ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

Transkrypt

1 ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji y x =, x = Zapisanie zbioru wartości funkcji:, x Uwagi dla egzaminatorów Końce przedziału muszą być poprawnie ustalone Akceptujemy zapisy typu: x,, x Miejsca zerowe mogą być odczytane z wykresu, nie wymagamy zapisu stosownych obliczeń Jeśli dziedzina została poprawnie wyznaczona, to akceptujemy wykres nawet bez wyraźnie oznaczonych końców łamanej Końce przedziału muszą być poprawnie ustalone Akceptujemy zapisy typu: y,, y

2 Obliczenie: Ω= 66 = 6 Obliczenie A, gdzie A jest zdarzeniem, że utworzona liczba jest większa od 5: A = + 6 = 0 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: II sposób rozwiązania (metoda drzewa): Narysowanie drzewa z zaznaczeniem istotnych gałęzi PA= ( ) = 6 8 Zapisanie prawdopodobieństw na istotnych gałęziach drzewa Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: 5 PA= ( ) + = Zdający może narysować tabelę o wymiarach 6 na 6 i odczytać rozwiązanie Za prawidłową odpowiedź przyznajemy komplet punktów

3 Wykorzystanie związku sinα tg α = w przekształcaniu tożsamości cosα sin α Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci: cosα Wykorzystanie związku sin α + cos α = w przekształcaniu tożsamości Sformułowanie wniosku: Podana równość jest tożsamością lub sformułowanie równoważne Obliczenie sumy początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: 9 S ( = + ) = Zapisanie sumy początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego + 6r w zależności od r: S = + 6r Ułożenie równania z niewiadomą r: = ( + ) 9 Rozwiązanie równania: r = Punkt przyznajemy za poprawne wymnożenie nawiasów na dowolnym etapie rozwiązania tego zadania Wniosek musi być konsekwencją wykonanych przekształceń ( + ) Wystarczy zapis S = (nie musi być to oddzielny zapis, może występować, np jako jedna ze stron równania w czynności ) Zdający nie musi obliczyć wartości sumy S Nie musi to być oddzielny zapis, może występować, np jako jedna ze stron równania w czynności Może też być: + 6r 9 =

4 5 5 Przekształcenie nierówności do postaci: x ( x ) < 0 5 Rozwiązanie nierówności: ( 0,) x 5 Przedstawienie równania w postaci, np x ( x ) ( x ) = 0 Przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych, x+ 6 x+ x = 0 np ( )( )( ) 55 Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: x= 6, x=, x= 56 Podanie odpowiedzi: x = Przyznajemy pkt za przedstawienie metody rozwiązania nierówności kwadratowej: np zapisania podanej nierówności w postaci: x < lub narysowanie wykresu funkcji y = ( x ), itp Dopuszczamy przedstawienie zbioru rozwiązań na osi liczbowej, o ile zdający wyraźnie zaznaczy przedział otwarty Lewa strona równania musi mieć postać sumy iloczynów, w których występuje ten sam czynnik Przyznajemy punkty w czynności 5, 5 i 55, gdy zdający podaje wszystkie pierwiastki wielomianu W ( x) = x + 6x x bez jakichkolwiek obliczeń (np przez zastosowanie tw o pierwiastkach wymiernych wielomianu)

5 5 6 6 Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC 6 Wyznaczenie równania prostej AB: y = x 5 6 Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB: y = x + b 6 Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: y = x II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej) 6 Oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej, np P= ( x, y) i zapisanie własności AP = BP Wyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania: 6 ( x+ ) + ( y+ ) = x + ( y+ 5) 6 Doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, np 8x+ y+ = 0y+ 5 6 Zapisanie odpowiedzi: y = x 6 III sposób rozwiązania: Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC 6 Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB: D = (, ) 6 Zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty C i D jest osią symetrii trójkąta ABC 6 Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: y = x Przyznajemy punkt, gdy z dalszego toku rozumowania wynika, że zdający poprawnie wybrał równe boki trójkąta Wystarczy, że zdający poda współczynnik kierunkowy prostej AB Wystarczy, że zdający poda współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB Przyznajemy punkt, gdy z toku rozumowania wynika, że zdający stosując tę metodę poprawnie wybrał równe boki trójkąta

6 6 8 d H Obliczenie wysokości ostrosłupa: H = Obliczenie długości przekątnej podstawy ostrosłupa: d = albo długości krawędzi podstawy: a = 6 Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 6 Oznaczenie długości krawędzi sześcianu, np b i zapisanie równania: b = 6 5 Obliczenie długości krawędzi sześcianu: b = 8 Obliczenie kapitału końcowego: K = 9 09 = 96 Zapisanie równania z niewiadomą K 0 kapitałem początkowym: 8 K = Obliczenie kwoty K 0 : 8000 zł α a Jeśli zdający rozpatruje ostrosłup prawidłowy inny niż czworokątny, to oceniamy czynność, za czynności i nie przyznajemy punktów Pozostałą część rozwiązania tego zadania oceniamy według schematu Zdający może podać wynik w postaci, np b = 6 lub wartość przybliżoną pierwiastka

7 9 9 Wprowadzenie oznaczeń, np takich jak na poniższym rysunku: x = PB, h wysokość odciętego trójkąta C F h A D P x B Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków: AD = 6, DB = 9 Zapisanie równania: x h= 8 5 Zapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa 9 h 5 5 trójkątów CDB i FPB: x = = 9 Obliczenie długości odcinka PB: PB = 6 cm

8 8 9 II sposób rozwiązania: Wprowadzenie oznaczeń, np takich jak na poniższym rysunku: x = PB, h wysokość odciętego trójkąta A C F h D P x Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków: AD = 6, DB = 9 Obliczenie proporcji: PΔ DBC = stąd PΔ DBC = PΔ ABC PΔ ABC Stwierdzenie, że ΔDBC ΔPBF i wykorzystanie twierdzenia o P ΔDBC stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: = P ΔPBF PB 9 PΔ ABC stąd = P PB ΔABC 9 Obliczenie długości odcinka PB : = PB, PB = 6 B

9 III sposób rozwiązania: (czynności 9 oraz 9) Stwierdzenie, że ΔDBC ΔPBF i wykorzystanie twierdzenia o stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: P P ΔABC ΔDBC 8 6 k = = = stąd k = P ΔPBF P ΔABC Obliczenie długości odcinka PB: DB k PB = stąd PB = = Zapisanie układu: 00a + 0b = 0 900a + 0b = 90 Wystarczy zapis 0 a = 0 Rozwiązanie układu: b = 0 Zapisanie wzoru funkcji: T ( n) = n + n, 0 n N 0 Zapisanie równania: n + n = Rozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 0 ( ) ( ) T 0 = 0 T 0 = 90 Akceptujemy sam wzór bez podania założenia n N Zdający nie musi wyznaczyć ujemnego rozwiązania równania

10 0 D C E Uzasadnienie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są równoramienne (wykorzystanie założenia, że AB = BC = CD = DA i trójkąty AEB oraz BFC są równoboczne) Obliczenie miary kąta DAE lub FCD: DAE = FCD = = 50 Obliczenie miary kąta EBF : EBF = = 50 A B Zapisanie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są przystające (z cechy przystawania bkb) i wyciągnięcie wniosku o równości boków trójkąta DEF F

11 Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie zależności między liczbą dziewcząt i liczbą chłopców: np x liczba dziewcząt, y liczba chłopców, x 6 = y Zapisanie równania: x = %( x + y) Zapisanie układu równań: 60 Rozwiązanie układu i sformułowanie odpowiedzi: x = 0,6( x+ y) x 6 = y x = 8, y = W klasie jest 0 osób w tym chłopców II sposób rozwiązania: Wprowadzenie oznaczeń : x liczba osób w klasie, 0,6x liczba dziewcząt, 0,x liczba chłopców Zapisanie równania: 0,6x 6 = 0, x Rozwiązanie równania: x = 0 Podanie odpowiedzi: W klasie jest 0 osób w tym chłopców Wystarczy, że zdający poda liczby dziewcząt i chłopców Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów