Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Transkrypt

1 Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1

2 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej 3. Rozkłady skokowe: dwupunktowy, dwumianowy 4. Rozkłady ciągłe: normalny 5. Parametry rozkładu

3 Doświadczenie losowe Przykłady: rzut kostką do gry rzut monetą losowanie kuli z urny losowanie karty z talii kart strzał do celu Mogą być powtarzane wielokrotnie. Doświadczenie losowe to takie doświadczenie, w którym wiadomo z góry, jakie wyniki mogą się pojawić, ale wynik konkretnego doświadczenia poznajemy dopiero po jego przeprowadzeniu. Pojedynczy wynik doświadczenia losowego nazywa się zdarzeniem elementarnym. 3

4 Opis matematyczny dośw. los. Przykład 1. Doświadczenie losowe D - rzut monetą Wszystkie moŝliwe wyniki (zdarzenia elementarne): orzeł, reszka Zbiór wszystkich moŝliwych wyników: { O, R } Zbiór wszystkich moŝliwych wyników doświadczenia losowego (zdarzeń elementarnych) nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych, ozn. Ω. 4

5 Zdarzenie losowe Przykład. Doświadczenie losowe D - rzut kostką do gry Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 } Przyjmujemy, Ŝe kostka jest rzetelna, symetryczna (wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne). A zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe wypadły dokładnie dwa oczka A = { } W nawiasach podajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu losowemu A. 5

6 Przykład cd. B zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe wypadły co najmniej cztery oczka B = { 4, 5, 6 } 6

7 Moc zbioru Oznaczenie Y moc zbioru Y Moc zbioru Y to liczba elementów tego zbioru. W przykładzie : { 1,, 3, 4, 5, 6 } Ω = Ω = 6 { } A = A = 1 { 4, 5, 6 } B = B = 3 7

8 Oznaczenie Prawdopodobieństwo Wzór Laplace'a (181) klasyczna definicja p-stwa P(A) - p-stwo zdarzenia losowego A ( A) P = A Ω Komentarz o definicji i warunkach stosowania wzoru. 8

9 P P 1 6 Przykład cd. ( A) = 0,167 = 16,7 % = A Ω 3 ( B) = = 0,5 = 50 % = B Ω 6 Inne przykłady. 9

10 Definicja aksjomatyczna p-stwa Kołmogorowa (1933) P-stwo zdarzenia losowego A, dla A Ω, ma spełniać następujące warunki (aksjomaty): P P P ( A) 0, ( Ω) = 1, ( A A K ) = P( A ) + P( A ) + L 1 gdzie A 1, A,... - zdarzenia losowe wykluczające się (zbiory rozłączne). 1 10

11 Pojęcie zmiennej losowej 11

12 Przykład Przykład. W pewnej grze gracz rzuca kostką. JeŜeli wypadnie więcej niŝ 4 oczka, to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł. Jak najpełniej opisać wygraną gracza? 1

13 Przykład cd. D wyniki dośw. D: wygrana gracza: wygrana x i : p-stwo p i : 4/6 = /3 /6 = 1/3 13

14 Przykład cd. Dośw. los. D - rzut kostką do gry Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 } A 1 - zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe gracz dostaje 10 zł: A 1 = { 5, 6 } A - zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe gracz płaci 1 zł: A = { 1,, 3, 4 } P ( A ) = P( A ) 1 = 4 6 = = 3 14

15 Przykład cd. D Zmienna losowa wyniki dośw. D: wygrana gracza: wygrana x i : p-stwo p i : 4/6 = /3 /6 = 1/3 15

16 Zmienna losowa - definicja Zmienna losowa to funkcja, która wynikom doświadczenia losowego przyporządkowuje wartości liczbowe. Ozn.: X, Y, Z,..., X 1, X, X 3,... X : wynik liczba 16

17 Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Zmienna losowa X wygrana gracza Tabelka: wartości x i : p-stwo p i : /3 1/3 przedstawia rozkład zmiennej losowej X. 17

18 Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Funkcja rozkładu p-stwa*: f (x i )=p i *w skrócie frp 18

19 Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Funkcja rozkładu p-stwa*: f (x i )=p i p-stwo p i /3 Frp (takŝe jej wykres) przedstawia rozkład zmiennej losowej X. 1/ wartości x i 19

20 Dystrybuanta - definicja Dystrybuanta zmiennej losowej X: F X def ( t) = P( X t), t R 0

21 Wykres dystrybuanty przykład F X (t) 1 / t 1

22 Komentarz RóŜnie określone zmienne losowe X, Y, nawet z róŝnych doświadczeń losowych D X, D Y i przestrzeni Ω X, Ω Y, mogą mieć jednakowe rozkłady (przykład na tablicy). Dlatego moŝna badać własności samych rozkładów, pomijając słowny opis zmiennej losowej.

23 Typy rozkładów Rozkład skokowy (dyskretny) ciągły 3

24 Przykłady rozkładów skokowych dwupunktowy (0-1) równomierny dwumianowy Poissona (czyt.: płasona) 4

25 Rozkład dwupunktowy Inne nazwy: zero-jedynkowy, 0-1. wartości x i 0 1 p-stwo p i 1 - p p p i = 1 Wykres funkcji rozkładu p-stwa pstwo 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5 1 1,5 wartości zm. los.x 5

26 Przykłady rozkładów dwupunktowych Rozkład 0-1 p=0,5 Rozkład 0-1 p=0,8 pstwo 1 pstwo 1 0,5 0, ,5 1 1,5 wartości zm. los. X 0 0 0,5 1 1,5 wartości zm. los. X Zadanie* Narysuj wykres dystrybuanty dla przedstawionych przykładów. 6

27 * Rozkład równomierny wartości x i x 1 x... x n p-stwo p i p p... p p = 1 zatem p = 1/n Wykres funkcji rozkładu p-stwa pstwo 0, 0,1 0, wartości zm. los. X 7

28 * Rozkład dwumianowy B(n, p) Wartości k: 0, 1,,..., n P-stwo: P n ( X n! = k) = p k 1! k! ( n k) ( ) n k p n, p parametry rozkładu * Interpretacja parametrów W schemacie n doświadczeń niezaleŝnych Bernoulliego: n liczba prób p p-stwo sukcesu w pojedynczej próbie 8

29 * Wykres funkcji rozkładu B(n, p) Wykres funkcji rozkładu p-stwa dla n = 10 pstwo p = 0,5 p = 0,8 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, wartości zm. los. 9

30 * Rozkład Poissona P(λ) Wartości k: 0, 1,,... P ( X = k) e λ P-stwo: k! λ parametr rozkładu, λ > 0 = λ k 30

31 Wykres funkcji rozkładu P(λ) Wykres funkcji rozkładu p-stwa 0,30 0,5 λ= λ=10 0,0 0,15 0,10 0,05 0,

32 Charakterystyki rozkładu Nazwy i oznaczenia: nazwa: średnia wariancja odchylenie standardowe ozn.: EX, µ D X, σ D X, σ 3

33 Wzory dla rozkładu skokowego X - zmienna losowa skokowa wartość x i x 1 x... x n pstwo p i p 1 p... p n def EX = x p + x p x n p n = i x i p i D = X = ( ) ( ) x EX p + x EX p ( x EX ) ( x EX ) i i def 1 p i 1 n p n = Obliczenia na tablicy. 33

34 * Wzory Charakterystyki rozkładu dwumianowego EX = np D X = np(1-p) Charakterystyki rozkładu Poissona EX = λ D X = λ 34

35 Typy rozkładów Rozkład skokowy ciągły Przykłady: dwupunktowy (0-1) równomierny dwumianowy Poissona Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego. 35

36 Rozkład ciągły 36

37 Rozkład zmiennej losowej ciągłej Rozkład zmiennej losowej X ciągłej moŝna przedstawić za pomocą: funkcji gęstości p-stwa (fgp) y = f(x) funkcji dystrybuanty: F X def ( t ) = P( X t ) 37

38 * Funkcja gęstości p-stwa def. Funkcja gęstości p-stwa zmiennej losowej X, ozn.: y = f (x), to funkcja spełniająca warunki: 1. wykres leŝy nad lub na osi OX f( x) 0, gdy. pole obszaru ograniczonego z góry wykresem funkcji, a z dołu osią OX jest równe 1 + f ( x) dx x = 1 D f 38

39 Rozkład normalny 39

40 Rozkład normalny Wzór funkcji gęstości: f ( x) = 1 π σ e ( x µ ) σ, x R Parametry w rozkładzie normalnym: µ (czyt.: mi) σ (czyt.: sigma) µ R σ > 0 40

41 Rozkład normalny wykres fgp f(x) µ=, σ= x Własności matematyczne. krzywa Gaussa 41

42 Parametr µ f(x) µ = -4 σ = µ = σ = x 4

43 Parametr σ µ = σ = 1 µ = σ =

44 WyraŜenie: Oznaczenia zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ oraz σ zapisujemy: X ~ N ( µ, σ ) Definicja. Mówimy, Ŝe zmienna losowa Z ma rozkład normalny standardowy, jeśli µ = 0, σ = 1. Zapisujemy: Z ~ N ( 0, 1) 44

45 Wykres fgp y = f (x) Zdarzenie losowe Zdarzenie losowe f(x) µ=, σ=1 X a ; b a b x 45

46 Zdarzenia losowe - przykłady Przykłady (przy a < b): ( a b ) X, X a, b ) X a, b X ( a, b X (, a X (, a ) ( a + ) X, X a, + ) X a, a = { a } 46

47 P-stwo zdarzenia losowego Wykres fgp y = f (x) P-stwo zdarzenia losowego - zakreskowane µ=, pole σ=1 pod f(x) krzywą a b x 47

48 P-stwo zdarzenia losowego P-stwo zdarzenia losowego: { X a b } b = f ( x) a P, dx Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: F X (t) F ( t) X def { } = L = P X t 48

49 P-stwo zdarzenia losowego P-stwo zdarzenia losowego: { X a b } b = f ( x) a P, dx Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: F X (t) F ( t) X def = P { X t } = f ( x) t dx 49

50 Dystrybuanta na wykresie fgp Wykres fgp y = f (x) zakreskowane pole = t f(x) µ=, σ=1 = f ( x) dx x t 50

51 Tablice statystyczne 51

52 Tablica dystrybuanty F Z (x ) x 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0, , , , , , ,539 0,5790 0, , , , , ,5517 0, ,5596 0, , ,5714 0, ,5796 0, , , , , ,6057 0,6064 0,6106 0, , ,617 0,655 0,6930 0, , , , , , ,6554 0, ,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , , , , , , , ,716 0, , ,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0, , ,7415 0, , , ,75490 : 3,8 3,9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,99997 Zadania. 5

53 Wzory Wyznaczanie wartości dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przy uŝyciu tablic: Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to: F Z ( a) = 1 F Z (a) (1) Wzór na standaryzację zmiennej losowej: Jeśli Z~N (0, 1), X~N (µ, σ ), to: F ) 0 X ( ) x - µ ( x = F 0 Z σ () 53

54 * Prawo trzech sigm Jeśli X ~ N( µ, σ ), to: P P P { } X µ σ ;µ + σ 0, 68 { } X µ σ ;µ + σ 0, 95 { } X µ 3σ ;µ + 3σ 0, 9973 Rysunek na tablicy. 54

55 Charakterystyki rozkładu Nazwy i oznaczenia: nazwa : średnia wariancja odchylenie standardowe ozn.: EX, µ D X, σ D X, σ 55

56 Wzory dla rozkładu ciągłego X - zmienna losowa ciągła, y = f (x) funkcja gęstości + EX = x f x) dx + ( X ( x EX) D = f( x) dx Wzory dla rozkładu normalnego EX = µ D X = σ 56

57 * Rozkład chi kwadrat Jeśli zmienne losowe X 1, X,..., X n są: niezaleŝne X i ~N (0, 1), i = 1,,..., n to X 1 + X X n jest zmienną losową o rozkładzie χ z liczbą stopni swobody n. Ozn. χ czytamy: chi-kwadrat 57

58 * Rozkład chi kwadrat cd. Funkcja gęstości dla rozkładu χ : f ( x) 0, dla x 0, = n ( ) n 1 Γ 1 n x e x, dla x > 0 gdzie: Γ + ( t) = 0 u t 1 e u du, t R + 58

59 * Rozkład chi kwadrat cd. Wykres funkcji gęstości dla rozkładu χ : Chi-Square Distribution density 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 Deg. of freedom x 59

60 * Rozkład t-studenta Jeśli zmienne losowe X 0, X 1,..., X n są: niezaleŝne X i ~N (0, 1), i = 1,,..., n to X 0 1 n ( X 1 + X + K + X n ) jest zmienną losową o rozkładzie t-studenta z liczbą stopni swobody n. 60

61 * Rozkład t-studenta cd. Wykres funkcji gęstości dla rozkładu t-studenta: Student's t Distribution 0,4 0,3 Deg. of freedom density 0, 0, x 61

62 * Rozkład F Fishera Snedecora Jeśli zmienne losowe X 1, X,..., X n oraz Y 1, Y,..., Y m są: niezaleŝne X i, Y j ~N(0, 1) to 1 n ( 1 m X ( Y X Y + + K K + + Y n m X ) ) jest zmienną losową o rozkładzie F Fishera Snedecora z liczbami stopni swobody n i m. 6

63 * Rozkład F Fishera Snedecora Wykres funkcji gęstości dla rozkładu F F (variance ratio) Distribution 1,5 1, Numerator d.f,d 10,10 50,40 density 0,9 0,6 0, x 63