SPIS TREŚCI 1. IV. Równanie falowe. 1 Jednowymiarowe równanie falowe Równanie struny i wzór d Alemberta Struna półnieskończona...

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI IV. Równanie falowe Spis reści Jednowymiarowe równanie falowe. Równanie sruny i wzór d Alembera Sruna półnieskończona Równanie falowe dla n =3 6. Sferycznie symeryczne rozwiązania równania falowego w przesrzeni Wzór Kirchhoffa Równanie falowe dla n =- wzór Poissona 4 4 Niejednorodne równanie falowe 7 5 Uogólnienie na wyższe wymiary 9 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru nieparzysego N =k Uogólnienie na przypadek wymiaru parzysego N =k N-wymiarowe niejednorodne równanie falowe Dodaek na ema miary kuli i sfery w R N

2 Jednowymiarowe równanie falowe W rozdziale ym omówimy równanie falowe, czyli równanie posaci u = c u + f (x,, ( gdzie (dla przypomnienia jes operaorem Laplace a liczonym względem zmiennych przesrzennych x R n, >. Jak pamięamy, jes o równanie hiperboliczne i, jak o było policzone wcześniej (w rozdziale o charakerysykach, równaniem charakerysyk jes u n F (x, F (x, =c F xi (x, F xi (x,. i= Dosaliśmy równanie różniczkowe cząskowe rzędu I, kóre w przypadku n =porafimy rozwiązać. Zajmiemy sie w akim razie eraz przypadkiem jednowymiarowym i jednorodnym. Jednowymiarowe równanie falowe Znajdziemy charakerysyki równania jednowymiarowego u = c u xx. ( Rozwiązujemy Widać, że dosajemy iloczyn F (x, F (x, =c F x (x, F x (x,. (F (x, cf x (x, (F (x, +cf x (x, =, F (x, cf x (x, = F (x, +cf x (x, =, a więc musimy rozwiązać dwa układy równań różniczkowych zwyczajnych =, x = c, =, x = c. Osaecznie dosajemy, że F + (x, =x + c i F (x, =x c wyznaczają dwie charakerysyki. Sosujemy zamianę zmiennych zgodnie z ymi charakerysykami: η = x c i ξ = x + c, zn. u(x, =w(ξ(x,, η(x,. W ych nowych zmiennych równanie ( ma posać 4c w ξη =,

3 . Równanie sruny i wzór d Alembera 3 więc w(ξ, η =α(ξ +β(η, gdzie α, β są dowolnymi funkcjami. Po powrocie do zmiennych x i dosajemy osaecznie u(x, =α(x + c+β(x c. (3 Jak widać u składa się z dwóch fal: β(x c wędrującej na prawo z prędkością c i α(x + c wędrującej na lewo z ą samą prędkością c. Ponado, jeśli chcemy, bo rozwiązaniem równania była funkcja klasy C we wnęrzu zbioru x R, > iklasyc na półprzesrzeni domknięej x R,, o musimy założyć, że α, β są klasy C. Zaem przesrzeń rozwiązań ma aki wymiar, jak przesrzeń funkcji klasy C.Abyznaleźćposaćfunkcjiα, β porzebne sa warunki począkowe.. Równanie sruny i wzór d Alembera Rozważmy zaem warunki u(x,=φ(x, u (x,=ψ(x dla x R, (4 gdzie φ C (R i ψ C (R są funkcjami danymi i opisują zmiany kszału sruny, jeśli zadany jes kszał począkowy i począkowa prędkość (przyp. równanie jednowymiarowe falowe nazywamy równaniem sruny. Z równości (3 i warunków (4 dosajemy eraz φ(x =α(x+β(x i ψ(x =cα (x cβ (x. Jes o układ dwóch równań z dwiema funkcjami niewiadomymi, a ponieważ x jes używane do oznaczania zmiennych przesrzennych, wprowadźmy zmienną neuralną s. Wedy po zróżniczkowaniu pierwszego równania układu, dosajemy φ (s =α (s+β (s i ψ(s =cα (s cβ (s. Sąd α (s = ( φ (s+ ψ(s, β (s = ( φ (s ψ(s. c c Po scałkowaniu obu równań, dosajemy kolejno: α(s = φ(s+ s ψ(τ dτ + C, c β(s = φ(s s ψ(τ dτ + C. c

4 . Równanie sruny i wzór d Alembera 4 Ponieważ φ(s =α(s+β(s, więcc + C =. Sąd i z posaci rozwiązania (3 mamy u(x, =α(x+c+β(x c = co można uprościć do posaci u(x, = ( x+c x c (φ(x + c+φ(x c+ ψ(τ dτ ψ(τ dτ, c x+c (φ(x + c+φ(x c + ψ(s ds. (5 c x c Równanie o znane jes jako wzór d Alembera. Przy naszych założeniach o gładkości funkcji φ i ψ wzór en określa posać rozwiązania równania falowego ( z warunkami począkowymi (4, co ławo sprawdzić przez bezpośrednie różniczkowanie. Orzymujemy naychmias wierdzenie: Twierdzenie... Każde rozwiązanie u C zagadnienia począkowego (4 dla równania sruny nieskończonej ( spełnia wzór d Alembera (5, więc jes jednoznacznie wyznaczone przez dane począkowe φ i ψ.. Dla dowolnych φ C (R i ψ C (R wzór d Alembera (5 określa funkcję u C,kóra spełnia (4 i (. 3. Jeśli sup s R φ (s φ (s <ɛ, sup ψ (s ψ (s <ɛ, s R o odpowiednie rozwiązania u i u spełniają nierówność: u (x, u (x, ( + T ɛ dla wszyskich x R i [, T ]. (Oznacza o, że mała zmiana warunków poczakowych nie zaburza mocno rozwiązania. 4. Liczba u(x, zależy ylko od warości φ i ψ w punkach y [x c, x + c]. (Inerpreacja fizyczna: c jes prędkością, z jaką rozchodzi się fala. Zauważmy na koniec, że rozwiązanie d Alembera zapisane w posaci (3, gdzie α = φ + c ψ i

5 . Sruna półnieskończona 5 β = φ ψ, jes sumą rozwiązań, z kórych pierwsze (x, α(x + c opisujefalęporuszajacą c się do yłu z prędkością c, a drugie (x, β(x c opisuje falę biegnącą do przodu. Całe rozwiązanie jes więc, jak mówią fizycy, złożeniem (superpozycją obu fal. Fala biegnąca do przodu z β = g. Sruna półnieskończona Rozważmy eraz nasępujące zagadnienie począkowo-brzegowe na półprosej (równanie sruny półnieskończonej: u = c u xx dla x >, >, u(x,=φ(x, u (x,=ψ(x dla x, (6 u(, = dla. Warunek począkowy oznacza, że lewy koniec sruny jes zaczepiony i nie zmienia położenia. Aby warunki począkowo-brzegowe nie były sprzeczne ze sobą, należy dodakowo przyjąć, że φ( = (warunek zgodności. Zagadnienie o możemy rozwiązać, wykorzysując wynik dla sruny nieskończonej, ylko musimy przedłużyć funkcje φ i ψ w en sposób, aby orzymane rozwiązanie było równe dla x =,jeśli wiemy już, że ma ono posać u(x, =α(x + c+β(x c.

6 Równanie falowe dla n =3 6 Zobaczmy więc, jakie o może być przedłużenie. Z równania (6 wynika, że funkcje φ i ψ muszą spełniać warunki: α(x+β(x =φ(x, x, c(α (x β (x = ψ(x, x, α(c+β( c =,. Zobaczmy, co się sanie, jeśli przedłużenia φ np i ψ np będą - na razie dowolnymi - funkcjami, pokrywającymi się z φ i ψ dla x. Niech v będzie rozwiązaniem równania (6 z przedłużeniami φ np i ψ np orzymanym ze wzoru d Alembera: v(x, = (φ np(x + c+φ np (x c + x+c ψ np (s ds. c x c Wedy v(, = (φ np(c+φ np ( c + c ψ np (s ds = c c = (α(c+β(c+α( c+β( c + c ψ np (s ds. c c Wyrażenie o będzie wedy, gdy np. α(c +β(c = α( c β( c iznikniecałka. Ale α( c β( c = φ np ( c, co oznacza, że φ np musi być funkcją nieparzysą, a całka zniknie, gdy ψ np będzie funkcja nieparzysą. Zaem załóżmy, że nasze przedłużenia są funkcjami nieparzysymi. Wedy v(, =dla x R, > i funkcja u jes rozwiązaniem v obcięym do R + R +. Wysarczy eraz wyrazić rozwiązanie u przy użyciu ylko φ i ψ, a nie ich przedłużeń. Zauważmy w ym celu, że dla x c obie warości x + c i x c są nieujemne, więc dla nich φ = φ np i ψ = ψ np, zaem rozwiązanie wyraża się dokładnie wzorem d Alembera. Jeśli naomias x < c, warośćx c jes ujemna, więc dla niej φ np (x c = φ np (c x = φ(c x i ψ np (x c = ψ np (c x = ψ(c x. Dosajemy więc osaecznie u(x, = (φ(x + c+φ(x c + x+c c x c ψ(s ds dla x c, (φ(c + x φ(c x + c+x c c x ψ(s ds dla x < c. (7 Rozwiązanie o oznacza fizycznie, że fala, kóra dochodzi do zamocowanego końca sruny, odbija się, zmienia wychylenie i, nie racąc energii, zaczyna biec w przeciwną sronę. Równanie falowe dla n =3 Wykorzysamy eraz równanie sruny półnieskończonej i jego rozwiązanie dla znalezienia rozwiązań

7 . Sferycznie symeryczne rozwiązania równania falowego w przesrzeni 7 3-wymiarowego równania falowego (równania falowego w przesrzeni.. Sferycznie symeryczne rozwiązania równania falowego w przesrzeni Zajmiemy się najpierw prosszym przypadkiem. Rozważmy równanie u = c (u xx + u yy + u zz dla (x, y, z R 3, >, u(x, y, z,=φ(x, y, z dla (x, y, z R 3, u (x, y, z,=ψ(x, y, z dla (x, y, z R 3, (8 gdzie funkcjie φ i ψ są symeryczne sferycznie, zn. φ(x, y, z =φ(r i ψ(x, y, z =ψ(r, gdzie r = (x, y, z = x + y + z. Pokażemy, że rozwiązanie również jes sferycznie symeryczne, zn. u(x, y, z, =u(r,. Wprowadźmy oznaczenie r =(x, y, z. Ponieważ rozwiązanie ma być posaci u(r, =u(r,, o waro wyrazić Laplasjan w (8 we współrzędnych sferycznych, zn. dla x = r cos a sin b, y = r sin a sin b, z = r cos b, r >, < a < π, < b <π. Dosajemy wedy kolejno u x = u r r x, u y = u r r y, u z = u r r z, u xx = u rr (r x + u r r xx, u yy = u rr (r y + u r r yy, u zz = u rr (r z + u r r zz. Z drugiej srony r = x + y + z,czyli r x = x r, r y = y r, r z = z r, Sąd osaecznie r xx = r x r 3, r yy = r y r 3, r zz = r z r 3. u = u rr (r x + r y + r z +u r(r xx + r yy + r zz =u rr + u r r. Równanie falowe sferycznie symeryczne można więc zapisać eraz jako: ( u = c u rr + u r. (9 r Jesli pomnożymy je sronami przez r, o mamy (po zwinięciu prosszą posać (ru = c (ru rr.

8 . Wzór Kirchhoffa 8 Po wprowadzeniu nowej funkcji v = ru, dosajemy nową posać równania (8 v = c v rr dla r >, >, v(r,=rφ(r, v (r,=rψ(r dla r, v(, = dla. Jes o, jak widać, zagadnienie począkowo-brzegowe dla równania sruny półnieskończonej. Zaem, używając echniki nieparzysego przedłużenia funkcji r φ(r i r ψ(r, dosajemy jak w poprzednim paragrafie (wykorzysujemy posać rozwiązania (7: u(r, = r ((r + cφ(r + c+(r + cφ(r c + c ((c + rφ(c + r (c rφ(c r + c r+c r c c+r c r rψ(s ds rψ(s ds dla r c, dla r < c.. Wzór Kirchhoffa Wyprowadzimy eraz ogólną posać rozwiązania równania falowego w R 3 R +, bez założenia o sferycznej symeryczności. Rozważać będziemy równanie u = c x u dla x R 3, >, u(x,=φ(x dla x R 3, ( u (x,=ψ(x dla x R 3. Jak w poprzednich przypadkach, będziemy poszukiwać rozwiązania u, kórejesklasyc na półprzesrzeni domknięej i klasy C w jej wnęrzu. Tuaj również sprowadzimy równanie do przypadku jednowymiarowego na półprosej. Wprowadźmy na począku pojęcie zw. średniej sferycznej. Niech h : R 3 R iokreślmy I h (x, r := h(x + ry ds y = h(ξ ds 4π y = 4πr ξ, S (x,r gdzie ds oznacza miarę na hiperpowierzchni. Jak widać z określenia, I h (x, r oznacza średnią warość funkcji h na sferze o środku x ipromieniur - średnia sferyczna.

9 . Wzór Kirchhoffa 9 Własność.. Mają miejsce nasępujące własności: Jeśli dla pewnego s =,,,... funkcja h C s (R 3, o również I h C s (R 3 R +. Dla każdej funkcji ciągłej h idlawszyskichx R 3 mamy lim I h(x, r =h(x. r Zachodzi równość: R h(x + zdz = 4πr I h (x, rdr. ( B(,R Dowód. Własność pierwsza jes oczywisa, dla dowodu drugiej wysarczy wejść z granicą pod znak całki (sprawdzić, że można!. Trzecią własność uzyskamy, sosując wierdzenie Fubiniego: ( R h(x + zdz = h(x + zds z dr. B(,R z =r Nasępnie, w wewnęrznej całce, zamieniamy zmienną z na y = z S (,. WedydS r z = r ds y. Przypomijmy, jak uzyskać ę równość. Korzysamy z definicji miary na hiperpowierzchni, kórą w naszym wypadku jes sfera S (, dla y i S (, r dla z. Sąd dosajemy nasępujący opis parameryczny: y =(y, y, y 3 =(cos cos s,cos sin s,sin, z =(z, z, z 3 =(r cos cos s, r cos sin s, r sin, dla s (, π, ( π, π. I dalej liczymy zw. moduły pochodnych, uzyskująckolejno: Osaecznie ds z = = r ( π, π (,π ( π, π (,π y (s, =cos, z (s, = r cos. z (s, d(, s = cos d(, s =r Naszarównośćcałkowamaerazposać: B(,R h(x + zdz = ( R ( π, π (,π ( π, π (,π r cos d(, s = y (s, d(, s =r ds y h(x + ryr ds y dr = ry = ( R R = r h(x + ryds y dr = r 4πI h (x, rdr, ry = gdzie osanią równość dosajemy, sosując definicję średniej sferycznej.

10 . Wzór Kirchhoffa W dalszym ciągu będziemy wykorzysywać kolejne własności, zapisane w posaci dwóch lemaów. Lema.. (Lema o średnich sferycznych Dla funkcji h C (R 3 zachodzi równość: ( R x 4πr I h (x, r dr Dowód. Będziemy orzymywać kolejno: =4πR R I h(x, R. ( R ( x 4πr {}}{ I h (x, r dr = h(x + z dz B(,R = S (,R h(x + zn(z ds z = S (,R w. Gaussa Osrogradskiego {}}{ = h(x + z z R ds z, gdyż wekor normalny do sfery S (, R w punkcie z dany jes wzorem n(z = z. Jak w poprzednim R dowodzie, sosujemy eraz zamianę zmiennych Wedy S (,R h(x + z z R ds z = S (, R z y = z R S (,. S (, R h(x + Ryy ds y = R 3 S (, i= = R h(x + Ry ds y = R 4π R S (, R I h(x, R. h x i (x + Ryy i } {{ } = R h(x+ry ds y = Lema.. (Lema o średnich sferycznych Dla funkcji h C (R 3 zachodzi równość: x ri h (x, r = r ri h(x, r.

11 . Wzór Kirchhoffa Dowód. Zróżniczkujmy względem R obie srony równości z ezy Lemau o średnich sferycznych: ( R R x r I h (x, r dr = R R R I h(x, R. Wedy dla lewej srony mamy (z w. Newona-Leibniza: ( ( R R x r R I h (x, r dr = x r I h (x, r dr = x R I h (x, R, R i po podzieleniu przez R orzymujemy: x RI h (x, R = R R R R I h(x, R. Zauważmy eraz, że dla dowolnej dwukronie różniczkowalnej funkcji f jednej zmiennej s mamy równość ( s f (s =(sf (s s (ławo o sprawdzić, wykonując różniczkowania po obu sronach. Sąd czyli dosajemy ezę. R R R R I h(x, R = R RI h(x, R, Przejdziemy eraz do zasadniczej części ego paragrafu, czyli wyprowadzenia wzoru Kirchhoffa. Oznaczmy symbolem Ψ r operaor, kóry funkcji h przyporządkowuje ri h (, r, zn. Ψ r h(x =ri h (x, r, adlar =przyjmujemy Ψ r h =. Kolejno, niech L oznacza operaor, kóry funkcji u przyporządkowuje Lu = u c x u =. Porakujmy x jako usalony paramer i zobaczmy, że wedy spełnione jes równanie (Ψ r u c (Ψ r u rr =, gdzie r jes zmienną oznaczającą położenie, a oznacza czas. Isonie: zlemau (Ψ r u c {}}{ (Ψ r u rr = (Ψ r u c x Ψ r u = L(Ψ r u. W ym osanim zapisie zmienną rakujemy jako dodakowy paramer, bo operacja uśredniania wysępujaca w definicji Ψ r jes sosowana ylko do zmiennych x. Dodakowo =Ψ r ( = Ψ r (Lu.

12 . Wzór Kirchhoffa Wysarczy więc zauważyć, że Ψ r (Lu =L(Ψ r u. (Uzasadnienie ej równości zosawiam jako ćwiczenie. Ponieważ r i, więc (Ψ r u c (Ψ r u rr = jes równaniem sruny półnieskończonej. Zobaczmy eraz, jak dla ego równania wyglądają warunki począkowo-brzegowe (6: Ψ r u = Ψ r φ(x dla =, r, (Ψ r u = Ψ r ψ(x dla =, r, ( Ψ r u = dla, r =. Wykorzysamy posać rozwiązania (7 wyprowadzonego dla sruny na półprosej i zasosujemy go do naszej funkcji Ψ r u (pamieając, że zmiennymi są r i : Ψ r u(x, = (Ψ r+c φ(x+ψ r c φ(x + c (Ψ c+r φ(x Ψ c r φ(x + c Ale ponieważ z równości granicznej we własności. mamy r+c lim I u(x, r =u(x, r r c Ψ sψ(x ds c+r c r Ψ sψ(x ds dla r c, dla r < c. o Ψ r u(x, u(x, = lim I u (x, r, = lim, r r r więc, aby wykonać o przejście graniczne, musimy wziąc pod uwagę dolny wzór w (3, gdzie r < c. Dosajemy wedy [ u(x, = lim (Ψ c+r φ(x Ψ c r φ(x + c+r ] Ψ s ψ(x ds = r r c c r [ = lim (Ψ c+r φ(x Ψ c φ(x+ψ c φ(x Ψ c r φ(x + r r c = r Ψ rφ(x + r=c c Ψ cψ(x. c+r Aby wyrazić u jawnym wzorem, pozosaje policzyć pochodną względem r: r Ψ rφ(x = [ r=c r ri φ(x, r = I φ (x, r+r r=c r I φ(x, r] = r=c = 4π ( φ(x + ry ds y + r y = y = c r r φ(x + ry ds y r=c = ] Ψ s ψ(x ds = (3

13 . Wzór Kirchhoffa 3 Sąd mamy 4π ( φ(x + cy ds y + c y = = 4π 4πu(x, = = ( y = r ( φ(x + cy ds y. S (, ( S (, S (, φ(x + ry ds y = r=c φ(x + cy ds y + c 4πΨ cψ(x = φ(x + cy ds y + c 4πcI ψ(x, c. Mamy sąd wzór Kirchhoffa nasępującej posaci 4πu(x, = ( S (, φ(x + cy ds y + S (, ψ(x + cy ds y, (4 lub po zamianie zmiennych S (, y z = x + cy S (x, c, orzymujemy (pamięając, że c ds y = ds z : 4πc u(x, = ( φ(z ds z + ψ(z ds z. (5 S (x,c S (x,c Wszyskie powyższe wyniki i rachunki możemy podsumować w nasępującym wierdzeniu. Twierdzenie.. Jeśli φ C 3 (R 3 i ψ C (R 3, o zagadnienie Cauchy ego dla równania falowego w R 3 R + ma dokładnie jedno rozwiązanie klasy C. To rozwiązanie jes określone wzorem Kirchhoffa (5. Ponado rozwiązanie zależy w sposób ciągłyoddanychpocząkowychφ i ψ w nasępującym sensie: jeśli φ φ C (R 3 <ɛ, ψ ψ C (R 3 <ɛ, o u (x, u (x, < cons(t ɛ dla x R 3 i [, T ]. Jednoznaczność wynika sąd, że wykazaliśmy, iż każde rozwiązanie spełnia wzór Kirchhoffa. Gdy

14 3 Równanie falowe dla n =- wzór Poissona 4 φ C 3 (R 3 i ψ C (R 3, o prawa srona wzoru Kirchhoffa ma ciągłe pochodne cząskowe do drugiego rzędu włącznie, więc i lewa srona, czyli funkcja u, akże. Isnienie wymaga sprawdzenia, że funkcja określona wzorem Kirchhoffa isonie spełnia równanie falowe. Ciągłą zależność od danych począkowych pokazujemy bezpośrednio. - Ćw. Wniosek.. (Zasada Huygensa Jeśli dane począkowe φ i ψ mają zware nośniki (nośnikiem funkcji v nazywamy domknięcie zbioru argumenów, dla kórych funkcja przyjmuje niezerowe warości, zn. suppv = {x : v(x } i S = suppφ suppψ, o u(x, =dla wszyskich / [ (x, (x], gdzie (x =inf { > : S (x, c S }, (x =sup { > : S (x, c S }. Dowód. Dla < (x idla > (x sfera S (x, c nie ma punków wspólnych z S, więc funkcje φ i ψ znikają na niej ożsamościowo, czyli obie całki we wzorze Kirchhoffa są równe zero. Inerpreacja fizyczna ego wniosku jes nasępująca: w R 3 źródło dźwięku o ograniczonych rozmiarach można słyszeć ylko przez pewien, ściśle określony czas (fron fali dociera do obserwaora, ym szybciej, im wieksze c, czyli prędkość rozprzesrzeniania się zaburzeń; po przejściu fali nasępuje cisza, gdy zbiór S jes zwary, warości u(x, znikają dla odpowiednio dużych. 3 Równanie falowe dla n =- wzór Poissona Znajomość wzoru Kirchhoffa pozwala niemal naychmias wypisać wzór na rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania falowego w dwóch wymiarach przesrzennych: R R +. Pomysł polega na ym, by dodać fikcyjny rzeci wymiar przesrzenny x 3 i zaraz poem założyć, że u, φ i ψ nie zależą od x 3. Oczywiście u dane jes wzorem Kirchhoffa. Trzeba en wzór wypisać, biorąc np. x 3 =,gdyżu, φ i ψ nie zależą od x 3, a nasępnie przejść od całkowania po dolnej i górnej połówce sfery S (x, c do całkowania po dysku. Meoda a nazywa się meodą zsępowania.

15 3 Równanie falowe dla n =- wzór Poissona 5 Wykonajmy zaem e rachunki. Niech u = u(x, x, spełnia u = c x u dla x R, >, u(x,=φ(x dla x R, u (x,=ψ(x dla x R. Oznaczmy ū(x, x, x 3, :=u(x, x,. Wedyū musi spełniać: ū = c x ū dla x R, >, ū(x,= φ(x dla x R 3, ū (x,= ψ(x dla x R 3, (6 (7 przy czym φ(x, x, x 3 =φ(x, x, ψ(x, x, x 3 =ψ(x, x. Jeśli przyjmiemy x = (x, x R i x = (x, x, R 3, o z (7 i wzoru Kirchhoffa (5 orzymamy: 4πc u(x, =4πc ū( x, = ( φ(z d S z + S ( x,c S ( x,c ψ(z d S z, (8 gdzie S ( x, c oznacza sferę w R 3 ośrodku x ipromieniuc >, ad S jes miarą powierzchniową na ej sferze. Zajmijmy się pierwszą całką w ej równości. Zauważmy, że dowolny z S ( x, c spełnia równanie z x = c, możemy więc napisać: (z x +(z x + z 3 =(c. Orzymujemy więc parameryzację odpowiednio górnej i dolnej półsfery: B (x, c y =(y, y Y ± (y, y = ( y, y, ± (c (y x (y x S ( x, c, gdzie B (x, c R jes kołem (dyskiem o środku x ipromieniuc. Skróowozapiszmy: Y ± (y = ( y, y, ± (c y x. Sąd moduł pochodnej policzymy nasępująco: Y ± (y = (y x (c (y x ± y x ± (c y x =

16 3 Równanie falowe dla n =- wzór Poissona 6 = + 4(y x (c y x + 4(y x (c y x = c [ (c y x ] Osaecznie φ(z d S z = φ(yc [ (c y x ] dy =c S ( x,c B (x,c B (x,c. φ(y (c y x dy. Analogicznie posępujemy z drugą całką w (8, dosając: S ( x,c ψ(z d S z =c B (x,c ψ(y (c y x dy. Reasumując, równanie (8 prowadzi do nasępującej posaci 4πc u(x, = c B (x,c φ(y (c y x dy + c B (x,c ψ(y (c y x dy, czyli πcu(x, = φ(y B (x,c (c y x dy ψ(y + dy. (9 B (x,c (c y x Jes o zw. wzór Poissona, a x i z są punkami płaszczyzny. Jes u więc inaczej niż we wzorze Kirchhoffa: am całkowaliśmy po sferach, czyli zbiorach kowymiaru wr 3, u naomias całkujemy po kołach, czyli po zbiorach ego samego wymiaru, co R.Dlaego ze wzoru Poissona (9 wynika ciekawy wniosek. Dla równania falowego w R + zasada Huygensa nie zachodzi, zn. zbiór { : u(x, } jes zazwyczaj nieograniczony, nawe gdy dane począkowe mają zwary nośnik. Jeśli bowiem S = suppφ suppψ, o dla dowolnego punku x isnieje = (x akie, że dla wszyskich > koło B (x, c zawiera punky zbioru S. Gdybyśmy więc żyli w spłaszczonym świecie, o nie moglibyśmy odpoczywać w ciszy. Sygnał akusyczny, kóry by doarł do usalonego punku x R byłby odbierany przez dowolnie długi czas, jedynie naężenie odbieranego dźwięku by słabło, ze względu na składnik c pod pierwiaskiem w mianowniku.

17 4 Niejednorodne równanie falowe 7 4 Niejednorodne równanie falowe Zajmijmy sie eraz zagadnieniem Cauchy ego dla 3-wymiarowego równania niejednorodnego: Lu(x, =h(x, dla x R 3, >, u(x,=φ(x dla x R 3, u (x,=ψ(x dla x R 3, ( gdzie Lu = u c x u.załóżmy,żeh i ψ są klasy C,aφ-klasyC 3. Skorzysamy z liniowości L izapiszmyu = w + v, gdzie Lw =, w(x,=φ(x, w (x,=ψ(x oraz Lv = h, v(x,=v (x,=. Wedy funkcja w jes dana wzorem Kirchhoffa. Wysarczy więc rozwiązać zagadnienie ( dla φ, ψ. Wykorzysamy w ym celu nasępujący pomysł. Zdefiniujmy v = v(x,, s (gdzie dodakową zmienną s > rakujemy jako paramer jako rozwiązanie zagadnienia: Lv = dla x R 3, >, v(x,,s = dla x R 3, ( v (x,,s =h(x, s dla x R 3. Wedy spełnia Isonie: v(x, := v(x, s, s ds Lv = h, v(x,=v (x,=. v(x,=dlawszyskichx i różniczkując obie srony w posaci v(x, względem odpowiednich zmiennych, orzymujemy kolejno: v (x, =v(x,,+ v (x, s, s ds = v (x,=dlawszyskichx, v (x, =v (x,,+ v (x, s, s ds, v (x, s, s ds,

18 4 Niejednorodne równanie falowe 8 c x v(x, = c x v(x, s, s ds, v (x, c x v(x, =v (x,, =h(x, dla wszyskich x,. Pomysł uaj zasosowany opiera sie na zw. zasadzie Duhamela. Ma ona liczne zasosowania w eorii równań różniczkowych liniowych. Dzięki niej można wyznaczyć np. rozwiązanie niejednorodnego równania ransporu (inny sposób i rozwiązanie niejednorodnego równania przewodnicwa cieplnego (co uczynimy w nasępnym rozdziale. Wysarczy więc eraz rozwiązać zagadnienie (, czyli inaczej mówiąc: rozwiązać nieskończoną rodzinę zagadnień Cauchy ego dla jednorodnego równania falowego, indeksowaną paramerem s. Możemy zasosować w ym celu wzór Kirchhoffa i dosaniemy: v(x,, s = [ ( ds 4πc z + S (x,c S (x,c h(z, s ds z ] czyli v(x, s, s = 4πc h(z, s ds z. s S (x,c( s Możemy eraz jawnie przedsawić v: v(x, = 4πc h(z, s ds z ds = s S (x,c( s podsawienie: s= r c {}}{ c c = h(z, r 4πc r S (x,r c ds z r= z x c dr {}}{ = gdzie B 3 (x, c R 3 jes kulą o środku x ipromieniuc. = 4πc h(z, s ds z, S (x,c 4πc B 3 (x,c h ( z, z x c dz, z x Tak określone v spełnia Lv = h, v(x,=v (x,=, a funkcja podcałkowa w osaniej całce nazywa się poencjałem opóźnionym. Wniosek 4.. Warość v(x, zależy jedynie od warości h w punkach (z, s położonych na sożku o równaniu z x = c( s, s (,.

19 5 Uogólnienie na wyższe wymiary 9 Wróćmy na koniec do przedsawienia rozwiązania u: = ( φ(z ds 4πc z + S (x,c u(x, =w(x, +v(x, = S (x,c ψ(z ds z + B 3 (x,c h ( z, z x c z x dz. Ćwiczenie 4.. Posługując sie ą meodą wyprowadzić jawną posać niejednorodnego równania falowego dla jednowymiarowej zmiennej przesrzennej (wykorzysując wzór d Alembera. 5 Uogólnienie na wyższe wymiary 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru nieparzysego N =k + Zajmiemy się eraz zagadnieniem Cauchy ego dla wielowymiarowego równania falowego u = c x u dla x R N, >, u(x,=φ(x dla x R N, u (x,=ψ(x dla x R N, ( gdziezakładamy,żewymiarn jes liczbą nieparzysą N =k +,aφ C N+3 (R N i ψ C N+ (R N. Porzebny nam będzie pewien echniczny lema, kórego dowód można przeprowadzić indukcyjnie (zosawiam jako ćwiczenie.

20 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru nieparzysego N =k + Lema 5.. Niech f : R R będzie funkcją klasy C k+. Wedy dla k =,,3,... zachodzą równości: ( d dr ( r ( r d dr k ( d dr r k f (r = ( r d dr k ( r k df dr (r, k ( r k f (r = k j= βk j r j+ dj f dr j (r, gdzie sałe β k j (j =,,,... nie zależą od funkcji f.ponadoβ k = (k = (k!!. Aby wyprowadzić posać rozwiązania u w wielowymiarowym przypadku, posępujemy podobnie, jak przy wyprowadzaniu wzoru Kirchhoffa. Zdefiniujmy średnie sferyczne. Niech h : R N R iokreślmy I h (x, r := h(x + ry ds y, σ N y = gdzie ds oznacza miarę na hiperpowierzchni, a σ N oznacza miarę jednoskowej sfery S N w R N. Jak widać z określenia, I h (x, r oznacza średnią warość funkcji h na sferze o środku ipromieniu - średnia sferyczna. Możemy eraz sprawdzić, że w ym przypadku I h (x, r ma własności odpowiadające poprzednim, zn. z własności. i z lemau i o średnich sferycznych. Wypiszemy je eraz. Własność 5.. Mają miejsce nasępujące własności: Jeśli dla pewnego s =,,,... funkcja h C s (R N, o również I h C s (R N R +. Dla każdej funkcji ciągłej h idlawszyskichx R N mamy lim I h(x, r =h(x. r Zachodzi równość: R h(x + zdz = σ N r N I h (x, rdr. (3 B(,R Dowód. Własność pierwsza jes oczywisa, dla dowodu drugiej wysarczy wejść z granicą pod znak całki (sprawdzić, że można!. Trzecią własność uzyskamy, sosując wierdzenie Fubiniego: ( R h(x + zdz = h(x + zds z dr. B(,R z =r

21 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru nieparzysego N =k + Nasępnie, w wewnęrznej całce, zamieniamy zmienną z na y = z r S N (,. WedydS z = r N ds y. Nasza równość całkowa ma eraz posać: ( R h(x + zdz = h(x + ryr N ds y dr = B(,R ry = ( R R = r N h(x + ryds y dr = r N σ N I h (x, rdr, ry = gdzie osanią równość dosajemy, sosując definicję średniej sferycznej. Lema 5.. (Lema o średnich sferycznych Dla funkcji h C (R N zachodzi równość: ( R x σ N r N I h (x, r dr = σ N R N R I h(x, R. Dowód. Będziemy orzymywać kolejno: ( R (3 w. Gaussa Osrogradskiego x σ N r N {}}{{}}{ I h (x, r dr = h(x + z dz = B(,R = h(x + zn(z ds z = h(x + z z S N (,R S N (,R R ds z, gdyż wekor normalny do sfery S N (, R w punkcie z dany jes wzorem n(z = z. Jak w poprzednim R dowodzie, sosujemy eraz zamianę zmiennych Wedy S N (,R h(x+z z R ds z = S N (, R z y = z R S N (,. S N (, = R N R S N (, R N h(x+ryy ds y = R N N S N (, i= h(x + Ry ds y = R N σ N R I h(x, R. h x i (x + Ryy i } {{ } = R h(x+ry ds y = Lema en oznacza, że R I h(x, R = ( R σ N R N x σ N r N I h (x, r dr.

22 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru nieparzysego N =k + Możemy eraz ę równość pomnożyć przez R N i zróżniczkować względem R: R RN R I h(x, R = ( R x σ N r N I h (x, r dr, σ N R (N R N R I N h(x, R+R R I h(x, R = ( x σn R N I h (x, R, σ N (N R N R I N h(x, R+R R I h(x, R = x R N I h (x, R. Dosajemy więc odpowiednik Lemau o średnich sferycznych. Lema 5.3. (Lema o średnich sferycznych Dla funkcji h C (R N zachodzi równość: (N r N r I N h(x, r+r r I h(x, r = x r N I h (x, r. Jeśli podzielimy eraz równośc w ezie ego lemau przez r N, o orzymamy N r r I h(x, r+ r I h(x, r = x I h (x, r, czyli c x I h = I h. Oznacza o, że operaor + N jes laplasjanem dla funkcji radialnych na r r r RN (por. rozwiązania radialnie symeryczne i poprzedni rozdział. W analogii do poprzednich rachunków, wprowadzamy operaor Ψ w nasępujacy sposób: Ψ r h = ( r i Ψ r h =dla r =. Wedy dosajemy ławo, że o ile funkcja u spełnia równanie falowe. Isonie (Ψ r u = ( r r N 3 [ ] N r I u r N 3 ( r N I h (Ψ r u c (Ψ r u rr =, = c ( r N 3 [ ( N r N r r ] r I u + r I u =

23 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru nieparzysego N =k + 3 ( N 3 [ = c r N 3 r(n ] ( N [ r r r I N u + r r I u = c r N ] r r r I u = Ponieważ r i, więc Lema 5. ( ( {}}{ = c r r r (Ψ r u c (Ψ r u rr = N 3 [ r N I u ]. jes równaniem sruny półnieskończonej z warunkami począkowo-brzegowymi (6: Ψ r u = Ψ r φ(x dla =, r, (Ψ r u = Ψ r ψ(x dla =, r, Ψ r u = dla, r =. (4 Wedy, jak w (3, rozwiązanie jes posaci Ψ r u(x, = (Ψ r+c φ(x+ψ r c φ(x + c (Ψ c+r φ(x Ψ c r φ(x + c Ale ponieważ z równości granicznej we własności 5. mamy r+c lim I u(x, r =u(x, r r c Ψ sψ(x ds c+r c r Ψ sψ(x ds dla r c, dla r < c. (5 o Isonie, u(x, = lim r I u (x, r, = lim r Ψ r u(x, (N!! r. (N!! r Ψ ru(x, = Lema 5. {}}{ = (N!! r N 3 (N!! j= ( r r β N j r j d j dr I u(x, r,, j N 3 ( r N I u (r, = więc przy przejściu do granicy przy r znikają wszyskie składniki sumy oprócz ego z j =i zosaje (N!! r Ψ ru(x, = (N!! β N I u (x, r,. Oznacza o, że u(x, = lim r (N!! r [ (Ψ c+r φ(x Ψ c r φ(x + c+r ] Ψ s ψ(x ds = c c r [ ] = (N!! r Ψ rφ(x + r=c c Ψ cψ(x. Wykorzysując posać Ψ r, dosajemy wierdzenie o posaci rozwiązania równania falowego w przypadku nieparzysego wymiaru.

24 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru parzysego N =k 4 Twierdzenie 5.. Jeżeli wymiar N jes liczbą nieparzysą N =k +a φ C N+3 (R N i ψ C N+ (R N,ou dane wzorem u(x, = (N!!σ N (6 + ( ( N 3 N 3 ( N ( N S N (, S N (, jes rozwiązaniem klasycznym zagadnienia Cauchy ego (. φ(x + cy ds y + ψ(x + cy ds y Ławo widać, że dla N =3posać rozwiązania zgadza się z wyprowadzonym wcześniej wzorem Kirchhoffa. Ponado u zależy (przy usalonym x odwarościφ i ψ jedynie w punkach brzegu {(y, : >, x y = c} sożka {(y, : >, x y < c}. Zachodzi zasada Huygensa. 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru parzysego N =k Przypuśćmy, że u jes rozwiązaniem równania ( klasy C M,gdzieM = N+.Sosujemyzabieg podobny do ego, kórego użyliśmy przy wyprowadzaniu wzoru Poissona dla równania dwuwymiarowego. Pomysł polega na ym, by zauważyć, że ū(x,..., x N+, :=u(x,..., x N, spełnia równanie falowe w R N+ (, z warunkami począkowymi ū = φ, ū = ψ na R N+ { =}, gdzie φ(x,..., x N+ :=φ(x,..., x N, ψ(x,..., x N+ =ψ(x,..., x N. Ponieważ N +jes liczbą nieparzysą, więc możemy skorzysać z posaci rozwiązania (6 wyprowadzonej w przypadku wymiaru nieparzysego, wsawiając am N + zamias N. Jes o kolejne zasosowanie meody zsępowania.

25 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru parzysego N =k 5 Usalmy zaem x R N i >. Niech x =(x,..., x N, R N+. Dosajemy wedy z (6 (po zamianie zmiennych: y z = x + cy, wedyds z =(c N ds y u(x, = (N!!σ N+ (7 ( N ( N (c N S N ( x,c φ(z d S z + + ( N ( N (c N S N ( x,c ψ(z d S z, gdzie S N ( x, c oznacza sferę w R N+ ośrodku x ipromieniuc >, ad S jes N-wymiarową miarą powierzchniową na ej sferze. Zajmijmy się pierwszą całką w ej równości. Zauważmy, że dowolny z S N ( x, c spełnia równanie z x = c, możemy więc napisać: N z i x i + zn+ =(c. i= Orzymujemy więc parameryzację odpowiednio górnej i dolnej półsfery: R N B N (x, c y Y ± (y = ( y, ± (c y x S N ( x, c R N+, gdzie B N (x, c R N jes kulą o środku x ipromieniuc. Sąd moduł pochodnej jes nasępujący: Y ± (y = c [ (c y x ]. Osaecznie S N( x,c φ(z d S z = φ(yc [ (c y x ] B N (x,c dy =c B N (x,c φ(y (c y x dy. Analogicznie posępujemy z drugą całką w (7, dosając: S N ( x,c ψ(z d S z =c B N (x,c ψ(y (c y x dy. Sąd dosajemy u(x, = (N!!σ N+

26 5. Uogólnienie na przypadek wymiaru parzysego N =k 6 czyli + ( u(x, = ( N N N (c N φ(y c B N (x,c (c y x dy + N (c N ψ(y c B N (x,c (c y x dy, (8 (N!!σ N+ (c N + ( ( N N B N (x,c B N (x,c φ(y (c y x dy + ψ(y (c y x dy. Dosajemy nasępujące wierdzenie o rozwiązaniu klasycznym. Twierdzenie 5.. Jeżeli wymiar N jes liczbą parzysą N =k, aφ C N + (R N i ψ C N + (R N,ou dane wzorem (8 jes rozwiązaniem klasycznym zagadnienia Cauchy ego (. Ławo widać, że dla N =posać rozwiązania zgadza się z wyprowadzonym wcześniej wzorem Poissona. Tuaj, aby wyznaczyć u rzeba znać warości u = φ i u = ψ na całej kuli B N (x, c, a nie ylko, jak w przypadku nieparzysego wymiaru, na jej brzegu. Ponado dane φ i ψ wpływają na warości u na całym sożku {(y, : >, x y < c}, a nie ylko w punkach brzegu ego sożka {(y, : >, x y = c}. Zasada Huygensa nie zachodzi. Możemy na koniec pokusić się jeszcze o wyrażenie u w (8 za pomocą całek liczonych po kuli B N (,. Wysarczy w ym celu wprowadzić zamianę zmiennych B N (x, c y z = x + y c B N (,. Wedy dz = (c dy oraz φ(y φ(cz + x N = (c y x c z.

27 5.3 N-wymiarowe niejednorodne równanie falowe 7 Sąd φ(y φ(cz + x dy B N (x,c (c =(cn y x B N (, c z dz i analogiczną posać ma druga całka z ψ. Zaem odpowiednikiem dla posaci rozwiązania (8 jes u(x, = (9 (N!!σ N+ + ( ( N N N N B N (, B N (, φ(x + cz z dz + ψ(x + cz z dz. 5.3 N-wymiarowe niejednorodne równanie falowe Zajmijmy sie eraz zagadnieniem Cauchy ego dla N-wymiarowego równania niejednorodnego: Lu(x, =h(x, dla x R N, >, u(x,=φ(x dla x R N, u (x,=ψ(x dla x R N, (3 gdzie Lu = u c x u.załóżmy,żeh i ψ są klasy C [ N ]+ a φ -klasyc [ N ]+.Wedy,jesliN jes nieparzyse, o [ ] N += N+, a [ ] N += N+3. Jeśli naomias N jes parzyse, o [ ] N += N+, a [ N ] += N+4. Zaem funkcje φ i ψ spełniają założenia wierdzeń 5. i 5.. Skorzysamy eraz, jak poprzednio, z liniowości L izapiszmyu = w + v, gdzie Lw =, w(x,=φ(x, w (x,=ψ(x oraz Lv = h, v(x,=v (x,=. Wedy w zależności od parzysości i nieparzysości wymiaru, funkcja w dana jes wzorem (9 lub (6. Wysarczy więc rozwiązać zagadnienie (3 dla φ, ψ. Jak poprzednio, definiujemy (zgodnie z zasadą Duhamela v = v(x,, s (gdzie dodakową zmienną s > rakujemy jako paramer jako rozwiązanie zagadnienia: Lv = dla x R N, >, v(x,,s = dla x R N, (3 v (x,,s =h(x, s dla x R N.

28 5.4 Dodaek na ema miary kuli i sfery w R N 8 Wedy jes klasy C (R N [, ispełnia v(x, := v(x, s, s ds Lv = h, v(x,=v (x,=. Wysarczy więc eraz (jak poprzednio rozwiązać zagadnienie (3, czyli inaczej mówiąc: rozwiązać nieskończoną rodzinę zagadnień Cauchy ego dla jednorodnego równania falowego, indeksowaną paramerem s. Możemy zasosować w ym celu wzór (9 lub (6 (w zależności od wymiaru. Jeśli N jes nieparzyse, dosaniemy: ( N 3 v(x,, s = ( N h(x + cy ds y, (N!!σ N S N (, czyli ( N 3 v(x, = (( s N h(x + c( sy ds y ds. (3 (N!!σ N s S N (, Podobnie, jeśli N jes parzyse, dosaniemy v(x,, s = (N!!σ N+ ( N N B N (, h(x + cz z dz, czyli v(x, = (N!!σ N ( N ( s N h(x + c( sz dz. (33 s B N (, z Wróćmy na koniec do przedsawienia rozwiązania u: u(x, =w(x, +v(x,, gdzie dla N nieparzysego w jes dane wzorem (6, a v wzorem (3, naomias dla N parzysego w jes dane wzorem (8, a v wzorem ( Dodaek na ema miary kuli i sfery w R N W poprzednich rzech podrozdziałach używaliśmy symbolu σ N, kóry oznaczał miarę jednoskowej sfery (N -wymiarowej w R N. Oznacza o, że σ N = Nα(N,

29 5.4 Dodaek na ema miary kuli i sfery w R N 9 gdzie α(n z kolei oznacza N-wymiarową miarę Lebesque a kuli B N (, w R N, czyli jej objęość. Musi więc być czyli α(n = π N Γ ( N +, σ N = N Γ (, N + gdzie Γ jes zw. funkcją Eulera i ma nasępujące własności:. Γ ( = π,. Γ(x +=xγ(x, 3. Γ(m =(m! dla m =,,3,.... Więcej informacji na ema ej funkcji można znaleźć np. w [], om II, srony π N Zaem dosajemy σ N = N π N Γ ( N + = N π N N Γ ( N = π N Γ (. N Jeśli N jes parzyse, o orzymujemy σ N = π N ( N!. Widać sąd ławo, że miara -wymiarowej sfery jednoskowej w R jes równa σ = π (! = π =π. Jeśli N 3 jes nieparzyse, o orzymujemy σ N = π N ( N ( N... ( ( Γ = π N ( N ( N... ( Widać sąd ławo, że miara -wymiarowej sfery jednoskowej w R 3 jes równa π. σ 3 = π 3 ( 3 π = π =4π. Więcej informacji na en ema można znaleźć w [8], [], [7].

30 BIBLIOGRAFIA 3 Bibliografia [] W. I. Arnold, Meody maemayczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 98. [] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 975. [3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 983. [4] W.I.Arnold,Lecures on Parial Differenial Equaions, Springer-Verlag Berlin Heidelberg and PHASIS Moscow 4 (łumaczenie z rosyjskiego. [5] A. W. Bicadze, Równania fizyki maemaycznej, PWN, Warszawa 984. [6] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki maemaycznej, PWN,Warszawa 984. [7] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warszay z równań różniczkowych czaskowych, Toruń 3. [8] Birkholc A. Analiza maemayczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa. [9] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Parial Differenial Equaions, Chapman & Hall, Oxford 995. [] L. Ewans, Równania różniczkowe czaskowe, PWN, Warszawa. [] Fichenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 98. [] J. Jos, Posmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York. [3] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy maemaycznej, PWN, Warszawa 98. [4] J. D. Logan, Applied Parial Differenial Equaions, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 998. [5] H. Marcinkowska, Wsep do eorii równań różniczkowych czaskowych, PWN, Warszawa 97. [6] J. Musielak, Ws ep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 976. [7] Musielakowie H. i J. Analiza maemayczna, om II, część : Funkcje i odwzorowania wielu zmiennych, Wydawnicwo Naukowe Uniwersyeu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 999. [8] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Parial Differenial Equaions, Oxford Universiy Press, 3.

31 BIBLIOGRAFIA 3 [9] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane kompuerowo -Maple, Wydawnicwo Uniwersyeu Jagiellońskiego, Kraków 999. [] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czaskowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnicwo Uniwersyeu Łódzkiego, Łódź. [] B. Przeradzki, Teoria i prakyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnicwo Uniwersyeu Łódzkiego, Łódź 3. [] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czaskowych, PWN, Warszawa 97. [3] P. Srzelecki, Krókie wprowadzenie do równań różniczkowych czaskowych, WydawnicwoUniwersyeu Warszawskiego, Warszawa 7. [4] B. W. Szaba, Wsęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 974. [5] Whiham G.B., Lecure noes on wave propagaion, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 979. [6] Zauderer, Parial Differenial Equaions of Applied Mahemahics, John Wiley & Sons, Singapore-New York-Chicheser-Brisbane-Torono 989.