Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
|
|
- Krzysztof Makowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, zdzislaw.otachel@up.lublin.pl materiały: zotachel/geo2i3 konsultacje: poniedziałek,wtorek Lublin, 2018/19
2 Zmienne losowe i ich rozkłady
3 Pojęcie zmiennej losowej Definicja 1 Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z σ-ciałem zdarzeń S. Zmienna losowa to każda rzeczywista funkcja X określona na Ω, taka że {ω Ω : X (ω) a} S dla dowolnej liczby rzeczywistej a. Zmienne losowe będziemy oznaczać X, Y, Z,..., a ich wartości odpowiednio x, y, z,... ; dla każdej zmiennej losowej X i dowolnego zbioru borelowskiego A R 1 podzbiór {ω Ω : X A} jest zdarzeniem, w szczególności, dla dowolnych liczb rzeczywistych a b zdarzeniami są: {ω Ω : X < a}, {ω Ω : a < X b}, {ω Ω : X = a}, itp.; jeżeli Ω jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem zdarzeń elementarnych, to każda funkcja rzeczywista określona na Ω jest zmienną losową.
4 Przykład 1 Zmienną losową jest eksperyment, który polega na wylosowaniu obiektu z ustalonej populacji i pomiarze określonej cechy. W tym sensie każdą statystycznie badaną cechę można utożsamić ze zmienną losową.
5 Podział zmiennych losowych Zmienne losowe, tak jak cechy w populacjach, podzielimy na dwie kategorie: skokowe - przyjmujące przeliczalną liczbę wartości, ciągłe - przyjmujące wszystkie wartości z pewnego przedziału liczbowego. Nietrudno zauważyć, że zmienna losowa ciągła może być określona tylko na nieskończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych.
6 Rozkład zmiennej losowej skokowej Niech wszystkimi wartościami zm. l. X będą liczby x i, a p i będą prawdopodobieństwami zdarzeń {ω Ω : X = x i }. Definicja 2 Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa zm. l. X (krótko: rozkładem zm. l.) nazywamy przyporządkowanie: x i p i = P(X = x i ). Zdarzenia {ω Ω : X = x i } = {X = x i } są rozłączne i sumują się do Ω, zatem p i = 1. W przypadku skończonym rozkład prawdopodobieństwa zm. l. X można opisać za pomocą tabeli: x i p i = P(X = x i ) x 1 p 1 x 2 p 2. x n. p n
7 Rozkład zerojedynkowy (dwupunktowy) Zmienna losowa o tym rozkładzie przyjmuje tylko dwie wartości (umownie) 1 i 0 z prawdopodobieństwami p i q, p + q = 1. Niech, (Ω, S, P) przestrzenią prawdopodobieństwa związaną z pewnym eksperymentem losowym, a A S - zdarzeniem o prawdopodobieństwie p = P(A). Zmienna losowa X = { 1, A zaszło, 0, A nie zaszło ma rozkład dwupunktowy. Rozkład tego typu pojawia się, gdy elementy pewnej populacji klasyfikujemy dychotomicznie: dobry/zły, sprawny/ niesprawny itp.
8 Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p (n - liczba całkowita dodatnia, p jest liczbą z przedziału [0, 1]), jeżeli przyjmuje wartości k = 0, 1, 2,..., n z prawdopodobieństwem: P n,p (k) = ( n k) p k (1 p) n k. Jeżeli doświadczenie jest schematem n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, to zmienna losowa X określona jako ilość sukcesów w tym doświadczeniu ma rozkład Bernoulliego. Niech { 1, sukces w i tej próbie, X i = 0, porażka w i tej próbie. Wtedy X = X 1 + X X n. Na podstawie dwumianowego wzoru Newtona: P n,p (0) + P n,p (1) + + P n,p (n) = ( n 0)p 0 (1 p) n + ( n 1)p 1 (1 p) n ( n n)p n (1 p) 0 = 1.
9 Rozkład geometryczny Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p (p jest liczbą z przedziału [0,1]) jeżeli przyjmuje wszystkie wartości naturalne k = 1, 2,..., z prawdopodobieństwami: P(X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,.... Jeżeli wykonujemy serię niezależnych prób pewnego doświadczenia, które w wyniku daje sukces z prawdopodobieństwem p, to zmienna losowa określona jako ilość prób do wystąpienia pierwszego sukcesu ma rozkład geometryczny. Na podstawie wzoru na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+ = p+(1 p)p+(1 p) 2 p+ = p[1 + (1 p) + (1 p) ] = p 1 (1 p) = 1.
10 Rozkład Pascala Zmienna losowa X ma rozkład Pascala z parametrami k i p (k liczba całkowita dodatnia, p jest liczbą z przedziału [0,1]), jeżeli przyjmuje wartości naturalne n = k, k + 1, k + 2,... z prawdopodobieństwami: ( ) n 1 P k (X = n) = p k (1 p) n k, n = k, k + 1, k + 2,.... k 1 Jeżeli wykonujemy serię niezależnych prób pewnego doświadczenia, które w wyniku daje sukces z prawdopodobieństwem p, to zmienna losowa określona jako ilość prób do otrzymania k sukcesów ma rozkład Pascala. Rozkład geometryczny jest szczególnym przypadkiem rozkładu Pascala dla k = 1.
11 Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ (λ liczba dodatnia), jeżeli przyjmuje wartości k = 0, 1, 2,... z prawdopodobieństwami: p(k) = P(X = k) = e λ λk, k = 0, 1, 2,.... k! Rozkład tego typu występuje w naturalny sposób w zjawisku promieniotwórczości. Przykład 2 Doświadczenie polegało na rejestrowaniu ilości cząstek k - produktów rozpadu radioaktywnego, w interwale czasowym równym 7, 5 s. Przeprowadzono N = 2608 takich niezależnych doświadczeń. Dane liczbowe zebrane są w następującej tabeli, gdzie n k jest ilością interwałów, w których licznik zarejestrował k = 0, 1, 2,... cząstek, p(k) jest prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona dla λ = 3, 85 = 1 10 N k=0 kn k:
12 n k n k k N p(k) ,022 0, ,078 0, ,147 0, ,201 0, ,204 0, ,156 0, ,105 0, ,053 0, ,017 0, ,010 0, ,006 0,006 N = ,999 1,000
13 Problem polegający na dopasowaniu rozkładu teoretycznego do obserwowanego rozkładu empirycznego jest kluczowym zagadnieniem statystyki matematycznej.
14 Twierdzenie Poissona Rozkład Poissona stanowi dobre przybliżenie rozkładu Bernoulliego w przypadku, gdy liczba prób n jest duża ( w praktyce większa niż 50), prawdopodobieństwo sukcesu p jest małe (mniejsze niż 1/10), a wartość iloczynu np jest przeciętna (z przedziału [1, 10]). Dokładniej: P n,p (X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k e dla n 50, p 1/10, np 10. np (np)k, k = 0, 1, 2,..., k!
15 Dystrybuanta zmiennej losowej Niech u oznacza liczbę rzeczywistą, a X zmienną losową (skokową lub ciągłą). Dla każdego u zbiór {X u} jest zdarzeniem. Definicja 3 Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy rzeczywistą funkcję F := F X określoną na zbiorze liczb rzeczywistych w następujący sposób: F (u) = P(X u).
16 Własności dystrybuanty 0 F (u) 1, dla każdej liczby rzeczywistej u, F (u) 0, gdy u oraz F (u) 1, gdy u, Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, tzn. u 1 u 2 implikuje F (u 1 ) F (u 2 ) dla dowolnych liczb u 1, u 2, Dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą, P(a < X b) = F (b) F (a). Ostatnia własność jest szczególnie ważna, znając dystrybuantę zmiennej losowej X jesteśmy w stanie obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń określanych za pomocą relacji niewiększości, więc praktycznie wszystkich zdarzeń. W tym sensie znajomość dystrybuanty jest równoważna znajomości rozkładu prawdopodobieństwa. Dla zmiennych losowych ciągłych jest to jedna z dwóch równoważnych możliwości opisu rozkładu prawdopodobieństwa.
17 Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej Jeżeli (x i, p i ) jest rozkładem zmiennej losowej X to jej dystrybuanta jest funkcją schodową niemalejącą (tzn. funkcją sklejoną z części funkcji stałych), która ma w punktach o odciętych x i stopnie o wysokości p i.
18 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej Jedną z cech wyróżniających takie rozkłady jest fakt, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową ciągłą konkretnej wartości jest równe zero. Rozkład zmiennej losowej ciągłej możemy opisać poprzez podanie jej dystrybuanty. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest ciągłą funkcją niemalejącą.
19 Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej Niech F (u) = P(X u) będzie dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej X. Niech f (x) := f X (x) będzie taką funkcją, że dla dowolnej liczby u: P(X u) = u f (x)dx = F (u). Tak określoną funkcję f (x) na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych x nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (ciągłej) X. Geometrycznie:
20 Własności gęstość prawdopodobieństwa Przyjmuje tylko nieujemne wartości, tzn. f (x) 0, + f (x)dx = 1, geometrycznie oznacza to, że pole figury na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych ograniczone osią odciętych x i wykresem funkcji y = f (x) jest równe 1 (jest to prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego {X < + }).
21 Pochodna dystrybuanty jest równa funkcji gęstości prawdopodobieństwa, tzn. F (x) = f (x), w punktach ciągłości funkcji f, prawdopodobieństwa zdarzeń geometrycznie interpretuje się jako pola figur ograniczonych osią odciętych x i wykresem funkcji gęstości prawdopodobieństwa f (x): P 1 = P(X < a) = F (a), P 2 = P(b < X < c) = F (c) F (b), P 3 = P(X > d) = 1 F (d).
22 Rozkład normalny Jest najczęściej spotykanym rozkładem ciągłym w zjawiskach przyrodniczych. Zmienna losowa o tym rozkładzie przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, gdzie µ jest dowolną, a σ dodatnią liczbą rzeczywistą. Fakt, że zm. los X ma rozkład normalny będzie zapisywany symbolicznie: X N(µ, σ). Rozkład normalny ma pomiar odległości między dwoma ustalonymi punktami w terenie za pomoca tego samego urzadzenia pomiarowego. Wartość µ należy interpretować jako rzeczywistą (niepoznawalną) odległość, wartość σ jest związana z charakterystyką urzadzenia pomiarowego.
23 Własności rozkładu normalnego Wykresem funkcji gęstości jest tzw. krzywa Gaussa mająca kształt dzwonu; jest ona symetryczna względem prostej x = µ (tj. prostej prostopadłej do osi x w punkcie x = µ); w punkcie x = µ funkcja gęstości osiąga maksimum równe 1/σ 2π; pole figury ograniczonej krzywą Gaussa a osią x jest równe 1; zmiana parametrów µ i σ powoduje zmianę położenia i kształtu krzywej, np. większa wartość σ powoduje, że krzywa staje się szersza i niższa. Prawo trzech sigm: P(µ σ < X < µ + σ) = 0, 6827, P(µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0, 9545, P(µ 3σ < X < µ + 3σ) = 0, 9973.
24 Krzywa Gaussa
25 Rozkład normalny standardowy Jest to rozkład normalny z parametrami µ = 0 i σ = 1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać: f (x) = 1 2π e x2 2. Okazuje się, że każdą zmienną losową o rozkładzie normalnym można za pomocą przekształcenia liniowego sprowadzić do zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym standardowym. Dokładniej: Jeżeli X N(µ, σ), to U = X µ σ N(0, 1).
26 Rozkład normalny standardowy - cd. Dystrybuanta rozkładu normalnego standardowego ma własność: F ( u) = 1 F (u)
27 Rozkład jednostajny Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], a < b, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać: f (x) = { 1 b a, a x b 0, poza. X [a, b] ma rozkład jednostajny wtedy i tylko wtedy, gdy P(α < X < β) = β α, [α, β] [a, b], b a tzn. prawdopodobieństwo liczymy zgodnie ze modelem prawdopodobieństwa geometrycznego. Ilość zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w przedziale [α, β] jest proporcjonalna do długości przedziału. Np., w Excelu, wartości funkcji LOS() są generowane zgodnie z rozkładem jednostajnym na przedziale [0, 1].
28 Rozkład wykładniczy Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem θ > 0, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać: f (x) = natomiast dystrybuanta: F (x) = { θe θx, x > 0 0, poza, { 0, x 0 1 e θx, x > 0. Rozkłady tego typu występują przy obserwowaniu czasu oczekiwania na obsługę, połączenie telefoniczne, czasu bezawaryjnej pracy maszyn, itp.
29 Rozkład gamma Zmienna losowa ma rozkład gamma z parametrami a > 0, p > 0, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać: f (x) = { a p Γ(p) x p 1 e ax, x > 0 0, poza, gdzie Γ(p) = 0 x p 1 e x dx jest funkcją gamma Eulera. Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma (p = 1, a = θ). Własności funkcji gamma: Γ(p) = (p 1)Γ(p 1), p > 1, dla n naturalnego Γ(n) = (n 1)!, Γ(1) = 0! = 1, Γ( 1 2 ) = 2 0 e t2 dt = π.
30 Funkcje zmiennych losowych Funkcję g : R R nazywamy borelowską, jeżeli dla dowolnego a R zbiór g 1 ((, a]) = {x R : g(x) a} jest borelowskim podzbiorem prostej. Funkcje ciągłe, funkcje monotoniczne są borelowskie. Złożenia, sumy, iloczyny, ilorazy funkcji borelowskich sa borelowskie. Twierdzenie 1 Niech X będzie zmienną losową określoną na pewnej przestrzeni probabilistycznej, a g : R R funkcją borelowską. Wtedy złożenie Y = g X jest zmienną losową na tej przestrzeni. W szczególności X α, α > 0 jest zmienną losową.
31 Rozkłady funkcji zmiennych losowych Jeżeli Y = g X jest zmienną losową, to powstaje problem wyznaczenia rozkładu jej rozkładu. Spostrzeżenie 1 Jeżeli g jest funkcją rosnącą, to F Y (u) = P(g(X ) u) = P(X g 1 (u)) = F X (g 1 (u)). Spostrzeżenie 2 Dla ciągłej zmiennej losowej X : F X 2(u) = f X 2(t) = { 0, u 0 P( X u) = F X ( u) F X ( u), u > 0 { 0, t 0 f X ( t)+f X ( t) 2, t > 0 t
32 Parametry rozkładów prawdopodobieństwa Rozkładom prawdopodobieństwa przypisuje się parametry liczbowe, które je charakteryzują. Umożliwia to m.in. porównywanie rozkładów prawdopodobieństwa dla różnych cech. Dla zmiennej losowej X, najważniejsze z takich parametrów to wartość oczekiwana wartość średnia (ozn. EX ), wariancja (ozn. VarX ), momenty. Wokół wartości oczekiwanej skupiają się wartości przyjmowane przez zmienna losową, natomiast wariancja jest miarą rozproszenia tych wartości wokół średniej. Jeżeli doświadczenie polega na obserwowaniu wartości zmiennej losowej (cechy) X, to średnia (arytmetyczna) tych obserwacji x stanowi przybliżenie wartości oczekiwanej EX, natomiast wariancja S 2 x obserwacji przybliża wariancję rozkładu zmiennej losowej - VarX. Przybliżenia są tym lepsze im więcej obserwacji użyto do wyznaczenia charakterystyk.
33 Wartość oczekiwana i momenty Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości x 1, x 2,... z prawdopodobieństwami p 1, p 2,.... Jeżeli szereg x i p i jest zbieżny, to EX = x i p i. i Jeżeli X jest zmienna losową ciągłą z funkcją gęstości f i zbieżna jest całka x f (x)dx, to EX = x f (x)dx. Jeżeli rozpatrywany wyżej szereg albo całka nie są zbieżne, to mówimy, że wartość oczekiwana nie istnieje. Dla zm. los. X i liczby naturalnej k wartości m k = EX k, M k = E(X EX ) k nazywamy odpowiednio momentem zwykłym i momentem centralnym k-tego rzędu.
34 Wariancja i odchylenie standardowe Moment centralny 2-go rzędu nazywamy wariancją. Pierwiastek z wariancji VarX nazywamy odchylenie standardowym rozkładu zm. los. X. Twierdzenie 2 Z istnienia r-tego momentu zmiennej losowej wynika istnienie wszystkich momentów rzędu l < r. W szcególności, istnienie 2-go momentu zwykłego implikuje istnienie wartości oczekiwane i wariancji. Twierdzenie 3 VarX = 0 X ma rozkład jednopunktowy. Rozkład jednopunktowy (deterministyczny) ma zmienna losowa przyjmująca jedną wartość z prawdopodobieństwem 1.
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoZwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi
Bardziej szczegółowoPrzegląd ważniejszych rozkładów
Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 5-6
TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach
Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowo