Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz.

Transkrypt

1 Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz. Na początek wypiszmy elementy obu zbiorów: A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych, które podniesione do kwadratu są mniejsze lub równe 121. Zatem B to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których moduł (wartośd bezwzględna) jest równy 10, więc. Widad już, że zbiór B jest podzbiorem zbioru A (wszystkie elementy zbioru B są w zbiorze A). Czyli spełniona jest relacja. Relacja oczywiście nie zachodzi. Wyznaczmy teraz sumę, iloczyn i różnice obu zbiorów: Do sumy dwóch zbiorów należą wszystkie elementy, które są w którymkolwiek z tych zbiorów. A zatem:. Do iloczynu dwóch zbiorów należą wszystkie elementy, które są wspólne dla obu zbiorów. W naszym przypadku. Do różnicy zbioru A i zbioru B należą wszystkie elementy, które są w zbiorze A, ale nie ma ich w zbiorze B. Czyli (ze zbioru A wyrzucamy -10 i 10). Podobnie z różnicą zbioru B i A: (wszystkie elementy B są w A, czyli dostajemy zbiór pusty) Przykład2: Na początek wypiszmy elementy obu zbiorów: A jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są podzielne przez 3 i niewiększe od 12. Zatem. Natomiast B jest zbiorem nieskooczonym.. Widad już, że żadna z relacji nie zachodzi. Wyznaczmy teraz sumę, iloczyn i różnice obu zbiorów: Suma:. Iloczyn:. Różnica (ze zbioru A wyrzucamy 6). Różnica (ze zbioru B wyrzucamy liczbę 6). a) b) c) d) A zbiór liczb pierwszych mniejszych od 20; B zbiór liczb nieparzystych niewiększych niż 15 e) A zbiór liczb całkowitych, których moduł jest równy 8; B zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest niemniejszy niż 36. f) A zbiór naturalnych dzielników liczby 12; B zbiór liczb naturalnych, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2. g) h) i) Zad 2. Dane są przedziały A i B. Wyznacz.

2 Na początek narysujmy oba przedziały na jednej osi liczbowej (przypominam: nawias zwykły (,) oznacza przedział otwarty kółko na osi liczbowej niezamalowane; nawias szpiczasty <,> oznacza przedział domknięty kółko na osi liczbowej zamalowane). Wyznaczmy teraz sumę, iloczyn i różnice obu zbiorów. Podobnie jak w poprzednim zadaniu: Do sumy dwóch przedziałów należą wszystkie elementy, które są w którymkolwiek z tych przedziałów ( wszystko razem ). A zatem: Do iloczynu dwóch przedziałów należą wszystkie elementy, które są wspólne dla obu przedziałów (to co wspólne). W naszym przypadku Do różnicy przedziałów A i B należą wszystkie elementy, które są w przedziale A, ale nie ma ich w przedziale B. Czyli (zasłaniamy przedział B i zapisujemy co zostało; UWAGA: koniecznie zwród uwagę na zazębiające się kooce przedziałów. Tutaj przy -2 B jest przedziałem domkniętym, więc liczbę -2 zabieramy z przedziału A i stąd w różnicy otrzymujemy przedział otwarty ). Podobnie (zasłaniamy przedział A i zapisujemy co zostało. Przy 5 zmieniamy przedział na domknięty ponieważ 5 nie należała do przedziału A pozostaje w przedziale B) Na początek narysujmy oba przedziały na jednej osi liczbowej: Teraz podobnie jak w przykładzie 1 wyznaczmy sumę, iloczyn i różnice obu przedziałów: Suma: Iloczyn: Różnice: (przedziały stykają się w 7, ale jedno z kółek jest otwarte a drugie zamalowane) (przedziały A i B nie mają nic wspólnego); Przykład 3: Na początek narysujmy oba przedziały na jednej osi liczbowej: Teraz wyznaczmy sumę, iloczyn i różnice obu przedziałów: Suma: Iloczyn: Różnice: (prawie cały przedział A mieści się w przedziale B pozostaje tylko liczba -4);

3 c) d) Zad 3. Oblicz, a zatem wyrażenie pod wartością bezwzględną (jest ujemne). Zgodnie z definicja wartości bezwzględnej:, opuszczając wartośd bezwzględną musimy w naszym przykładzie zmienid znaki wyrażenia pod modułem na przeciwne. A zatem. Zgodnie z jedną z własności wartości bezwzględnej ( możemy zapisad nasze wyrażenie w postaci: Oszacujmy teraz wartośd wyrażenia pod wartością bezwzględną:, a zatem (wyrażenie pod modułem jest dodatnie). W związku z tym możemy po prostu opuścid znak wartości bezwzględnej Zad 4. Zapisz podane wyrażenie w jak najprostszej postaci (bez użycia znaku wartości bezwzględnej). Uwzględnij podany warunek: Popatrzmy co dzieje się z poszczególnymi modułami tego wyrażenia dla : Wyrażenie ponieważ jeśli za x wstawimy dowolną liczbę ujemną, to wyrażenie pod wartością bezwzględną będzie miało wartośd ujemną więc opuszczając moduł musimy pamiętad o zmianie znaków wyrażenia na przeciwne. Wyrażenie. A zatem. Podobnie jak w poprzednim przykładzie sprawdźmy, co dzieje się z poszczególnymi modułami tego wyrażenia: Na początek zauważmy, że wyrażenie możemy zapisad w postaci. Teraz zgodnie z własnością otrzymujemy.

4 Zauważmy także, że wyrażenie pod wartością bezwzględną ( ) dla jest zawsze dodatnie. W związku z powyższym możemy bez problemu pominąd znak modułu czyli. Wyrażenie dla jest ujemne, więc opuszczając znak wartości bezwzględnej musimy pamiętad o zmianie znaków wyrażenia na przeciwne. Zatem. Ostatecznie otrzymujemy zatem: Zad 5. Rozwiąż równanie: Przypomnijmy, że wartośd bezwzględną interpretujemy geometrycznie jako odległośd: oznacza odległośd liczby a od liczby b na osi liczbowej Zatem oznacza, że odległośd x od 7 na osi liczbowej jest równa 5 Przedstawmy interpretację tego równania na osi liczbowej W odległości 5 jednostek od liczby 7 znajduje się liczba 2 lub 12. Zatem to rozwiązania naszego równania. Zauważmy, że powyższe równanie można zapisad w postaci Teraz odczytajmy zapisane równanie w języku odległości: odległośd x od -3 na osi liczbowej jest równa 8 i przedstawmy interpretację tego równania na osi liczbowej W odległości 8 jednostek od liczby -3 znajduje się liczba - 11 lub 5. Zatem to rozwiązania naszego równania. Przykład 3: Zauważmy, że powyższe równanie można zapisad w postaci Teraz odczytajmy zapisane równanie w języku odległości: odległośd x od 0 na osi liczbowej jest równa -1 Oczywiście odległośd ( jak i wartośd bezwzględna) nie może byd liczbą ujemną ( ).

5 Zatem powyższe równanie nie ma rozwiązao ( ) i) j) Zad 6. Rozwiąż nierównośd: Zapiszmy naszą nierównośd w języku odległości: odległośd x od 0 na osi liczbowej jest mniejsza lub równa 5 Przedstawmy interpretację tej nierówności na osi liczbowej: Jak widzimy na rysunku powyżej naszą nierównośd spełniają wszystkie liczby z przedziału. Odp.: Zapiszmy naszą nierównośd w języku odległości: odległośd x od -4 na osi liczbowej jest większa od 7 Przedstawmy interpretację tej nierówności na osi liczbowej: Jak widzimy na rysunku powyżej naszą nierównośd spełniają wszystkie liczby z dwóch przedziałów otwartych: Przykład 3: Zapiszmy naszą nierównośd w języku odległości: odległośd x od 5 na osi liczbowej jest mniejsza od -3 Oczywiście odległośd ( jak i wartośd bezwzględna) musi byd nieujemna ( ). Zatem powyższa nierównośd nie ma rozwiązao ( ) Przykład 4: Zapiszmy naszą nierównośd w języku odległości: odległośd x od -13 na osi liczbowej jest większa lub równa -11 Oczywiście odległośd ( jak i wartośd bezwzględna) zawsze jest nieujemna ( ). Nasz moduł co prawda nie może byd równy liczbie ujemnej (-11), ale na pewno jest od -11 większy.

6 Zatem powyższa nierównośd jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywista x (ma nieskooczenie wiele rozwiązao) Odp.: i) j) Zad 7. Rozwiąż równanie: Przypomnijmy na początku dwie własności wartości bezwzględnej, które przydadzą nam się w tym przykładzie. 1) (moduł z iloczynu liczb a i b jest równy iloczynowi modułów tych dwóch liczb) 2) (odległośd liczby a od liczby b na osi liczbowej jest taka sama jak liczby b od liczby a) Korzystając z własności 2) możemy zapisad, że Zauważmy teraz, że wyciągając wspólny czynnik przed nawias pod dwoma pozostałymi modułami, nasze równanie możemy zapisad w postaci Teraz skorzystajmy z własności 1): Wstawmy to do naszego równania: Przenieśmy wszystkie wartości bezwzględne na lewą stronę równania: Skoro wszystkie wyrażenia pod wartością bezwzględną są sobie równe, to możemy zredukowad wyrazy podobne : A dalej postępując analogicznie jak w zad. 5 otrzymamy ostatecznie rozwiązanie Zad 8. Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia liczby x liczbą a. Błąd względny podaj z dokładnością do 0,01%: Przypomnijmy na początku co to jest błąd względny i bezwzględny: (jest to wartośd bezwzględna z różnicy miedzy liczbą a jej przybliżeniem) Policzmy zatem obie wartości:

7 Wyraźmy tę wartośd w procentach: Anna Wołoszyn