zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno."

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Matematyczny model ciała zdarzeń losowych to rodzina wszystkich podzbiorów pewnego zbioru, gdzie - nazywamy zdarzeniem pewnym, czyli zbiorem wszystkich możliwych wyników - Przykład: dla rzutów monetą ł,, dla losowania punktu na odcinku to cały odcinek. nazywamy zdarzeniem niemożliwym zdarzenia elementarne takie zdarzenie którego nie da się nietrywialnie rozłożyć tzn. jedyne rozkłady typu są postaci,,, Każde zdarzenie można przedstawić jako sumę zdarzeń elementarnych. Ciało zdarzeń oznaczamy jako.

2 Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia A to określenie procentowo szans zajścia tego Matematyczny model rozkładu prawdopodobieństwa to funkcja Spełniająca warunki: zdarzenia. Prawdopodobieństwo określa się w skali 0-100% zatem 0-1. :, dla każdej pary zdarzeń, takiej, że. Z tak postawionej definicji wynika ponadto, że: \ - prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.. UWAGA: Zgodnie z ostatnim warunkiem prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0. Nie zachodzi związek przeciwny tzn. zdarzenie o prawdopodobieństwie 0 nie koniecznie jest zdarzeniem niemożliwym.

3 Rozkład prawdopodobieństwa Zauważmy najpierw: Każde zdarzenie można przedstawić jako sumę zdarzeń elementarnych. Na mocy punktu 3. definicji prawdopodobieństwa i poprzedniej uwagi nie ma potrzeby określać prawdopodobieństwa na całym ciele zdarzeń losowych, a jedynie na zdarzeniach elementarnych. Wystarczy więc podać prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Jak określić prawdopodobieństwo: dla skończonego zbioru zawsze można wypisać prawdopodobieństwa np. za pomocą tabeli, dla zbioru nieskończonego nie jesteśmy tego w stanie zrobić. Rozwiązaniem jest określenie prawdopodobieństwa za pomocą wzoru. Problem w tym, że zdarzenie elementarne nie jest z reguły liczbą.

4 Wprowadzamy tzw. zmienną losową która zdarzeniom losowym przypisuje wartości liczbowe. Zmienne losowe są na tyle wygodnym narzędziem, że wprowadzamy je dla skończonych i nieskończonych zbiorów zdarzeń. Przykłady: 1. rzucając kostką do gry losujemy tak naprawdę jedną ze ścian, taka ściana ma nadany numer poprzez określenie liczby oczek, 2. losując punkt na odcinku, możemy mu przypisać liczbę równą odległości od ustalonego końca odcinka, 3. rzucając monetą przypisujemy reszce wartość 0, orzełkowi wartość 1. Następnie wartościom zmiennej losowej, które są liczbami, przypisujemy prawdopodobieństwa. ZDARZENIA ELEMENTARNE WARTOŚCI ZMIENNEJ LOSOWEJ PRAWDOPODOBIEŃSTWA

5 Wyróżniamy dwa typy zmiennych losowych: 1. Skokowe wartości zmiennej losowej są z reguły podzbiorem liczb całkowitych, taka zmienna losowa skacze od jednej wartości do następnej, nie przyjmując wartości pośrednich. Przykłady - kostka, moneta. 2. Ciągłe wartości zmiennej losowej są gęste, tzn. pomiędzy dwoma dowolnymi wartościami zawsze znajdziemy kolejne które zmienna również przyjmie, taka zmienna losowa przechodzi płynnie poprzez swoje wartości. Przykład: Losowanie punktu na odcinku pomiędzy każdymi dwoma punktami na odcinku (czyli liczbami rzeczywistymi) istnieją punkty (liczby rzeczywiste) które mogą zostać wylosowane.

6 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu skokowego. Rozkład prawdopodobieństwa określamy na kolejnych wartościach zmiennej losowej, z reguły przy użyciu tabeli Skończona liczba wartości x 1 x 2 x K x N p 1 p 2 p K p N Lub niekończona liczba wartości x 1 x 2 x K p 1 p 2 p K

7 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego. Jakie jest prawdopodobieństwo zakończenia tych zajęć dokładnie o ustalonej godzinie? Zero dlaczego? - Zanim zdążymy powiedzieć która jest godzina będzie już inna. Mówiąc, że jest 15:00 mamy tak naprawdę na myśli około 15:00 z dokładnością do np. jednej minuty czyli przedział 14:59:30-15:00:29. Zmienna losowa typu ciągłego przechodząc przez zbiór wartości przyjmuje ich na tyle dużo, że prawdopodobieństwo przyjęcia każdej pojedynczej wartości wynosi zero. Interesuje nas określenie prawdopodobieństwa na większych podzbiorach zbioru wartości. Tak jak w powyższym przykładzie dla przedziału jednominutowego. Dla zmiennej losowej typu ciągłego określamy funkcję gęstości, a prawdopodobieństwo osiągnięcia wartości ze zbioru jako całkę po zbiorze z funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

8 Przykład Funkcja gęstości tzw. rozkładu normalnego,. Na wykresie zaznaczono prawdopodobieństwo 0,4 1 tzn. prawdopodobieństwo osiągnięcia przez zmienną losową wartości z przedziału (0,4;1) jest równe zaznaczonemu polu co jest równe 1,2, dx 1 0,8 0,6 0,4 0,2 P(0,4<X<1)

9 Własności funkcji gęstości: D 0 f x dx 1 Funkcja dystrybuanty jest określona jako. Własności: Dziedziną dystrybuanty są liczby rzeczywiste Dystrybuanta Wartości dystrybuanty to prawdopodobieństwa, więc liczby z przedziału [0,1] Jest to funkcja niemalejąca Jest prawostronnie ciągła UWAGA: Istnieje alternatywna definicja dystrybuanty nawet bardziej popularna. Przy takiej definicji ostatnia własność zmienia się na lewostronną ciągłość. My przyjmujemy definicję zgodną z EXCELEM.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba 3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,

Bardziej szczegółowo

18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy.

18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy. 1 Czy iloczyn macierzy, które nie są kwadratowe może być macierzą kwadratową? Podaj przykład 2 Czy każde dwie macierze jednostkowe są równe? Podaj przykład 3 Czy mnożenie macierzy przez macierz jednostkową

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Kurs w skrócie

Wstęp. Kurs w skrócie Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi od łacińskiego słowa status, które oznacza

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16) Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz

Bardziej szczegółowo

6.4 Podstawowe metody statystyczne

6.4 Podstawowe metody statystyczne 156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo