CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków

Transkrypt

1 36/3 Archives of Foundry, Year 004, Volume 4, 3 Archiwum Odlewnictwa, Rok 004, Rocznik 4, Nr 3 PAN Katowice PL ISSN CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ E. ZIÓŁKOWSKI Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 3, Kraków STRESZCZENIE W artykule przedstawiono skróconą charakterystykę algorytmów optymalizacji rozmytej, które można wykorzystać do realizacji obliczeń parametrów technologicznych w procesach produkcyjnych odlewni. Przedstawiono wyniki przykładowych obliczeń wykonanych z zastosowaniem algorytmów optymalizacji rozmytej. W artykule podano możliwości praktycznych odlewniczych zastosowań algorytmów optymalizacji rozmytej. Key words: fuzzy optimization, optimization algorithms.. WPROWADZENIE Optymalizacja rozmyta jest działem systemowych badań operacyjnych, w którym poszukuje się rozwiązania optymalnego w sensie przyjętego wskaźnika jakości dla modelu zadania posiadającego nieprecyzyjnie określone wartości parametrów. W deterministycznym podejściu, zadania optymalizacji wymagają zdefiniowania funkcji celu oraz układu warunków ograniczających z zastosowaniem ściśle określonych wartości parametrów występujących w rozważanym modelu optymalizacji. W modelu rozmytym współczynniki funkcji celu lub występujące w układzie warunków ograniczających są rozmyte, czyli mają wartości określone w pewnych przedziałach zmienności. Optymalizacja rozmyta może być stosowana zarówno w: budowie modelu rozmytego, opisującego na przykład przebieg procesu technologicznego, zagadnieniach sterowania rozmytego zarówno statycznego jak i dynamicznego w układach: ze znanym i z góry ustalonym czasem zakończenia, dr inż., ez@agh.edu.pl

2 4 z niejawnie zadanym czasem zakończenia, z rozmytym czasem zakończenia albo z nieskończonym czasem zakończenia, wyznaczaniu optymalnych wartości startowych lub chwilowych parametrów występujących w rozmytych modelach rozważanych zjawisk lub procesów technologicznych. Z uwagi na liczbę funkcji określających cel, zadania optymalizacji rozmytej można podzielić na: jednokryterialne, liniowe lub nieliniowe, wielokryterialne, liniowe lub nieliniowe, wieloetapowe, liniowe lub nieliniowe. Zarówno funkcje celu jak i ograniczenia mogą być definiowane z wykorzystaniem rozmytych wartości współczynników. Poniżej zostanie przedstawiony przykład optymalizacji rozmytej zastosowanej w zadaniu obliczania namiaru wsadu, w którym zarówno funkcja celu jak i układ warunków ograniczających posiadają rozmyte wartości niektórych parametrów.. ROZMYTA OPTYMALIZACJA NAMIARU WSADU W prezentowanym przykładzie obliczeniowym zakłada się stosowanie dwóch materiałów wsadowych o składzie chemicznym zestawionym w Tabeli. Przyjęcie tutaj tylko dwóch materiałów wsadowych ma na celu pokazanie graficznej interpretacji zbioru rozwiązań dopuszczalnych oraz zbioru wartości funkcji celu. Dla większej liczby materiałów wsadowych interpretacja geometryczna nie jest możliwa. Zaprezentowany w tym przykładzie algorytm optymalizacji rozmytej ma oczywiście zastosowanie dla dowolnej (>) liczby uwzględnianych materiałów wsadowych.. Tabela. Skład chemiczny materiałów wsadowych Table. Chemical composition of charge materials Materiał Skład chemiczny, % wsadowy C Si Model rozmyty składu chemicznego wsadu W zadaniach obliczania optymalnego namiaru wsadu układ warunków ograniczających zawiera założenia dotyczące przede wszystkim: zakładanego składu chemicznego zestawianego wsadu (bilans pierwiastków chemicznych), bilansu masowego (lub procentowego) wszystkich uwzględnianych materiałów wsadowych, określanego w postaci:

3 43 n j j mw lub j 00% n () j przy czym: j - masowy lub procentowy udział j-tego składnika we wsadzie (j=,,...,n gdzie n liczba uwzględnianych materiałów wsadowych), kg lub %, m w - masa wsadu, kg. ewentualnych ograniczeń udziału ilościowego poszczególnych materiałów wsadowych w zestawianym wsadzie. Skład chemiczny wsadu może być określony deterministycznie (ściśle określona zawartość każdego pierwiastka we wsadzie) lub w postaci rozmytej, według jednego z wariantów modelu rozmytości (rys. ). a) 0 min ma Zaw., % b) 0 min średnia ma Zaw., % c) 0 min s s ma Zaw., % Rys.. Fig.. Warianty modelu rozmytości: a) prostokątny, b) trójkątny, c) trapezowy. Three types of the fuzzy sets: a) rectangular, b) triangular, c) trapezoid. W dalszych rozważaniach zostanie przyjęty prostokątny model rozmytości składu chemicznego wsadu w postaci zawartości C=(.7 3.)% oraz zawartości Si=( )%.

4 44 Ostatecznie, po uwzględnieniu dodatkowego założenia dotyczącego składnika pierwszego oraz bilansu masowego materiałów wsadowych, układ warunków ograniczających przyjmie postać:,700 0,4 3,6 0,900 0,3, % 3,00 0,9900 ().. Model rozmyty kosztu wsadu jako funkcji celu Jako funkcję celu w zadaniu optymalizacji przyjęto całkowity koszt wsadu. W tym zadaniu założono, że koszt jednostkowy pierwszego składnika jest określony w przedziale zł/t, natomiast drugiego składnika jest określony w przedziale zł/t. Funkcja celu będzie zatem miała postać: 50) ( ) min (3) (00 Przedstawione w równaniu (3) rozmyte wartości kosztu jednostkowego każdego materiału wsadowego odpowiadają wariantowi prostokątnemu modelu rozmytości z rysunku. Funkcję (3) można również zapisać w często spotykanej formie: min 400 (4).3. Interpretacja geometryczna zadania optymalizacji namiaru wsadu Na rysunku przedstawiono graficznie, w postaci zacieniowanego obszaru, zbiór wartości dopuszczalnych spełniających pierwsze trzy nierówności układu warunków ograniczających (). Odcinek zaznaczony grubą linią jest zbiorem wartości dopuszczalnych, wynikającym z uwzględnienia również ostatniego równania bilansu masowego stosowanych materiałów wsadowych. Tylko w tym zbiorze wartości dopuszczalnych (odcinek zaznaczony grubą linią) jest możliwe poszukiwanie rozwiązania optymalnego, w tym przypadku takiego, dla którego łączny koszt zestawianego wsadu o rozmytych wartościach cen jednostkowych, będzie minimalny, co ma odpo - wiadać funkcji celu (4). Na rysunku 3 przedstawiono zacieniowany obszar możliwych zmian cen jednostkowych zestawianego wsadu. Granice tego obszaru wynikają z wartości obu funkcji celu w układzie (4). Na rysunku 3 przedstawiono także funkcję,

5 45 która pozwala wyznaczyć optymalne rozwiązanie, uwzględniające jednocześnie obie funkcje celu (4). Jest to tak zwana funkcja kompromisu, która jest określona zależnością J f f (5) Rys.. Interpretacja graficzna zbioru wartości dopuszczalnych spełniających układ (). Fig.. Graphical interpretation of the admissible values set for the system (). Rys. 3. Interpretacja graficzna zbioru wartości funkcji celu (4) i funkcji kompromisu (5). Fig. 3. Graphical interpretation of the fuzzy set of the objective function (4) and the compromise function (5).

6 46 gdzie: f i f są to optymalne wartości kosztu wsadu dla zadania optymalizacji odpowiednio z wyłącznie pierwszą funkcją celu i z wyłącznie drugą funkcją celu. Dla tak określonej funkcji kompromisu, za pomocą algorytmu rozmytej optymalizacji kwadratowej, można wyznaczyć namiar wsadu (tutaj =7,6%, =8,4% ), który jest optymalny z punktu widzenia rozmytych wartości cen jednostkowych każdego materiału wsadowego. Przewidywany koszt jednostkowy wsadu dla uzyskanego rozwiązania optymalnego jest również rozmyty i wynosi 343,0 466,40 zł/t. 3. PODSUMOWANIE Zaprezentowany przykład obliczeniowy ilustruje możliwości zastosowania algorytmów optymalizacji rozmytej w obliczaniu namiaru wsadu dla pieców odlewniczych. Algorytmy te można także stosować w zagadnieniach optymalizacji korekty składu chemicznego ciekłego metalu w piecach, w wyznaczaniu optymalnych wartości parametrów sterujących pracą pieców odlewniczych oraz innych maszyn i urządzeń stosowanych w odlewniach. LITERATURA [] J. Kacprzyk: Wieloetapowe sterowanie rozmyte. WNT, Warszawa, 00. [] A. Piegat: Modelowanie i sterowanie rozmyte. Wyd. EXIT, Warszawa, 999. [3] E. Ziółkowski: Zastosowanie metod programowania matematycznego w optymalizacji wytopu w piecach odlewniczych. Praca zbiorowa pod redakcją Janusza Kacprzyka i Jana Węglarza pt.: Badania operacyjne i systemowe wobec wyzwań XXI wieku. Modelowanie i Optymalizacja. Metody i zastosowania. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 00, s. II- II-3. Praca naukowa finansowana ze środków KBN w latach jako projekt badawczy. SUMMARY CHARACTERISTIC AND APPLICATION OF FUZZY OPTIMIZATION ALGORITHMS The paper presents a short characteristic of the fuzzy optimization algorithms, which can be used in technological parameters calculations for foundry processes. The eamples of the calculations results, realized with the fuzzy optimization algorithms have been included. Various possibilities of the practical usage the optimization algorithms have been presented. Recenzent: prof. dr hab. inż. Józef Dańko.