Rozkłady prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011

2 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład geometryczny Rozkład dwumianowy ujemny Rozkład jednostajny Rozkład wykładniczy Rozkład normalny Rozkład χ 2 Rozkład gamma Rozkład t-studenta Ważne twierdzenia Twierdzenie Poissona

3 Wersje Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Wersja data edytor opis Piotr Kowalski opisane pierwsze rozkłady Piotr Kowalski poprawki literówek Piotr Kowalski dodano rozkład wielomianowy Piotr Kowalski dodano teorię rozkładów rozkłady dyskretne oraz EX - VarX Piotr Kowalski dodano kwantyl oraz popr. błędów Piotr Kowalski dodano rozkłady ciągłe

4 Prawdopodobieństwo Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Definicja 2.1 Istota prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną miarę określoną dla zdarzeń losowych gdy miara wszystkich możliwych wydarzeń wynosi 1. Aby zrozumieć prawdopodobieństwo należy zrozumieć czym jest miara.

5 Miara Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Definicja 2.2 Miara Miara jest funkcją, która zbiorom przypisuje liczbę odpowiadającą jej rozmiarowi. Funkcja ta musi posiadać kilka cech: skalowalność (mierzymy względem pewnego innego zbioru), porównywalność (porównanie miar zbiorów odpowiada naszym odczuciom), zachowanie miary (dodawania i odejmowanie zbiorów nie powoduje wyciekania miary), uniwersalność (wszystkie zbiory mają miarę). Miarę najczęściej tworzy się biorąc elementy które umiemy mierzyć, następnie je składać i rozłączać z innymi mierzalnymi elementami tworząc bogatą rodzinę rzeczy posiadających miarę.

6 Rozkład prawdopodobieństwa Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów 1 Jeden ze sposobów pełnego opisania zjawiska losowego. 2 Jeden ze sposobów porównywania dwóch zjawisk losowych. 3 Rozkłady dzielimy na dyskretne i ciągłe. W różnych doświadczeniach mamy doczynienia z podobnymi losowościami. Przenosząc te losowości za pomocą funkcji losowych, nazywanych zmiennymi losowymi, na przestrzenie rzeczywiste, możemy je porównywać. Typy losowości nazywamy rozkładami. Jest naturalną dziedziną badań losowości.

7 Przykład do rozkładów Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Przykład 1 Mamy doświadczenie w której w rzucie kostką 6 ścienną otrzymujemy parzystą lub nieparzystą liczbę oczek. W drugim doświadczeniu podrzucamy uczciwą monetę do góry i obserwujemy wynik w postaci orła lub reszki. Te dwa zjawiska są nieporównywalne gdyż dzieją się w zupełnie innych przestrzeniach. Rozważamy, zatem zmienne losowo opisane następująco, jeśli na kostce wypadła parzysta liczba oczek to zmienna losowa przyjmuje wartość 1, natomiast 0 w przeciwnym wypadku. Rozważamy i drugą zmienną losową, która przyjmuje wartość 1 dla orła i 0 dla reszki. Te dwie zmienne losowe mają wartości rzeczywiste i można je zatem porównać. Za chwilę powiemy, że te dwie zmienne losowe mają taki sami rozkład dwupunktowy.

8 Sposoby opisania rozkładów Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Są 4 podstawowe sposoby na opisanie rozkładu prawdopodobieństwa. 1 Poprzez dystrybuantę. 2 Poprzez wypisanie rozkładu (tylko dla dyskretnych) 3 Poprzez gęstość (tylko dla ciągłych) 4 Poprzez funkcję charakterystyczną (wersja zaawansowana)

9 Dystrybuanta Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Definicja 2.3 Dystrybuanta Dystrybuntą zmiennej losowej X (1-wymiarową) nazwiemy funkcję określoną następująco F X (t) = P(X t) (1)

10 Gęstość Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Definicja 2.4 Gęstość Gęstością zmiennej losowej X (1-wymiarową) nazwiemy funkcję spełniającą następujący warunek P(X A) = f X (t)dt (2) Czyli taką, że jej całki(sumy) na zbiorach odpowiadają prawdopodobieństwom tychże zbiorów. A

11 Kwantyl Istota prawdopodobieństwa Czym jest rozkład prawdopodobieństwa Sposoby opisania rozkładów Definicja 2.5 Kwantyl Kwantylem rzędu p, 0 p 1 nazywamy każdą liczbę x p spełniającą: P(X x p ) p P(X x p ) 1 p (3)

12 Charakterystyki Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Dla rozkładów można policzyć ważne wskaźniki takie jak: 1 Wartość oczekiwana 2 Wariancja

13 Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Definicja 3.1 Wartość oczekiwana Wartością oczekiwaną nazywamy średnią wartość otrzymywaną przez zmienną losową przy wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu. x P(X = x) x Ω E[X ] = xf x (t)dt Ω, dla dyskretnych rozk., dla ciągłych rozk. (4)

14 Wariancja Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Definicja 3.2 Wariancja Wariancja określa średnią odległość od średniej w sensie kwadratu. Nazywana jest często miarą rozrzutu. Pozwala określać szanse na uzyskanie wyniku odległego od średniego Var[X ] = E[(X EX ) 2 ] = E[X 2 ] (E[X ]) 2 (5) Odchyleniem standardowym nazywamy pierwiastek z wariancji.

15 Rozkład jednopunktowy Definicja 4.1 Rozkład jednopunktowy Opisuje przypadek gdy tylko jedna wartość może być otrzymana w doświadczeniu. Jest to przypadek skrajny w prawdopodobieństwie wynik X=a prstwo 1 Tabela: Tabela rozkładu jednopunktowego

16 Rozkład dwupunktowy Definicja 4.2 Rozkład dwupunktowy Opisuje przypadek gdy możliwe są dwie wartości zmiennej losowej o określonych prawdopodobieństwach. wynik X=a X=b prstwo p q=1-p Tabela: Tabela rozkładu dwupunktowego

17 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Definicja 4.3 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Opisuje przypadek gdy dyskretne wyniki elementarne mają takie same prawdopodobieństwo. P(X A) = µ(a) µ(ω) (6) gdzie µ jest dowolną miarą

18 Rozkład dwumianowy - Schemat Bernouliego Definicja 4.4 Rozkład dwumianowy Opisuje powtarzane doświadczenie w którym otrzymać można zdarzenie określane jako sukces, oraz zdarzenie określane jako porażka, gdzie oba zdarzenia mają stałe prawdopodobieństwa, i pytamy się o ilość wydarzeń sukcesu w kolejnych n-prób. P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k E[X ] = np, Var[X ] = np(1 p) (7)

19 Rozkład wielomianowy Definicja 4.5 Rozkład wielomianowy Stanowi uogólnienie rozkładu dwumianowego na przypadek kilku różnych sukcesów. Niech p 1, p 2,..., p k będą prawdopodobieństwami k różnych komplementarnych zdarzeń. P(X = (x 1, x 2,..., x p )) = (x x k )! p x 1 1 x 1!... x k!... px k k (8)

20 Rozkład Poissona Definicja 4.6 Rozkład Poissona Rozkład graniczny dla pewnego ciągu rozkładów dwumianowych. Opisuje go pewien dodatni parametr λ. P(X = k) = λk k! e λ (9) E[X ] = 1 λ, Var[X ] = 1 λ

21 Rozkład geometryczny Definicja 4.7 Rozkład geometryczny Opisuje ilość prób aż do uzyskania sukcesu w powtarzanym doświadczeniu o stałym rozkładzie dwupunktowym. P(X = k) = (1 p) k 1 p (10) E[X ] = 1 (1 p), Var[X ] = p p 2 (11)

22 Rozkład dwumianowy ujemny Definicja 4.8 Rozkład dwumianowy ujemny Opisuje ilość prób aż do uzyskania l-tego sukcesu w powtarzanym doświadczeniu o stałym rozkładzie dwupunktowym. ( ) l + k 1 P(X = k) = (1 p) k 1 p l (12) k

23 Rozkład jednostajny Definicja 4.9 Rozkład jednostajny Opisuje nieprzeliczalną przestrzeń punktów z których część jest osiągalna z takim samym prawdopodobieństwem, a część jest nieosiągalna w żaden sposób. { 1 1 x A f (x) = 1l A (x) µ(ω) ; 1l A(x) = (13) 0 x / A P(A X ) = f (x)dµ = 1 1dµ (14) µ(ω) Ω A

24 Rozkład wykładniczy Definicja 4.10 Rozkład wykładniczy Uciągloną wersję rozkładu Poissona nazywamy rozkładem wykładniczym. Rozkładem wykładniczym o parametrze λ > 0 nazwiemy rozkład o gęstości f (x) = λe λx 1l (0, ) (x) (15) EX = 1 λ, VarX = 1 λ 2 (16)

25 Rozkład normalny Definicja 4.11 Rozkład normalny Rozkładem normalnym (lub Gaussa) o parametrach µ R, σ > 0 nazwiemy rozkład o gęstości f (x) = 1 (x µ) 2 σ e 2σ 2 (17) 2π EX = µ, VarX = σ 2 (18) Rozkładem normalnym standaryzowanym nazywamy rozkład N(0, 1).

26 Rozkład χ 2 Definicja 4.12 Rozkład χ 2 Rozkładem χ 2 o n stopniach swobody nazywamy rozkład bedący sumą kwadratów n- niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym X χ 2 n X = n k=1 X 2 1, X i N(0, 1), i = 1..n. f (x) = 1 2 k/2 Γ(k/2) x k/2 1 e x/2 1l (0,+ ) (x) EX = n, VarX = 2n; (19)

27 Rozkład gamma Definicja 4.13 Rozkład gamma Rozkładem gamma o parametrach α, β > 0 nazwiemy rozkład o gęstości f (x) = βα Γ(α) x α 1 e βx 1l (0,+ ) (x) Γ(x) = x t x 1 e t dt 0 (20) EX = α β, VarX = α β 2 (21)

28 Rozkład t-studenta Definicja 4.14 Rozkład t-studenta Rozkładem t lub t-studenta o n stopniach swobody nazywamy rozkład postaci T = U Z n, gdzie U N(0, 1), Z χ 2 n. f (x) = Γ( n+1 2 ) Γ( n 2 ) nπ ( 1 + t 2 EX = 0, VarX = ) n+1 2 n n n 2 Rozkład t-studenta zbiega przy n do rozkładu normalnego standaryzowane N(0, 1). (22)

29 Twierdzenie Poissona Ważne twierdzenia Twierdzenie 5.1 Twierdzenie Poissona Jeśli n, oraz p n 0 i np n λ to ( ) n p k (1 p) n k λk k k! e λ (23)