Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Transkrypt

1 Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni

2 Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie wartości z zadanego przedziału (a, b), nie jest zmienna losowa dyskretna, ponieważ elementów tego przedziału nie da się ustawić w ciag ("ponumerować"). - G. Cantor 1873 twierdzenie wszystkich liczb rzeczywistych nie da się ustawić w ciag.

3 Rozkład dyskretnej zmiennej losowej Zbiór wartości dyskretnej zmiennej losowej X ciag x 1, x 2,..., (skończony lub nieskończony). Rozkład zmiennej losowej dyskretnej X jest określony przez nieujemne liczby p 1, p 2,... spełniajace warunki: pi = 1, (1) p i = P(X = x i ). (2) Uwaga 1 Gdy p 1, p 2,... jest zbiorem nieskończonym, wtedy suma (1) jest granica ciagu o wyrazach p 1, p 1 + p 2, p 1 + p 2 + p 3,...

4 Zmienne losowe typu ciagłego Definicja 2 Mówimy, że zmienna losowa X jest typu ciagłego, jeśli istnieje nieujemna funkcja g taka, że dla każdych a < b P(a X b) = b a g(x)dx. Funkcja g to tzw. funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej X. Przykłady: rozkład normalny, rozkład jednostajny (Por. Wykład 14, sem. 1).

5 Dyskretne zmienne losowe przykłady Przykłady: Rozkład dwumianowy (por. Wykład 13, sem. 1, r. akad. 2015/2016); Rozkład U, sumy oczek w dwukrotnym rzucie kostka (por. Wykład 13, sem. 1, r. akad. 2015/2016); Rozkład zmiennej losowej dyskretnej W o rozkładzie danej tabelka: x i p i 0,5 0,3 0,2 Rozkład Z, gdzie Z oznacza liczbę rzutów moneta, po której po raz pierwszy wypada orzeł (zdarzeniu polegajacemu na tym, że orzeł wypadnie już w pierwszym rzucie, odpowiada wartość zmiennej Z równa 0). z niezależności zdarzeń: ( 1 ) k+1, P(Z = k) = k = 0, 1, 2, Zmienna losowa Z przykład dyskretnej zmiennej losowej, dla

6 Dystrybuanta rozkładu dyskretnego Przypomnijmy, że dystrybuantę F X rozkładu zmiennej losowej X określamy wzorem: F X (t) = P(X t). Można udowodnić, że dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej jest funkcja: przedziałami stała (schodkowa); prawostronnie ciagł a. Uwaga 2 Niektórzy autorzy definiuja dystrybuantę przy użyciu powyższego wzoru, w którym słaba nierówność ( ) została zamieniona na mocna nierówność ( < ). Przy tak zmodyfikowanej definicji dystrybuanta jest funkcja lewostronnie ciagł a (por. np. ksiażkę Krysickiego i in.).

7 Przykład Jeśli V ma rozkład Bin(2; 0,8), to jej dystrybuanta F V dana wzorem 0 x < 0 0,04 x [0, 1) F V (x) = 0,36 x [1, 2) 1 x [2, )

8 Funkcja kwantylowa Jeśli zmienna losowa X ma dystrybuantę ciagł a i rosnac a na R (zbiorem wartości F X jest (0, 1)), to funkcję kwantylowa Q X określamy jako funkcję odwrotna do dystrybuanty F X. Jeśli F X jest ściśle rosnaca na przedziale I, a dla argumentów spoza tego przedziału przybiera wartości 0 lub 1, to funkcję kwantylowa określamy jako funkcję odwrotna do funkcji G X, której dziedzina jest równa I, określona wzorem G X (t) = F X (t), t I. Dla ustalonego rozkładu wartość funkcji kwantylowej dla c (0, 1) nazywamy kwantylem rzędu c. Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy mediana, kwantyle rzędu 0,25 i 0,75 nazywamy, odpowiednio, kwartylem dolnym i kwartylem górnym (danego rozkładu).

9 Przykład Dla zmiennej losowej Y o rozkładzie jednostajnym U(0, 1), której gęstość g dana jest wzorem 0 x < 0 g(x) = 1 x [0, 1] 0 x (1, ) funkcja kwantylowa Q Y jest dana wzorem: Q Y (t) = t, t (0, 1).

10 Przykład Dla zmiennej losowej W typu ciagłego, której gęstość h dana jest wzorem 0 x < 0 h(x) = x/2 x [0, 2] 0 x (2, ) funkcja kwantylowa Q W jest dana wzorem: Q W (t) = 2 t, t (0, 1).

11 Funkcja kwantylowa c.d. Dla dyskretnej zmiennej losowej X(i dla zmiennych, które nie sa dyskretne, ale nie spełniaja wyżej wymienionych warunków) funkcję kwantylowa Q X można określić wzorem Q X (u) = min{t R : F X (t) u}, u (0, 1), gdzie F X oznacza dystrybuantę zmiennej losowej X. Uwaga Definicję tę można stosować dla dowolnej zmiennej losowej; w przypadku, gdy zmienna losowa ma dystrybuantę: rosnac a na R; rosnac a na przedziale I, a dla argumentów spoza tego przedziału przybiera wartości 0 lub 1, wartości funkcji Q X (u) s a równe wartościom funkcji kwantylowej zdefiniowanej uprzednio dla tych szczególnych klas zmiennych losowych.

12 Przykład Dla zmiennej losowej V funkcja kwantylowa Q V ma postać 0, t (0; 0,04]; Q V (t) = 1, t (0,04; 0,36]; 2, t (0,36; 1);

13 Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym Mówimy, że zmienna losowa typu ciagłego X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 jeżeli jej funkcja gęstości g ma postać { 0, x 0, g(x) = λe λx (3), x > 0.

14 Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: zastosowania czas bezawaryjnej pracy pewnych przedmiotów (urzadzeń), takich jak np. żarówka; czas oczekiwania na rozpad czasteczki radioaktywnej; wartości maksymalne dziennego opadu w danym roku.

15 Rozkład wykładniczy: brak pamięci Niech X będzie zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0. Dla dowolnych a i b dodatnich prawdziwa jest równość: Istotnie P(X > a + b X a) = P(X > b). = P(X > a + b) P(X > a) P(X > a + b X > a) = = P(X > a) P(X > a + b) exp [ λ(a + b)] = = exp [ λb] = P(X > b). P(X > a) exp [ λ(a)] Interpretacja: X jest czasem bezawaryjnej pracy pewnego urzadzenia, to niezależnie od dotychczasowego czasu pracy tego urzadzenia, dalszy czas pracy ma taki sam rozkład jak całkowity czas pracy (czyli rozkład wykładniczy z parametrem λ).

16 Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: przykład zastosowań Czas życia żarówki X jest zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym z wartościa oczekiwana równa 10 (jednostka pomiaru jest miesiac). Chcemy obliczyć: prawdopodobieństwo, że żarówka będzie bezawaryjnie funkcjonować przez 15 miesięcy; kwantyl rzędu 0,95 czasu życia żarówki. Rozwiazanie Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1/ P(X 15) = e x/10 dx = 1 [ e x/10 ] 15 0 = e 3/2 0, Prawdopodobieństwo to można obliczyć wykorzystujac pakiet R w następujacy sposób: > 1-pexp(3/2) [1]

17 Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: przykład zastosowań c.d. Oznaczmy kwantyl rzędu 0,95 dla rozkładu zmiennej X majacej rozkład wykładniczy z parametrem λ = 0,1 przez c. Stała c spełnia jest rozwiazaniem równania: Stad: c e x/10 dx = 0,95. 1 e c/10 =0,95; e c/10 =0,05; c = 10 log 20 29, Kwantyl ten można obliczyć przy użyciu R: > qexp(0.95,0.1) [1] c/10 = log 0,05 = log 20;

18 Pojęcie rozkładu Rozkład zmiennej losowej X jest funkcja przyporzadkowuj ac a takim zbiorom jak: przedziały, sumy przedziałów itd. prawdopodobieństwa należenia X do tych zbiorów; pełen opis rodziny zbiorów, będacych dziedzina tej funkcji, jest trudny (ta rodzina to tzw. zbiory borelowskie na prostej) Twierdzenie 1 Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy rozkładami zmiennych losowych a ich dystrybuantami.

19 Lektura uzupełniajaca [Bed04] Bednarski, T., Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004, str [KM01] Koronacki, J., Mielniczuk, J. Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT. Warszawa 2001, podrozdział 2.2.1, str [Kry99] Krysicki, W., Bartos, J., Dyczka, W., Królikowska, K. i Wasilewski, M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Cz. 1, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN 1999.