Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Transkrypt

1 Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz

2 Skala ocen Punkty Ocena , , , , ,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5

3 Warunki zaliczenia 4 kolokwium ok. 18 pkt. 2 kolokwium ok. 10 pkt.? kartkówka pkt. Razem pkt. Dodatkowe punkty: - odpowiedzi i przygotowanie do zajęć (min 50 pkt. za kolokwia i kartkówki oraz zaliczone efekty kształcenia)

4 Kontakt i wyniki Wyniki i materiały: katmat.pb.bialystok.pl/~raj/elektrotechnika Login: imie.nazwisko Hasło: dowolne (podawane przy rejestracji) r.stasiewicz@pb.edu.pl

5 Matematyka 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki

6 Literatura J.Jóźwiak, J.Podgórski; Statystyka od podstaw; PWE, Warszawa, 1992 K.Kukuła; Elementy statystyki; PWN, Warszawa, 1998 M.Sobczak; Statystyka; PWN, Warszawa, 1997 J.R.Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego; PWN, Warszawa, 1999 J.Greń; Statystyka matematyczna, Modele i zadania; PWN, Warszawa, 1974

7 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki Statystyka jest zarówno nauką, techniką, jak i sztuką nowo odkrytą logiką traktowania niepewności i podejmowania roztropnych decyzji (C.Radharkrishna Rao) kiedy możesz mierzyć to, o czym mówisz, i wyrazić to w liczbach, już coś o tym wiesz, lecz kiedy nie możesz tego wyrazić w liczbach, twoja wiedza jest niedostateczna, niewielka i niedoskonała. (Kelvin)

8 Statystyka Zbiór informacji liczbowych dotyczących wybranej grupy lub kategorii zjawisk. Dyscyplina naukowa, traktująca o metodach liczbowego opisu i wnioskowania o prawidłowościach występujących w procesach masowych. Nauka dostarczająca metod do podejmowania decyzji w warunkach niepewności.

9 Przyczyny stosowania metod statystycznych, badań częściowych W przypadku nieskończonej populacji nie jest możliwe przeprowadzenie badania pełnego. W przypadku skończonej ale bardzo licznej populacji koszt badania pełnego byłby bardzo wysoki. Badanie statystyczne może mieć charakter niszczący.

10 Przyczyny stosowania metod statystycznych, badań częściowych Próba reprezentatywna: musi być wybrana losowo, powinna być dostatecznie liczna.

11 Podstawowe parametry statystyczne Wartość średnia Zadanie: Student Kowalski uzyskał następujące oceny: 4,0; 3,0; 3,5; 5,0; 5,0. Czy student otrzyma stypendium? 1 2 n 1 n n n i1 i

12 Podstawowe parametry statystyczne Wartość średnia Zadanie: Studenci Wydziału Elektrycznego z egzaminu z matematyki uzyskali następujące oceny: 4,0; 3,0; 3,5; 5,0; 5,0; 3,0; 3,0; 3,5; 5,0; 4,5; 4,0; 3,0; 3,5; 3,5; 4,0; 5,0; 2,0; 2,0; 5,0;. Jaka jest średnia ocen? 1 2 n 1 n n n i1 i?

13 Podstawowe parametry statystyczne Odchylenie standardowe Zadanie:Pewnemu wytwórcy potrzebny jest do produkcji drut miedziany pocięty na kawałki o nominalnej długości 10 mm. Wytwórca ten ma do wyboru możliwość zakupu drutu od dwóch dostawców (po tej samej cenie). Partie drucików dostarczane przez obu dostawców są losową mieszanką drucików o długości 9,5; 9,8; 10,0; 10,2; 10,5 mm. Rozkłady dostaw są następujące. Rozkład długości drucików dostarczanych przez dostawcę A Długość drucików w mm 9,5 9,8 10,0 10,2 10,5 Prawdopodobieństwo 0,05 0,15 0,60 0,15 0,05 Rozkład długości drucików dostarczanych przez dostawcę B Długość drucików w mm 9,5 9,8 10,0 10,2 10,5 Prawdopodobieństwo 0,1 0,1 0,60 0,1 Od którego dostawcy powinien kupować wytwórca?

14 Podstawowe parametry statystyczne Odchylenie standardowe 1 n i 2 n i 1 odchylenie standardowe populacji s 1 n 1 n i i1 2 odchylenie standardowe próby

15 Zmienna losowa intuicyjnie Zmienna, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych, i to z określonym prawdopodobieństwem. Ocena uzyskana z egzaminu z matematyki przez studentów Wydziału Elektrycznego. Liczba przedmiotów wyprodukowanych na danym stanowisku pracy w ciągu jednej zmiany. Rozkład długości drucików dostarczanych przez określonego dostawcę. Ilość energii elektrycznej zużywanej dziennie przez określony zakład pracy. Wyniki pomiarów.

16 Zmienna losowa - definicja Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu ee jedną i tylką jedną liczbę X(e)= nazywamy zmienną losową. X : E R

17 Zmienna dyskretna Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Czy X jest zmienną losową?

18 Zmienna dyskretna Typy zmiennych losowych: zmienna losowa dyskretna (skokowa) zmienna losowa ciągła. Mówimy, że zmienna losowa X jest typu skokowego, jeżeli istnieje skończony albo przeliczalny zbiór W ={ 1, 2,, n, } jej wartości 1, 2,, n, taki, że P(X= i ) = p i > 0 p i i1 1 in, gdzie górna granica sumowania wynosi n albo stosownie do tego czy zbiór W jest skończony czy przeliczalny.

19 Zmienna dyskretna f-cja rozkładu p-stwa Funkcję p określoną na zbiorze W równością p( i ) = P(X= i ) p i albo, co jest równoważne dwuwierszową tablicą i 1 2 n p i p 1 p 2 p n i spełniającą warunek unormowania nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (krócej: funkcją prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X.

20 Zmienna dyskretna Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak, jak 1 : 3 : 4 : 2. Wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej X funkcję prawdopodobieństwa i jej wykres.

21 Zmienna losowa - dystrybuanta Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F() = P(X ) dla każdego R. Własności dystrybuanty F() zmiennej X: a) 0 F() 1 b) F() jest funkcją niemalejącą c) F() jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą d) F( ) 0 oraz F( ) 1 lim lim

22 Zmienna losowa - dystrybuanta Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F() = P(X ) dla każdego R. Dla zmiennej losowej skokowej dystrybuanta jest określona wzorem: F( ) p ( i 1,2,...) i i

23 Zmienna dyskretna - dystrybuanta Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak, jak 1 : 3 : 4 : 2. Wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej X dystrybuantę i jej wykres.

24 Zmienna dyskretna - dystrybuanta Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak, jak 1 : 3 : 4 : 2. Wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej prawdopodobieństwo P(X<3,5) oraz P(3 X<4,5) korzystając z funkcji p-stwa oraz dystrybuanty.

25 Podstawowe parametry statystyczne Zmienna ciągła - wartość średnia Zadanie: Student Wydziału Elektrycznego zmierzył natężenie prądu i uzyskał następujące wyniki: 4,1; 3,3; 3,5; 5,2; 5,1; 3,7; 3,3; 3,6; 4,9; 4,5; 4,4; 3,49; 3,50; 3,51; 4,7; 2,8; 2,0; 5,001;. Jakie jest średnie natężenie prądu?

26 Podstawowe parametry statystyczne Zmienna ciągła - wart śr, odchylenie standard Wartość średnia: k i p i1 i Odchylenie standardowe: n i1 2 i pi

27 Zmienna ciągła - intuicja Zadanie: Student Wydziału Elektrycznego zmierzył natężenie prądu i uzyskał następujące wyniki: 4,1; 3,3; 3,5; 5,2; 5,1; 3,7; 3,3; 3,6; 4,9; 4,5; 4,4; 3,49; 3,50; 3,51; 4,7; 2,8; 2,0; 5,001;. Narysuj funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. Natężenie prądu 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 4,5-5,0 5,0-5,5 P-stwo 0,05 0,20 0,30 0,15 0,10

28 Zmienna ciągła - definicja Funkcją gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f() określoną następująco: f ( ) lim 0 P( X )

29 Zmienna ciągła - definicja Funkcją gęstości zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f(), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach: b a f ( ) 0 f ( ) P( a X b) dla dowolnych a < b f ( ) d P( X ) 1

30 Zmienna ciągła rozkład jednostajny Zadanie: Autobus pewnej linii kursuje regularnie co 5 min. Pasażer przychodzi na przystanek w przypadkowym momencie nie kierując się rozkładem jazdy. Niech zmienną losową X będzie czas oczekiwania (w minutach) pasażera na autobus. Określić postać funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oraz obliczyć prawdopodobieństwo tego, że czas oczekiwania na autobus będzie liczbą z przedziału (1, 3].

31 Zmienna ciągła rozkład jednostajny Definicja: Zmienna losowa X przyjmująca wartości z przedziału [a,b] ma rozkład jednostajny, jeśli jej funkcja gęstości jest określona wzorem: f ( ) 0 1 b-a 0 dla dla dla a a b b

32 Zmienna losowa - dystrybuanta Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F() = P(X ) dla każdego R. Dla zmiennej losowej ciągłej dystrybuanta jest określona wzorem: F ( ) f ( t) dt

33 Zmienna ciągła rozkład jednostajny Zadanie: Autobus pewnej linii kursuje regularnie co 5 min. Pasażer przychodzi na przystanek w przypadkowym momencie nie kierując się rozkładem jazdy. Niech zmienną losową X będzie czas oczekiwania (w minutach) pasażera na autobus. Określić postać dystrybuanty.

34 Zmienna ciągła rozkład jednostajny Dystrybuanta F()=P(X ) zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym wyraża się wzorem: b b a a b a a F dla 1 dla dla 0 ) (

35 Podstawowe parametry statystyczne Zmienna ciągła Wartość oczekiwana: E ( X ) f ( ) d Wariancja: 2 D ( X ) f ( ) d E( X ) 2

36 Podstawowe parametry statystyczne Rozkład jednostajny Wartość oczekiwana: a b E( X ) 2 Wariancja: 2 ( b a) D ( X ) 12 2

37 Zmienna ciągła rozkład normalny Większość zjawisk świata fizycznego podlega prawu rozkładu normalnego. Rozkład normalny lub bardzo zbliżony do normalnego ma: waga lub wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich lub zwierzęcych, plon na jednakowych poletkach doświadczalnych, losowe błędy pomiarów, itd.

38 Zmienna ciągła rozkład normalny Do rozkładu normalnego prowadzi taki proces kształtowania zjawiska, w ramach którego na dane zjawisko oddziałuje duża liczba niezależnych czynników, których wpływ, traktowany odrębnie, jest mało znaczący.

39 Rozkład normalny - definicja Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m oraz σ, co w skrócie zapisuje się jako X : N(m,σ), jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f m e 2 2 przy czym σ > 0.

40 Rozkład normalny - dystrybuanta Dystrybuanta rozkłady normalnego ma postać F tm 1 e dt

41 Podstawowe parametry statystyczne Rozkład normalny Wartość oczekiwana: Wariancja: m d e X E m ) ( ) ( 2 1 ) ( d e m X D m

42 Podstawowe parametry statystyczne Rozkład normalny Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma następujące własności: jest symetryczna względem prostej =m, osiąga maksimum równe 1 2 dla =m, jej ramiona mają punkty przegięcia dla =m-σ oraz =m+σ.

43 Rozkład normalny Zadanie: Waga mężczyzn (w kg) w pewnej populacji ma rozkład N(70; 6). - Sporządzić wykresy funkcji gęstości i dystrybuanty wagi mężczyzn w populacji. - Zilustrować na tych wykresach prawdopodobieństwo tego, że wybrany przypadkowo mężczyzna będzie miał wagę z przedziału (70; 75). - Obliczyć to prawdopodobieństwo.

44 Rozkład normalny - standaryzacja Rozkład normalny ze średnią m=0 oraz odchyleniem standardowym σ=1 nazywamy standardowym rozkładem normalnym (rozkładem normalnym ustandaryzowanym) i oznaczamy N(0; 1). U X m

45 Rozkład normalny podstawowe zależności b a a F b F d f b X a P b X a P a a F d f a X P a a F d f a X P 1

46 Rozkład normalny Zadanie: a) Obliczyć jaka część obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej) tj. w przedziale (m-σ, m+σ). b) Obliczyć jaka część obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej) tj. w przedziale (m-2σ, m+2σ). c) Obliczyć jaka część obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej) tj. w przedziale (m-3σ, m+3σ).

47 Rozkład normalny reguła trzech sigm Typowy obszar zmienności: m-s < typ < m+s. W obszarze tym mieści się ok. 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości Reguła trzech sigm mówi, że wystąpienie obserwacji o wartości cechy poza przedziałem (m-3σ, m+3σ) jest bardzo mało prawdopodobne. W przypadku rozkładu normalnego w przedziale (m-σ, m+σ) mieści się 68% obserwacji, w przedziale (m-2σ, m+2σ) mieści się 95% obserwacji, a w przedziale (m-3σ, m+3σ) mieści się 99,7% obserwacji

48 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki KONIEC