Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Transkrypt

1 21 marca 2011

2 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na przyk lad: 1 odczyty na skali; 2 końcowe parametry jakiegoś procesu technologicznego; 3 liczba osób w kolejce.

3 Klasyfikacja zmiennych Stevensa 1 Zmienne jakościowe (nazywane również kategorycznymi, czynnikowymi), to zmienne przyjmujace określona liczbe wartości (najcześciej nie liczbowych), binarne, np. p leć (kobieta/meżczyzna), nominalne, np. marka samochodu, porzadkowe, np. wykszta lcenie (podstawowe, średnie, wyższe) 2 Zmienne ilościowe, opisuja ilość. Wyróżnia sie skale: licznikowa (liczebność wystapień pewnego zjawiska, opisywana przez liczby naturalne) np. liczba lat nauki, przedzia low a (interwa low a) skala, w której zmienna może przyjmować dowolne wartości z określonego przedzia lu,

4 Zmienna losowa i jej dystrybuanta Zmienna losowa nazywamy funkcje X określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych R. Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami X, Y, Z a ich konkretne wartości ma lymi literami x, y, z.

5 Przyk lad - Rzut kostka Niech Ω = {ω 1,..., ω 6 }, gdzie ω i, i = 1, 2,..., 6 oznacza zdarzenie elementarne polegajace na wyrzuceniu i-oczek. Określmy zmienna losowa X (ω i ) = i, i = 1, 2,..., 6.

6 Prawdopodobieństwo przyjecia przez zmienna losowa wartości z danego zbioru Zdarzeniami losowymi sa również zbiory definiowane w nastepuj acy sposób: {ω : X (ω) A} gdzie A jest dowolnym podzbiorem R.

7 Prawdopodobieństwo przyjecia przez zmienna losowa wartości z danego zbioru Prawdopodobieństwo P(X A) przyjecia przez zmienna losowa X wartości ze zbioru A gdzie A R, określamy nastepuj ac a równościa: P(X A) = P({ω : X (ω) A}).

8 Dystrybuanta zmiennej losowej i jej w lasności Dystrybuanta zmiennej losowej X Funkcje F X określona na zbiorze R = (, + ) liczb rzeczywistych wzorem: F X (x) = P(X x), x R nazywamy dystrybuanta zmiennej losowej X. Jeżeli nie ma watpliwości z jaka zmienna losowa mamy do czynienia wtedy dystrybuante oznaczamy przez F.

9 Przyk lad cd. Za lóżmy, że prawdopodobieństwo wylosowania wadliwego towaru wynosi 0 < p < 1. Wówczas dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje postać 0, dla x < 0 F (x) = 1 p dla 0 x < 1 1 dla x 1

10 W lasności dystrybuanty 1 0 F (x) 1 dla każdego x R; 2 lim x F (x) = 0 oraz lim x + F (x) = 1; 3 jest funkcja niemalejac a; 4 P(a < X b) = F (b) F (a)

11 Dwa ważne typy zmiennych losowych Zmienna losowa typu dyskretnego Mówimy, że zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego) jeżeli istnieje skończony albo przeliczalny zbiór W x = {x 1, x 2,...,...} jej wartości taki, że P(X = x i ) = p i, i N, p i = 1, i=1 gdzie górna granica sumowania wynosi n albo Funkcje p przyjmujac a wartości p(x i ) = P(X = x i ) oznaczana czesto przez p i nazywamy funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

12 Dystrybuanta zmiennej losowej typu skokowego Gdy dane jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to prawdopodobieństwo przyjecia przez ta zmienna wartości ze zbioru A jest określone równościa: P(X A) = x i A p i W szczególności dla dowolnego przedzia lu (a, b) zachodzi P( < X < b) = p i <x i <b

13 Wykres dystrybuanty Fn(x) x

14 Ważne rozk lady typu dyskretnego 1 Rozk lad Bernoulliego (rzut moneta); 2 Rozk lad dwumianowy (rzut wieloma monetami); 3 Rozk lad Poissona (liczba sygna low); 4 Rozk lad hipergeometryczny (ryby w stawie).

15 Przyk lady rozk ladów dyskretnych Rozk lad Bernoulliego Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci x i 0 1 p i q p µ = p σ 2 = pq

16 Rozk lad dwumianowy Zmienna losowa X ma rozk lad dwumianowy z parametrami (n, p), n N, 0 < p < 1, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci ( ) n P(k, n, p) = p k (1 p) n k k µ = np σ 2 = npq

17 Zadanie Rzucamy 6 razy symetryczna moneta oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia conajmniej jednego ör la

18 Rozk lad hipergeometryczny Zmienna losowa X ma rozk lad hipergeometryczny z parametrami (N, M, n), gdzie N, M, n to liczby naturalne oraz M, n N, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci ( M )( N M ) k n k P(k; N, M, n) = ( N n) µ = np σ 2 = npq N n N 1

19 Zadanie W stawie jest N = 100 ryb od lawiamy M = 40 z nich znakujemy je i z powrotem wrzucamy do stawu. Nast epnie lowimy n = 20 sztuk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wsród nich b edzie dok ladnie k oznakowanych?

20 Rozk lad Poissona Zmienna losowa X ma rozk lad Poissona z parametrem λ, gdzie λ > 0, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci P(k) = λk k! e λ µ = λ σ 2 = λ

21 Rozk lad Poissona jest zwiazany z sytuacja zliczania zdarzeń losowych określonego typu w pewnym odcinku czasu. Może to być na przyk lad zliczenie ilości kolejnych klientów pojawiajacych sie w kasie w banku, ilość samochodów przejeżdżjacych punkt kontrolny.

22 Twierdzenie Poissona Jeżeli n, p n 0, np n λ, to ( ) n p k k n(1 p n ) n k λk k! e λ

23 Zadanie Udowodnij twierdzenie Poissona

24 Twierdzenie Poissona zastosowania Prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Toto-Lotku jest równe 1/ ( 49) 6 = 1/ Ilu szóstek należy si e spodziewać w każdym tygodniu, jeżeli grajacy wype lniaj a kupony niezależnie od siebie i ca lkowicie losowo, kuponów jest n = 10 7?

25 Zadanie Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X wyznacz: x i p i 0, 2 0, 4 0, 3 0, 1 1 funkcj e dystrybuanty i jej wykres; 2 prawdopodobieństwo P(X < 3, 5) korzystajac z wykresu dystrybuanty; 3 prawdopodobieństwo P(3 < X 4, 5).

26 Zmienne losowe typu ciag lego Zmienne losowe typu ciag lego moga przyjmować nieskończenie wiele wartości (np. temperatura powietrza, waga cia la, predkość samochodu w zadanej chwili czasu)

27 wykres dystrybuanty F(x) x

28 Zmienna losowa typu ciag lego Funkcja gestości zmiennej losowej X typu ciag lego, to nieujemna funkcja f, taka, że dla każdego przedzia lu (x 1, x 2 ) P({ω : x 1 X x 2 }) = x2 x 1 f (x)dx.

29 Gestość zmiennej losowej typu ciag lego funkcja gęstości y x

30 W lasności funkcji g estości 1 f (x) 0 dla każdego x; 2 + f (x)dx = 1.

31 Wybrane rozk lady typu ciag lego 1 Rozk lad normalny; 2 Rozk lad jednostajny; 3 Rozk lad F ; 4 Rozk lad χ 2.

32 Przyk lady rozk ladów ciag lych Rozk lad jednostajny Niech X bedzie zmienna losowa określona na przedziale [a, b] o funkcji gestości postaci f (x) = { 1 b a a x b 0 w przeciwnym przypadku.

33 Przyk lady rozk ladów ciag lych Rozk lad normalny Niech X bedzie ciag l a zmienna losowa o gestości prawdopodobieństwa f (x) = 1 σ 2π µ)2 exp[ (x 2σ 2 ], < x < +, gdzie µ R i σ > 0 sa danymi parametrami. Mówimy wtedy, Że X ma rozk lad normalny co oznaczamy N(µ, σ).

34 Funkcja g estości rozk ladu normalnego N(µ, σ). y x

35 Przyk lady rozk ladów ciag lych Rozk lad t-studenta Zmienna losowa X ma rozk lad t-studenta o n stopniach swobody, jeżeli jej g estość f wyraża si e wzorem f (x) = Γ([n + 1]/2) nπγ(n/2) (1 + x2 n ) (n+1)/2, x R, n N. gdzie Γ(n) = + 0 x n 1 e x dx, n > 0 Uwaga Gdy n, gestość f daży do gestości rozk ladu normalnego N(0, 1), co wykorzystuje sie w praktyce dla n 30 do przybliżania rozk ladu Studenta rozk ladem normalnym.

36 Wykresy g estości rozk ladu Studenta i rozk ladu normalnego dnorm(x, mean = 0, sd = 1) N(0,1) t(5) x

37 Przyk lady rozk ladów ciag lych Rozk lad χ 2 Zmienna losowa X ma rozk lad χ 2 o n stopniach swobody, jeżeli jej gestość f wyraża sie wzorem { 1 f (x) = 2 n/2 Γ(n/2) xn/2 1 e x/2 gdy x < 0 0 x 0

38 Wykresy g estości rozk ladu χ 2 o n = 2, 3, 4 stopniach swobody dchisq(x, 2)

39 Wybrane charakterystyki rozk ladów - przypadek dyskretny 1 wartość średnia (parametr po lożenia) µ = 2 wariancja (parametr skali) k x i p i ; i=1 3 skośność 4 kurtoza k σ 2 = (x i µ) 2 p i. i=1 γ = η = k (x i µ) 3 p i /σ 3 i=1 k (x i µ) 4 p i /σ 4 i=1

40 Różnice w charakterystykach po lożenia i skali y x y x