Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Transkrypt

1 Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1

2 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. 2. Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. 3. Rozkłady skokowe. 4. Parametry rozkładu. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 2

3 Przykłady: Doświadczenie losowe rzut kostką do gry rzut monetą losowanie kuli z urny losowanie karty z talii kart strzał do celu Mogą być powtarzane wielokrotnie. Doświadczenie losowe to takie doświadczenie, o którym nie wiadomo z góry, jaki będzie wynik, choć wiadomo, jakie wyniki mogą się pojawić. Pojedynczy wynik doświadczenia losowego nazywa się zdarzeniem elementarnym. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 3

4 Opis matematyczny dośw. los. Przykład 1. Doświadczenie losowe D - rzut monetą. Wszystkie możliwe wyniki (zdarzenia elementarne): orzeł, reszka. Zbiór wszystkich możliwych wyników: O, R Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego (zdarzeń elementarnych) nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych, ozn. Ω. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 4

5 Zdarzenie losowe Przykład 2. Doświadczenie losowe D - rzut kostką do gry. Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6 Przyjmujemy, że kostka jest rzetelna, symetryczna (wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne). A zdarzenie losowe polegające na tym, że wypadły dokładnie dwa oczka A 2 W nawiasach podajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu losowemu A. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 5

6 Przykład 2 cd. B zdarzenie losowe polegające na tym, że wypadły co najmniej cztery oczka B 4, 5, 6 Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 6

7 Moc zbioru Oznaczenie Y moc zbioru Y Moc zbioru Y to liczba elementów tego zbioru. W przykładzie 2: Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω 6 A 2 A 1 B 4, 5, 6 B 3 Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 7

8 Oznaczenie Prawdopodobieństwo Wzór Laplace'a (1812) klasyczna definicja p-stwa P(A) - p-stwo zdarzenia losowego A P A A Ω Komentarz o definicji i warunkach stosowania wzoru. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 8

9 P P 1 6 Przykład 2 cd. A 0,167 16,7 % A Ω 3 B 0,5 50 % B Ω 6 Inne przykłady. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 9

10 Definicja aksjomatyczna p-stwa Kołmogorowa (1933) P-stwo zdarzenia losowego A, dla A Ω, ma spełniać następujące warunki (aksjomaty): P P P A 0, Ω 1, A A PA PA gdzie A 1, A 2,... - zdarzenia losowe wykluczające się (zbiory rozłączne). Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 10

11 Pojęcie zmiennej losowej Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 11

12 Przykład Przykład. W pewnej grze gracz rzuca kostką. Jeżeli wypadnie więcej niż 4 oczka, to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł. Jak najpełniej opisać wygraną gracza? Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 12

13 Przykład cd. D wyniki dośw. D: wygrana gracza: wygrana x i : p-stwo p i : 4/6 = 2/3 2/6 = 1/3 Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 13

14 Przykład cd. Dośw. los. D - rzut kostką do gry Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6 A 1 - zdarzenie losowe polegające na tym, że gracz dostaje 10 zł: 5, 6 A 1 A 2 - zdarzenie losowe polegające na tym, że gracz płaci 1 zł: 1, 2, 3, A 2 PA PA Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 14

15 Przykład cd. D Zmienna losowa wyniki dośw. D: wygrana gracza: wygrana x i : p-stwo p i : 4/6 = 2/3 2/6 = 1/3 Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 15

16 Zmienna losowa - definicja Zmienna losowa to funkcja, która wynikom doświadczenia losowego przyporządkowuje wartości liczbowe. Ozn.: X, Y, Z,..., X 1, X 2, X 3,... X : wynik liczba Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 16

17 Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Zmienna losowa X wygrana gracza Tabelka: wartości x i : p-stwo p i : 2/3 1/3 przedstawia rozkład zmiennej losowej X. Rozkład zmiennej losowej, to jej opis: jakie wartości przyjmuje oraz z jakimi prawdopodobieństwami. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 17

18 Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Funkcja rozkładu p-stwa*: f (x i )=p i *w skrócie frp Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 18

19 Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Funkcja rozkładu p-stwa*: f (x i )=p i p-stwo p i 2/3 Frp (także jej wykres) przedstawia rozkład zmiennej losowej X. 1/ wartości x i Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 19

20 Dystrybuanta - definicja Dystrybuanta zmiennej losowej X: F X def t PX t, t R Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 20

21 Wykres dystrybuanty przykład F X (t) 1 2/ t Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 21

22 Komentarz Był przykład: Jeżeli w rzucie kostką wypadnie więcej niż 4 oczka, to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł. Zmienna losowa X wygrana gracza. Polecenie. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X: zapisz w tabelce, narysuj wykres frp, narysuj wykres dystrybuanty. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 22

23 Komentarz cd. Może być: Zadanie. Wyznacz rozkład liczby szóstek w dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. Zmienna losowa? Doświadczenie losowe? Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 23

24 Komentarz cd. Zadanie. Wyznacz rozkład liczby szóstek w dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. Wyznacz rozkład zmiennej losowej... Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 24

25 Komentarz cd. Zadanie. Wyznacz rozkład liczby szóstek w dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. Wyznacz rozkład zmiennej losowej... Doświadczenie losowe... Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 25

26 Komentarz cd. Zadanie. Wyznacz rozkład liczby szóstek w dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. Doświadczenie losowe to dwukrotny rzut kostką. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 26

27 Komentarz cd. Zadanie. Wyznacz rozkład liczby szóstek w dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. Doświadczenie losowe to dwukrotny rzut kostką. Zmienna losowa to liczba szóstek w dwukrotnym rzucie kostką. Rozwiązanie, przykład na tablicy. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 27

28 Komentarz Różnie określone zmienne losowe X, Y, nawet z różnych doświadczeń losowych D X, D Y i przestrzeni Ω X, Ω Y, mogą mieć jednakowe rozkłady (przykład na tablicy). Dlatego można badać własności samych rozkładów, pomijając słowny opis zmiennej losowej. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 28

29 Typy rozkładów Rozkłady skokowe (dyskretne) ciągłe Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 29

30 Przykłady rozkładów skokowych dwupunktowy (0-1) równomierny dwumianowy Poissona (czyt.: płasona) Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 30

31 Rozkład dwupunktowy Inne nazwy: zero-jedynkowy, 0-1. wartości x i 0 1 p-stwo p i 1 - p p p i = 1 Wykres funkcji rozkładu p-stwa pstwo 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,5 1 1,5 wartości zm. los.x Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 31

32 Przykłady rozkładów dwupunktowych Rozkład 0-1 p=0,5 Rozkład 0-1 p=0,8 pstwo 1 pstwo 1 0,5 0, ,5 1 1,5 wartości zm. los. X 0 0 0,5 1 1,5 wartości zm. los. X Zadanie* Narysuj wykres dystrybuanty dla przedstawionych przykładów. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 32

33 Rozkład równomierny wartości x i x 1 x 2... x n p-stwo p i p p... p p = 1 zatem p = 1/n Wykres funkcji rozkładu p-stwa pstwo 0,18 0,14 0, wartości zm. los. X Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 33

34 Rozkład dwumianowy B(n, p) Wartości k: 0, 1, 2,..., n P-stwo: P n ( X n! k) p k 1 n k! k! n k p n, p parametry rozkładu Interpretacja parametrów W schemacie n doświadczeń niezależnych Bernoulliego: n liczba prób p p-stwo sukcesu w pojedynczej próbie Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 34

35 Wykres funkcji rozkładu B(n, p) Wykres funkcji rozkładu p-stwa dla n = 10 pstwo 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, p = 0,5 p = 0,8 wartości zm. los. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 35

36 Rozkład Poissona P(λ) Wartości k: 0, 1, 2,... P-stwo: e λ λ k P ( X k) k! λ parametr rozkładu, λ > 0 Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 36

37 Wykres funkcji rozkładu P(λ) Wykres funkcji rozkładu p-stwa 0,3 0,25 λ=2 λ=10 0,2 0,15 0,1 0, Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 37

38 Charakterystyki rozkładu Nazwy i oznaczenia: nazwa: średnia wariancja ozn.: EX, μ D 2 X, σ 2 odchylenie standardowe X D 2, σ Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 38

39 Wzory dla rozkładu skokowego X - zmienna losowa skokowa wartość x i x 1 x 2... x n pstwo p i p 1 p 2... p n def EX x p x p x n p n i x i p i D 2 X def x 2 2 x EX p x EX p... x EX 1 EX 2 i i i Obliczenia na tablicy. p n 2 p n Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 39

40 * Wzory Charakterystyki rozkładu dwumianowego EX = np D 2 X = np(1-p) Charakterystyki rozkładu Poissona EX = λ D 2 X = λ Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 40

41 Typy rozkładów Rozkład skokowy ciągły Przykłady: dwupunktowy (0-1) równomierny dwumianowy Poissona Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego. Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 41