Elementy rachunku prawdopodobieństwa. repetytorium

Transkrypt

1 Elementy rachunku prawdopodobeństwa repetytorum

2 myślowy. - powtarzalny eksperyment fzyczny lub obserwacja czy śwatło jest zapalone czy zgaszone, określene lośc braków w bel tkanny, ustalene lośc wadlwych jednostek produktu w wylosowanej próbe, przeprowadzene ankety na określony temat tp. Przeprowadzając dośwadczena otrzymujemy może być odpowedź "tak" lub "ne", odczyt pomarów przyrządowych, wartość z określonego przedzału tp. ω Wynk dośwadczeń możemy prezentować grafczne (za pomocą punktów) symbol grafcznych, lub też algebraczne. Warantom wynków dośwadczena możemy przypsywać oznaczena w postac lczb typu 1,2,3,...,n, lter a, b, c,..., lub nnych symbol

3 Dośwadczene polega na przeprowadzenu ankety poprzedzającej budowę supermarketu. Anketowan mogą wybrać jedną z trzech możlwych odpowedz: 1. Jestem za budową supermarketu, 2. Jestem nezdecydowany, 3. Jestem przecwko budowe supermarketu. Grafczna prezentacja zboru wszystkch możlwych wynków ankety Jestem za budową supermarketu Jestem nezdecydowany Jestem przecwko budowe supermarketu 1 2 3

4 3 druga osoba perwsza osoba rys. 2 Wynk ankety dla dwu osób Przykłady dla dwu osób (2,1); (2.2), (3,3); dla czterech osób (2,1,1,3); (2,3,1,1) tp.

5 Zbór punktów przedstawający wszystke możlwe wynk dośwadczena nazywamy oznaczamy symbolem " Ω ". Przestrzeń zdarzeń elementarnych może być przestrzeną skończoną lub neskończoną (np. w przypadku pomarów przyjmujących wartośc cągłe). - podzbór przestrzen zdarzeń elementarnych Ω, który może stanowć także podzbór pusty (zdarzene nemożlwe) oraz całą przestrzeń Ω (zdarzene pewne). Do oznaczena zdarzeń wykorzystuje sę zwykle duże ltery alfabetu,,,,, tp.

6 Przykład grafcznej prezentacj zdarzeń losowych A - co najmnej jeden z uczestnków ankety jest nezdecydowany, B - obaj respondenc dają taką samą odpowedź, C - jedna osoba popera budowę supermarketu, a druga jest przecw. Grafczną prezentację tych zdarzeń przedstawono na rys {kp} 3 A C 2 Drug respondent 1 B Perwszy respondent Rys. 1.3 Zdarzena losowe A, B C. Źródło: Opracowane własne

7 Przestrzene prób zdarzena oraz zwązk pomędzy nm przedstawane są często w postac dagramów Venna lub Eulera, w których do oznaczena przestrzen próby używa sę prostokąta, a do zdarzeń koła lub jego fragmentu. Zacenowany obszar lustruje rozważane zdarzene.

8 - jest to funkcja przypsująca lczby różnym podzborom zboru. Lczby te mogą odpowadać np. lczbe elementów zboru. Dla powyższego przykładu funkcja zboru przedstawa sę następująco: (Ω) = 9; (X) = 5; (Y) = 3; (Y Z ) = 5; (X Y) = 1; N(X Z) = (Y Z) = 0 td. 1. Lczby przyporządkowane poszczególnym zborom są zawsze dodatne lub równe zeru, 2. Wszystke lczby są równe lub mnejsze od lczebnośc całej przestrzen zdarzeń elementarnych (Ω), 3. Jeżel dwa podzbory ne posadają wspólnych elementów to lczba przyporządkowana sume tych podzborów jest równa sume lczb przyporządkowanych poszczególnym podzborom.

9 P e w n k p r a w d o p o d o b e ń s tw a o r a z o d p o w a d a ją c e m z a s a d y 1. P ra w d o p o d o b e ń s tw o je s t r z e c z y w s tą lc z b ą d o d a tn ą lu b z e r e m. ( ) 0 d la k a ż d e g o z d a r z e n a 2. J e ś l Ω s ta n o w p r z e s tr z e ń p r ó b y d o ś w a d c z e n a, je g o p r a w d o p o d o b e ń s tw o w y n o s 1. P r a w d o p o d o b e ń s tw o z d a r z e n a p e w n e g o, c z y l z d a rz e n a o b e jm u ją c e g o c a ły z b ó r z d a r z e ń e le m e n ta r n y c h Ω r ó w n e je s t je d n o ś c. (Ω ) = 1 3. J e ż e l s ą z d a rz e n a m w z a je m n e s ę w y k lu c z a ją c y m to p r a w d o p o d o b e ń s tw o z d a r z e n a r ó w n a s ę s u m e p o s z c z e g ó ln y c h p ra w d o p o d o b e ń s t w z d a rz e ń. ( ) = ( ) + ( ) J e ż e l,,..., s ą z d a r z e n a m w z a je m n e w y łą c z a ją c y m s ę, to (... ) = ( ) + ( ) ( ) Z p e w n k ó w ty c h w y p ły w a ją n a s tę p u ją c e w n o s k : d la k a ż d e g o z d a r z e n a ( ) 1, ( ) = 0, (A ') = 1 - ( )

10 . Jeśl lość powtórzeń dośwadczena rośne neogranczene, frakcja lośc przypadków w którym otrzymano dany wynk (częstość względna danego wynku) dąży do prawdopodobeństwa pojawena sę tego wynku w jednym dośwadczenu. Prawo welkch lczb określa sposób estymacj wartośc prawdopodobeństwa. Prawdopodobeństwo jest rozumane wówczas jako częstość jego zajśca w długej ser dośwadczeń. Jest to tak zwana prawdopodobeństwa P( A) = lm n n( A) n gdze - lczba wykonanych dośwadczeń ( ) lczba dośwadczeń w których zrealzowało sę zdarzene. ż ś ż ś ś

11 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Rys.1.5 Frakcje orłów w kolejnych 150 rzutach monetą Źródło: badane własne

12 ń ż ę ń żą 3 1/16 2/16 1/16 druga osoba 2 2/16 4/16 2/16 1 1/16 2/16 1/ perwsza osoba Przestrzeń próby wynków ankety dla dwu osób - zdarzene, polegające na tym że perwsza osoba jest nezdecydowana ( ) = 8/16 = 1/2 - zdarzene polegające na tym, że co najmnej jedna z osób poprze kandydata (tzn. wszystke pary w których występuje 1) ( ) = 7/16

13 ( ) = ( ) + ( ) - ( ) P( A/ B) = podobne P( B / A) = P( A B) P( B) P( A B) P( A) Ω ( ) > 0 ( ) = P( )*P( / ), P( A) > 0 ( ) = P( )*P( / )

14 Jeżel są zdarzenam nezależnym, to wówczas ( / ) = (A) oraz ( / ) = ( ) oraz ( ) = ( )* ( ) n P( B) = P( A ) P( B / A ) = 1 P( A / B) = n P( A ) P( B / A ) = 1 P( A ) P( B / A ) = P( A ) P( B / A ) P( B)

17 Zadane 1 W pojemnku znajduje sę 10 długopsów, w tym: 2 czerwone, 3 zelone 5 nebeskch. Oblczyć prawdopodobeństwo, że: a.) losując długopsy trzykrotne bez zwracana do pojemnka wylosujemy po kole 3 długopsy zelone b.) losując długopsy dwukrotne bez zwracana do pojemnka, dokładne za drugm razem wylosujemy długops nebesk.

18 W urne znajduje sę 1000 anket sondażu poprzedzającego budowę supermarketu. Wśród badanych było 550 kobet 450 mężczyzn. Struktura odpowedz wśród kobet kształtowała sę następująco: odpowedź: jestem za budową sklepu - 65% głosów; odpowedź: jestem przecwny budowe sklepu - 25% głosów; odpowedź: jestem nezdecydowany - 10% głosów. Struktura odpowedz wśród mężczyzn przedstawała sę następująco: odpowedź: jestem za budową sklepu - 55% głosów; odpowedź: jestem przecwny budowe sklepu - 25% głosów; odpowedź: jestem nezdecydowany - 20% głosów. 1.) Oblczyć prawdopodobeństwo zdarzena losowego, że wyberając w sposób losowy jedną anketę trafmy na anketę z zaznaczoną odpowedzą: jestem za budową sklepu. 2.) Wylosowano anketę z zaznaczoną odpowedzą: jestem za budową sklepu, jake jest prawdopodobeństwo, że tę anketę wypełnała kobeta.

19 kobeta mężczyzna K P(K) = 0,55 P(M) = 0,45 M P(A/K) =0,65 P(B/K) = 0,25 P(C/K) = 0,10 P(A/M) = 0,55 P(B/M) = 0,25 P(C/M)) = 0,20 A B C A B C Rys. 1.7 Dendryt Źródło: opracowane własne a. P(A) = P(K) P(A K) +P(M) P(A M). P(A) = 0,55 0,65 + 0,45 0,55 = 0, ,2475 = 0,605 (60,5%). P( K / A) P( K) P( A K) = P( K) P( A K) + P( M ) P( A M ) P( K) P( A P( A) K) =. W analzowanym przykładze szukane prawdopodobeństwo wynese 0,55 0,65 0,3575 P( K / A) = = 0,55 0,65+ 0,45 0,55 0,605 0,59 (59%).

20 Zmenna losowa Intucyjne zmenną losową możemy nazwać taką welkość, która w wynku dośwadczena przyjmuje określoną wartość, znaną po zrealzowanu dośwadczena, a ne dającą sę przewdzeć przed realzacją dośwadczena. Jest to węc taka funkcja, która w wynku dośwadczena przyberze jedną tylko jedną wartość, ze zboru tych wartośc, które ta zmenna może przyjąć. Do oznaczena zmennych losowych używa sę najczęścej welkch końcowych lter alfabetu: X, Y, Z,.., a wartośc tych zmennych (realzacje zmennych losowych) oznacza sę odpowednm małym lteram: x, y, z, które w raze potrzeby rozszerza sę dodatkowo o ndeksy dolne np.: x 1, x 2, x 3, ; y 1, y 2, y 3, td.

21 Rozróżnć można dwa typy zmennych losowych: - zmenne losowe skokowe (dyskretne, zarnste) - zmenne losowe cągłe Perwszy rodzaj zmennych (zmenne skokowe) to take, dla których daje sę określć skończony lub przelczalny zbór wartośc. Przykładem takch zmennych może być: lczba dzec w rodzne, lczba anket z zaznaczoną odpowedzą: poperam wstąpene Polsk do UE, lczba urodzeń, lczba zawartych małżeństw tp. Do zmennych losowych cągłych, zalczane są te zmenne, które mogą przyberać dowolne wartośc lczbowe, z pewnego przedzału lczbowego (w szczególnośc może to być przedzał neskończony). Do zmennych tych zalcza sę na przykład: wzrost w cm, cężar w gramach, temperaturę w stopnach Celsjusza, cśnene w mlmetrach słupa rtęc, grubość w mm, szerokość w cm tp. W praktyce, zbór wartośc zmennej losowej jest zawsze skończony lub przelczalny. Wartośc zmennej losowej różnce mędzy nm zależą od czułośc metody badawczej. Im metoda badawcza jest bardzej czuła, tym zbór wartośc zmennej jest lcznejszy, a różnce mędzy dwema kolejnym dowolnym wartoścam są na tyle małe, że zbór wartośc może być traktowany jak przedzał na os lczb rzeczywstych. Wynka z tego, że właścwe, zmenne losowe pownno dzelć sę na zmenne cągłe tzw. zmenne quas- cągłe. W dalszych rozważanach pozostanemy jednak, przy nazwe zmenne cągłe, pamętając jednocześne, że tak rodzaj zmennej może stneć jedyne w czysto teoretycznej forme.

22 Regułę (metodę), w oparcu o którą odbywa sę rozdzał masy prawdopodobeństwa, na poszczególne wartośc zmennej losowej nazywa sę funkcją rozkładu prawdopodobeństwa (rozkładem prawdopodobeństwa) lub krócej rozkładem zmennej. W przypadku zmennej dyskretnej funkcję rozkładu prawdopodobeństwa można zdefnować następująco: P(X = x ) = p(x ) = p ; = 1,..,k (2.3) lub w forme tabelarycznej: x 1 x 2 x x k (2.4) p 1 p 2 p p k W obydwu przypadkach mus być spełnony warunek: k p = 1 = p 1 + p p +..+ p k = 1 (2.4)

23 W przypadku zmennej losowej cągłej wyznacza sę tzw. funkcję gęstośc prawdopodobeństwa. Funkcją gęstośc prawdopodobeństwa zmennej losowej cągłej X nazwemy funkcję f(x), określoną na zborze lczb rzeczywstych f ( x) P( x X < x+ x lm x 0 x ) = Funkcja f(x) posada następujących własnośc: zdefnowaną następująco: (2.14) 1. f(x) 0, (2.15) 2. dla dowolnych a < b, f ( x) dx= P( a X b) (2.16) Z własnośc (2.16) wynka własność: + 3. f ( x) dx= P( < X <+ ) = 1. (2.16a) Ujmując, rzecz opsowo, powemy, że funkcja gęstośc jest funkcją neujemną, a pole obszaru ogranczone jej wykresem osą odcętych jest równe 1. Ilustruje to rysunek 2.4, na którym został przedstawony przykładowy wykres funkcj gęstośc. b a

24 Dystrybuanta zmennej losowej X = < cągłej dla zmennejlosowej skokowej dla zmennejlosowej o o x x x o dt t f p x F ) ( ) ( R x x X P x F o o o < = ) ( ) (

25 Wartość oczekwana zmennej losowej E( X ) = xf x p ( x) dx dla zmennejlosowej skokowej dla zmennejlosowej cągłej

26 Warancja zmennej losowej = = cągłej losowej dla zmennej skokowej losowej dla zmennej dx x f X E x p X E x X E X E X D ) ( )] ( [ )] ( [ )] ( [ ) ( ) ( ) ( D 2 X X D = odchylene standardowe zmennej losowej ) ( ) ( ) ( X E X E X D =

27 Dośwadczene polega na losowym wyborze 1 studenta z grupy 30 studentów pszących egzamn ze statystyk sprawdzenu jego oceny. Wadomo, że w tej grupe studentów 6 mało ocenę 2.0, 9 mało ocenę 3.0, 3 mało ocenę 3.5, 6 ocenę 4.0, 3 ocenę ocenę 5.0 Funkcję rozkładu prawdopodobeństwa zmennej X można węc przedstawć następująco: p 1 = P(X = 2,0) = 6 = 0, 2, p 2 = P(X = 3,0) = 9 = 0, 3, p 3 = P(X = 3,5) = 3 = 0, 1 30, p 4 = P(X = 4,0) = 6 = 0, 2 30, p 5 = P(X = 4,5) = 3 = 0, 30 1, p 6 = P(X = 5,0) = 3 = 0, lub tabelaryczne Oczywśce = 1 6 = 1 x 2,0 3,0 3,5 4, ,0 p 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,1 p.

28 0,35 0,3 3; 0,3 0,25 0,2 2; 0,2 4; 0,2 p 0,15 0,1 3,5; 0,1 4,5; 0,1 5; 0,1 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 x Rys. 2.1 Wykres funkcj rozkładu prawdopodobeństwa zmennej X z przykładu 2.2 Źródło: Opracowane własne. {kp}

29 Dystrybuanta zmennej losowej x 0 (- ; 2,0] (2,0; 3,0] (3,0; 3,5] (3,5; 4,0] (4,0; 4,5] (4,5; 5,0] (5,0; + ) F(x 0 ) 0 0,2 0,5 0,6 0,8 0,9 1 Wykres dystrybuanty przedstawa rys F(x 0 ) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,5 2 2,5 3 3, x 0 Rys. 2.2 Wykres dystrybuanty zmennej losowej X z przykładu 2.3 Źródło: Opracowane własne

30 Wartość oczekwana E ( X ) = x p 1 x 2,0 3,0 3,5 4, ,0 2 p 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,1 3 x p 0,4 0,9 0,35 0,8 0,45 0,5 4 2 x 4,0 9,0 12,25 16,0 20,25 25,0 5 x 2 p 0,8 2,7 1,225 3,2 2,025 2,5 E(X) = 0,4 + 0,9 + 0,35 + 0,8 + 0,45 + 0,5 = 3,4 Warancja 2 D ( X ) D = [ x E( X )] 2 p lub ( X ) = E( X ) E ( X ) = x p x p p 2 x = (3,4)2 = 11,56. Warancja zmennej X jest równa: D 2 (X) = (0,8 + 2,7 + 1, ,2 + 2, ,5) 11,56 = 0,89, natomast odchylene standardowe: D(X) =,89 0, 94 0.

31 Wybrane rozkłady zmennej losowej Rozkład zero jedynkowy P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1- p = q Wartość oczekwana takej zmennej wynos: natomast warancja: E(X) = p, D 2 (X) = pq. Przykład W magazyne znajduje sę 20 produktów, wśród których jest 5 wadlwych. Dośwadczene polega na losowym pobranu próby o lcznośc n= 1. Nech X oznacza zmenną losową będącą lczbą produktów wadlwych w pobranej próbe. Wyznaczyć rozkład zmennej X, wartość oczekwaną oraz odchylene standardowe.

32 Wybrane rozkłady zmennej losowej Rozkład dwumanowy (Bernoullego) Załóżmy, że rozpatrzymy obecne n zero-jedynkowych zmennych losowych X 1, X 2,,X n. Załóżmy ponadto, że: P(X 1 = 1) = p 1 = P(X 2 = 1) = p 2 = = P(X n = 1) = p n = p. Nech zmenna losowa Z będze sumą rozważanych n zmennych zero jedynkowych: Z = X 1 + X X n Zmenna Z może przyjąć dowolną wartość z = 0, 1, 2,, n. Rozkład prawdopodobeństwa tej zmennej opsuje wzór: ( ) z n z z n z q p z n p p z n p n z Z P = = = 1 ), ; (, gdze!( )!! z n z n z n =.

33 Wybrane rozkłady zmennej losowej Rozkład dwumanowy (Bernoullego) - przykład Przy produkcj wyrobów K L nezbędna jest praca 10 maszyn tego samego typu. Zakładamy, że prawdopodobeństwo awar maszyny w cągu trzech zman roboczych jest jednakowe dla wszystkch maszyn wynos p = 0,3 (maszyny pracują nezależne) Oblczyć prawdopodobeństwo: a.) awar dwóch maszyn b.) awar trzech węcej maszyn

34 Rozkład Possona Zmenna Z posada rozkład Possona 1, jeżel przyjmuje wartośc z = 1, 2, 3, z prawdopodobeństwam 2 : z λ λ P( Z = z;λ) = e, z! gdze λ = np jest parametrem tego rozkładu, natomast e 2,718. Fakt, że zmenna Z ma rozkład Possona o parametrze λ będzemy zapsywać w skróce: Z ~P(λ). W praktyce rozkład Possona używa sę w sytuacj, gdy lczba ser nezależnych dośwadczeń wzrasta do neskończonośc (n ), natomast prawdopodobeństwo sukcesu p maleje do zera (p 0), przy czym np = λ jest welkoścą stałą (λ >0). Z powyższego stwerdzena wynka, że rozkład Possona można traktować, jako rozkład granczny rozkładu dwumanowego. Można zatem zapsać: z n z n z λ λ lm p q = e. n z z! Rozkład Possona stanow tym lepsze przyblżene rozkładu dwumanowego m n jest wększe, a p blższe zera. n 20, a λ 4. Wartość oczekwana oraz warancja zmennej losowej Z o rozkładze Possona wynos: E(Z) = D 2 (Z) = λ, Natomast odchylene standardowe: D (Z) = λ.

35 Rozkład Possona przykład Przy odborze konserw rybnych z magazynów fabrycznych zakłada sę, że 1% towaru może posadać bombaż (wzdęce weczka śwadczące o zepsucu). Oblczyć prawdopodobeństwo, że w losowo pobranej próbe konserw lczącej 100 szt. znajdą sę: a.) dwe konserwy z bombażem, b.) co najwyżej jedna konserwa z bombażem.

36 Rozkład hpergeometryczny N n losowane zależne (bez zwracana) M z gdze P ( Z = z; N, M, n) = M z N M n z N n N-M - lczba elementów w populacj pozbawonych określonej cechy (na rysunku elementy bałe), n z lczba elementów w próbe ne posadających określonej cechy, przy czym: z = 0,1,,n; n N; z M; z n; n z N M., nm E ( Z) = = np, N 2 N n D ( Z) = npq N 1.

37 Rozkład hpergeometryczny - przykład Pewna parta towaru składa sę z 50 sztuk, wśród których znajduje sę 5 wadlwych. Jake jest prawdopodobeństwo tego, że wśród pobranych bez zwracana 3 sztuk, znajdze sę jedna wadlwa.

38 ROZKŁAD PASCALA I ROZKŁAD GEOMETRYCZNY Jeżel przeprowadzamy dośwadczena według schematu Bernoullego o stałym prawdopodobeństwe sukcesu w poszczególnym dośwadczenu równym p aż do momentu uzyskana z góry ustalonej lczby z sukcesów ( z 1), to prawdopodobeństwo, że lczba dośwadczeń będze równa n (n z), wyraża sę wzorem: n 1 z z P N n z p p q n ( =,, ) =, z 1 przy czym n z 1, q = 1- p. Wartość oczekwana warancja zmennej losowej N jest równa odpowedno: z E ( N) =, p 2 z q D ( N) =. 2 p W przypadku, gdy lczba sukcesów z = 1, wzór (3.20) redukuje sę do postac: n 1 P ( N = n, z= 1, p) = pq. Rozkład prawdopodobeństwa zmennej losowej N wyrażony wzorem (3.23) zwykło nazywać sę rozkładem geometrycznym a fakt ten zapsywać w skróce N ~G(p,z). Wartość oczekwaną oraz warancję zmennej losowej o rozkładze geometrycznym opsują wzory: 1 E( N) =, p q p 2 D ( N) =. 2

39 Rozkład Pascala geometryczny przykład Sklep prowadz sprzedaż bater I II gatunku. W magazyne sklepu znajduje sę 70% bater I gatunku 30% II gatunku. Losujemy batere, zwracając po każdym losowanu, do chwl trzykrotnego wycągnęca bater II gatunku. a.) jake jest prawdopodobeństwo, że losowane będze sześcokrotne? b.) jake jest prawdopodobeństwo, że do natrafena na perwszą baterę II gat. potrzeba równeż sześcu losowań?

40 Rozkład prostokątny (jednostajny, równomerny) Zmenna losowa X ma rozkład prostokątny (jednostajny, równomerny) w sytuacj, gdy funkcję gęstośc tej zmennej opsuje wzór: > < = b x dla b x a dla a b a x dla x f ) (. Dystrybuanta zmennej losowej X opsana jest wzorem: b b x dla x a dla a b a x a x dla x F > < = 1 0 ) (.

41 Funkcja gęstośc dystrybuanta rozkładu prostokątnego a E( X ) = D ( X ) = + b 2 ( b ) 2 a 12 2

42 Rozkład prostokątny - przykład Autobus pewnej ln kursuje regularne co 5 mnut. Pasażer przychodz na przystanek w przypadkowym momence ne kerując sę rozkładem jazdy. Nech zmenną losową będze czas oczekwana (w mnutach) pasażera na autobus. a. określć postać funkcj gęstośc oraz postać funkcj dystrybuanty, b. oblczyć prawdopodobeństwo zdarzena losowego, że czas oczekwana na autobus będze lczbą z przedzału (1; 3], c. wyznaczyć wartość oczekwaną, warancję odchylene standardowe zmennej X.

43 f ( x) = 1 exp 2π 1 2 x 2 µ σ f(x) 68,26% 95,45% 99,73% -3 σ - 2 σ - σ µ +σ +2 σ +3 σ x Rozkład normalny

44 W praktyce korzysta sę najczęścej ze zmennej standaryzowanej U~N(µ = 0; σ = 1), która powstaje w wynku następującej transpozycj: X E( X ) U = D( X ). Wartośc zmennej losowej U wynoszą: u = x µ σ. Wartość oczekwana oraz warancja zmennej U wynoszą odpowedno: E(U) = 0; D 2 (U) = 1.

45 Wartośc ϕ(u) dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,l) 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753,5793,5832, ,5948,5987,6026,6064,6103,6141,6179,6217,6255,6293,6331,6368,6406,6443,6480,6517,6554,6591,6628,6664,6700,6736,6772,6808,6844,6879,6915,6950,6985,7019,7054,7088,7123,7157,7190,7224,7257,7290,7324,7357,7389,7422,7454,7486,7517,7549,7580,7611,7642,7673,7704,7734,7764,7794,7823,7852,7881,7910,7939,7967,7995,8023,8051,8078,8106,8133,8159,8186,8212,8238,8264,8289,8340,8340, ,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621,8643,8665,8686,8708,8729,8749,8770,8790,8810,8830,8849,8869,8888,8907,8925,8944,8962,8980,8997,9015,9032,9049,9066,9082,9099,9115,9131,9147,9162,9177,9192,9207,9222,9236,9251,9265,9279,9292,9306,9319,9332,9345,9357,9370,9382,9394,9406,9418,9429,9441,9452,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525,9535,9545,9554,9564,9573,9582,9591,9599,9608,9616,9625,9633,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699,9706,9713,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761,9767 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817,9821,9826,9830,9834,9838,9842,9846, ,9857,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881,9884,9887,9890,9893,9896,9898,9901,9904,9906,9909,9911,9913,9916,9918,9920,9922,9925,9927,9929,9931,9932,9934,9936,9938,9940,9941,9943,9945,9946,9948,9949,9951,9952,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961,9962,9963,9964,9965,9966,9967,9968,9969,9970,9971,9972,9973,9974,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9779,9980,9981,9981,9982,9982,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 Kwantyle u(p) rzędu p rozkładu normalnego N(0,l) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58

46 Tablca I Dystrybuanta Φ(u) = P(U < u) rozkładu normalnego standaryzowanego Φ(u) Φ(u) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Źródło: Opracowane własne z wykorzystanem funkcj Mcrosoft Excel Tablca I a Wybrane kwantyle rozkładu normalnego P(U > u a ) dla U~N(0,1) α 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 u α 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576

47

48 Rozkład normalny - przykład W bardzo dużej grupe studentów przeprowadzono egzamn z Zarządzana jakoścą merząc wynk na cągłej skal od 0 do 40 punktów. Ustalono, że rozkład wynków jest zblżony do normalnego ze średną 29,5 odchylenem standardowym wynoszącym 6,4. 1. Oblczyć prawdopodobeństwo, zdarzena losowego, że wybrany przypadkowo student otrzymał lczbę punktów: a. mnejszą nż 25, b. z przedzału (25; 35), c. wększą nż Wedząc, że 10% studentów otrzymało ocenę bdb, wyznaczyć le mnmalne punktów musel on otrzymać na ocenę 5,0?

49 Rozkład wykładnczy Zmenna T podlega wykładnczemu rozkładow prawdopodobeństwa, jeżel funkcja gęstośc prawdopodobeństwa wyraża sę wzorem: < = ) ( t dla e t dla t f t λ λ ) ( ) ( = = λ λ T D T E > = ) ( t dla e t dla t F t λ Dystrybuanta zmennej losowej T wyraża sę wzorem:

50 Rozkład wykładnczy - przykład Czas bezawaryjnej pracy telewzorów mark SONY jest zmenną losową o rozkładze wykładnczym. Przecętny czas bezawaryjnej pracy wynos 150 mesęcy, oblczyć prawdopodobeństwo tego, że losowo wybrany telewzor będze dzałał poprawne przez co najmnej 60 mesęcy.