 7-9 Zadane 7 a) b) + c) + d) - + e) - Zadane 8 a) x + x b) x - + x - c) x - - x - + d) x x + e) x ( 7) x ( + 7) f) x ( ) x ( + ) g) x x + h) x x + ) x ( ) x ( + ) Zadane 9 a) x x x + b) x x - + x - c) x x - - x - + d) x - x - x + e) x - x ( 7) x ( + 7) f) x x ( ) x ( + ) 9

20 g) x - x x x - h) x - x perwastk dwukrotne ) x x + x x + Zadane 0. a) x x + 0 x x b) x + x + 6x + x 0 c) x + x + 6x + 6x Zadane. a) (cos0 + sn 0) (cos Π Π + sn ) (cos Π + sn Π ) (cos Π + sn Π ) Π Π Π Π 5 5 b) (cos + sn ) (cos + sn ) (cos Π + sn Π ) 7 7 (cos Π + sn Π) Π Π c) (cos + sn ) (cos Π + sn Π ) (cos Π + sn Π) 5 5 (cos Π + sn Π) Π α Π α Π α d) cos( ) cos( ) sn( ) e) cosα + snα Zadane. a) 5 5 Π Π (cos + sn ) ( ) 5 5 (cos Π + sn Π) 8 8 b) Π Π cos( ) + sn( ) cos( Π) + sn( Π) 6 6 c) (cos Π + sn Π) cos8π + sn 8Π + Π Π 5 d) (cos + sn ) (cos Π + sn Π) ( + ) ( + ) e) cos sn cos sn ( ) Π + Π Π + Π 5 0

21 f) Π Π (cos Π + sn Π) (cos + sn ) Π Π (cos Π + sn Π) (cos + sn ) Zadane. n cos0 + sn 0 cosπ + sn Π 0 n 0 cos sn Π + Π + cos Π + sn Π n 0 n-5 0 kπ kπ k cos + sn 5 5 dla k n n n Zadane. a) b) + c) d) e) + + f) + Zadane 5. a) x ( + ( + ) x x ( + + ( )) b) x 0 ( + + ( ) x ( + ( + )) x x 0 x x 7 5 +

22 + + c) x0 x x x 0 x x d) x k (cos(6 + k 7 ) + sn(6 + k 7 )) k e) x k cos( ) sn( ) Π + kπ + Π + kπ 7 7 k05 Zadane 6. a) wntre koła o rodku (00) promenu r5 b) koło o rodku (0) promenu r c) d) symetralna odcnka AB a(5-)b(-) e) prosta o równanu x-y+0 f) prosta o równanu y5x- g) koło ( x ) + ( y ) 0 9 y h) x + y + 0 ewntre koła wra okrgem ) c płascyny ogranconej parabol y x 6( x ) j) elpsa y + 00 k) prosta x5 l) okrg x + y m) hperbola xy n) yx x 0 y 0 Zadane 7. a) ( x ) + ( y + ) b) ( x ) + ( y ) 9 Zadane 8. a) O(-;) r b) O(;) r 6 c) O(;) r

23 Bblografa. Algebra Wysa Andrej Mostowsk PWN 970. Repetytorum predmaturalne praca borowa. Anala matematycna w adanach W.Krysck L.Włodarsk PWN 966