Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego"

Transkrypt

1 Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017

2 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych

3 Rozkłady zmiennych skokowych

4 Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może być zdarzenie A lub zdarzenie do niego przeciwne Ā. Niech: P(A) = p, P(A) = 1 p. Na zbiorze zdarzeń elementarnych tego doświadczenia definiujemy zmienną losową X w następujący sposób: X(ω ) = 1, gdy ω A, 0, gdy ω A. Rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej dany jest funkcją prawdopodobieństwa: P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p.

5 Rozkład zero-jedynkowy Wartość oczekiwana tej zmiennej jest równa E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p. Wariancja i odchylenie standardowe są równe: Var(X) = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p(1 p), SD(X) = p(1 p).

6 Przykład. Agent ubezpieczeniowy wie (z doświadczenia), że prawdopodobieństwo sfinalizowania umowy w czasie umówionego spotkania wynosi 0,2. Agent umawia się na jedno spotkanie dziennie. Liczba zawieranych dziennie umów jest zmienną losową X o rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p = 0,2. Jej rozkład dany jest funkcją prawdopodobieństwa określoną za pomocą tabeli: Liczba umów zawartych w ciągu dnia 0 1 Prawdopodobieństwo 0,8 0,2 E(X) = p = 0,2, SD(X) = 0,2 (1 0,2) = 0,4. Agent zawiera dziennie średnio 0,2 ± 0,4 umowy.

7 Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Rozpatrujemy doświadczenie zwane schematem Bernoulliego. Polega ono, jak wiemy, na n-krotnym powtarzaniu tego samego doświadczenia, kończącego się wyłącznie dwoma wynikami: albo sukcesem, z prawdopodobieństwem p, albo porażką, z prawdopodobieństwem q = 1 - p. Na zbiorze zdarzeń elementarnych tego doświadczenia określamy zmienną losową X jako liczbę uzyskanych sukcesów w n próbach. Zgodnie z tym co powiedzieliśmy o prawdopodobieństwie takiego zdarzenia, rozkład zmiennej losowej X opisuje funkcja prawdopodobieństwa dana wzorem: P(X = k) = n k pk q n k, k = 0,1,2,,n.

8 Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Można łatwo pokazać, że wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym są dane wzorami: E(X) = np, SD(X) = npq. Zauważmy również, że z formalnego punktu widzenia, zmienną losową X można traktować jako sumę n niezależnych zerojedynkowych: X 1, X 2,, X n o rozkładzie zero-jedynkowym z tym samym parametrem p: X = X 1 + X X n.

9 Przykład. Nasz Agent postanowił umawiać się na 6 spotkań dziennie. Liczba zawieranych dziennie umów jest zmienną losową X o rozkładzie dwumianowym z parametrami p = 0,2 i n = 6. Jej rozkład dany jest funkcją prawdopodobieństwa: P(X = k) = 6 k 0,2k 0,8 6 k, k = 0,1,,6. Obliczone na podstawie tego wzoru prawdopodobieństwa podajemy w poniższej tabeli: Liczba umów zawartych w ciągu dnia, k Prawdopodobieństwo P(X = k) , , , , , , ,00006

10 Zgodnie ze wzorem na wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym mamy E(X) = np = 6 0,2 = 1,2, SD(X) = 6 0,2 0,8 = 0,98. Agent zawiera dziennie średnio 1,2 ± 0,98 umowy. 0,4 Wykres funkcji prawdopodobieństwa 0,3 0,2 0,

11 Rozkłady Bernoulliego w n = 20 próbach z różnymi parametrami p 0,3 p = 0,2 p = 0,4 p = 0.5 p = 0,9 0,225 0,15 0,

12 Rozkłady Bernoulliego z parametrem p = 0,5 i w różnych parametrach n n = 5 n = 15 n = 50 n = 75 0,4 0,3 0,2 0,

13 Rozkład Poissona Jeśli zmienna losowa jest liczbą zajść pewnego zdarzenia losowego w określonym przedziale czasu, np. liczbą awarii urządzenia w ciągu tygodnia, liczbą wypadków samochodowych w ciągu miesiąca, to jej rozkład opisuje funkcja prawdopodobieństwa postaci: P(X = k) = µ k e µ, k = 0,1,2,3, k! gdzie μ jest wartością oczekiwaną rozkładu i jednocześnie jego wariancją: E(X) = µ, Var(X) = µ.

14 Przykład. W pewnym przedsiębiorstwie zaobserwowano, że w ciągu miesiąca zdarzają się średnio 2 wypadki. Oznaczmy przez X zmienną losową, która jest liczbą wypadków w losowo wybranym miesiącu. Zmienna ta (teoretycznie) może przyjmować każdą wartość k = 0, 1, 2,. Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom k obliczamy, korzystając z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu Poissona, przyjmując parametr μ = 2. Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu nie będzie wypadków wynosi: P(X = 0) = 20 e 2 0! = 1 e 2 = 0,135. Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu będą 4 wypadki jest równe: P(X = 4) = 24 e 2 4! = 2 3e 2 = 0,09.

15 Rozkład Poissona Rozkład Poissona jest też dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n jest duża (n > 20), a prawdopodobieństwo sukcesu p jest niewielkie (p < 0,05) oraz przy rosnącej liczbie prób iloczyn np jest stały (lub zmierza do stałej). Wówczas przyjmuje się μ = np. Poniżej oba rozkłady dla parametrów: n = 100, p = 0,01 0,4 R. dwumianowy R. Poissona 0,3 0,2 0,

16 Rozkład hipergeometryczny Rozważmy eksperyment polegający na losowaniu ze zwracaniem n elementów z populacji liczącej N elementów. Wiemy, że w populacji frakcja interesujących nas elementów wynosi p = R/N. Jeśli zmienna losowa X zlicza interesujące nas elementy w pobranej próbie, to podlega ona rozkładowi dwumianowemu z parametrami n i p. Odmienną sytuację mamy wtedy, gdy losujemy próbę bez zwracania (p zmienia się, bo nie zwracamy). Opisana zmienna losowa X podlega wówczas rozkładowi hipergeometrycznemu. R k N R n k P(X = k) =, k = 0,1,2,...,min{R,n}. N n

17 Przykład. W tym roku na rynek kapitałowy w Polsce weszło 10 nowych spółek, ale tylko 3 z nich (jak wiemy z doświadczenia) będą miały zadowalające wyniki. Takie spółki będziemy traktować jako wyróżnione przez inwestorów, a zakup ich akcji jako sukces. Pewna osoba zakupiła cztery akcje różnych spółek. Niech zmienną losową X będzie liczba akcji spółek dobrze prosperujących wśród wszystkich zakupionych akcji. Zmienna X może przyjmować wartości k = 0, 1, 2, 3 (tylko 3 spółki mają dodatni wynik finansowy) z prawdopodobieństwami opisanymi rozkładem hipergeometrycznym (osoba nie kupowała dwa razy akcji tej samej spółki) P(X = 0) = P(X = 2) = = 0,17, P(X = 1) = = 0,3, P(X = 3) = = 0,5, = 0,

18 Poniżej podana jest tabela rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: x i p i 0,17 0,5 0,3 0,03 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych akcji czterech spółek znajdą się przynajmniej dwie akcje społek dobrze prosperujących? Prawdopodobieństwo to policzymy następująco P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,3+ 0,03 = 0,33. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

19 Rozkład hipergeometryczny Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej o rozkładzie hipergeometrycznym dane są wzorami: E(X) = np = nr N, Var(X) = np(1 p) 1 n N 1 1 N. Jeżeli liczebność populacji N rośnie, to rozkład hipergeometryczny jest zbieżny do rozkładu dwumianowego: P(X = k) = lim N R k N R n k N n = n k pk (1 p) n k.

20 Rozkład geometryczny Jeśli w doświadczeniu losowym schematu Bernoulliego zamiast liczbą sukcesów będziemy się interesowali zmienną losową X, będącą liczbą doświadczeń aż do pojawienia się pierwszego sukcesu, to określimy rozkład geometryczny. Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu to: P(X = k) = pq k 1, k = 0,1,2, gdzie p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, q = 1 - p - prawdopodobieństwo porażki.

21 Rozkład geometryczny Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym wyrażają się wzorami: E(X) = 1 p, Var(X) = q p 2. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

22 Przykład. Najnowsze badania wskazują na 14% procentowy udział Pepsi-Coli w rynku napojów bezalkoholowych i 36% udział Coca-Coli. Firma badająca rynek chce przeprowadzić test smakowy na konsumentach Pepsi. Potencjalnych uczestników badania wybiera się przez losowe odsiewanie konsumentów napojów bezalkoholowych dotąd, aż trafi się na konsumenta Pepsi-Coli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy losowo wybrany konsument będzie konsumentem Pepsi? Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeba będzie zbadać dwóch, trzech, czterech konsumentów, by trafić na pierwszego konsumenta Pepsi? To, że pierwsza zbadana osoba okaże się konsumentem Pepsi jest sukcesem w naszym doświadczeniu. Jego prawdopodobieństwo wynosi p = 0,14. Korzystając z funkcji prawdopodobieństwa mamy: P(X = 1) = pq 1 1 = p = 0,14, P(X = 2) = pq 2 1 = 0,14 0,86 = 0,12, P(X = 3) = pq 3 1 = 0,14 0,86 2 = 0,1 P(X = 4) = pq 4 1 = 0,14 0,86 3 = 0,09.

23 Rozkłady zmiennych ciągłych

24 Rozkład jednostajny w przedziale Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: f (x) = 0 dla x < a 1 b a dla a x b 0 dla x > b 1/(b-a) a b

25 Rozkład jednostajny w przedziale Wartość oczekiwana i wariancja tej zmiennej losowej wynoszą: E(X) = Var(X) = xf (x)dx = a + b 2, (x E(X)) 2 f (x)dx = (b a)2 12 Dystrybuanta rozkładu tej zmiennej losowej jest dana wzorem:. F(x) = P(X x) = 0 dla x < a x a b a dla a x b 1 dla x > b 0 1 a b

26 Przykład. Czas oczekiwania na to, aby prowadzący ćwiczenia podał ocenę z kolokwium jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [3 dni, 8 dni]. Jaki jest przeciętny czas oczekiwania na ocenę? Zgodnie ze wcześniej podanym wzorem: E(X) = a + b 2 = = 5,5, Var(X) = (b a)2 12 = = 2,08. Zatem SD(X) = Var(X) = 1,44, więc przeciętny czas oczekiwania na ocenę szacujemy na 5 dni 12 godzin z odchyleniem plus minus 1 dzień 10,5 godziny.

27 Rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: f (x) = y λ 0 dla x < 0 λe λx dla x 0 0 x

28 Rozkład wykładniczy Rozkład wykładniczy ma zmienna losowa X będąca odstępem czasu między zajściem dwóch zdarzeń, które charakteryzuje rozkład Poissona. Na przykład, jeśli liczba samochodów, które przybywają do stacji obsługi w ciągu minuty ma rozkład Poissona, to odcinek czasu między przybyciem dwóch kolejnych samochodów (mierzony na skali ciągłej) ma rozkład wykładniczy. Dystrybuanta rozkładu wykładniczego jest postaci: F(x) = 0 dla x < 0 1 e λx dla x 0 Wartość oczekiwana i wariancja wynoszą: E(X) = 1/λ, Var(X) = 1/λ.

29 Przykład.Czas jaki maszyna działa zanim ulegnie awarii (czyli odstęp między kolejnymi awariami) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 2 godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy maszyny przez co najmniej jedną godzinę? jaki jest średni odstęp między awariami? Interesuje nas pole pod wykresem funkcji gęstości na prawo od punktu x = 1. Korzystając z dystrybuanty mamy P(X > 1) = 1 P(X 1) = 1 F(1) = 1 (1 e 2 ) = 0,1353. Średnim odstępem między awariami jest E(X) = 1/2 godziny. y 2 P(X>1) 0 1 x

30 Rozkład normalny (Gaussa) Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami μ i σ, jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: f (x) = 1 (x µ)2 exp σ 2π 2σ 2, < x < +. f(x) μ

31 f(x) σ 1 2π μ-σ μ μ+σ

32 Rozkład normalny (Gaussa) f (x) = 1 (x µ)2 exp σ 2π 2σ 2, < x < +. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej X mającej rozkład normalny wynoszą: E(X) = µ, SD(X) = σ. Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną μ i odchyleniem standardowym σ zapisujemy jako: X ~ N(µ,σ ).

33 Rozkład normalny (Gaussa) Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(μ, σ) jest określona wzorem F(x) = σ 1 2π x (t µ)2 exp 2σ 2 dt, < x < +. f(x) F(x) = P(X x) μ x

34 N(5,1) N(5,2) N(10,2) 0,4 0,3 0,2 0,

35 Standaryzowany rozkład normalny Zmienna losowa Z ma rozkład normalny standaryzowany, gdy ma parametry μ = 0 i σ = 1, tzn. Z ~ N(0, 1). Wtedy funkcja gęstości jest postaci f (x) = 1 x2 exp 2π 2, < x < +. f(x) 0

36 0,4 f(x) ,3% 95,4% 99,7%

37 0,4 f(x) 0-2,58-1,96-1,64 0 1,64 1,96 2,58 90% 95% 99%

38 Krzywa y = f(x) jest symetryczna względem osi y, Pole pod całą krzywą jest równe 1, Pola zaciemnione na rysunku są równe, Pole pod lewym ogonem jest równe F(-z), a pod prawym ogonem jest równe 1 - F(z). 0,4 f(x) P(Z < -z) P(Z > z) = 1 - P(Z z) 0 -z 0 z

39 Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej Z o standardowym rozkładzie normalnym. Wtedy zachodzą wzory: F(-z) = 1 - F(z), P( -z < Z < z ) = F(z) - F(-z) = 2F(z) ,4 f(x) P(Z < -z) P(Z > z) = 1 - P(Z z) 0 -z 0 z

40 Standaryzowany rozkład normalny Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego zostały ułożone w tablice postaci: x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,0 0, , , , , , , ,1 0, , , , , , , ,2 0, , , , , , , ,3 0, , , , , , , ,4 0, , , , , , , ,5 0, , , , , , , ,6 0, , , , , , ,74537

41 Standaryzowany rozkład normalny Przykład. F(-0,32) = 1 - F(0,32)=1-0,62552 = 0,37448; P(-0,5 < Z < 0,5) = 2F(0,5) - 1 =2 0, =0, x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,0 0, , , , , , , ,1 0, , , , , , , ,2 0, , , , , , , ,3 0, , , , , , , ,4 0, , , , , , , ,5 0, , , , , , , ,6 0, , , , , , ,74537

42 Znajdowanie prawdopodobieństw w tablicach standaryzowanego rozkładu normalnego 1. Znajdziemy prawdopodobieństwo, że wartość standaryzowanej normalnej zmiennej losowej znajdzie się między 0 a 1,56. P(0 < Z < 1,56) = F(1,56) F(0) = 0, ,5 = 0,44062 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,97670

43 1,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , ,88298 Znajdowanie prawdopodobieństw w tablicach 1,2 0, , , , , , , , , ,90147 standaryzowanego rozkładu normalnego 1,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , Znajdziemy prawdopodobieństwo, że wartość standaryzowanej normalnej zmiennej losowej będzie mniejsza od -2,47. 1,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , ,97062 P(Z < 2,47) = P(Z > 2,47) = 1 P(Z 2,47) = 1 F(2,47) = 1,9 0, , , , , , , , , , ,99324 = 0, ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , ,98899 x 2,3 0,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , ,99807

44 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie 1. Znajdziemy taką wartość standaryzowanej zmiennej losowej normalnej Z, by prawdopodobieństwo, że zmienna Z przyjmie wartość mniejszą od z było równe 0,40. P(Z < z) = 0,40 Z własności dystrybuanty zmiennej losowej Z wynika, że poszukiwane z < 0. P(Z < z) = P(Z > z) = 1 P(Z z) = 1 F( z). Stąd należy rozwiązać równanie lub równoważnie 1 F( z) = 0,4 F( z) = 0,6

45 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie F( z) = 0,6 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,2 0, , , , , , , , , ,61409 Stąd -z = 0,26, a więc poszukiwana wartość z, to z = -0,26.

46 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie 2. Znajdziemy przedział położony symetrycznie wokół 0, któremu odpowiada prawdopodobieństwo 0,80 znalezienia wartości standaryzowanej normalnej zmiennej losowej w tym przedziale. Szukamy zatem z takiego, że P( z < Z < z) = 0,8 Z własności dystrybuanty zmiennej losowej Z wynika, że poszukiwane z < 0. Szukamy więc takiego z, że P( z < Z < z) = 2F(z) 1 2F(z) 1 = 0,8

47 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie Równanie jest równoważne równaniu 2F(z) 1 = 0,8 F(z) = 0,9 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,2 0, , , , , , , , , , , , , ,91774 Stąd poszukiwana wartość z, to z = 1,29 czyli 1,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , ,94408 P( 1,29 < Z < 1,29) = 0,8 1,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , ,97062

48 Przekształcenia normalnej zmiennej losowej Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z parametrami μ i σ, czyli X ~ N(μ, σ). Wówczas zmienna losowa Z określona wzorem Z = X µ σ ma standaryzowany rozkład normalny, czyli Z ~ N(0, 1). Przekształceniem odwrotnym jest X = µ + Zσ. Przy powyższych przekształceniach prawdopodobieństwa się nie zmieniają. To tłumaczy fakt, że tablice skonstruowano tylko dla standaryzowanego rozkładu normalnego.

49 P(X < b) = P X µ < b µ σ σ = P Z < b µ σ P(X > a) = P X µ > a µ σ σ = P Z < a µ σ P(a < X < b) = P a µ < X µ < b µ σ σ σ = P a µ < Z < b µ σ σ

50 Korzystanie z przekształcenia rozkładu normalnego 1. Niech X ~ N(50, 10). Znajdziemy prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej X są większe od 60, czyli P(X > 60). P(X > 60) = P X > = P(Z > 1) = 10 = 1 P(Z 1) = 1 F(1) = 1 0,84 = 0,16. x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,0 0, , , , , , , , , ,86214

51 Korzystanie z przekształcenia rozkładu normalnego 2. Przypuśćmy, że wiemy iż pewna zmienna X ~ N(120, σ), czyni nie znamy σ. Wiemy natomiast, że P(X > 125) = 0,05. Ile wynosi σ? P(X > 125) = P Z > σ = P Z > 5 σ = 1 P Z 5 σ Otrzymujemy więc równanie równoważne z równaniem 0,05 = 1 F 5 σ F 5 σ = 0,95.

52 Korzystanie z przekształcenia rozkładu normalnego F 5 σ = 0,95. 0, ,4 0, , , , , , , , , ,93189 x 1,5 0,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , ,96327 Stąd odszukujemy, że skąd 1,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,97670 σ = 1,64, 2,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , ,98899 σ = 5 1,64 = 3,05. 2,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , ,99361

53 Rozkład chi-kwadrat (χ 2 ) Rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody ma zmienna losowa χ 2 postaci χ 2 = X X X k 2, gdzie X i są niezależnymi standaryzowanymi zmiennymi losowymi normalnymi. f(x) E(χ 2 ) = k, 0,3 SD(χ 2 ) = 2k

54 Wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat dla różnych stopni swobody 0, stopnie swobody 5 stopni swobody 10 stopni swobody

55 Rozkład t Studenta postaci Rozkład t Studenta z k stopniami swobody ma zmienna losowa t t = Z χ 2 k, gdzie Z i χ 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi: Z ma standaryzowany rozkład normalny, χ 2 ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody. 0

56 Rozkład t Studenta Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej t: E(t) = 0, SD(t) = k/(k - 2). Dla dużych k rozkład t Studenta jest zbliżony do standaryzowanego rozkładu normalnego. 0

57 Krytyczne wartości t α/2 w rozkładzie t Studenta Stopnie swobody t 0,1 t 0,05 t 0,025 t 0,01 t 0, ,078 6,314 12,706 31,821 63, ,886 2,920 4,303 6,965 9, ,638 2,353 3,182 4,541 5, ,533 2,132 2,776 3,747 4, ,476 2,015 2,571 3,365 4, ,440 1,943 2,447 3,143 3, ,415 1,895 2,365 2,998 3, ,397 1,860 2,306 2,896 3, ,383 1,833 2,262 2,821 3, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 P(t > t α /2 ) = α / 2 0 t α/2

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K. TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa. Przedział ufności

Estymacja przedziałowa. Przedział ufności Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R Zmienna losowa X,

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny

Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny 1. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego pracownika w ciągu godziny jest zmienną losową o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2 64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy.

18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy. 1 Czy iloczyn macierzy, które nie są kwadratowe może być macierzą kwadratową? Podaj przykład 2 Czy każde dwie macierze jednostkowe są równe? Podaj przykład 3 Czy mnożenie macierzy przez macierz jednostkową

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 11 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Powtórzenie materiału 2 Zadanie 1 Wykład 1 Eksperyment polega na pojedynczym rzucie symetryczną kostką. Przestrzeń zdarzeń

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

Modelowanie systemów liczacych. Ćwiczenie 2.

Modelowanie systemów liczacych. Ćwiczenie 2. Modelowanie systemów liczacych. Ćwiczenie 2. 1. Rozkłady i dystrybuanty w programie MATLAB Do odczytywania wartości prawdopodobieństwa typu P(X = X a ) przy ustalonym rozkładzie oraz zadanej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo